Дискретное преобразование Фурье
Проведение исследования дискретного преобразования Фурье. Частотный спектр при частоте дискретизации 1000 Гц. Создание смеси гармонических сигналов для демонстрации эффекта наложения. Изучение гармонической функции с увеличенной частотой дискретизации.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.05.2021 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Оглавление
- Задание
- Цель работы
- Теоретическая часть
- Основная часть
- Заключение
- Приложение
Задание
1. Сгенерировать последовательности базовых сигналов: дельта-импульс, ступенчатый импульс, прямоугольный импульс и гармонический сигнал.
2. Вычислить ДПФ данных последовательностей и построить графики амплитудного и фазочастотного спектров. Провести интерпретацию частот амплитудного спектра.
3. Сгенерировать последовательность в виде выборки импульса на интервале с, с., согласно вашему варианту.
4. Вычислить ДПФ для и отобразить графики основного и первых двух порядков спектров.
5. Провести анализ свойств периодичности и Эрмитовой симметрии ДПФ, подтвердить свойства иллюстрациями.
6. Выбрать и обосновать такой шаг дискретизации t, при котором будет наблюдаться наложение порядков спектра.
7. Показать возможность изменения шага дискретизации по частоте путем добавления нулей (нулевых отсчетов) в сигнал. Объяснить полученные результаты.
8. Написать отчет.
Цель работы
Приобретение навыков реализации ДПФ на ЭВМ, исследование отдельных его свойств и особенностей.
Теоретическая часть
Дискретное преобразование Фурье - способ разложения сигнала f(x), представленного в дискретной форме на гармонические составляющие:
(1)
Если воспользоваться формулой Эйлера
(2)
тодискретное преобразование Фурье можно записать в виде суммы комплексных экспонент:
(3)
Каждая такая комплексная экспонента представляет функцию вращения вектора на комплексной плоскости со скоростью кратной . Таким образом, сигнал из временной области можно перевести в частотную. Норма вектора соответствует амплитуде составляющей частоты, а его угол - фазовому сдвигу. дискретное преобразование Фурье сигнал
При дискретном представлении сигнала длиной nотсчетов, его можно представить в виде вектора в n-мерном функциональном пространстве. Тогда его можно представить через базис, представленный ортогональными функциями. Так как sinиcos и их гармоники ортогональны, то вектор исходной функции может быть представлен через n-мерный гармонический базис.
Так как максимальная частота, представленная в дискретном сигнале, не превышает частоту Найквиста равную половине частоты дискретизации, то при низкой частоте дискретизации АЧХ искажается. У сигналов появляются дополнительные гармоники, что приводит к перекрыванию частотных характеристик от различных составляющих сигнала.
Основная часть
На языке Python генерируем сигналы для сигналов: дельта-импульс, ступенчатый импульс, прямоугольный импульс и гармонический сигнал ().
Рис. 1. Базовые сигналы
Вычисляем ДПФ и строим графики АЧХ и ФЧХ сигналов.
Результаты преобразования Фурье представлены на Рис. 2, Рис. 3, Рис. 4, Рис. 5. На амплитудных спектрахпредставлены амплитуды частотных составляющих сигналов. На фазовых спектрах - их фазы. Видно, что на отрицательных частотах фазы противоположны фазам на положительных частотах. Это обусловлено тем, что каждая гармоника в сигнале представлена функциями вращения двух комплексных векторов с одинаковыми угловыми скоростями, но в противоположных направлениях. Противоположное направление означает отрицательную частоту. Сами комплексные векторы представляют сопряженные величины, то есть с одинаковой вещественной частью и разнознаковыми мнимыми частями.
