Теорія напруг і деформацій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Київський національний університет будівництва і архітектури

Будівельно-технологічний факультет

Кафедра фізики

Реферат

Теорія напруг і деформацій

Бурдейна Н.Б.

Київ 2017

Зміст

пружність тензор диференційний деформація

1. Гіпотези й принципи теорії пружності

2. Напружений стан в точці тіла. Тензор напруги. Зовнішні сили й напруги

3. Диференціальні рівняння рівноваги

Список використаної літератури

1. Гіпотези й принципи теорії пружності

1.Гіпотеза суцільності. Відповідно до цієї гіпотези тверде тіло має безперервну структуру й ця властивість безперервності відноситься до будь-якого як завгодно малого об'єму тіла. Таке допущення дозволяє стверджувати, що напруги, деформації й переміщення є безперервними функціями координат точок тіла, і для дослідження напряжено-деформованого стану тіла можна використовувати аналіз нескінченно малих.

2.Гіпотеза про фізичну однорідність. Відповідно до цієї гіпотези всі фізичні характеристики тіла (модулі пружності, коефіцієнти Пуассона, щільності й ін.) не залежать від координат точок тіла.

3.Гіпотеза про природний ненапружений стан. Суть цього твердження полягає в тому, що при відсутності зовнішніх навантажень напруги у всіх точках тіла приймаються рівними нулю. Практично ж у тілі можуть бути початкові напруги, іноді досить значні (наприклад, залишкові зварювальні напруги).

4.Гіпотеза про ідеальну пружність. Це означає, що форма й розміри тіла повністю відновлюються після усунення причин, що викликали деформації, а між деформаціями й напругами існує лінійна залежність, тобто справедливий закон Гука.

Теорія пружності, що ґрунтується на лінійній залежності між напругами й деформаціями, деформаціями й переміщеннями, називається лінійною, або класичною теорією пружності.

Крім розглянутих гіпотез, можна сформулювати деякі основні принципи теорії пружності.

У класичній теорії пружності приймається, що переміщення тіла малі в порівнянні з його лінійними розмірами, а відносні подовження й кути зсуву малі в порівнянні з одиницею (принцип малості переміщень).

Малість переміщень і лінійна залежність між напругами й деформаціями дозволяють застосувати принцип незалежності дії сил, що дає можливість визначати результат впливу на тіло системи сил як суму результатів впливу кожної сили окремо.

Важливе значення при розв'язанні багатьох задач має принцип Сен-Венана або принцип локальності ефекту самоврівноважуючих навантажень. Відповідно до цього принципу, система взаємно врівноважених навантажень, прикладена до малої частини тіла, викликає напруги, що швидко убувають в міру видалення від місця прикладення навантажень, так звані місцеві напруження.

Принцип Сен-Венана іноді формулюється так: у точках твердого тіла, досить віддалених від місця прикладення навантажень, напруги мало залежать від характеру розподілу цих навантажень по поверхні тіла.

2. Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг. Зовнішні сили й напруги

Зовнішні сили, що діють на тверде тіло, можна розбити на дві групи: поверхневі й об'ємні.

Поверхневі сили виникають у результаті взаємного контакту тіл. Вони розподіляються по поверхні тіла. Наприклад, сила тиску води на греблю, сила тиску фундаменту на ґрунт і т.д.

Ці сили характеризуються своєю інтенсивністю, тобто величиною сили, що прикладена на одиницю площі поверхні. Якщо розміри площі, на якій діє сила, малі в порівнянні з розмірами тіла, то такою площею можна знехтувати й вважати, що сила прикладена в точці. Таку силу називають зосередженою.

Об'ємні сили діють у кожній точці тіла. До них відносяться маса тіла й сили інерції.

Якщо тіло перебуває в рівновазі під дією поверхневих і об'ємних сил, то в будь-якому його перерізі виникають внутрішні сили опору. Позначимо через  внутрішнє зусилля, що діє на елементарну площадку , а нормаль до цієї площадки через n, тоді величина

називається повною напругою.

В загальному випадку повна напруга не збігається по напрямку з нормаллю до елементарної площадки, тому зручніше оперувати його складовими уздовж координатних осей -

Якщо зовнішня нормаль збігається з якою-небудь координатною віссю, наприклад, із віссю Х, то складові напруги приймуть вигляд  при цьому складова  виявляється перпендикулярною перерізу й називається нормальною напругою, а складові  будуть лежати в площині перерізу й називаються дотичними напруженнями.

