Расчет разветвленной цепи постоянного тока РГР 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ - КАИ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

Институт Автоматики и Электронного Приборостроения

Кафедра Электрооборудования

РАСЧЁТ РАЗВЕТВЛЁННОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА РГР 2

Выполнил студент

Иванов Иван Иванович

Казань 20__

1. Расчёт разветвлённой цепи переменного тока РГР 2

1.1 Содержание расчёта

1. Рассчитать токи во всех ветвях.

2. Проверить правильность расчёта, составив баланс полных мощностей.

3. Определить показания ваттметров.

4. Построить топографическую векторную диаграмму.

5. Построить на одном графике мгновенные значения э.д.с. e₁(щt) или e₂(щt), по указанию преподавателя, и i₃(щt).

1.2 Выбор схемы и ее параметров

1. Схемы приведены в приложении 2.1. Номер схемы соответствует порядковому номеру, под которым фамилия студента записана в групповом журнале.

2. Параметры схем приведены в приложении 2.2 и выбираются в соответствии с номером группы. Последние две цифры номера группы соответствуют номеру строки таблицы 2.4.

ток ваттметр резистор конденсатор

1.3 Подготовительный этап

Прежде чем приступить к выполнению заданий, необходимо представить схему в более удобном виде для дальнейшего анализа и расчётов.

1. Преобразовать параллельное соединение резистора и конденсатора в последовательное, в результате чего, количество ветвей в схеме сводится к трём. После завершения расчёта полученной схемы, вернуться к исходной схеме и определить токи в ветвях через конденсатор и резистор.

2. Провести топографический анализ преобразованной схемы. Обозначить строчными латинскими буквами узлы и точки соединений между элементами в ветвях схемы.

3. Задаться положительными направлениями токов в ветвях и направлениями обхода контуров.

4. Записать мгновенные значения э.д.с. e₁(t), e₂(t) и соответствующие им комплексные действующие значения э.д.с. E₁, E₂.

5. Определить и обозначить на схеме взаимоиндуктивные связи между катушками индуктивности и указать эти связи на схеме.

На этом подготовительный этап заканчивается и можно приступать к

выполнению заданий по анализу и расчёту схемы.

1.4 Рассчитать токи во всех ветвях

1. Записать уравнения по законам Кирхгофа с учётом взаимоиндуктивных связей между катушками индуктивностей в комплексной форме.

2. Решить полученную систему из трёх уравнений с тремя неизвестными токами. Решение рекомендуется произвести с помощью какой-либо программы, например, MATHCAD.

1.5 Проверить правильность расчёта, составив баланс полных мощностей

Балансом мощностей называется равенство мощностей, развиваемых источниками энергии и мощностей, потребляемых приёмниками энергии:

УS_истk = УS_птрj, (1)

здесь S_истk - полная комплексная мощность k-го источника энергии, S_птрj - полная комплексная мощность j-го потребителя энергии. Следует отметить, что полная комплексная мощность S состоит из активной P и реактивной Q мощностей:

S = P + jQ (ВА),

модуль полной мощности S определяется по формуле:

Полные комплексные мощности k-го источника и j-го приёмника можно вычислить по формулам:

S_истk = E_kI_k^*, S_птрj = U_jI_j^*,

где E_k - комплексное действующее значение k-ой э.д.с., I_k^*-комплексно- сопряжённое действующее значение тока, протекающего через k-ую э.д.с., U_j - комплексное действующее значение падения напряжения на j-ом потребителе энергии, I_j^* - комплексно-сопряжённое действующее значение тока, протекающего через j-ый потребитель энергии. Учитывая приведённые формулы, баланс мощностей (1) можно записать в виде:

УE_kI_k^* = УU_jI_j^*. (2)

Рассмотрим правую часть равенства (2). Пусть комплексное действующее значение тока через j-ый потребитель имеет вид:

I_j = I_je^jб,

тогда комплексно-сопряжённое действующее значение тока через j-ый потребитель будет записано в виде:

I_j^* = I_je^-jб,

записав U_j = Z_j I_j и подставив это выражение в правую часть равенства (2) получим:

Z_j I_j I_j^* = Z_j I_je^jб I_je^-jб,

следовательно, правую часть равенства (2) можно подсчитать по формуле:

УU_jI_j^* = УZ_jI_j², (3)

где Z_j - комплексное сопротивление j-го потребителя, I_j - действующее значение тока через j-ый потребитель.

