Алгоритм с нарастающим параметром силового воздействия для задачи одностороннего контакта с трением
Применение алгоритма Лемке к задаче изгиба балки, взаимодействующей с упругим основанием посредством трения Кулона. Алгоритмы метода перемещений для расчета систем с односторонними связями. Расчет смены рабочих схем системы при возрастании нагрузки.
Рубрика | Физика и энергетика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 08.10.2021 |
Размер файла | 937,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
АЛГОРИТМ С НАРАСТАЮЩИМ ПАРАМЕТРОМ СИЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОДНОСТОРОННЕГО КОНТАКТА С ТРЕНИЕМ
А.В. Осипова, А.Н. Попов, А.Д. Ловцов
ТОГУ, Хабаровск, Россия
Абстракт
В статье контактная задача с учетом трения Кулона поставлена как линейная задача дополнительности. Представлен новый алгоритм решения указанной задачи - алгоритм с нарастающим параметром внешнего силового воздействия. Данный алгоритм позволяет отследить смену рабочих схем системы при возрастании нагрузки. Приведены примеры, иллюстрирующие процедуру решения.
Ключевые слова: конструктивная нелинейность, линейная задача дополнительности, контакт с трением, односторонние связи, метод перемещений, нарастающий параметр нагрузки.
Abstract
A.V. Osipova, A.N. Popov, A.D. Lovtsov
PNU, Khabarovsk, Russia
THE ALGORITHM WITH INCREASING PARAMETER OF THE LOAD FOR THE UNILATERAL CONTACT WITH FRICTION PROBLEM
In case of objects react on Coulomb's friction model than system should be set like constructive nonlinear. Setting of the problem can be like a linear complementary problem in displacement method's form (setting of the LCP is described in [1, p. 45, 2]).
The article presents a new for solution of unilateral contact problem inclusive of Coulomb's friction - the algorithm with the increasing parameter of the load. This algorithm allows to trace the changing of design work schemes through the increasing of external loads.
Several examples which exemplify the procedure of solution and verify the algorithm were presented in this article.
Key words: constructive nonlinearity, linear complementary problem, contact with friction, unilateral constraints, displacement method, increasing parameter of the load.
1. Постановка задачи. Прямой подход к использованию ЛЗД в решении контактной задачи с трением
В случае если тела взаимодействуют по модели трения Кулона [1], то систему следует рассматривать как конструктивно нелинейную. Задачу расчета такой системы можно ставить как линейную задачу дополнительности (ЛЗД) в форме метода перемещений (МП) [2, с. 45; 3].
Напомним некоторые понятия ЛЗД. Контактной парой называются предполагаемые точки контакта двух тел. Для формирования начальной таблицы метода перемещений необходимо сформировать контактную матрицу жёсткости (КМЖ) и контактный грузовой вектор (КГВ). Основная система МП получается из заданной превращением односторонних связей (по нормали и по касательной к зоне контакта в каждой контактной паре) в двусторонние связи (рис. 1). Компонентой RijКМЖ является усилие во введённой связи iосновной системы МП от единичной дислокации по направлению введённой связи j. Компонента RFКГВ представляет собой усилие во введённой связи iот внешнего воздействия. Внешнее воздействие может быть разделено на составляющие: постоянную и переменную.
Общий вид ЛЗД для задачи одностороннего контакта с трением:
где: Rnn- усилие во введенной по нормали связи iот единичного смещения по нормали связи j;
RTTjj - усилие во введенной по касательной связи iот единичного смещения по касательной связи j;
R„Tjj - усилие во введенной по нормали связи I от единичного смещения касательной связи j;
rFt - усилие во введённой по касательной связи iот внешнего воздействия;
f - коэффициент трения;
Х„ - вектор усилий взаимодействия по нормали;
z„ - вектор взаимных перемещений по нормали;
Хт - вектор усилий взаимодействия по касательной;
Zt - вектор взаимных перемещений по касательной; компоненты x и x^, z и z^ связаны следующими отношениями [2, с. 104; 1]:
Рисунок 1. Основная система метода перемещений (узлы разнесены для наглядности)
Задача считается решенной, если величина параметра р равна единице в том случае, если интересует какое-то конечное значение нагрузки. Если величина нагрузки не ограничена, то получаем «лучевое» решение, которое интерпретируется следующим образом: при дальнейшем увеличении нагрузки смена рабочей схемы системы не происходит; либо система перестает быть сооружением.
2. Последовательность решения
1) Получение КМЖ и ГВ основной системы МП, запись начальной таблицы ЛЗД.
