Детерминированное моделирование кристаллической структуры гексагонального алмаза

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДЕТЕРМИНИРОВАННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ГЕКСАГОНАЛЬНОГО АЛМАЗА. II

Рассматриваются двухкомпонентная кубическая модель и модель на основе куба-генератора простейшей гексагональной кристаллической решетки. Подтверждается возможность применения метода компактного матричного описания к данной решетке. Описывается численный метод построения матричной модели кристаллической решетки гексагонального алмаза на основе куба-генератора.

Ключевые слова: компактный матричный метод, гексагональная кристаллическая решетка, гексагональная сингония, гексагональный алмаз, куб-генератор, координационный слой.

модель куб генератор кристаллическая решетка гексагональный алмаз

Введение

В контексте исследований веществ, находящихся в конденсированном состоянии, значительную роль играют структурные и энергетические параметры их кристаллических решеток [1 - 8]. Для численных расчетов этих параметров применяются различные методы, в том числе метод компактного матричного описания. Данный метод имеет ряд весомых преимуществ, позволяющих, с одной стороны, уменьшить вычислительную сложность расчетов, а с другой, - повысить точность получаемых результатов. Однако сейчас метод компактного матричного описания неприменим к веществам, относящимся к более сложным, не кубическим сингониям [9, 10].

В работе [11] рассматриваются существующие на данный момент модели кристаллической решетки гексагонального алмаза, показывается наличие корреляции куба, правильного шестиугольника и тетраэдров, что потенциально дает возможность описать кристаллическую решетку лонсдейлита, относящуюся к гексагональной сингонии, с помощью куба.

В свою очередь это позволит применить метод компактного матричного описания к гексагональному алмазу, что потенциально позволит использовать компактный матричный метод к таким веществам как вюрцит, йодид серебра, сульфид кадмия, карбид кремния и ряду других, обладающих той же структурой решетки [12 - 8]. Потенциально, это даст возможность распространить данный метод к кристаллическим решеткам и других сингоний.

Куб-генератор

Как уже отмечалось, в основе метода компактного матричного описания находится симметрия кубического фрагмента кристаллической структуры, позволяющего восстанавливать кристалл заданного размера путем трансляции. Для обозначения такого фрагмента решетки в работах [11, 19 ] было введено понятие куба-генератора.

С целью выявления существования куба-генератора и определения его параметров для кристаллической решетки гексагонального алмаза на основе тетраэдрической была разработана кубическая модель решетки этого вещества. Базис тетраэдрической модели данной кристаллической решетки составляют два тетраэдра и набор векторов трансляции, базис двухкомпонентной кубической модели составляют набор векторов трансляции а (3;0;3),

b(3;-3;0), c(4;4;--4) и два куба C- и Л-типов (рис. 1). Длины ребер этих кубов относятся как три к четырем соответственно [19].

Рис. 1. Фрагмент двухкомпонентной кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза и вектора трансляции.

В ходе анализа полученной кубической модели была определена пространственная ориентация куба-генератора относительно базовых элементов кубической модели кристаллической решетки и выявлена длина его ребра, составившая ~ 2,142 нм [20].

Полученные результаты подтверждают возможность описания кристаллической решетки гексагонального алмаза с помощью куба-генератора, являющегося аналогом элементарной ячейки для данного вещества. И таким образом подтверждается возможность применения компактного матричного метода для описания кристаллической решетки гексагонального алмаза.

Однако чтобы действительно применить данный способ описания к гексагональному алмазу, требуется численный метод, позволяющий получить представление фрагмента кристаллической решетки, соответствующего кубу-генератору, в виде трехмерной матрицы. Это позволит в дальнейшем применить техники сжатия данных, обусловливающие такие сильные стороны компактного метода как относительно малый объем исходных данных, высокая скорость расчетов параметров решетки, повышение точности вычислений [9, 10].