Расхождения между активными, реактивными и полными мощностями источников и приёмников соответственно не должны превышать 3%.

1.6 Определение показания ваттметра

При определении показания ваттметра, необходимо учитывать ориентацию положительных направлений тока и напряжения, приложенных к ваттметру, относительно зажимов, помеченных звёздочками, и определяются по формуле:

P = ±Re{U_kI_k^*},

здесь Re - активная составляющая (реальная часть) произведения комплексного действующего напряжения U_k, приложенного к ваттметру и комплексного действующего сопряжённого тока I_k^*, протекающего через ваттметр. Знак «+» соответствует одинаковой ориентации положительных направлений U_k и I_k относительно помеченных зажимов ваттметра.

1.7 Построение топографической векторной диаграммы

Топографическая векторная диаграмма (ТВД) строится по уравнениям Кирхгофа, составленным при расчёте токов в следующей последовательности.

1. Построить вектора токов из начала комплексной плоскости, предварительно выбрав и указав масштаб.

2. Подсчитать все падения напряжения (слагаемые), входящие в правые части уравнений, составленных по 2-му закону Кирхгофа. Подсчитанные падения напряжений рекомендуется представить в алгебраической форме комплексного числа.

3. Перенести э.д.с. в уравнениях, составленных по 2-му закону Кирхгофа, в правые части, в результате чего получаются два уравнения, в которых правые части образуют алгебраические суммы падений напряжений и э.д.с., а левые части ноль. На комплексной плоскости, вектора, соответствующие напряжениям и э.д.с., записанных в правых частях уравнений должны образовать два замкнутых многоугольника.

4. Выбрать и указать масштаб на комплексной плоскости для напряжений и э.д.с.

5. Узел, соединяющий начала двух э.д.с., принять за начало построения ТВД, т.е. начало координат комплексной плоскости будет соответствовать этому узлу.

6. Строить вектора, соответствующие э.д.с. и падениям напряжений в преобразованных уравнениях по 2-му закону Кирхгофа последовательно друг за другом, т.е. в соответствии с последовательным размещением элементов на схеме. Начала и концы этих векторов отмечать теми же буквами, что и соответствующие точки на схеме. Необходимо обратить внимание, что первые вектора, в обоих уравнениях это вектора «-E₁» и «-E₂».

7. В результате такого построения, вектора, э.д.с. и напряжений, одного уравнения и вектора, э.д.с. и напряжений, второго уравнения должны сойтись в точке, соответствующей второму узлу.

8. В итоге, вектора, построенные по обоим уравнениям, должны образовать два замкнутых многоугольника, замкнувшись в начале координат, соответствующее узлу на схеме, с которого началось построение ТВД.

1.8 Построить на одном графике мгновенные значения э.д.с. e₁(щt) или e₂(щt), по указанию преподавателя, и i₃(щt)

При выполнении этого пункта, необходимо записать мгновенное значение тока i₃(щt) по найденному комплексному действующему значению I₃. Если I₃ представлено в алгебраической форме, то сначала нужно перейти к показательной форме комплексного действующего значения тока, а затем записать соответствующее мгновенное значение i₃(щt). Мгновенные значения э.д.с. e₁(щt) и e₂(щt) должны быть записаны в начале выполнения задания на предварительном этапе при обработке исходных данных. Уравнения мгновенного значения тока i₃(щt)и э.д.с. e₁(щt) или e₂(щt) получены и по ним строятся графики в соответствующих координатных осях.

2. Найти токи, протекающие через резистор и конденсатор

Зная напряжение на сопротивлении Z, нетрудно найти токи через резистор и конденсатор по закону Ома.

Ответы на все поставленные вопросы в задании получены. Задание выполнено. Можно приступить к оформлению работы.

