Частицы в одномерной потенциальной яме

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

МЕЖГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКО-ТАДЖИКСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ»

Естественно-научный факультет

Кафедра «Математика и физика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Квантовая теория

на тему: «Частицы в одномерной потенциальной яме»

Выполнил: студент 3-го

курса направления подготовки 03.03.02 «Физика»

Каримов А.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., Ходжазода Т.А.

Душанбе

2021 год

Содержание

Введение

1. Уравнение Шрёдингера

2. Квантовая частица в потенциальной яме

3. Квантовая частица в потенциальной яме бесконечной глубины

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Квантовая механика - раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием повседневных объектов, квантовые эффекты в основном проявляются только в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.

Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать явления на уровне молекул, атомов, электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред, и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски-инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.

Таким образом, квантовая механика является новым толчком, позволяющим открывать новые горизонты науки в целом. Данная работа направлена на раскрытие теоретических и практических аспектов одного из разделов квантовой механики.

1. Уравнение Шрёдингера

Основное уравнение квантовой механики является уравнение Шрёдингера, определяющее изменение состояния квантовых систем с течением времени. Относительно общего вида уравнения для можно лишь утверждать, что оно должно быть линейным и однородным (на основании принципа суперпозиции) и выражать первую производную волновой функции по времени через значение самой волновой функции в тот же момент времени . Последнее обстоятельство обусловлено тем, что волновая функция полностью определяет состояние системы в момент времени , а, следовательно, и производную в этот момент времени. В самом общем виде уравнение, удовлетворяющее указанным условиям, и носящем название временного уравнения Шрёдингера в конфигурационном пространстве, можно записать следующим образом:

, (1)

где -- некоторый, подлежащий определению, линейный оператор, имеющий размерность энергии (учитывая введенный для удобства множитель в левой части уравнения (1)), также называемый оператор полной энергии или оператор Гамильтона (Гамильтонианом), которому соответствует следующая формула:

. (2)

В микромире особая роль отводится системам со стационарным гамильтонианом, т. е. не зависящим от времени явно (), что соответствует, в частности, микрочастицам, движущимся в постоянных внешних полях, т. е гамильтониан не зависит от времени и совпадает с оператором полной энергии. В этом случае уравнение Шрёдингера

(3)

частица уравнение шредингер

имеет важные решения, получающиеся путем разделения переменных и t:

. (4)

Подставляя (4) в (3) и обозначая постоянную разделения переменных через , мы получаем:

, (5)

. (6)

Первое уравнение решается сразу:

. (7)

Что же касается второго уравнения, то, как видно, оно совпадает с уравнением для собственных функций оператора энергии . Если обозначить эти функции через , а собственные значения через (для определенности мы берем случаи дискретного спектра энергии), то окончательное решение (4) запишется в виде

, (8)

где функция должна удовлетворять уравнению

, (9)

где -- внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке ; -- масса частицы; -- постоянная Дирака (редуцированная постоянная Планка), которая имеет вид

, (10)

где -- постоянная Планка.

Уравнение (9) получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (8).

Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (8) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (8). Зависимость функции от времени проста, но зависимость её от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (8) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (8) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Большое значение имеет интерпретация величины в уравнении (8). Она производится следующим путём: временнамя зависимость функции в уравнении (8) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (9) содержит просто постоянный множитель . В левой же части уравнения(9) функция умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .

2. Квантовая частица в потенциальной яме

Потенциальная яма - ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает короткодействующим силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, а вне области действия этих Ї сил потенциал нулевой.



Рисунок 1

Энергия частицы есть сумма её кинетической энергии и потенциальной (может быть как положительной, так и отрицательной). Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия меньше глубины ямы , энергия частицы

Е1 = Т1 + U1 = Т1 U0 < 0, (11)

и частица не может покинуть яму (находится в связанном состоянии). Она двигается в ней с кинетической энергией Т1, отражаясь от стенок. Если частица находится на дне ямы, то её кинетическая энергия и (частица лежит на дне ямы). Это положение частицы наиболее устойчиво. Если частица вне ямы имела кинетическую энергию , то она беспрепятственно пересекает яму, преодолевая её с возросшей кинетической энергией .