Численный метод

Чтобы получить трехмерную матрицу, описывающую куб -генератор, нужно наложить на этот куб сетку с некоторым шагом. Затем пройти по всем узлам сетки и записать информацию о наличии или отсутствии в них частиц в виде нулей и единиц в трехмерную матрицу подходящей размерности. При этом сетка должна быть ориентирована так же, как куб-генератор и оси выбранной системы координат (рис. 2). Шаг сетки должен быть таким, чтобы все частицы куба-генератора попадали в ее узлы.

Как было показано в работе [11 ], шаг сетки должен быть равен а/ 6, где а - длина ребра С-куба двухкомпонентной кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза, что составляет 0,5 условной единицы [19]. Соответственно будет удобнее использовать длину орта выбранной системы координат, равную данному шагу сетки (рис. 2).

Рис. 2. Куб-генератор с сеткой в выбранной системе координат.

Теперь задача получения трехмерной матрицы, описывающей куб- генератор, будет состоять в проверке наличия частиц в точках с координатами от (0; 0; 0) до (72; 72; 72), с единичным шагом по каждой координатной оси. Эту задачу можно решить с помощью разработанной кубической модели кристаллической решетки [19].

Возьмем за основу двухкомпонентную кубическую модель кристаллической решетки гексагонального алмаза. В качестве базовых элементов модели возьмем не сами два базовых куба, а два набора точек, содержащих координаты частиц, располагающихся в этих кубах: 1) (0;6;6), (0;0;0), (6;6;0), (6;0;6), (3;3;3), и 2) (6;6;0), (12;6;6), (12;0;0), (14;8;-2), (11;5;1).

Далее, для достижения поставленной цели необходимо генерировать комбинации коэффициентов в соответствующем диапазоне при векторах трансляции и получать новые точки, смещая исходные на вектор суммы произведений векторов трансляции на соответствующие им коэффициенты:

ti =a_ta + Яib + /;С,

где ( - итоговый вектор смещения для текущей комбинации коэффициентов при векторах трансляции кубической модели; a, b, c - векторы трансляции; a_t,Я,Yi - текущие коэффициенты [19]. Координаты каждой полученной точки нужно проверять на предмет принадлежности кубу-генератору. Если она принадлежит пространству этого куба, то записываем единицу в соответствующую этой точке ячейку трехмерной матрицы.

Таким образом, будет получена трехмерная кубическая матрица размером 73x73x73, описывающая расположение атомов во фрагменте кристаллической решетки гексагонального алмаза, представляющего собой куб-генератор. При этом легко выполнить и обратный переход: «координаты» элемента такой матрицы совпадают с количеством единичных отрезков по соответствующей оси в используемой системе координат, т.е., совпадают с координатами точки пространства, в которой находится или отсутствует атом углерода, что определяется значением данного элемента в матрице.

Варианты двумерного матричного описания

Для метода компактного матричного описания полученная трехмерная кубическая матрица является исходными данными с целью построения нескольких вариантов двумерного матричного представления. Основа для их создания - идея кубических координационных слоев [9, 10]. Кубический координационный слой - это полый куб, центр которого совпадает с центром куба-генератора, а длина ребра равна 2h 7, где l - номер данного координационного слоя, изменяющийся от нуля до плюс бесконечности; h - шаг сетки, наложенной на куб-генератор для получения его матричного описания. Очевидно, что каждая частица, принадлежащая кубу-генератору, окажется на поверхности одного из таких координационных слоев.

В свою очередь последовательность кубических координационных слоев, полностью охватывающих пространство куба-генератора, будем называть набором базовых координационных слоев. На рис. 3 показан пример такого набора для куба-генератора с длиной ребра, равной 6 единичным отрезкам. Нулевой координационный слой показан сферой в центре. На виде справа верхние грани координационных слоев скрыты.

Рис. 3. Базовый набор из четырех координационных слоев.

При дальнейшем построении координационных слоев, описывающих уже большее пространство, чем заключенное в куб -генератор, оказывается, что эти координационные слои состоят из фрагментов координационных слоев, входящих в базовый набор. Продемонстрировать это можно на примере кубического слоя № 5 и базового набора из четырех слоев.

В общем виде рассматриваемый координационный слой № 5 во фронтальной проекции представлен на рис. 4.

Рис. 4. Общий вид координационного слоя № 5 при базовом наборе из четырех слоев.

