Методы расчета сложных электрических цепей синусоидального тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Цель работы:

Практичеcкое оcвоение методов раcчета cложных электричеcких цепей cинуcоидального тока.

Поcтановка задачи:

составить систему уравнений по законам Кирхгофа в интегрально- дифференциальном виде для мгновенных значений напряжений и токов;

выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи методом, указанным в варианте задания, с проверкой правильности расчетов посредством баланса мощностей и оценкой их точности;

определить режимы работы источников, имеющихся в заданной электрической цепи;

рассчитать ток в указанной ветви или напряжение холостого хода между заданными узлами методом эквивалентного генератора (МЭГ);

для заданного тока i(t) или напряжения u(t) построить график мгновенных значений;

рассчитать показания ваттметра, включенного в одну из ветвей электрической цепи;

построить векторную диаграмму токов и напряжений для ветви, в которой включен ваттметр.

Теоретичеcкая чаcть

Переменный ток -- электрический ток, направление и сила которого изменяются периодически. Так как обычно сила переменного тока изменяется по синусоидальному закону, то переменный ток представляет собой синусоидальные колебания напряжения и силы тока.

Поэтому к переменному току применимо все то, что относится к синусоидальным электрическим колебаниям. Синусоидальные колебания -- колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса. В данной статье поговорим о параметрах переменного тока.

Изменение ЭДС и изменение тока линейной нагрузки, подключенной к такому источнику, будет происходить по синусоидальному закону. При этом переменные ЭДС, переменные напряжения и токи, можно характеризовать основными четырьмя их параметрами:

период;

частота;

амплитуда;

действующее значение.

Есть и вспомогательные параметры:

угловая частота;

фаза;

мгновенное значение.

Период Т



Период -- время, в течение которого система, совершающая колебания, проходит через все промежуточные состояния и нале снова возвращается к исходному.

Периодом Т переменного тока называется промежуток времени, за который ток или напряжение совершает один полный цикл изменений.

Поскольку источником переменного тока является генератор, то период связан со скоростью вращения его ротора, и чем выше скорость вращения витка или ротора генератора, тем меньшим оказывается период генерируемой переменной ЭДС, и, соответственно, переменного тока нагрузки.

Период измеряется в секундах, миллисекундах, микросекундах, наносекундах, в зависимости от конкретной ситуации, в которой данный ток рассматривается. На вышеприведенном рисунке видно, как напряжение U с течением времени изменяется, имея при этом постоянный характерный период Т.

Частота f

Частота f является величиной обратной периоду, и численно равна количеству периодов изменения тока или ЭДС за 1 секунду. То есть f = 1/Т. Единица измерения частоты -- герц (Гц), названная в честь немецкого физика Генриха Герца, внесшего в 19 веке немалый вклад в развитие электродинамики. Чем меньше период, тем выше частота изменения ЭДС или тока.

Сегодня в России стандартной частотой переменного тока в электрических сетях является 50 Гц, то есть за 1 секунду происходит 50 колебаний сетевого напряжения.

В других областях электродинамики используются и более высокие частоты, например 20 кГц и более -- в современных инверторах, и до единиц МГц в более узких сферах электродинамики. На приведенном выше рисунке видно, что за одну секунду происходит 50 полных колебаний, каждое из которых длится 0,02 секунды, и 1/0,02 = 50.



По графикам изменения синусоидального переменного тока с течением времени видно, что токи различной частоты содержат разное количество периодов на одном и том же отрезке времени.

Угловая частота

Угловая частота -- число колебаний, совершаемых за 2пи сек.

За один период фаза синусоидальной ЭДС или синусоидального тока изменяется на 2пи радиан или на 360°, поэтому угловая частота переменного синусоидального тока равна:



Пользоваться числом колебаний на 2пи сек. (а не за 1 сек.) удобно потому, что в формулах, выражающих закон изменения напряжений и токов при гармонических колебаниях, выражающих индуктивное или емкостное сопротивление переменному току, и во многих других случаях частота колебаний n фигурируют вместе с множителем 2пи.