2) Модификация начальной таблицы. Возможны три варианта (а, б, в) задач в зависимости от заданного внешнего воздействия. Модификация начальной таблицы будет различна для этих вариантов:
2.а) Есть только переменная (нарастающая) составляющая нагрузки.
ГВ умножается на параметр нагрузки pи переносится в левую часть. Искусственно вводим в систему дополнительное усилие («пригруз») - столбец ц.
2.б) Нагрузка разделена на постоянную и переменную составляющие, при этом ГВ от постоянной нагрузки содержит только неотрицательные компоненты (тривиальное решение).
В таком случае ГВ от переменной составляющей умножается на параметр нагрузки pи переносится в левую часть. ГВ от постоянной нагрузки размещается в правой части.
2.в) Нагрузка разделена на постоянную и переменную составляющие, при этом ГВ от постоянной нагрузки содержит, в том числе и отрицательные компоненты (нетривиальное решение).
В этом случае предварительно необходимо решить систему на постоянную составляющую нагрузки стандартным алгоритмом Лемке, а далее см. пункт 2.б.
3) Первый и последующий шаги. На первом шаге необходимо ввести в базис параметр р, для этого выбираем его в качестве ведущего столбца. Ведущую строку определяем по правилу минимального отношения. Далее проводится шаг однократного замещения Жордана-Гаусса. Последующие шаги проводятся до тех пор, пока не окажется так, что в ведущем столбце все компоненты не положительны. Это свидетельствует о лучевом решении: при дальнейшем росте параметра нагрузки р рабочая схема не будет меняться. Чтобы получить решение при определенном значении параметра pнеобходимо выбрать ведущую строку так, чтобы параметр р вышел из базиса.
Решением задачи будут компоненты переменного грузового вектора, если положить искусственный «пригруз» п равным нулю взаимодействия по касательной находятся по выражению (2). Процедура решения отображена в таблицах 1-3. Для сравнения приведены деформированные схемы и эпюры моменты для этой же схемы, но с двусторонними связями: шарнирно подвижными (рис. 2, ж-з) и шарнирно неподвижными (рис. 2, и-к).
Пример 2. Исходные данные идентичны данным из примера 1. Отличие состоит в расположении связи 2, в данной задаче она поставлена с противоположной стороны (рис 3, а). Шаги алгоритма опущены, представлен только конечный результат (рис 3, б). В случае если связи двусторонние, расположение опоры 2 не имеет значения. Однако в случае с односторонними связями наблюдается совершенно другой результат. На опоре 2 наблюдается отрыв рамы от опоры. На опоре 1 - сцепление, усилий взаимодействия по касательной не возникает.
Рисунок 2. К примеру 1: а - расчетная схема; б - основная система; в, г - интерпретация шагов алгоритма; д - деформированная схема; е - эпюра моментов; ж-к - деформированные схемы и эпюры моментов для схем с двустроронними связями
Таблица 1. Пример 1. Начальная таблица, модифицированная введением зазора //
| Xnl |
| Xn2 |
| Хт1 |
|хт2+ |
ХтГ I |
Xtf' |
Znl |
Zn2 |
Ztl+ |
Zt2+ |
Zif |
Zi2' |
m |
Л |
Л/р |
|
і |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-66251582 |
-9685568 |
-9685568 |
27895973 |
9685568 |
-27895973 |
-5.20 |
1.0E-08 |
-2E-09 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-9685568 |
-5775895 |
-5775895 |
7339764 |
5775895 |
-7339764 |
-1.37 |
1.0E-08 |
-7E-09 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-49436517 |
-11587236 |
-547587236 |
24077348 |
547587236 |
-24077348 |
-4.49 |
1.0E-08 |
-2E-09 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
22084633 |
3874227 |
3874227 |
-11158389 |
-3874227 |
11158389 |
-97.92 |
1.0E-08 |
-IE-10 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-30065382 |
-35445 |
535964555 |
9397820 |
-535964555 |
-9397820 |
-1.75 |
1.0E-08 |
-6E-09 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-33707314 |
-10805302 |
-10805302 |
19966107 |
10805302 |
-19966107 |
96.27 |
1.0E-08 |
IE-10 |
|
Таблица 2. Пример 1. |
Шаг 1 |
||||||||||||||
Xnl |
Xn2 |
Хт1 |
ХТ2+ |
Хт1 |
ХхГ |
Znl |
Zn2 |
Zil+ |
Zi2+ |
ztf |
Zz2 |
P |
Л |
базис |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.05406 |
-68073746 |
-10269685 |
-10269685 |
28975309 |
10269685 |
-28975309 |
0 |
1.05406E-08 |
