Изучение частотных и временных свойств линейных цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №1

«ИЗУЧЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ И ВРЕМЕННЫХ СВОЙСТВ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ»

1. Цель лабораторной работы

Цель работы: является изучение частотных и временных свойств линейных цепей. При этом прогнозируются и рассчитываются все характеристики заданной цепи, затем выполняется опытная (компьютерная) проверка. Сравниваются расчетные и опытные данные. Важной составляющей работы является осмысление физической сути происходящих в цепи явлений.

Лабораторная работа выполняется с помощью пакета компьютерного моделирования MicroCap12.0.2.1 Evaluation (Demo).

линейный цепь частотный схема

2. Данные варианта индивидуального задания

Задание 1. Изучение трехэлементной линейной цепи.

Вариант индивидуальных заданий на лабораторную работу №1

Рис. 2.1 - Структура трехэлементной линейной цепи

3. Основной раздел работы

Задание 1

Пусть задана трехэлементная цепь рис. 3.1 и ее элементы. При численных оценках и расчетах величины элементов цепи приняты равными 2R = 1 кОм, С = 1 нФ, 2L = 1 мГн. Те же величины элементов приняты при моделировании цепи.

Рис. 3.1 - трехэлементная цепь

При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии (L и C) переходные процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка. Такую цепь называют цепью второго порядка.

Данная цепь является цепью второго порядка. Наличие катушки индуктивности на входе говорит о том, что АЧХ цепи начинается с единицы. Конечное значение АЧХ равно нулю (индуктивность на выходе цепи). Поскольку в цепи присутствуют две реактивности противоположного характера, в ней возможны резонансные явления, поэтому кривая АЧХ может содержать экстремум на некоторой частоте.

Значение ФЧХ цепи при нулевой частоте равно 0°. Физически это можно объяснить так. На самой низкой частоте входное напряжение вызывает через катушку индуктивности ток, опережающий его на 90°. Этот ток создает на индуктивности выходное напряжение, в свою очередь опережающее его на 90°. В итоге сдвиг фаз между выходом и входом цепи равен -180°. При бесконечной частоте сдвиг фаз равен нулю, поскольку цепь вырождается в единственный резистор R и вход цепи отождествляется с выходом.

Что касается поведения цепи во временной области, возможный колебательный процесс в цепи будет затухающим, поскольку резистор R вносит потери в колебательную систему. Переходная характеристика (ПХ) в начальный момент времени равна 0. Об этом ясно говорит структура цепи рис. 3.1. Конечное значение ПХ также не вызывает сомнения -- это 0. 2. Для определения комплексной передаточной функции цепи заменим элементы цепи комплексными сопротивлениями , , (рис. 3.2, а) и определим эквивалент Z параллельного соединения и :

Рис. 3.2 - а) замена элементов комплексными сопротивлениями, б) сведение цепи к делителю напряжения

С помощью рис. 3.2, б определим комплексную передаточную функцию (КПФ) цепи:

Подставляя теперь комплексные сопротивления элементов, имеем:

(3.1)

В формуле (3.1) постоянная времени цепи численно равна

а множитель

Окончательно для КПФ получаем выражение:

(3.2)

Определим модуль КПФ (АЧХ)

(3.3)

и аргумент КПФ (ФЧХ)

(3.4)

3. Изучение частотных свойств цепи проводится на основании формул (3.2, 3.3, 3.4). За переменную в этих формулах удобно принять безразмерное произведение , где величина ф постоянна и равна с, а является текущей частотой.

Рассмотрим формальные свойства выражения АЧХ (3.3). Крайние по частоте значения АЧХ: К( = 0) = 1, К( = ?) = 0. Это подтверждает сделанный в п.1 прогноз. Что касается экстремума функции АЧХ (3.3), он возможен, но в рамках лабораторной работы аналитическое исследование функции на экстремум не выполняется. Полная картина поведения АЧХ будет получена при моделировании цепи по п. 5. Формальные свойства выражения ФЧХ (3.4). Начальное значение () при = 1 равно 0°, так как второе слагаемое обращается в -180°. Далее поведение ФЧХ определяется особенностью поведения аргумента второго слагаемого. При этом имеется особая точка 1 = . Вблизи нее при 0 > 2 аргумент положителен и близок к +?, второе слагаемое близко к -30° и () > -30°. Вблизи особой точки, но справа от нее при 1 < 2 аргумент становится отрицательным, и теперь () следует считать по другой формуле:

(3.5)

Из формулы (3.5) следует, что справа от особой точки с ростом частоты ФЧХ от значения 30° стремится к -180°. Приведенный математический анализ поведения ФЧХ подтверждает сделанный в п.1 прогноз. Остается выяснить значение частоты в особой точке, что будет сделано в следующем пункте содержания работы.