На Рис. 5 представлены графики гармонической функции. Так как функция сгенерирована одним синусом частоты 5 Гц, то на АЧХ ожидается всего два пика на частотах -5 и 5. Но на графике присутствуют дополнительные гармоники. Это обусловлено низкой частотой дискретизации сигнала. При увеличении частоты дискретизации дополнительные гармоники исчезают (Рис.6)
При уменьшении частоты дискретизации сигнала, составляющие с частотами выше частоты Найквиста, интерпретируются как гармоники более низких частот и наблюдается эффект наложения, искажающий реальный частотный спектр. Для предотвращения этого эффекта исходный сигнал перед дискретизацией можно профильтровать фильтром НЧ для удаления высокочастотных гармоник.
Так как дискретный сигнал имеющий nотсчетов представляется в виде вектора в n-мерномпространстве, то он представляется через ортогональный n-мерный базис. С увеличением nувеличивается и размерность базиса и, следовательно, количество отсчетов в спектральной области. Добавление к дискретному сигналу нулевых отсчетов увеличивает количество отсчетов в спектральной области.
Рис. 2. АЧХ и ФЧХ функции Дирака
Рис. 3АЧХ и ФЧХ функции Хэвисайда
Рис. 4. АЧХ и ФЧХ прямоугольной функции
Рис. 5. АЧХ и ФЧХ гармонической функции
Рис. 6. АЧХ и ФЧХ гармонической функции с увеличенной частотой дискретизации
Генерируем сигнал по формуле (Рис. 7):
(4)
Рис. 7.Сгенерированный сигнал
Производим ДПФ сигнала и отображаем на графике АЧХ и ФЧХ сигнала (Рис. 8).
Рис. 8. АЧХ и ФЧХ сигнала
Для демонстрации эффекта наложения создаем смесь гармонических сигналов 1 и 10 Гц. (Рис. 9).
Рис. 9. Смесь сигналов 1 и 10 Гц
Частота дискретизации должна быть не менее 10 / 2 = 5 Гц.
Рис. 10. Частотный спектр при частоте дискретизации 20 Гц
На Рис.10 представлен частотный спектр сигнала при частоте дискретизации 20 Гц. Видно, что гармоника 10 Гц не была определена. В спектре появились составляющие, не входящие в реальный сигнал. При увеличении частоты дискретизации искажения уменьшаются (Рис 11, Рис. 12).
Рис. 11. Частотный спектр при частоте дискретизации 100 Гц
Рис. 12 Частотный спектр при частоте дискретизации 1000 Гц
Заключение
В работе проведено исследование дискретного преобразования Фурье.Приведены теоретические сведения, программный код, рисунки с результатами работы. Работа выполнена на языке Python в среде Jupyter Lab.
Приложение
Кодзадания
importnumpyasnp
import cmath
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pyplot import subplot
from matplotlib.pyplot import subplots_adjust
from scipy.fft import fft, fftfreq, rfft
from math import e as E
from math import pi as PI
from math import cos as COS
from math import sin as SIN
def generateDiracDelta(T, dt):
x = np.linspace(0, T, int(T/dt) + 1, endpoint=True)
y = x * 0
y[int(len(x)/2)] = 1
return y, x
def generateHeaviside(T, dt):
x = np.linspace(0, T, int(T/dt) + 1, endpoint=True)
y = np.heaviside(x - T/2.1, x)
return y, x
def generateRectangle(A0, T, dt):
x = np.linspace(0, T, int(T/dt) + 1, endpoint=True)
y = []
for i in x:
if abs(i-(T/2)) > (T/4):
y.append(0)
else:
y.append(A0)
return y, x
def generate_harmonical(A0, freq, T, dt):
x = np.linspace(0, T, int(T/dt) + 1, endpoint=True)
y = A0 * np.sin((2 * np.pi * freq * x))
return y, x
def dftPlt(X, T, title, color='b'):
yf = fft(X)
xf = fftfreq(len(X), T/len(X))
# plt.figure(figsize=(12, 8))
# for i in range(len(yf)):
# plt.vlines(xf[i], 0, abs(yf[i]), linestyles ="solid", colors ="b")
# plt.show()
fig, a = plt.subplots(2,1, figsize=(12,8))
plt.suptitle(title)
for i in range(len(yf)):
a[0].vlines(xf[i], 0, abs(yf[i].real), linestyles ="solid", colors ="b")
