Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Национальный исследовательский мордовский государственный университет имени Н.П. Огарёва

Архитектурно-строительный факультет

РЕФЕРАТ

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Содержание

Введение

1. Вывод теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме

2. Применение теоремы Гаусса к расчету электростатических полей в вакууме

Список используемой литературы

Введение

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, использую выведенную немецким ученным К. Гауссом одноименную теорему. Теорема Гаусса - один из основных законов электродинамики, выражающий связь (а именно равенство с точностью до постоянного коэффициента) между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность произвольной формы и алгебраической суммой зарядов, расположенных внутри объёма, ограниченного этой поверхностью.

1. Вывод теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме

Воспользуемся графической картиной описания электростатического поля (с помощью силовых линий), пусть густота силовых линий равна модулю Е-E, а поле однородно. Тогда вектор напряженности поля в каждой его точке имеет лишь одно направление и постоянен по величине, а линии напряженности параллельны вектору напряженности. Введем понятие потока вектора напряженности Фе.

Рис. 1. Поток вектора напряженности - Фе

Потоком вектора Е называют число силовых линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой составляет угол a с вектором Е (E_n = E cosa):

, (1)

в свою очередь

, (2)

где dS - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке,

Е_n - проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS.

Поток сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен:

, (3)

Теорема Гаусса определяет поток вектора напряжённости электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность:

Сначала рассчитаем поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в её центре, он равен:

(4)

Эта формула справедлива для замкнутой поверхности любой формы, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряжённости, пронизывающая сферу, пройдёт и сквозь эту поверхность.

Рис. 2. Расчет потока вектора напряженности для сферической поверхности радиуса r

Пусть произвольная замкнутая поверхность охватывает заряд q. Поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и, отрицательным, если линии напряженности входят в поверхность. Нечетное число пересечений при вычислении потока сводится к одному пересечению. Сформулируем теорему Гаусса для электростатического поля.

Тогда поток вектора напряжённости равен:

(5)

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен 0.

Пусть произвольная поверхность окружает N зарядов, тогда Е = SЕ_i и поток вектора напряженности:

, (6)

Формула (6) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную е ₀.

напряженность электростатический поле теорема гаусс

2. Применение теоремы Гаусса к расчету электростатических полей в вакууме

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость (рис. 3) заряжена с постоянной поверхностной плотностью -- заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны пиниям напряженности (cosб = 0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Еn совпадает с Е), т.е. равен 2ЕS. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен . Согласно теореме Гаусса (6), , откуда

(7)

Из формулы (7) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Рис. 3 - Бесконечная плоскость

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +у и -у. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рис. 4 верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние -- от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля Е = 0. В области между плоскостями Е = Е₊+Е-. (Е₊ и Е_- определяются по формуле (7)), поэтому результирующая напряженность

(8)

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (8), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

Рис. 4 - Поле двух бесконечных параллельных заряженный плоскостей

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q, заряжена равномерно с поверхностной плотностью +д. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 5). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (6), , откуда

(9)

Рис. 5 - Поле равномерно заряженной сферической поверхности

При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от r приведен на рис. 6. Если r'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).

Рис. 6 - График зависимости Е от r для поля сферической поверхности

4. Поле объемно заряженного шара

Шар радиуса R с общим зарядом Q, заряжен равномерно с объемной плотностью ( - заряд, приходящийся на единицу объема). Учитывая соображения симметрии, можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае. Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд

Поэтому, согласно теореме Гаусса (6),

Учитывая, что , получаем

(10)

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (9), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r' согласно выражению (10). График зависимости Е от r для рассмотренного случая приведен на рис. 7.

Рис. 7 - График зависимости Е от r для поля заряженного шара

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 8) заряжен равномерно с линейной плотностью ф ( - заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный заряженный цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен . По теореме Гаусса (6), при r>R , откуда

(11)

Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0.

Таким образом, напряженность поля не равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (11), внутри же его поле отсутствует.

Рис. 8 - Бесконечный цилиндр

Список используемой литературы

1. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм

2. Т.И. Трофимова Курс физики

3. А.М. Макаров, Л.А. Лунева Основа электромагнитизма

Размещено на allbest.ru