Применение метода конечных элементов для исследования акустических полей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение метода конечных элементов для исследования акустических полей

К.А. Драчев, канд. техн. наук,

В.И. Римлянд, д-р техн. наук

(Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск),

Б.М. Молоканов

(George Brown College, Toronto, Ontario)

В статье приведено описание возможностей применения метода конечных элементов для построения акустических полей в двух и трехмерном пространстве. Приведены примеры численного моделирования и сравнение с результатами реального эксперимента, а также с результатами применения метода конечных разностей во временной области. Получено хорошее совпадение для волновых фронтов и скоростей различных типов волн.

Ключевые слова: метод конечных элементов, акустика, моделирование, композиционный материал.

Введение

акустическое поле метод конечных элементов

В настоящее время метод конечных элементов (FiniteElementMethod, FEM) является распространенным инструментом для решения теоретических и практических задач акустики и физики твердого тела. В данном методе вычисления производятся по всему объему расчетной модели, при этом вся область представляется как сетка, состоящая из элементов конечных размеров. Размер и форму элементов можно менять, уменьшая их в наиболее интересующей области и увеличивая в менее интересной для исследования области для снижения затрат времени на расчет. В каждом из таких элементовпроизвольно выбирается вид аппроксимирующей функции, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. На каждом из элементов неизвестная функция аппроксимируется пробной функцией в виде полинома первой или второй степени, удовлетворяющего граничным условиям непрерывности согласно решаемой задаче [1, 2].

Рассматриваемая в данной работе численная модель, основанная на методе конечных элементов и волновых уравнениях, предложена для исследования распространения акустических волн в полимерных композиционных материалах на основе эпоксидиановой смолы. Исходя из законов сохранения энергии, импульса, уравнения состояния деформируемой среды и приближения малой амплитуды, линейное уравнение звукового поля в упругой твердой среде можно записать в виде [3]

где р - плотность среды; и - поле смещения частиц среды; С_і]к\- тензор упругости; Fi- внешняя сила.

Данное уравнение является уравнением активной акустической волны (уравнением Гельмгольца). Обычно в численных расчетах рассматривается распространение акустических волн в полубесконечном пространстве и поэтому внешняя сила отсутствует. Поскольку характеристики распространения звукового поля варьируются в разных средах, перейдем к уравнению звукового поля в однородной и изотропной среде. Введя постоянные Ламе в изотропную твердую среду, уравнение звукового поля можно переписать:

где X, д - постоянные Ламе. При разложении уравнения Гельмгольца вектор смещения выражается в виде градиента скаляра и вихревой составляющей вектора смещения среды. Основываясь на стандартной процедуре метода конечных элементов, вычислительная область делится на несколько элементов и узлов. Для возбуждения акустической волны в модели используется виртуальный точечный источник.

Расчетная область

Геометрическое представление расчетной области (эквивалентные размеры составляют 5*5*1 см) модели образца композиционного материала на основе матрицы из эпоксидной смолы (Л= 2,89 ГПа, д = 1,728 ГПа, р = = 1200 кг/м³), армированного слоями углеткани (Л= 31,28 ГПа, д == 23,96 ГПа, р = 2200 кг/м³), представлено на рис. 1. Для более наглядного представления результатов расчета модели мы будем приводить поперечные сечения в виде прямоугольных областей (рис. 1 б).

Эффективная толщина каждого слоя выбиралась равной 0,125 мм, что составило 60 % от исходной толщины армировочной ткани, используемой при создании экспериментальных образцов композиционных материалов [4]. Виртуальные излучатель и приемник располагались на противоположных сторонах расчетной области (рис. 1). При t = 0 формировался прямоугольный импульс силы, воздействующей на поверхность образца с длительностью 1 мкс и с силой 10 Н. В зависимости от выбранного направления распространения волны относительно слоев армирования выбиралась одна из двух пар «излучатель-приемник».

Необходимо отметить, что в модели не учитываются некоторые факторы, возникающие на границе раздела системы «матрица-слой армирования». В частности, в реальных материалах и образцах данная граница обычно представляет собой область скачкообразного изменения химического состава, кристаллической и молекулярной структуры и других свойств материалов. Характеристики каждой границы раздела специфичны для каждой пары «матрица-слой армирования» и определяются множеством факторов (поверхностная шероховатость слоя армирования, адгезионные взаимодействия, межфазные взаимодействия и т.д.).

Граничные условия на границах областей определяются условиями свободной границы. Пространство разбивается так, чтобы узлы попадали на границу раздела. Сетка строится автоматически таким образом, чтобы размер одного элемента был не более 0,1 мм. На границе раздела областей с различными физико-механическими характеристиками размер элементов минимален, с удалением от данной границы масштаб увеличивается для оптимизации расчета. Такое разбиение сетки позволяет наиболее корректно отобразить распространение акустического поля, а также снизить общую погрешность.

Моделирование распространения ультразвука

Результатом расчета являются двумерные изображения распространения акустического поля, полученные через дискретные промежутки времени. Фактически данные изображения представляют собой поперечные сечения трехмерной акустической картины (рис. 1а), так как ее отображение в трехмерном виде крайне затруднено и требует больших вычислительных мощностей.