a[0].set_title('АЧХ')
for i in range(len(yf)):
a[1].vlines(xf[i], 0, yf[i].imag, linestyles ="solid", colors ="b")
a[1].set_title('ФЧХ')
plt.show()
#return yf, xf
T = 1
dt = 0.001
A0 = 10
freq = 5
y1, x1 = generateDiracDelta(T, dt)
y2, x2 = generateHeaviside( T, dt)
y3, x3 = generateRectangle(A0, T, dt)
y4, x4 = generate_harmonical(A0, freq, T, dt)
fig,a = plt.subplots(2,2, figsize=(12,8))
a[0][0].plot(x1,y1)
a[0][0].set_title('Dirac')
a[0][1].plot(x2,y2)
a[0][1].set_title('Heaviside')
a[1][0].plot(x3,y3)
a[1][0].set_title('Rectangle')
a[1][1].plot(x4,y4)
a[1][1].set_title('Harmonical')
plt.show()
dftPlt(y1, T, "Dirac")
dftPlt(y2, T, "Heaviside")
dftPlt(y3, T, "Rectangle")
dftPlt(y4, T, "Harmonical")
def generateSignal(A0, freq, T, dt, beta, phi = 0):
#S = []
t_list = list(np.linspace(T[0], T[1], int(T[1]-T[0] / dt) + 1 , endpoint=True))
S_list = []
for t in t_list:
S = A0*E**(-beta**2 * t**2) * COS(2*PI*freq*t + phi)
S_list.append(S)
return S_list, t_list
T = (-0.06, 0.06)
A0 = 1
freq = 40
beta = 60
dt = 0.001
S, t = generateSignal(A0, freq, T, dt, beta)
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.plot(t, S)
plt.show()
dftPlt(S, T[1]-T[0], "S")
dt = 0.001
T = 1
freq = 1
y5, x5 = generate_harmonical(A0, freq, T, dt)
y6, x6 = generate_harmonical(A0, freq * 10, T, dt)
# y7
ms = y5 + y6 #+ y7
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.plot(ms)
plt.show()
dftPlt(ms, T, "Dirac")
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Способы преобразования звука. Применение преобразования Фурье в цифровой обработке звука. Свойства дискретного преобразования Фурье. Медианная фильтрация одномерных сигналов. Применение вейвлет-анализа для определения границ речи в зашумленном сигнале.
курсовая работа [496,8 K], добавлен 18.05.2014Расчет спектральных коэффициентов ряда Фурье. Временная и спектральная диаграмма сигнала. Автокорреляционная функция, формулы для её расчета. Электрическая схема модулятора шумоподобного сигнала. Коэффициенты передачи линейного дискретного фильтра.
контрольная работа [1021,0 K], добавлен 12.11.2012Нахождение дискретных преобразований Фурье заданного дискретного сигнала. Односторонний и двусторонний спектры сигнала. Расчет отсчетов дискретного сигнала по полученному спектру. Восстановление аналогового сигнала по спектру дискретного сигнала.
курсовая работа [986,2 K], добавлен 03.12.2009Общая характеристика строения сетчатки. Динамическая Фурье голограмма. Проблемы, связанные с Фурье-оптикой. Процесс построения действительного изображения. Способы создания 3D изображения к кино. Функциональная схема Фурье-фотоаппарата и проектора.
творческая работа [379,8 K], добавлен 04.05.2012Изучение понятия математической физики. Действительная и комплексная формы интеграла Фурье. Оригинал, изображение и операция над ними. Основные свойства преобразования Лапласа. Применение интегральных преобразований при интегрировании уравнений матфизики.
курсовая работа [281,3 K], добавлен 05.04.2014Разложение периодической функции входного напряжения в ряд Фурье. Расчет гармонических составляющих токов при действии на входе цепи напряжения из 10 составляющих. Построение графика изменения входного напряжения и тока в течение одного периода в 1 ветви.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.04.2014Формула для сигнала при гармонической модуляции. Амплитуда и частота несущего колебания. Компьютерное моделирование ЧМ-сигналов с помощью программного пакета Electronics Workbench. Спектр частотно-модулированного сигнала. Частота модулирующего колебания.