Рассмотрим взаимодействие этого слоя со слоями базового набора. Данный координационный слой пересекает границы слоя № 3, входящего в базовый набор (рис. 5).

Рис. 5. Взаимодействие координационных слоев № 5 и № 3.

Слой № 5 также пересекает границы координационного слоя № 2 (рис. 6) и соприкасается с поверхностью слоя № 1 (рис. 7). Но не взаимодействует с координационным слоем № 1.

Рис. 6. Взаимодействие координационных слоев № 5 и № 2.

Рис. 7. Взаимодействие координационных слоев № 5 и № 1.

Таким образом, структуру граней координационного слоя № 5 можно представить в виде соответствующей схемы (рис. 8). Учитывая правила формирования координационных слоев, достаточно просто определить, что координационный слой № 4 будет взаимодействовать с базовым координационным слоем № 3 так же, как и № 5. Со слоем № 2 - так же, как слой № 5 взаимодействует со слоем № 1, и не взаимодействует со слоями № 0 и № 1 (рис. 8).

Рис. 8. Схемы координационных слоев № 4 - 6 (слева направо).

Нетрудно заметить, что при дальнейшем увеличении номера формируемого координационного слоя изменение взаимодействия с базовыми слоями будет идти в обратном порядке.

Так, слой № 7 уже не будет взаимодействовать со слоем № 0, слой № 8 - со слоем № 1 (рис. 9). Слой № 9 будет целиком состоять из граней базового координационного слоя № 3.

Рис. 9. Схемы координационных слоев №7, 8 (слева направо).

Важно отметить, что в случаях применения метода компактного матричного описания к кристаллическим решеткам кубических сингоний, благодаря присущей им симметрии все грани каждого кубического координационного слоя оказывались идентичными. Это позволяет описывать расположение частиц в конкретном координационном слое, используя двумерную матрицу, соответствующую одной грани рассматриваемого слоя, вместе с универсальной количественной матрицей [9, 10].

Аналогичным образом, благодаря симметрии, присущей решеткам кубической сингонии, матрицу, описывающую одну грань, можно «сократить» до одной четвертой ее размера. На том же основании полученный фрагмент можно сократить еще в два раза (рис. 10).

Рис. 10. Принципиальная схема сокращения матричного представления произвольного координационного слоя.

При исследовании модели простейшей гексагональной кристаллической решетки на основе куба-генератора становится очевидна симметрия противоположных граней внешнего координационного слоя из базового набора. Это свойство вытекает из определения куба-генератора: возможности восстановить сколь угодно большой фрагмент кристаллической решетки путем трансляции куба-генератора на векторы, коллинеарные и равные по модулю его ребрам.

Однако симметричность друг другу всех граней в пределах каждого координационного слоя простейшей гексагональной решетки еще предстоит рассмотреть. Если эти свойства подтвердятся, то к кристаллической решетке гексагонального алмаза можно будет применить рассмотренные приемы сокращения матричного представления координационных слоев.

В противном случае эти приемы должны быть адаптированы соответствующим образом. Предполагаемым путем адаптации может стать «складывание» матричных описаний как развертки куба для трехмерной матрицы координационного слоя или листа бумаги для матриц граней вместо «отсечения всего лишнего» - информации о расположении частиц, дублирующийся из-за симметрии структуры. В качестве возможного решения может быть рассмотрена также некоторая комбинация перечисленных методов. В каждом из этих подходов информация даже о частицах, расположенных на не симметричных гранях, сохраняется в полном объеме. Но требуется пересмотр концепции и практического применения универсальной количественной матрицы.

Таким образом, необходимо исследовать состав трехмерной матрицы, описывающей куб-генератор кристаллической решетки гексагонального алмаза, и получаемых из нее кубических матриц координационных слоев базового набора на предмет симметричности граней в пределах каждого слоя. И в зависимости от полученных результатов определить или разработать приемы перехода от трехмерных матричных представлений к их двумерным эквивалентам.