4. Резонансная частота определена значениями реактивных элементов цепи С и 2L:

(3.6)

За «базовую» частоту принята частота, соответствующая равенству = 1. Эта частота удобна тем, что позволяет быстро проводить численный расчет по формулам (3.2--3.5).

(3.7)

Расчетные значения К(fР) и ?(fР) и К(nfБ) и ?(nfБ), выполненные по формулам (3.3--3.5), помещены в таблицу 3.3.

Таблица 3.3 -- Численные расчеты АЧХ и ФЧХ

5. Моделирование частотных свойств заданной цепи в пакете MicroCap 11. На рабочем столе пакета собирается схема заданной цепи, рис. 3.3.

Рис. 3.3 - Схема для моделирования частотных свойств

Рис. 3.4 - Установки в окне AC Analysis Limits

На рис. 3.5 показаны АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи с нанесенными масштабными метками.

6. Результаты моделирования цепи в частотной области подтвердили прогнозы и расчеты, приведенные в п. 1, п. 3 и п. 4. Кривая АЧХ действительно имеет экстремум, причем на частоте, отличной от резонансной частоты. Расчетные данные таблицы 3 совпадают с координатами меток, нанесенных на опытные кривые АЧХ и ФЧХ

Рис. 3.5 - АЧХ и ФЧХ заданной цепи с нанесенными масштабными метками

7. Во временной области исследуется переходная характеристика (ПХ) -- реакция заданной цепи на ступеньку. На рабочем столе пакета собирается схема заданной цепи (рис. 3.6).

Рис. 3.6 - Схема для моделирования временных свойств

Источник сигнала V1 Voltage Source выбирается из верхнего меню. В окне выбирается имя источника PWL -- Piece Wise Linear type.

Рис. 3.7 - Установка свойств источника ступеньки V1

На рис. 3.7 показаны установки этого источника. Основное здесь -- записать файл ступеньки: 0,0 10u,0 10u,1. Первая цифра в 3-х парах данных время, вторая -- высота ступеньки. Эта запись соответствует ступеньке высотой 1, начинающейся с задержкой 10 мкс от начала отсчета. Задержка удобна при наблюдении временных процессов в цепи.

По пути Analysis -- Transient открывается окно установки пределов Transient Analysis Limits (рис. 3.8). Установки уточняются после пробного запуска (Run) и ясны из рисунка

Рис. 3.8 - Установки в окне Transient Analysis Limits

Результат моделирования цепи во временной области показан на рис. 3.9. Как видно, цепь обладает колебательными свойствами, но колебания быстро затухают. Метка периода проставлена с помощью кнопки Horisontal Tag Mode в начале списка пиктограмм в нижней строке меню. Период колебания составляет около 9,08 мкс, что соответствует частоте 110,13 кГц, близкой к частоте резонанса цепи fР = 112,6 кГц. Несовпадение данных на 1% следует объяснить неточностью установки масштабной метки на графике.

Рис. 3.9 - Ступенька (а) и переходная характеристика цепи исследуемой цепи (б)

Сопоставление графиков рис. 3.5 и рис 3.9 подтверждает предельные соотношения между АЧХ и ПХ: АЧХ(0) = ПХ(?) и АЧХ(?) = ПХ(0).

Задание 2. Изучение четырехэлементной линейной цепи.

Рис. 2.2 - Структура четырехэлементной линейной цепи

Пусть заданы четырехэлементная цепь (рис. 3.9) и ее элементы. При численных оценках и расчетах величины элементов цепи приняты равными R = 1 кОм, С = 1 нФ, L = 1 мГн. Те же величины элементов приняты при моделировании цепи.

Рис. 2.3 - Пример четырехэлементной цепи

1. Данная цепь является цепью второго порядка. Поскольку в цепи присутствуют две реактивности противоположного характера, в ней возможны резонансные явления, поэтому кривая АЧХ может содержать экстремум на некоторой частоте.

Поведение ФЧХ цепи спрогнозировать сложно. Можно лишь предположить, что цепь такого характера и структуры (наличие L и С в последовательной ветви) имеет поведение ФЧХ колебательного контура, т. е. меняется от 90° до -90°. Опыт позволит проверить эту догадку.

Что касается поведения цепи во временной области, возможный колебательный процесс в цепи будет затухающим, поскольку резисторы вносят потери в колебательную систему. Переходная характеристика (ПХ) в начальный момент времени равна 0 (индуктивность на входе). Конечное значение ПХ также не вызывает сомнения -- это 0 (постоянное напряжение тока через конденсатор не вызывает).