Рассчитаем цепь, представленную на схеме рис. 2.1

Рис. 2.1

Подготовительный этап

1. Запишем э.д.с. e₁(t) и e₂(t):

e₁(t) = E_m1sin(щt + г_e1), e₂(t) = E_m2 sin(щt + г_e2),

подставив исходные данные, получим:

e₁(t) = 70,7sin(3142t + 60⁰), e₂(t) = 565,7 sin(3142t + 45⁰).

В дальнейшем записывать уравнения будем в комплексной форме, поэтому здесь запишем комплексные действующие значения э.д.с.:

здесь - E₁ и E₂ - комплексные действующие значения э.д.с. e₁(t) и e₂(t),

- E₁ и E₂ - действующие значения э.д.с. e₁(t) и e₂(t), которые определяются:

(В).

Таким образом, комплексные действующие значения э.д.с. в показательной форме имеют вид:

(2.1)

Преобразуем параллельное соединение резистора r₁ и конденсатора С₁

в последовательное Z₁:

,

здесь 1/щC₁ = x_C1 - ёмкостное сопротивление. Подсчитаем его:

щ = 2рf, щ = 2*3,14*500 = 3142 (c^-1), x_c1 =1/ 3142*26,5*10^-6 = 12 (Ом).

Подсчитаем полное комплексное сопротивление Z₁, для этого выражение (1) преобразуем в алгебраический вид комплексного числа. Помножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое знаменателю:

.

После преобразования этого выражения, получим:

,

здесь .

Подставим численные значения:

получим:

Z₁ = (2,823 - j0,706) Ом..

После проведённого преобразования, схема состоит из трёх ветвей и

двух узлов. Обозначим узлы (a и b) и точки соединений между элементами в ветвях схемы. Зададимся положительными направлениям токов в ветвях, и положительными направлениями обхода контуров. Обозначим узлы и точки соединения элементов цепи между собой, укажем взаимоиндуктивные связи между катушками индуктивности



В исходных данных даны коэффициенты индуктивных связей между катушками индуктивности.

(k₁₂ = 0,7, k₁₃ = 0,6, k₂₃ = 0).

Коэффициент индуктивной связи между катушками индуктивности.

Определяется по формуле:

, (2.2)

здесь k_jl - коэффициент связи

между j-ой и l-ой катушками;

M_jl - взаимоиндуктивность между j-ой и l-ой катушками;

L_j - индуктивность j-ой катушки;

Из формулы (2.2) следует: L_l - индуктивность l-ой катушки.

. (2.3)

Подставляя исходные данные в (2.3), определим значения взаимоиндуктивностей между катушками:

.

Схема готова для анализа.

Рассчитать токи во всех ветвях

Для анализа данной схемы предпочтительным является метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Он позволяет

более детально записать уравнения, по которым удобней будет строить

топографическую векторную диаграмму.

Составим три уравнения в комплексной форме, одно по первому закону Кирхгофа для узла b и два по второму закону Кирхгофа для I и II контуров:

b) I₁ + I₂ - I₃ = 0,

I) E₁ = I₁Z₁ + I₁(jщL₁) - I₂(jщM₁₂) + I₃(jщM₁₃) + I₃(jщL₃) + I₁(jщM₁₃) + I₃r₃ +

+ I₃(-j(1/щC₃)), (2.4)

II) E₂ = I₂r₂ + I₂(jщL₂) - I₁(jщM₁₂) + I₃(jщL₃) + I₁(jщM₁₃) + I₃r₃ + I₃(-j(1/щC₃)),

здесь - [I₁(jщL₁) - I₂(jщM₁₂) + I₃(jщM₁₃)] - падение напряжения на первой катушке - U_L1,

- [I₂(jщL₂) - I₁(jщM₁₂)] - падение напряжения на второй катушке - U_L2,

- [I₃(jщL₃) + I₁(jщM₁₃)] - падение напряжения на третьей катушке - U_L3.

Сформируем расширенную матрицу системы уравнений (1) из коэффициентов при токах и свободных членов в таблице 2.1.