Запишем соотношение неопределенностей для следующей пары переменных, характеризующих состояние микрочастицы: для энергии и времени :

, (2)

где Ї время пребывания частицы в состоянии с энергией , Ї неопределенность величины энергии.

В квантовой механике энергия частицы , находящейся в связанном состоянии, может принимать лишь определённые дискретные значения, т.е. существуют дискретные уровни энергии. При этом самый низший (основной) уровень всегда лежит выше дна ямы. По порядку величины расстояние между уровнями частицы массы в глубокой яме шириной даётся выражением

(13)

Пример потенциальной ямы - ядерная яма глубиной и шириной , в которой на различных уровнях находятся нуклоны, двигающиеся со средней кинетической энергией .

На простом примере движения частицы в одномерной бесконечной прямоугольной яме можно легко увидеть, как возникают дискретные значения энергии. В классическом случае частица, двигаясь от одной стенки к другой, принимает любое значение энергии, в зависимости от сообщенного ей импульса. В квантовой системе ситуация совсем другая. Если движение квантовой частицы происходит в ограниченной области пространства, спектр энергий оказывается дискретным.

3. Квантовая частица в потенциальной яме бесконечной глубины

Пусть частица массы находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины (рисунок 2). Потенциальная энергия удовлетворяет следующим граничным условиям

 (14)

Рисунок 2

При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы и не может выйти за ее пределы, т.е.

, (15)

. (16)

Используя стационарное уравнение Шрёдингера для случая , получим

(17)

(18)

Уравнение (17) описывает положение частицы внутри потенциальной ямы.

Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

1. Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях.

(19)

2. Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.

3. Частица не может иметь энергию равную нулю.

4. Каждому значению энергии соответствует собственная волновая функция , описывающая данное состояние.

5. Для собственной функции вероятность обнаружить частицу в точке максимальна. Для состояния вероятность обнаружения частицы в этой точке равна и так далее (рисунок 3).

Рисунок 3

На рисунке 3 графически показаны плотности вероятности обнаружения частицы в различных квантовых состояниях.

Частица в одномерной потенциальной яме конечной глубины. Рассмотрим частицу, находящуюся в области потенциальной прямоугольной ямы конечной глубины (рисунок 4). Такая модель качественно описывает движение заряженной частицы, например, электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела. Пусть потенциальная энергия частицы имеет вид

Рисунок 4

(18)

Рассмотрим сначала случай , т.е. будем считать, что частица находится в яме. Уравнение Шрёдингера в областях ( вне потенциальной ямы) записывается в виде

. (19)

Вводя обозначение

, (20)

получаем

. (21)

Решения этого уравнения имеют вид

(22)

(23)

Для того, чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать, чтобы и .

В области , т.е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шрёдингера

(24)

имеет осциллирующее решение

, (25)

. (26)

Таким образом, волновые функция частицы для данной задачи имеют вид

(27)

Сшивая волновые функции и их производные в точках и , получаем два соотношения

(28)

которые легко привести к виду

(29)

Исключая из этих двух соотношений , приходим к выражению

(30)

которое и определяет вид энергетического спектра частицы в яме. Отметим, что отрицательные значения и не удовлетворяют условию задачи, поскольку левая часть (30) неотрицательна.

В силу того, что аргумент функции не может превосходить единицу

, (40)

Причем значения ограничены величиной

. (41)

Покажем с помощью графического метода, на рисунке 5, что энергия частицы в яме квантуется, т.е. энергетический спектр, определяемый уравнением (30), имеет дискретный характер. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (30) в зависимости от (рисунок 5) .

Рисунок 5

График левой части представляет собой прямую линию, наклон которой возрастает с шириной ямы . Графики правой части уравнения (30) для значений представлены на рисунке кривыми , и . Точки пересечения прямой с кривыми определяют корни уравнения (30). Таким образом, спектр значений , а, следовательно, и спектр связанных с ним значений энергии частицы будет дискретным. Чем больше ширина ямы , т.е. чем круче идет прямая , тем с большим числом кривых она пересекается, следовательно тем больше энергетических уровней находится в яме. При в яме может находиться энергетических уровней, т.е. может существовать связанных состояний частицы в яме.