Амплитуда ультразвуковой волны отражается в градациях серого цвета. Белый цвет представляет значение амплитуды, близкое к нулю. Волны, которые генерируются от источника, состоят из продольной волны (1 на рис. 2), поперечной волны (2 на рис. 2), волны Рэлея (3 на рис. 2) и головной волны (4 на рис. 2).

Особенно хорошо это видно на моделях с малым количеством слоев армирования (рис. 2а). Кроме того, возникают вторичные отраженные волны от границы раздела «матрица-слой армирования», существенно усложняющие общую акустическую картину при увеличении количества слоев армирования (рис. 2б и 2в).

Скорость продольных и поперечных волн в образцах армированного композиционного материала представлена в таблице. Скорость продольных волн с увеличением количества слоев армирования возрастает. Наиболее сильно данный эффект проявляется в случае совпадения направления распространения волны и направления укладки слоев армирования.

В случае, если волна распространяется вдоль слоев армирования, в композиционном материале (рис. 3) наблюдается эффект возникновения вторичных волн, которые распространяются впереди основного волнового фронта.

в)

Рис. 3. Распространение акустических волн вдоль слоев армирования через 10 мкс после начала расчета: а) 3 слоя; б) 6 слоев; в) 10 слоев (1 - «предварительный» фронт, 2- фронт продольных волн, 3 - фронт поперечных волн).

Амплитуда таких вторичных волн гораздо меньше по сравнению с основным волновым фронтом от источника. Их возникновение связано с тем, что продольная волна распространяется по слою армирования со скоростью гораздо выше скорости продольной волны в эпоксидной матрице. При этом часть волн переходит из слоя армирования в матрицу, что приводит к возникновению акустических волн (1 на рис. 3), идущих перед основным волновым фронтом продольных волн (2 на рис. 3).

Использование виртуального приемника в модели полимерного композиционного материла позволило нам получить также виртуальные осциллограммы акустических сигналов (рис. 4).

Рис. 4. Виртуальная осциллограмма акустических сигналов (1 - «предварительный» фронт, 2- фронт продольных волн, 3 - фронт поперечных волн).

Полученные осциллограммы позволяют провести более детальный анализ акустических свойств модели, а также рассчитать такие акустические параметры как скорость распространения волны, коэффициент затухания. Скорость акустических волн определялась на основе измерения времени прохождения ультразвукового импульса от излучателя до приемника по двум направлениям: вдоль слоев армирования и поперек слоев армирования.

При изготовлении композиционных материалов разных видов могут возникнуть различные дефекты. Была построена модель композитного материала, состоящего из матрицы на основе эпоксидной смолы, армированной 6 слоями углеткани. Дефекты представлены полостями различной формы, заполненными воздухом, имитирующими реальные дефекты.

По результатам моделирования было выявлено, что время прихода волнового фронта продольной волны практически не зависит от длины дефекта в случае распространения волны вдоль него. Дефекты, размеры которого меньше размера излучателя и приемника, практически не влияют на распространение волны внутри модели. В образцах с дефектами, сечение которых превышает размер сечения источника и приемника, в два и более раз, наблюдается большое количество вторичных волн, время прихода основного фронта продольной волны увеличивается. Результаты, полученные методом конечных элементов, в целом подтверждают результаты расчета методом конечных разностей во временной области [5, 6].

Заключение

Метод конечных элементов использован для построения акустических полей в трехмерной модели композиционного материала на основе матрицы из эпоксидной смолы. Построены акустические картины основных типов волн, распространяющихся в твердых телах. На основе полученных данных рассчитаны скорости. Выявлено, что скорость продольных волн с увеличением количества слоев армирования возрастает, а также появляется эффект возникновения вторичных волн, распространяющихся впереди основного волнового фронта. Последний эффект требует дополнительной проверки, так как расчет математической модели распространения акустических волн в твердом теле является упрощенным, в нем необходимо учесть дополнительные тензоры напряжений и анизотропию распространения упругих волн в разных направлениях.

Литература

1. Zhuming Bi.Finite Element Analysis Applications: A Systematic and Practical Approach. - Academic Press, 2018.

2. Zhou DeXin., TangXueQian., Zhan XiangLin.Modeling Study of a Linear Ultrasonic Phased Array Transducer // Applied Mechanics and Materials. - 2013. - V. 441. - Р. 470-475.

3. Taflove А., Hagness S.C.Computational Electrodynamics: The Finite Difference Time Domain Method // London: Artech House Publications. - Norwood, 2000.

4. Бреховских Л.М.Волны в слоистых средах. - Изд. 2-е. - М.: Наука, 1973.

5. Бархатов, В.А.Решение волновых уравнений методом конечных разностей во временной области. Двумерная задача. Основные соотношения // Дефектоскопия. - 2007. - № 9. - С. 54-71.

6. Драчев К.А., Римлянд В.И.Применение метода конечных разностей во временной области для моделирования распространения ультразвука // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2018. - №1(48). - С. 15-22.

Размещено на Allbest.ru