Табл. 2.1

	I1	I2	I3
b	1	1	-1	0
I	Z1 + jщL1 + jщM13	-jщM12	jщM13 + jщL3 + r3 - j1/щC3	E1
II	- jщM12 + jщM13	r2 + jщL2	jщL3 + r3 - j1/щC3	E2

Подсчитаем значения сопротивлений:

jщL₁ = j3142*1,9*10^-3 = j5,97 (Ом);

jщM₁₂ = j3142*0,94*10^-3 = j2,95 (Ом);

jщM₁₃ = j3142*0,573*10^-3 = j1,80 (Ом); (2.5)

jщL₂ = j3142*0,95*10^-3 = j3,0 (Ом);

jщL₃ = j3142*0,48*10^-3 = j1,508 (Ом);

-j(1/щC₃) = -j(1/3142*31,8*10^-6) = -j10 (Ом).

Подставив выше найденные значения реактивных сопротивлений (2.5) и значения сопротивлений резисторов и э.д.с. в комплексной форме (2.1) в расширенную матрицу, получим в таблице 2.2.

Табл. 2.2

	I1	I2	I3
b	1	1	-1	0
I	(2,823 - j0,706) + j5,97 + j1,80	- j2,95	j1,80 + j1,51 + 5 - j10	50ej60
II	- j2,95 + j1,80	4 + j3,0	j1,51 +5 -j10	400ej45

Подготовим эту матрицу для решения при помощи пакета MathCad, записав в столбце свободных членов комплексные действующие значения э.д.с. E₁ и E₂ в алгебраической форме в таблице 2.3.

Табл. 2.3

	I1	I2	I3
b	1	1	-1	0
I	2,823 + j7,064	- j2,95	5 - j6,69	25 + j43,3
II	- j1,15	4 + j3,0	5 - j8,49	283 + j283

В результате решения, получаем значения токов:

I₁ = (-18,65 + j18,70) A = 26,41 А,

I₂ = (15,39 + j10,46) A = 18,61 А, (2.6)

I₃ = (-3,26 + j29,16) A = 29,35 А.

Найдём токи через резистор r₁ и конденсатор C₁ (рис.2.1), параллельное соединение которых было преобразовано в последовательное соединение Z₁ (рис.2.2):

I_r1 = I₁Z₁/r₁, I_C1 = I₁Z₁/(-jx_C1),

где x_C1 = 1/щC₁.

Подставив найденные значения и исходные данные, получим:

I_r1 = ,

I_C1 = ,

I_r1 = (-13,15 +j21,99) А = 25,62А,

I_C1 = (-5,497 -j3,288) А = 6,405А.

Токи во всех ветвях рассчитаны.

Проверка правильности расчёта.

Проверим решение, составив баланс мощностей. Составим уравнение для подсчёта полной комплексной мощности источников энергии:

S_ист = E₁I₁^* + E₂I₂^*,

здесь I₁^* и I₂^* - комплексно-сопряжённые токи 1-ой и 2-ой ветвей, протекающие через э.д.с. e₁ и e₂, соответственно. Подставим комплексные действующие значения э.д.с. E₁ и E₂ и значения комплексно-сопряжённых токов I₁^* и I₂^*, в алгебраической форме:

S_ист = (25 + j43,3)(-18,65 - j18,70) + (283 + j283) (15,39 - j10,46),

S_ист = (7654 + j119,4) ВА,

здесь активная мощность источников - P_ист= 7654 Вт, а реактивная мощность источников - Q_ист= 119,4 ВАР.

Составим уравнение для подсчёта полной комплексной мощности потребителей:

S_птр= I₁²Z₁ + U_L1I₁^* + I₂²r₂ + U_L2I₂^* + U_L3I₃^* + I₃²r₃ + I₃²(-jx_C3), (2.7)

здесь - I₁²Z₁ - полная комплексная мощность на сопротивлении Z₁;

- U_L1I₁^* - полная комплексная мощность на катушке индуктивности L₁;

- I₂²r₂ - полная комплексная мощность на резисторе r₂;

- U_L2I₂^* - полная комплексная мощность на катушке индуктивности L₂;

- U_L3I₃^* - полная комплексная мощность на катушке индуктивности L₃;

- I₃²r₃ - полная комплексная мощность на резисторе r₃;

- I₃²(-jx_C3) - полная комплексная мощность на конденсаторе C₃.