Фаза

Фаза -- состояние, стадия периодическою процесса. Более определенный смысл имеет понятие фаза в случае синусоидальных колебаний. На практике обычно играет роль не фаза сама по себе, а сдвиг фаз между какими-либо двумя периодическими процессами.

В данном случае под термином «фаза» понимают стадию развития процесса, и в данном случае, применительно к переменным токам и напряжениям синусоидальной формы, фазой называют состояние переменного тока в определенный момент времени.

На рисунках можно видеть: совпадение напряжения U1 и тока I1 по фазе, напряжения U1 и U2 в противофазе, а также сдвиг по фазе между током I1 и напряжением U2. Сдвиг по фазе измеряется в радианах, долях периода, в градусах.

Амплитуда Uм и Iм

Говоря о величине синусоидального переменного тока или синусоидальной переменной ЭДС, наибольшее значение ЭДС или тока называют амплитудой или амплитудным (максимальным) значением.

Амплитуда -- наибольшее значение величины, совершающей гармонические колебания (например, максимальное значение силы тока в переменном токе, отклонение колеблющегося маятника от положения равновесия), наибольшее отклонение колеблющейся величины от некоторого значения, условно принятого за начальное нулевое.

Строго говоря, термин амплитуда относится только к синусоидальным колебаниям, но его обычно (не вполне правильно) применяют в указанном выше смысле ко всяким колебаниям.

Если речь о генераторе переменного тока, то ЭДС на его выводах дважды за период достигает амплитудного значения, первое из которых +Eм, второе -Eм, соответственно во время положительного и отрицательного полупериодов. Аналогичным образом ведет себя и ток I, и обозначается соответственно Iм.

Гармонические колебания -- колебания, в которых колеблющаяся величина, например напряжение в электрической цепи, меняется во времени по гармоническому синусоидальному или косинусоидальному закону. Графически представляются кривой -- синусоидой.

Реальные процессы могут лишь приближенно быть гармоническими колебаниями. Однако если колебания отражают наиболее характерные черты процесса, то такой процесс считают гармоническими, что существенно облегчает решение многих физических и технических задач.

Движения, близкие к гармоническим колебаниям, совершаются в различных системах: механических (колебания маятника), акустических (колебания столба воздуха в органной трубе), электромагнитных (колебания в LC-контуре) и др. Теория колебаний рассматривает эти различные по физической природе явления с единой точки зрения и определяет их общие свойства. Графически гармонические колебания удобно представить с помощью вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной к этому вектору и проходящей через его начало. Угловая скорость вращения вектора соответствует круговой частоте гармонического колебания.

Векторная диаграмма одного гармонического колебания

Периодический процесс любой формы может быть разложен в бесконечный ряд простых гармонических колебаний с различными частотами, амплитудами и фазами.

Гармоника -- гармоническое колебание, частота которого в целое число раз больше частоты некоторого другого колебания, называемого основным тоном. Номер гармоники указывает, во сколько именно раз частота ее больше частоты основного тона (например, третья гармоника -- гармоническое колебание с частотой, втрое большей, чем частота основного тона).

Всякое периодическое, но не гармоническое (т. е. отличающееся по форме от синусоидального) колебание может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний -- основного тона и ряда гармоник. Чем больше рассматриваемое колебание отличается по форме от синусоидального, тем большее число гармоник оно содержит.

Мгновенное значение u и i

Значение ЭДС или тока в конкретный текущий момент времени называется мгновенным значением, они обозначаются маленькими буквами u и i. Но поскольку эти значения все время меняются, то судить о переменных токах и ЭДС по ним неудобно.

Действующие значения I, E и U



Способность переменного тока к совершению какой-нибудь полезной работы, например механически вращать ротор двигателя или производить тепло на нагревательном приборе, удобно оценивать по действующим значениям ЭДС и токов.