Xnl |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0.01422 |
-10165001 |
-5929584 |
-5929584 |
7623751 |
5929584 |
-7623751 |
0 |
1.01422E-08 |
X„2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0.04666 |
-51009248 |
-12091395 |
-548091395 |
25008936 |
548091395 |
-25008936 |
0 |
1.04666E-08 |
Xxl |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1.01707 |
-12198001 |
-7115501 |
-7115501 |
9148501 |
7115501 |
-9148501 |
0 |
2.01707E-08 |
XT2+ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0.01821 |
-30679247 |
-232227 |
535767773 |
9761435 |
-535767773 |
-9761435 |
0 |
1.01821E-08 |
ХхГ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.01039 |
-350115 |
-112234 |
-112234 |
207386 |
112234 |
-207386 |
1 |
1.03869E-10 |
p |
|
Таблица 3. Пример 1. |
Шаг 2 |
||||||||||||||
Xnl |
Хп2 |
Хт1 |
Хх2+ |
хтг |
Хт2 |
Znl |
Zn2 |
Ztl+ |
Zt2+ |
Zif |
Zi2' |
P |
Л |
базис |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1.3972 |
-19156855 |
5411237 |
5411237 |
0 |
-5411237 |
0 |
-139.716641 -4.E-09 |
Xnl |
||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-0.3676 |
2705618 |
-1803746 |
-1803746 |
0 |
1803746 |
0 |
-36.761120 6.E-09 |
X„2 |
||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1.2059 |
-8788495 |
1442996 |
-534557004 |
0 |
534557004 |
0 |
-120.591104 -2.E-09 |
Xxl |
||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0.55887 |
3246742 |
-2164495 |
-2164495 |
0 |
2164495 |
0 |
-44.113344 2.E-08 |
Xx2+ |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-0.4707 |
-14199732 |
5050488 |
541050488 |
0 |
-541050488 |
0 |
-47.068865 5.E-09 |
ХхГ |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-5Е-08 |
2 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-0.000005 -5.E-16 |
Zx2' |
Рисунок 3. К примеру 2: а - расчетная схема; б - результаты ЛЗД; в - деформированная схема; г- эпюра моментов
Рисунок 4. К примеру 3: а - расчетная схема; б - результаты ЛЗД и деф. схема
Пример 3. Жесткостные характеристики рамы идентичны данным из примера 1. Представлен только конечный результат - рабочая схема для заданной нагрузки и деформированная схема (рис 4). Наблюдается отрыв от 1, 2 и 5 связей. На опорах 3 и 4 - проскальзывание.
Результат задачи 1 не очевиден и получен с помощью предлагаемого алгоритма. Задача 2 специально выбрана с заранее предсказуемым результатом для проверки и тестирования алгоритма.
Заключение
алгоритм кулон трение задача
Рассмотрен и оттестирован новый алгоритм для решения задачи одностороннего контакта тел с учетом трения Кулона, поставленной как ЛЗД в форме метода перемещений. Алгоритм позволяет отследить смену рабочих схем системы при возрастании значения силового воздействия. Разобраны примеры, иллюстрирующие процедуру решения.
Библиографические ссылки
1. Ловцов А. Д. Применение алгоритма Лемке к задаче изгиба балки, взаимодействующей с упругим основанием посредством трения Кулона // Вестник гражданских инженеров. - 2006. - №1(6). - С. 19 - 26.
2. Ловцов А. Д. Линейная задача дополнительности в строительной механике систем с односторонними связями. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2013. - 198 с.
3. Ловцов А. Д. Алгоритмы метода перемещений для расчета систем с односторонними связями // Научно-технические ведомости СПбГТУ. - 2004. - №2. - С. 220 - 227.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Применение метода контурных токов для расчета электрических схем. Алгоритм составления уравнений, порядок расчета. Метод узловых потенциалов. Определение тока только в одной ветви с помощью метода эквивалентного генератора. Разделение схемы на подсхемы.
презентация [756,4 K], добавлен 16.10.2013Характеристика приближенных методов определения коэффициента трения скольжения, особенности его расчета для различных материалов. Значение и расчет силы трения по закону Кулона. Устройство и принцип действия установки для определения коэффициента трения.
лабораторная работа [18,0 K], добавлен 12.01.2010Трение как процесс взаимодействия твердых тел при относительном движении либо при движении твердого тела в газообразной или жидкой среде. Виды трения, расчет трения покоя, скольжения и качения. Расчет коэффициентов трения для различных пар поверхностей.