Щоб легко розрізняти нормальні й дотичні напруження звичайно застосовують інші позначення:  - нормальна напруга,  - дотична.

3. Диференціальні рівняння рівноваги

Виділимо з тіла, що перебуває під дією зовнішніх сил, нескінченно малий паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам, а ребра мають довжину . На кожній грані такого елементарного паралелепіпеда діють по три складові напруги, паралельні координатним осям. Всього на шести гранях одержимо 18 складових напруг.

Нормальні напруги позначаються у вигляді , де індекс  позначає нормаль до відповідної грані (тобто може приймати значення ). Дотичні напруження мають вигляд ; тут перший індекс відповідає нормалі до тієї площадки, на якій діє дане дотичне напруження, а другий вказує вісь, паралельно який ця напруга спрямована (мал. 1.1).

Для цих напруг прийняте наступне правило знаків. Нормальна напруга вважається позитивною при розтяганні, або, що те ж саме, коли вона збігається з напрямком зовнішньої нормалі до площадки, на якій діє. Дотичне напруження вважається позитивним, якщо на площадці, нормаль до якої збігається з напрямком паралельної йому координатної осі, воно спрямоване в бік відповідній цій напрузі позитивної координатної осі.

Нормальні й дотичні напруження

Складові напруг є функціями трьох координат. Наприклад, нормальну напругу  в точці з координатами  можна позначати

В точці, що знаходиться від розглянутої на нескінченно малій відстані, напругу  з точністю до нескінченно малих першого порядку можна розкласти в ряд Тейлора:

Для площадок, які паралельні площині  змінюється тільки координата х, а приріст  Тому на грані паралелепіпеда, що збігається з площиною  нормальна напруга буде , а на паралельній грані, що знаходиться на нескінченно малій відстані , -  Напруги на інших паралельних гранях паралелепіпеда зв'язані аналогічним чином. Отже, з 18 складових напруги невідомими є тільки дев'ять.

Крім напруг на паралелепіпед діють об'ємні сили. Якщо позначити проекції на координатні осі об'ємних сил, віднесених до одиниці об'єму тіла через  то складові об'ємних сил, що діють в об'ємі розглянутого паралелепіпеда, будуть

Для тіла, що перебуває в рівновазі, повинні задовольнятися шість рівнянь статики: три рівняння проекцій на координатні осі й три рівняння моментів щодо цих осей.

Складемо рівняння проекцій на вісь х. Перемножуючи кожну напругу на площу грані, по якій воно діє, і переходячи в такий спосіб від напруг до сил, одержимо

Після перетворень це рівняння рівноваги приймає вигляд

Аналогічним чином виходять два інших рівняння проекцій, і в результаті три диференціальних рівняння рівноваги записуються так:

Перейдемо до рівнянь моментів щодо координатних осей. Складемо суму моментів всіх сил щодо осі y:

Після перетворень, відкидаючи величини четвертого порядку малості й розділивши на об'єм паралелепіпеда, одержимо

Суми моментів щодо двох інших осей дають аналогічні співвідношення. Ці три рівності виражають закон парності дотичних напружень:

Цей закон формулюється в такий спосіб: по двох взаємно перпендикулярних площадках складових дотичних напруг, перпендикулярні лінії перетинання цих площадок, рівні одна одній

Рівності (1.2) приводять до того, що з дев'яти складових напруг, що характеризують напружений стан в точці тіла, залишаються тільки шість:

Для визначення цих шести величин є тільки три рівняння рівноваги (1.1), отже, задача теорії пружності по визначенню напруг у нескінченно малому об'ємі є статично невизначеною.

Відсутні рівняння можна одержати, розглядаючи деформації тіла і його фізичні властивості.

Список використаної літератури

1. Больцман Л. Статьи и речи. - М.: Наука, 1970. - 406 с.

2. Бор Н. Атомная физика и человечество. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - 151 с.

3. Борн М. Физика в жизни моего поколения. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 535 с.

4. Бройль Л. Революция в физике. - М.: Госатомиздат, 1963. - 231 с.

5. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. - М.: Наука, 1990. - 400 с.

6. Голин Г.М., Филонович С.Р. Классики физической науки. - М.: Высш. шк., 1989. - 576 с.

7. Дирак П.А.М. Пути физики. - М.: Энергоиздат, 1983. - 86 с.

Размещено на Allbest.ru