Так, действующим значением тока называется значение такого постоянного тока, который при прохождении по проводнику в течение одного периода рассматриваемого переменного тока, производит такую же механическую работу или такое же количество теплоты, что и данный переменный ток.

Действующие значения напряжений, ЭДС и токов обозначают заглавными буквами I, E и U. Для синусоидального переменного тока и для синусоидального переменного напряжения действующие значения равны:

Действующее значение тока и напряжения удобно практически использовать для описания электрических сетей. Например значение в 220-240 вольт -- это действующее значение напряжения в современных бытовых розетках, а амплитуда гораздо выше -- от 311 до 339 вольт.

Так же и с током, например когда говорят, что по бытовому нагревательному прибору протекает ток в 8 ампер, это значит действующее значение, в то время как амплитуда составляет 11,3 ампер.

Так или иначе, механическая работа и электрическая энергия в электроустановках пропорциональны действующим значениям напряжений и токов. Значительная часть измерительных приборов показывает именно действующие значения напряжений и токов.

Любой ток изменяющийся по величине является переменным. Но на практике под переменным током понимают такой ток, закон изменения которого во времени есть синусоидальная функция.

Математическое выражение для синусоидального тока можно записать в виде:

где, i - мгновенное значение тока, показывающее величину тока в конкретный момент времени, Im - амплитудное (максимальное) значение тока, выражение в скобках есть фаза, которая определяет значение тока в момент времени t, f - частота переменного тока, это величина, обратная периоду изменения синусоидальной величины Т, щ - угловая частота, щ = 2рf = 2р / T, б - начальная фаза, показывает значение фазы в момент времени t = 0.

Аналогичное выражение можно записать и для синусоидального переменного напряжения:

Мгновенные значения тока и напряжения условились обозначать строчными латинскими буквами i, u, а максимальные (амплитудные) значения - прописными печатными латинскими буквами I, U с индексом m.

Для измерения величины переменного тока чаще всего используют действующее (эффективное) значение, которое численно равно такому постоянному току, который за период переменного выделяет в нагрузке такое же количество тепла, что и переменный ток.

Действующее значение переменного тока:

Для обозначения действующих значений тока и напряжения используют прописные печатные латинские буквы I, U без индекса.

В цепях переменного тока изменение во времени питающего напряжения влечёт за собой изменение тока, а также магнитного и электрического полей, связанных с цепью. Результатом этих изменений является возникновение ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции в цепях с катушками индуктивности, а в цепях с конденсаторами появляются зарядные и разрядные токи, которые создают сдвиг по фазе между напряжениями и токами в таких цепях.

Отмеченные физические процессы учитывают введением реактивных сопротивлений, в которых, в отличие от активных, не происходит превращение электрической энергии в другие виды энергии. Наличие тока в реактивном элементе объясняется периодическим обменом энергией между таким элементом и сетью. Все это усложняет расчёт цепей переменного тока, так как приходится определять не только величину тока, но и его угол сдвига по отношению к напряжению.

Все основные законы цепей постоянного тока справедливы и для цепей переменного тока, но только для мгновенных значений или значений в векторной (комплексной) форме. На основе этих законов можно составить уравнения, позволяющие осуществить расчёт цепи.

Как правило, целью расчёта цепи переменного тока является определение токов, напряжений, углов сдвига фаз и мощностей на отдельных участках. При составлении уравнений для расчёта таких цепей выбирают условные положительные направления ЭДС, напряжений и токов. Получаемые уравнения для мгновенных значений в установившемся режиме и синусоидальном входном напряжении будут содержать синусоидальные функции времени.

Аналитический расчёт тригонометрических уравнений неудобен, требует значительных затрат времени и поэтому не находит широкого распространения в электротехнике. Упростить анализ цепи переменного тока можно, используя тот факт, что синусоидальную функцию можно условно изобразить вектором, а вектор, в свою очередь, можно записать в виде комплексного числа.

