Кристалічна решітка

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теплоємність діалектрика: модель Ейнштейна і модель Дебая. При якій температурі починають виявлятися розбіжності між результатами цих моделей?

теплоємність діалектрик енергія коливання

Перед тим як переходити безпосередньо до моделі Ейнштейна та моделі Дебая треба зробити припущення, що кристалічні ґратки тіла складаються з атомів, кожний з яких робить гармонічні коливання у трьох напрямках, обумовлених структурою ґратки, причому коливання по різних напрямках абсолютно незалежні одне від одного. При цьому виходить, що кожен атом представляє собою три осцилятори с енергією E, обумовленою наступною формулою (закон Дюлонга-Пті):

Е = k_ВT.

Ця формула випливає з теореми про рівнорозподіл енергії по ступенях свободи. Кожен осцилятор має одну ступень свободи, і тому його середня кінетична енергія дорівнює k_ВT/2. Оскільки коливання відбуваються гармонічно, то й середня потенціальна енергія дорівнює середньої кінетичної, а повна енергія - відповідно їх сумі. Число осциляторів в одному молі речовини складає 3N_A, а їхня сумарна енергія чисельно дорівнює теплоємності тіла - звідси і випливає закон сталості теплопровідності (С_тв.т. = 3R).

Таким чином, найпростіше представлення про тепловий рух у кристалічній решітці зводиться до моделі незалежного осцилятора. (рис. 1)

Енергія відповідного осцилятора дорівнює: . Цей вираз описує параболічну потенціальну яму.

Квантова теорія теплоємності Ейнштейна.

Головним припущенням теорії є те, що атом-осцилятор у кристалічній решітці є квантовим, а не класичним. Крім того, осцилятори вважаються незалежними (рис. 1). Енергія квантового осцилятора з частотою н поглинається (або випромінюється) тільки порціями - квантами hн = ћщ. Схематично це показано на рис. 2 (діаграма ліворуч). У разі порівняно високої температури Т3, коли тепловий рух більш інтенсивний і середня теплова енергія решітки (kВT3) набагато перевищує квант енергії осцилятора (kВT3 >> ћщ), та обставина, що осцилятор квантовий, не має суттєвого значення, і тому виконується класичний закон Дюлонга-Пті (Е = k_ВT). Однак у разі низької температури середня енергія теплового руху вже приблизно така ж, як і енергія квантового осцилятору: kВT1 ~ ћщ. Звичайно, розподіл енергії між коливаннями решітки хаотичний, але все більша кількість квантових осциляторів не сприймають (і не випромінюють) енергію, тобто теплоємність зменшується зі зниженням температури.

Саме цей результат і був одержаний Ейнштейном. Його теорія спирається на припущення, що атоми у кристалічній решітці поводяться як гармонічні осцилятори, які не взаємодіють один з одним (тому й частота коливань всіх осциляторів однакова). Число осциляторів у одному молі речовини дорівнює 3N_А і енергія їх є квантованою: E = nћщ, n?N. Відповідно до моделі, запропонованої Ейнштейном, близько абсолютного нуля температури теплоємність прагне до нуля, а за високих температур, навпроти, виконується закон Дюлонга-Пті. Температурна залежність С(Т) у моделі Ейнштейна описується експонентою (рис. 2.14, крива 1). Однак експерименти свідчать, що насправді ця залежність у кристалах описується кубічною параболою: С~Т³ . Це означає, що у кристалічній решітці треба враховувати зв'язок між сусідніми атомами. Такі розрахунки були зроблені Дебаєм.

Модель Дебая оцінює внесок коливань решітки у теплоємність. У моделі Дебая, яка правильно пророкує за низьких температур таку теплоємність, що пропорційна T 3, враховується, що атоми-осцилятори у кристалічній решітці пружно зв'язані один з одним, і тому їх коливання залежні.

Для пояснення впливу зв'язку атомів на частоти їх коливань на рис. 3, а зображені дві моделі - вільного і зв'язаного маятників. Для вільного маятника власна частота коливань щ залежить тільки від його довжини - цей маятник імітує розглянуті вище моделі незалежного осцилятору. Ця ситуація порівнюється із двома пружно зв'язаними один з одним маятниками, коливальний процес яких вже більш складний: кожний 165 з них має однакову власну частоту щ, але й з'являється також додаткова комбінаційна частота ?. Якби маятників було три, то для такої системи виникли б три характерні частоти. Очевидно, що для n маятників (що імітують кристалічну решітку з n атомами) характерних частот коливань буде вже n + 1.

Для подальшого пояснення моделі Дебая доцільно розглянути також коливання закріпленої на кінцях струни довжиною l, рис. 3, б. Основний «тон» звуку з частотою щ0 відповідає довжині пружної хвилі л = 2l. Обертони 2щ0, 3щ0, … і так далі мають довжину хвилі відповідно l, 2l/3, … і так далі. Залежність кругової частоти щ від оберненої довжини хвилі - модуля хвильового вектору k = 2р/л - показана на рис. 3, в.