Падения напряжений на катушках индуктивностей L₁, L₂ и L₃ определяются:

U_L1 = I₁(jщL₁) - I₂(jщM₁₂) + I₃(jщM₁₃),

U_L2 = I₂(jщL₂) - I₁(jщM₁₂), (2.8)

U_L3 = I₃(jщL₃) + I₁(jщM₁₃).

Подставляя вычисленные значения сопротивлений (2.5) токов (2.6) и исходные данные в (2.8) и (2.7), получим следующие величины.

I₁²Z₁ = 26,41²(2,823 - j0,706);

I₁²Z₁ = (1969 - j492,426) ВА;

U_L1 = (-18,65+ j18,70)( j5,970) - (15,39+ j10,46)( j2,95) + (-3,26 + j29,16)( j1,80);

U_L1 = (-133,264 - j162,653) В;

U_L1I₁^* = (-133,264 - j162,653)(-18,65 - j18,70);

U_L1I₁^* = (-556,2188 + j5525,5) ВА;

I₂²r₂ = 18,61²*4;

I₂²r₂ = 1385,32 Вт;

U_L2 = (15,39 + j10,46) (j3,0) - (-18,65 + j18,70)( j2,95);

U_L2 = (23,77 + j101,217) В;

U_L2I₂^* = (23,77 + j101,217)(15,39 - j10,46);

U_L2I₂^* = (1424,55 + j1309,09) ВА;

U_L3 = (-3,26 + j29,16)(j1,508) + (-18,65 + j18,70)(j1,80)

U_L3 = (-77,641 - j38,495) В;

U_L3I₃^* = (-77,641 - j38,495)(-3,26 - j29,16);

U_L3I₃^* = (-869,597 + j2390) ВА;

I₃²r₃ = 29,347²*5 ;

I₃²r₃ = 4306,23 Вт;

I₃²(-jx_C3) = 29,347²(-j10);

I₃²(-jx_C3) = -j8612,46 ВАР.

Подставив выделенные жирным шрифтом значения в уравнение (2.7), получим значение полной комплексной мощности потребителей:

S_птр= (1969 - j492,426) + (-556,2188 + j5525,5) + 1385,32 +

+ (1424,55 + j1309,09) + 4306,23 + -j8612,46,

S_птр=(7659+ j119,3) ВА,

здесь активная мощность потребителей - P_птр= 7659 Вт, а реактивная мощность потребителей - Q_птр= 119,3 ВАР. Сравнивая значения P_ист и P_птр, и Q_ист и Q_птр делаем вывод, что расхождение значений не превышает допустимую погрешность 3%, следовательно токи найдены верно.

Определение показания ваттметра



Рис. 2.3

Показание ваттметра определятся из соотношения:

P_w = Re{U_aeI₃^*},

здесь - U_ae- падение напряжения от a до e (рис.2.3), напряжение, которое подведено к ваттметру,

- I₃^* - комплексно-сопряжённый ток через ваттметр.

Определим U_ae. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура a - E₁ - c - Z₁ - e - W - a:

E₁ = I₁ Z₁ + U_ea,

учитывая, что U_ae = - U_ea, определим U_ae:

U_ae = I₁ Z₁ - E₁,

подставим значения:

U_ae = (-18,65 + j18,70)(2,823 - j0,706) - (25 + j43,3),

U_ae = (-64,46 + j109,26) В.

Далее определяем показание ваттметра:

U_aeI₃^* = (-64,46 + j109,26)(-3,26 - j29,16),

U_aeI₃^* = (3396 + j1523) ВА,

Re{U_aeI₃^*} = 3396 Вт,

показание ваттметра: P_w = 3396 Вт.