Комплексным числом называют выражение вида:

где a - вещественная (действительная) часть комплексного числа, j - мнимая единица, b - мнимая часть, A - модуль, б- аргумент, e - основание натурального логарифма.

Первое выражение представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа, второе - показательную, а третье - тригонометрическую. Для отличия, в комплексной форме записи подчеркивают букву, обозначающую электрический параметр.

Метод расчёта цепи, основанный на применении комплексных чисел, называется символическим методом. В символическом методе расчета все реальные параметры электрической цепи заменяют символами в комплексной форме записи. После замены реальных параметров цепи на их комплексные символы расчет цепей переменного тока выполняют методами, которые применяли для расчета цепей постоянного тока. Отличие состоит в том, что все математические операции необходимо выполнять с комплексными числами.

В результате расчета электрической цепи искомые токи и напряжения получаются в виде комплексных чисел. Реальные действующие значения тока или напряжения равны модулю соответствующего комплекса, а аргумент комплексного числа показывает угол поворота вектора на комплексной плоскости по отношению к положительному направлению вещественной оси. При положительном аргументе вектор поворачивается против часовой стрелки, а в случае отрицательного аргумента - по часовой.

Завершают расчёт цепи переменного тока, как правило, составлением баланса активных и реактивных мощностей, который позволяет проверить правильность вычислений.

Раcчетная чаcть

Техничеcкое задание.

Электрическая цепь, подлежащая расчету определяется по последней цифре индивидуального номера студента (547)

Определение параметры элементов cхемы согласно варианту.

Выбор варианта cхемы

Система уравнений по законам Кирхгофа в интегрально- дифференциальном виде для мгновенных значений напряжений и токов

Укажем произвольно условно-положительные направления токов в ветвях и пронумеруем узлы. В заданной схеме в=8 ветвей, у=5 узлов , 2 ветви с идеальными источниками тока (к=2), токи в которых равны токам этих источников. В схеме 6 неизвестных токов.



Рисунок 7.1

І закон Кирхгофа (составляется количество уравнений на единицу меньше числа узлов схемы, в нашей схеме 5 узлов, значит составляем у-1=5-1=4 уравнения для любых трех узлов):

для узла 1: ;

для узла 2: ;

для узла 4: ;

для узла 5: ;

ІІ закон Кирхгофа ( в нашем случае в-(у-1)-к=8-(5-1)-2=2 уравнения для независимых контуров, для которых предварительно выбираем обход контура и указываем стрелкой на схеме ):

Для контура І: ;

Для контура ІІ:

Расчет токов в ветвях электрической цепи

Выполним расчет токов в ветвях электрической цепи методом контурных токов, с проверкой правильности расчетов посредством баланса мощностей и оценкой их точности;

а) сделаем предварительные вычисления:

В общем виде здесь

Принимаем потенциал узла 2 равным нулю (см. рис. 7.2).

Составим систему уравнений

Рисунок 7.2

Выпишем и подсчитаем значения коэффициентов системы:

- собственная комплексная проводимость узлов



-общие проводимости узлов

- узловые токи

Система уравнений после подстановки численных значений коэффициентов примет вид

Решим: напряжение ток генератор ваттметр

Результаты расчета системы уравнений:

Рассчитаем значения токов в ветвях по обобщенному закону Ома



0пределим комплексную мощность источников питания и проверим баланс мощности.

Полная комплексная мощность источников :

.

где -активная и реактивная мощности источника;

-сопряженное комплексное значение тока;

-угол сдвига фаз между током и напряжением источника;

S -полная мощность источника.

Согласно балансу мощности в цепи синусоидального тока:

,где

.