При уменьшении глубины ямы величина , а, следовательно, и число уровней в яме уменьшается. При

, (42)

т.е. при

(43)

в яме остается лишь один энергетический уровень. Подчеркнем, что в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины всегда имеется по крайней мере один энергетический уровень, т.е. одно связанное состояние частицы.

Легко убедиться, что энергетический спектр (30) при бесконечном возрастании глубины ямы, т.е. при , переходит в полученный ранее спектр для одномерной ямы с бесконечно высокими стенками (19).

На рисунке 6 приведен качественный вид волновых функций (27).

Рисунок 6

Внутри потенциальной ямы волновые функции имеют вид синусоид, а вне ямы убывают по экспоненциальному закону. Отметим, что для состояний с большей энергией (и, следовательно, меньшей разностью ) волновая функция имеет большие значения на краях ямы и медленнее спадает по мере удаления от ямы.

Заключение

Обычно квантовая механика формулируется для нерелятивистских систем. Рассмотрение частиц с релятивистскими энергиями в рамках стандартного квантово-механического подхода, предполагающего фиксированное число частиц в системе, сталкивается с трудностями, поскольку при достаточно большой энергии частицы могут превращаться друг в друга. Эти трудности устраняются в квантовой теории поля, которая и является самосогласованной теорией релятивистских квантовых систем.

Квантовые частицы описываются уравнением Шредингера (3)

Важным свойством квантовой механики является принцип соответствия: в рамках квантовой механики доказывается, что в пределе больших величин действия (квазиклассический предел) и в случае, когда квантовая система взаимодействует с внешним миром (декогеренция), уравнения квантовой механики редуцируются в уравнения классической физики (см. Теорема Эренфеста). Таким образом, квантовая механика не противоречит классической физике, а лишь дополняет её на микроскопических масштабах.

Некоторые свойства квантовых систем кажутся непривычными (невозможность одновременно измерить координату и импульс, несуществование определённой траектории частицы, вероятностное описание, дискретность средних значений наблюдаемых величин). Это вовсе не значит, что они неверны: это означает, что наша повседневная интуиция никогда не сталкивалась с таким поведением, т.е. в данном случае «здравый смысл» не может быть критерием, поскольку он годится только для макроскопических систем. Квантовая механика -- самосогласованная математическая теория, предсказания которой согласуются с экспериментами. В настоящее время огромное число приборов, используемых в повседневной жизни, основываются на законах квантовой механики, как например -- лазер или сканирующий туннельный микроскоп.

Классическая механика оказалась неспособной объяснить движение электронов вокруг атомного ядра. Например, согласно классической электродинамике, электрон, вращающийся с большой скоростью вокруг атомного ядра, должен излучать энергию. Тогда его кинетическая энергия должна уменьшаться, и он должен упасть на ядро. Для понимания процессов, происходящих на уровне элементарных частиц, потребовалась новая теория. Квантовая теория -- это совершенно новый взгляд на систему, позволяющий с огромной точностью описать необычное поведение электронов и фотонов

Список используемой литературы

1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики: Учебное пособие. - СПб.: Издательство "Лань", 2004. - 664 с. [Электронный ресурс] http://e.lanbook.com/

2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. - 256 с.

3. Давыдов А.С. Квантовая механика: Учебное пособие. - СПб.: БХВ-Петербург, 2011. - 704 с. [Электронный ресурс] http://znanium.com/

4. Савельев И.В. Основы теоретической физики: Учебник. В 2 томах. Том 2. Квантовая механика. - СПб.: Издательство "Лань", 2005. - 432 с. [Электронный ресурс] http://e.lanbook.com/

5.http://cs6215.userapi.com/u156146515/docs/270a0e76fa0c/Kopytin_Kvantovaya_teoria_chast_1.pdf ?записать учебник, И.В.Копытин)?

6.http://cs6215.userapi.com/u156146515/docs/a4119f17382e/Barabanov_KM_chast_1.pdf ?записать учебник, И.В.Копытин?

7. http://ru.wikipedia.org/wiki/

Размещено на Allbest.ru

...