Розглядається складний рух центрів мас пов'язаних між собою N елементів решітки. Це складний рух (коливання решітки) вважається еквівалентним руху 3N незалежних одновимірних гармонійних осциляторів. Координати цих гармонійних осциляторів називаються нормальними координатами, а їх коливання називаються нормальними коливаннями. Внутрішня енергія і теплоємність твердого тіла складаються з адитивних внесків окремих нормальних коливань. Для виведення формули, яка описує залежність теплоємності від температури, необхідно знати частотний спектр нормальних коливань. Цей спектр може бути розрахований теоретично: у разі простої одноатомної решітки рішення містить три частотні (акустичних) гілки залежності щ(k), які відповідають трьом можливим незалежним орієнтаціям вектора поляризації хвиль решітки, тобто трьох типів пружних хвиль, порушених у решітці (двох поперечних і однієї поздовжньої).

Як уже відмічалося, залежність щ(k) - це закон дисперсії. У разі моделі Ейнштейна частота щЕ від k не залежить - лінія 1 на рис. 3, в. Навпаки, згідно моделі Дебая ця залежність характеризується похилою лінією 2. Залежність щD(k) така ж лінійна, як і для струни, але є й важливе обмеження: ця лінія обривається для абсцисі р/а, тобто на довжині хвилі л = 2а, тому що у кристалі немає фізичного носія для більш коротких хвиль.

Розрахунок температурної залежності теплоємності у моделі Дебая (показаний графічно на рис. 3, крива 2) дає результат, добре погоджений з експериментом. У разі теплової рівноваги енергія E набору осциляторів з різними частотами щК дорівнює сумі їхніх енергій:

де D(щ) - число мод нормальних коливань на одиницю довжини інтервалу частот, n(щ) - кількість осциляторів у твердому тілі, що коливаються з частотою щ = 2рн. На рис. 4 порівнюється розподіл частот за моделлю Ейнштейна (дельта-функція при н_Е) і згідно моделі Дебая (пунктирна лінія). Видно, що модель Дебая ближча до реального розподілу частот.

Характерна температура и_D називається температурою Дебая і вона фактично означає, що нижче її квантовий характер коливань кристалічної решітки стає визначальним. Таким чином, и_D приблизно указує на температурну границю, нижче за яку починають впливати квантові ефекти. Вважається, що за температури Дебая збуджуються практично всі моди (типи) коливань у даному твердому тілі. Під час подальшого підвищення температури нові моди коливань вже не з'являються, а лише підвищується амплітуда вже існуючих коливальних мод, тобто їхня середня енергія з ростом температури зростає. Саме до температури Дебая виявлятися розбіжності між результатами цих моделей.

2. Феноменологічна теорія Абрикосова надпровідників 2-го роду

Не вдаючись в складні математичні викладки зазначемо, що в феноменологічний теорії Абрикосова говорить про існування 2 значень зовнішнього магнітного поля (критичні поля) при проходженні якого змінюється характер провідності у надпровідників 2-го роду. До значення 1-го критичного поля надпровідник 2-го роду веде себе як звичайний надпровідник (тобто надпровідник витісняє магнітне поле зі свого об'єму, цей ефект має ще назву ефект Мейснера) . Між значеннями 1 та 2 полів магнітне поле частково проникає в надпровідник, виникають так звані вихори Абрикосово, тобто надпровідність частково руйнується. І, нарешті, після 2 критичного поля зовнішнє магнітне поле повністю проникає в надпровідник і відбувається повне руйнування надпровідності.

Розглянемо детальніше вихори Абрикосова. Вихор Абрикосова - локальна область проникнення магнітного поля в надпровідник, і, відповідно, область нормальної фази в надпровідниковій. Зазвичай вихори Абрикосова містять один квант магнітного потоку. Іноді вихори Абрикосова називають флюксонами.

Вихор складається із нормальної серцевини кора, куди проникає магнітне поле і протяжної зовнішньої області, в якій напруженість магнітного поля спадає експоненційно. Назва "вихор" зумовлена тим, що навколо кори в надпровідній фазі протікають циклічні струми, магнітне поле яких протилежне напрямку поля у вихорі й компенсує його на віддалі від серцевини.

Вихори Абрикосова в однорідному надпровіднику без дефектів утворюють ґратку, здебільшого гексагональну нестрого - трикутну. При пропусканні струму через надпровідник вихори дрейфують, однак цей дрейф може зупинитися, якщо вихор привязується до дефекта. Це привязування називають пінінгом. (рис. 5)

Формули:

1) Формула для 1-го критичного поля:

після якого значення вільної гіббсівської енергії ?G_s(H) стає <0 і вихори починають спонтанно народжуватися у НП-ІІ із зростанням поля

Размещено на Allbest.ru