лабораторная работа [565,1 K], добавлен 04.06.2015Возможности развития двумерной спектроскопии ЯМР. Использование методов Фурье-спектроскопии с использованием Фурье-преобразования в процессе проведения двумерного ЯМР-эксперимента, обработка данных. Корреляция и ее значение в гетероядерном случае.
реферат [1,0 M], добавлен 27.08.2009Принципы преобразований Фурье, основные правила и значение данного процесса. Особенности применения соответствующих рядов в современной электронике. Анализ примеров решения задач. Комплексы напряжения и тока, их применение в показательную форму.
презентация [304,5 K], добавлен 22.03.2015Исходная математическая форма ряда Фурье. Спектр простого гармонического сигнала, периодического аналогового сигнала, бинарного периодического сигнала. Графическое представление объема сигнала. Амплитудная модуляция. Амплитудно-импульсная модуляция.
реферат [389,5 K], добавлен 07.08.2008Решение уравнений состояния численным методом. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии. Определение функции передачи, её нулей и полюсов. Определение переходной и импульсной функции. Разложение в ряд Фурье периодической функции.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 24.03.2009Исходные соотношения теории теплопроводности и термоупругости тонких изотропных оболочек. Применение двумерного интегрального преобразования Фурье к исходным соотношениям. Сведение задачи теплопроводности к системам сингулярных интегральных уравнений.
дипломная работа [405,8 K], добавлен 11.06.2013Динамические эффекты в различных средах. Колебания системы сред. Колебания жидкого слоя с покрытием под действием установившихся гармонических колебаний. Состояние идеальной жидкости с упругим покрытием. Двумерное и обратное преобразование Фурье.
дипломная работа [546,5 K], добавлен 09.10.2013Действие параметров периодического сигнала на амплитудно-частотный и фазочастотный спектры периодического сигнала. Спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов. Влияние изменения времени задержки на спектр периодического сигнала.
лабораторная работа [627,1 K], добавлен 11.12.2022Анализ цепи во временной области методом переменных состояний и постоянных воздействий. Составление уравнений относительно переменных состояния цепи и численным методом. Разложение в ряд Фурье заданной периодической функции, амплитудно-фазовый спектр.
курсовая работа [581,9 K], добавлен 12.01.2012Определение спектров амплитуд и фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов. Расчет амплитуды гармоник спектра, включая постоянную составляющую. Расчет огибающей спектра амплитуд. Исходный сигнал, составляющие и результирующие ряда Фурье.
контрольная работа [296,7 K], добавлен 15.10.2013Математическая формулировка и решение задачи точечной интерполяции. Вид интерполяционного полинома Лагранжа. Интерполяция полиномами нулевой, первой и второй степени. Выбор шага и оценки погрешности дискретизации. Использование неравенства Бернштейна.
лекция [79,6 K], добавлен 19.08.2013Суть явления ядерного магнитного резонанса. Его преимущества и недостатки. Прецессия вектора магнитного момента ядра. Получение спектра ЯМР из сигнала с помощью Фурье-преобразования. Простейшая конструкция датчиков поверхностного ЯМР и их применение.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 18.05.2016Разложение периодической несинусоидальной функции в ряд Фурье; спектры амплитуд и фаз входного сигнала. Характеристические параметры четырехполюсника на частоте сигнала. Расчет коэффициента усиления из условия наименьшего ослабления основной гармоники.
контрольная работа [2,3 M], добавлен 19.09.2012Содержание закона Фурье. Расчет коэффициентов теплопроводности для металлов, неметаллов, жидкостей. Причины зависимости теплопроводности от влажности материала и направления теплового потока. Определение коэффициента теплопередачи ограждающей конструкции.
контрольная работа [161,2 K], добавлен 22.01.2012