практическая работа [92,5 K], добавлен 10.05.2010Знакомство с этапами разработки тензорезисторного датчика силы с упругим элементом типа консольной балки постоянного сечения. Общая характеристика современных измерительных конструкций. Датчики веса и силы как незаменимый компонент в ряде областей.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 10.01.2014Расчет выпрямителей с емкостной реакцией нагрузки. Методика расчета ключевых стабилизаторов напряжения. Программные средства моделирования схем источников вторичного электропитания. Алгоритмы счета и программная реализация стабилизаторов напряжения.
дипломная работа [704,4 K], добавлен 24.02.2012Описание классических задач механики контактного взаимодействия. Определение контакта между шаром и упругим полупространством, двумя шарами, двумя скрещивающимися цилиндрами, индентором и упругим полупространством. Учет шероховатости поверхности.
реферат [376,0 K], добавлен 23.12.2015Силы, возникающие между соприкасающимися телами при их относительном движении. Определение величины и направления силы трения скольжения, закон Амонтона—Кулона. Виды трения в механизмах и машинах. Сцепление с поверхностью как обеспечение перемещения.
презентация [820,2 K], добавлен 16.12.2014Сущность трения, износа и изнашивания в современной механике. Разновидности трения и их отличительные признаки. Оценка влияния скорости скольжения и температуры на свойства контакта и фрикционные колебания. Инерционные и упругие свойства узлов трения.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 29.08.2008Расчетная схема балки. Закон движения точки. Определение составляющих ускорения. Кинематические параметры системы. Угловая скорость шкива. Плоская система сил. Определение сил инерции стержня и груза. Применение принципа Даламбера к вращающейся системе.
контрольная работа [307,9 K], добавлен 04.02.2013Сила трения как сила, возникающая при соприкосновении тел, направленная вдоль границы соприкосновения и препятствующая относительному движению тел. Причины возникновения трения. Сила трения покоя, скольжения и качения. Применение смазки и подшипников.
презентация [2,9 M], добавлен 12.11.2013Причина возникновения силы трения и ее примеры: движение оси колеса, шарик, катящийся по горизонтальному полу. Формулы расчета силы трения в физике. Роль силы трения в жизнедеятельности на Земле: осуществление ходьбы, вращение ведущих колес экипажа.
презентация [90,8 K], добавлен 16.01.2011Выполнение расчета и анализа переходного процесса для режимов электрической системы. Паспортные данные силового оборудования схем. Расчет параметров схемы замещения. Этапы преобразования схемы. Значения периодической слагаемой тока короткого замыкания.
курсовая работа [503,8 K], добавлен 18.04.2015Расчет цепи с использованием классического метода, ее главные параметры: напряжение, ток переходного процесса, на индуктивностях. Методика и основные этапы расчета цепи с использованием операторного метода. Составление эквивалентных схем и графиков.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 22.05.2014Определение угла поворота узла рамы от силовой нагрузки и числа независимых линейных перемещений. Построение единичных и грузовых эпюр изгибающих моментов для основной системы. Автоматизированный расчет рамы и решение системы канонических уравнений.
контрольная работа [2,0 M], добавлен 22.02.2012Реостатные и индуктивные преобразователи. Анализ методов и средств контроля линейных перемещений. Расчет параметров оптической системы. Описание оптико-механической схемы. Расчет интегральной чувствительности. Расчет потерь излучения в оптической системе.
курсовая работа [662,2 K], добавлен 19.05.2013Понятие о возможных перемещениях. Действительные работы внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия стержневой системы. Теоремы Клапейрона и Бетти. Применение интеграла и формулы Мора, закона Гука. Определение перемещений методами теории упругости.
презентация [219,6 K], добавлен 24.05.2014Исследование взаимодействия тела постоянной и изменяемой формы (без ограничений перемещений) с потоком воздуха. Структура энергодинамической системы физических величин. Анализ элементов синтеза энергии. Механические воздействия потока на объект.
научная работа [637,3 K], добавлен 11.03.2013Сущность фундаментального закона Кулона, который количественно описывает взаимодействие заряженных тел. Его запись в векторном виде и схожесть с законом всемирного тяготения. Вычисления при помощи закона Кулона, требующие определения единицы заряда.
презентация [507,6 K], добавлен 04.02.2016Характеристика потребителей электроэнергии. Выбор электродвигателей асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором и кран-балки, пусковых и защитных аппаратов. Расчет силовой сети и выбор силового, электрооборудования. Принципы энергосбережения.
курсовая работа [334,1 K], добавлен 28.07.2014Определение продольной силы в стержнях, поддерживающих жёсткий брус. Построение эпюры продольных усилий, нормальных напряжений и перемещений. Расчет изгибающих моментов и поперечных сил, действующих на балку. Эпюра крутящего момента и углов закручивания.
контрольная работа [190,3 K], добавлен 17.02.2015