2.1 Построение топографической векторной диаграммы

Топографическая векторная диаграмма (ТВД) (рис.2.3) строится по уравнениям системы (2.4). По первому уравнению (a) этой системы строим вектора комплексных токов из начала координат. Уравнения I и II перепишем таким образом, чтобы вектора комплексных напряжений и э.д.с. образовали замкнутые многоугольники:

b) I₁ + I₂ - I₃ = 0,

I) 0 = -E₁ + I₁Z₁ + I₁(jщL₁) - I₂(jщM₁₂) + I₃(jщM₁₃) + I₃(jщL₃)

+ I₁(jщM₁₃) + I₃r₃ + I₃(-j(1/щC₃)), (2.9)

II) 0 = -E₂ + I₂r₂ + I₂(jщL₂) - I₁(jщM₁₂) + I₃(jщL₃) + I₁(jщM₁₃) + I₃r₃

+ I₃(-j(1/щC₃)).

Подсчитаем и запишем значения всех слагаемых уравнений I и II (29)

-E₁ = (-25 -j43,3) = В;

I₁Z₁ = (-18,65 + j18,70)(2,823 - j0,706);

I₁Z₁ = (-39,46 + j65,96) = В;

I₁(jщL₁) = (-18,65 + j18,70)(j5,97);

I₁(jщL₁) = (-111,639 - j111,37) = В;

- I₂(jщM₁₂) = -(15,39 + j10,46)(j2,95);

- I₂(jщM₁₂) = (30,87 - j45,415) = В;

I₃(jщM₁₃) = (-3,26 + j29,16)(j1,80);

I₃(jщM₁₃) = (-52,5 - j5,87) = В;

I₃(jщL₃) = (-3,26 + j29,16)(j1,508);

I₃(jщL₃) = (-43,98 - j4,916) = В;

I₁(jщM₁₃) = (-18,65 + j18,70)(j1,80);

I₁(jщM₁₃) = (-33,66 - j33,58) = В;

I₃r₃ = (-3,26 + j29,16)*5;

I₃r₃ = (-16,3 + j145,8) = В;

I₃(-j(1/щC₃)) = (-3,26 + j29,16)(- j10);

I₃(-j(1/щC₃)) = (291,6 + j32,6) = В;

-E₂ = (-283 - j283) = В;

I₂r₂ = (15,39 + j10,46)*4;

I₂r₂ = (61,58 + j41,86) = В;

I₂(jщL₂) = (15,39 + j10,46)(j3,0);

I₂(jщL₂) = (-31,4 + j46,18) = В;

- I₁(jщM₁₂) = - (-18,65 + j18,70)(j1,80);

- I₁(jщM₁₂) = (55,16 + j55,03) = В.

Топографическая векторная диаграмма

Рис. 2.4

Приложение 1



Приложение 2

Значения параметров схем

Номер группы	E1m	E2m	г1	г2	f	r1	r2	r3	L1	L2	L3	C1	C2	C2	k12	k13	k23
	В	град	Гц	Ом	mГн	мкФ
0	141,4	565,7	45	0	50	3	4	5	9,55	12,7	19	39,8	31,8	26,5	0,6	0,7	0
1	282,8	141,4	0	30	500	4	3	3	0,95	1,27	1,9	39,8	31,8	26,5	0,7	0	0,6
2	565,7	70,7	60	0	900	2	5	3	0,48	0,63	0,95	20	16	13,3	0	0,6	0,7
3	70,7	141,4	0	45	50	5	4	3	12,7	9,55	19	31,8	26,5	39,8	0,6	0,7	0
4	282,8	70,7	30	0	500	3	3	4	1,9	0,95	1,27	31,8	39,8	26,5	0	0,6	0,7
5	141,4	282,8	45	0	900	5	2	3	0,63	0,95	0,48	16	13,3	20	0,6	0	0,7
6	70,7	565,7	0	60	50	4	3	4	19	9,55	19	26,5	39,8	31,8	0,7	0,6	0
7	565,5	70,7	0	30	500	2	5	5	0,95	1,9	1,27	39,8	26,5	31,8	0,6	0	0,7
8	141,4	282,8	60	0	900	3	2	3	0,48	0,63	0,95	13,3	20	16	0	0,7	0,6
9	70,7	565,7	30	0	50	4	3	2	19,1	12,7	9,55	265	39,8	31,8	0,6	0	0,7

Размещено на Allbest.ru

...