Заключение

В ходе исследования были рассмотрены двухкомпонентная кубическая модель и модель простейшей кристаллической решетки гексагональной сингонии на основе куба-генератора. В результате анализа тетраэдрической и двухкомпонентной кубической моделей были определены параметры куба-генератора и сетки. На основе чего был сделан вывод о возможности описания кристаллической решетки гексагонального алмаза с помощью кубической матрицы, что в свою очередь является основой для применения метода компактного матричного описания к кристаллической решетке данного вещества.

Был разработан численный метод, позволяющий получить кубическую матрицу, однозначно и полно описывающую куб-генератор. Так как куб-генератор является аналогом элементарной ячейки и должен позволять получать сколько угодно крупные фрагменты кристаллической решетки путем трансляции, то противоположные «грани» описывающей его кубической матрицы должны быть одинаковыми. Проверка выполнения этого условия позволит подтвердить правильность результатов предыдущих этапов исследования, в частности выявления и определения параметров куба-генератора наложением на него сетки.

Также были рассмотрены варианты двумерного матричного описания кристаллической решетки и их применение к решетке гексагонального алмаза. В результате выявлена необходимость исследования симметрии граней кубических матриц, описывающих координационные слои базового набора.

Таким образом, следующими шагами исследования должны стать: разработка программного обеспечения, позволяющая автоматизировать процесс получения матричного описания куба-генератора простейшей кристаллической решетки гексагональной сингонии; практическое получение этого описания и его дальнейшее исследование.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т1. - М.: Книга по требованию, 2013.

2. Жданов Г.С. Физика твердого тела. - М.: Изд-во МГУ, 1961.

3. Зуев В.В., Поцелуева Л.Н., Гончаров Ю.Д. Кристаллоэнергетика как основа оценки свойств твердотельных материалов. - СПб., 2006.

4. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. Учебное пособие. - Изд. 2-е, перераб. - М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1979.

5. Шаскольская М.П. Кристаллография. - М.: Высшая школа, 1976.

6. Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. - М.: Химия, 1978.

7. Graef D.M., Michael E.M. Structure of materials: An introduction to crystallography, diffraction and symmetry. - Cambridge: University press, 2007.

8. The Madelung Constant of Organic Salts / E.I. Izgorodina, U.L. Bernard, P.M. Dean, et al. // Crystal Growth & Design. - 2009. - №9 (11). - P. 4834-4839.

9. Еремин И.Е., Сычев М.С. Метод компактного описания энергетических параметров кристаллической решетки // V Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы. 2010». - Пенза, 2010. - С. 103-111.

10. Еремин И.Е., Сычев М.С. Моделирование постоянной Маделунга кристаллов кубической сингонии. I // Вестник ТОГУ. - 2012. - № 1(24). - С. 43-50.

11. Фомин Д.В. Детерминированное моделирование кристаллической структуры гексагонального алмаза. I // Информатика и системы управления. - 2019. - №2 (60).

12. База данных по минералогии. Mindat.org / Hudson Institute of mineralogy. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.mindat.org.

13. Горленко В.А. Органическая химия. Часть III-IV. - М.: Прометей, 2012.

14. Горленко В.А. Органическая химия. Часть V-VI. - М.: Прометей, 2012.

15. International Tables for Crystallography. Volume A: Space Group Symmetry. - International Union of Crystallography, 2016.

16. Kittel C. Introduction to Solid State Physics. - New York: Wiley, 1996.

17. Lide D.R. Handbook of Chemistry and Physics: 9th Edition. - Boca Raton, FL: CRC Press, 2009.

18. PatnaikP. Handbook of Inorganic Chemicals. - McGraw-Hill, 2002.

19. Еремин И.Е., Фомин Д.В. Кубическая модель кристаллической решетки гексагонального алмаза // Cloud of Science. - 2019. - Т. 6, №2. - С. 227-245.

20. Фомин Д.В., Еремин И.Е. Мыслительный эксперимент по выявлению кубического периода гексагонального алмаза // Фундаментальные и прикладные разработки в области технических и физико-математических наук: сб. статей VI Междунар. «круглого стола». - Казань: ООО «Конверт», 2018. - С. 99-104.

Размещено на Allbest.ru