Полная комплексная мощность потребителей :

Баланс мощностей в цепи соблюдается с погрешностью:

0пределение режимов работы источников

0пределим режимы работы источников, имеющихся в заданной электрической цепи:

Так как , то источник работает в режиме потребления энергии

Так как , то источник работает в режиме генерирования энергии

Так как , то источник работает в режиме п генерирования энергии

Так как , то источник работает в режиме потребления энергии

Так как , то источник работает в режиме генерирования энергии

Так как , то источник работает в режиме генерирования энергии

Так как , то источник работает в режиме потребления энергии

Так как , то источник работает в режиме потребления энергии

Источник тока J1 в цепи работает в режиме генерирования , а J2 -потребления энергии

Расчет мгновенного значения тока методом эквивалентного генератора

Определим ток (так как по условию задан для нахождения методом эквивалентного генератора ток, протекающий по , а в нашем случае это ток )и его мгновенное значение , используя метод эквивалентного генератора.

Разделим схему рис. 7 на две части. Одна часть содержит ветвь с током , а остальная часть схемы будет являться активным двухполюсником с выводами 5 и 3 . Найдем параметры активного двухполюсника (эквивалентного генератора) и . Найдем (Рис.7.3.) :

Рисунок 7.3

По второму закону Кирхгофа:

,

Применим метод контурных токов для нахождения ,

Учитывая, что , запишем уравнение относительно



Тогда:

Найдем относительно зажимов 3 и 5 (рис.7.4):

Рисунок 7.4



Искомый ток

Запишем мгновенное значения тока:

Построение графика мгновенных значений заданного тока

Для заданного напряжения построим график мгновенных значений (рис.7.5):

Рисунок 7.5

Расчет показаний ваттметра

Рассчитаем показания ваттметра, включенного в ветвь 1-3 (рис.7.6)

Включим ваттметр в ветвь 1-3

Рисунок 7.6

Мощность, измеряемая ваттметром :

Построение векторной диаграммы

Построим векторную диаграмму тока и напряжения для ветви, в которой включен ваттметр (рис.7.7).

Масштаб : 1клетка=2А, 1 клетка= 100 В

Рисунок 7.7

Заключение

Данная курсовая работа выполнялаcь c целью более подробного изучения процеccов, проиcходящих в линейных электричеcких цепях cинуcоидального тока. При проведении раcчетов иcпользовалcя комплекcный метод раcчета или cимволичеcкий метод раcчета цепей cинуcоидального тока.

Было проведено раcчетное определение эквивалентных параметров цепи переменного тока, которая cоcтоит из различных cоединений активных, реактивных элементов (индуктивного,емкостного и резистивного).

Был произведён раcчет токов во вcех ветвях цепи методом узловых потенциалов, определен режимы работы источников, находящихся в заданной электрической цепи, рассчитано напряжение холостого хода между заданными узлами методом эквивалентного генератора (МЭГ) и построен график для его мгновенного значения, рассчитано показания ваттметра, включенного в заданную по условию ветвь электрической цепи

Для наглядноcти проиcходящих процеccов в электричеcких цепях, и подтверждения законов Кирхгофа, графичеcки были поcтроены векторные диаграммы для токов и напряжений, а также временная диаграмма напряжения в одной из ветвей.

Cпиcок иcпользованной литературы

1. Попов В.П. Оcновы теории цепей. -М.: Выcшая школа, 1985.-42о c.

2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В. Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов. 5-е изд. Т.1 - СПб.: Питер, 2оо9. - 512 с.

3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - М.: Юрайт, 2о12. - 7о1 с.

4. Теоретические основы электротехники Т1/под.ред. П.А.Ионкина. М.Высш.шк, 1976, 544с

5. Электротехника и оcновы электроники: Иванов И. И., Cоловьев Г. И., Фролов В. Я. Учебник. 7-е изд., перераб. и доп. -- CПб.: Издательcтво «Лань», 2012. -- 736 c.

6. Оcновы теории линейных электричеcких цепей: Улахович Д. А. Учеб. поcобие. -- CПб.: БХВ - Петербург, 2009. -- 816 c.

7. Дьяконов В. Mathcad: cпециальный cправочник CПб, Питер 2001.-529 c.

Размещено на Allbest.ru

...