2. Для определения комплексной передаточной функции цепи заменим элементы цепи комплексными сопротивлениями , , (рис. 3.10, а) и определим эквивалент сопротивления Z (рис. 3.11, б):

Рис. 2.4 -- К расчету КПФ: а -- замена элементов цепи комплексными сопротивлениями, б -- к определению передаточной функции К1(щ), в -- к определению передаточной функции К12(щ)

С помощью рис. 2.4, б определим комплексную передаточную функцию в узел 1 К1(щ):

Передаточная функция из узла 1 в узел 2 равна (рис. 2.4, в)

В итоге КПФ цепи К(щ) равна произведению промежуточных передаточных функций •:

Подставляя теперь комплексные сопротивления элементов, имеем:

Учитывая, как и раньше численные данные , а множитель , окончательно для КПФ получаем выражение:

Определим модуль КПФ (АЧХ)

и аргумент КПФ (ФЧХ)

3. Изучение частотных свойств цепи проводится на основании формул (3.9, 3.10, 3.11, 3.13). За переменную в этих формулах принято безразмерное произведение , где величина постоянна и равна с, а является текущей частотой. Формальные свойства выражения АЧХ (3.10). Крайние по частоте значения АЧХ: К( = 0) = 0, К( = ?) = 0. Это подтверждает сделанный в п. 1 прогноз. Экстремум АЧХ имеет место на частоте fмакс, определяемой из выражения КПФ (3.9):

Эта частота равна

При этом высота АЧХ достигает значения 0,5. Формальные свойства выражения ФЧХ (3.11). Начальное значение ?(щф) при щф = 0 равно 90°, так как второе слагаемое обращается в ноль. Далее поведение ФЧХ определяется особенностью поведения аргумента второго слагаемого. При этом имеется особая точка 1 = +1. Вблизи нее при 1 > аргумент положителен и близок к +?, второе слагаемое близко к 90° и ?(щф) > 0°. Вблизи особой точки, но справа от нее при 1 < аргумент становится отрицательным и теперь ?(щф) следует считать по другой формуле:

(3.13)

Из формулы (3.13) следует, что справа от особой точки с ростом частоты ФЧХ от значения 0° стремится к -90°. 4. Резонансная частота определена значениями реактивных элементов цепи С и 2L:

 (3.14)

«Базовая» частота fБ остается прежней:

(3.15)

Расчетные значения К(f0.5) и ?(fмакс) и К(nfБ) и ?(nfБ), выполненные по формулам (3.10, 3.13), помещены в таблицу 3.4.

Таблица 2.4 -- Численные расчеты АЧХ и ФЧХ

5. Моделирование частотных свойств заданной цепи в пакете MicroCap 11. На рабочем столе пакета собрать схему заданной цепи (рис. 2.5). Открыть окно (рис. 2.6) частотного анализа и сделать ряд установок, видных на рисунке. Процедура и смысл этих установок были описаны ранее.

Рис. 2.5 -- Моделирования в частотной области, схема для моделирования.

Рис. 2.6 -- Моделирования в частотной области, установки в окне AC Analysis Limits

Запустить моделирование и вывести на рабочий стол графики АЧХ и ФЧХ, на которых пока нет масштабных меток. Выставить и закрепить необходимые метки на всех характерных частотах, как было описано ранее. Результат моделирования показан на рис. 2.6.

Рис. 2.7 -- АЧХ и ФЧХ заданной цепи с нанесенными масштабными метками

6. Результаты моделирования цепи в частотной области подтвердили прогнозы и расчеты, приведенные в п. 1, п. 3 и п. 4. Кривая АЧХ имеет экстремум на частоте = 137 кГц, отличной от резонансной частоты fР = = 112,5 кГц. Такое противоречие может быть пояснено крайне слабыми резонансными свойствами данной цепи. Моделирование во временной области способно подтвердить эту догадку. Расчетные данные таблицы 2.4 совпадают с координатами меток, нанесенных на опытные кривые АЧХ и ФЧХ, что говорит о верности расчетных соотношений (3.9, 3.10, 3.11, 3.13).

7. Во временной области исследуется переходная характеристика (ПХ) -- реакция заданной цепи на ступеньку. На рабочем столе пакета собирается схема заданной цепи рис. 2.8, и выполняются установки, значения которых показаны на рис. 2.9.

Рис. 2.8 - схема для моделирования

Рис. 2.9 - установки в окне Transient Analysis Limits

Результат моделирования цепи во временной области показан на рис. 2.10. Как видно, цепь практически не обладает колебательными свойствами. На ПХ проставлены две координатные метки -- экстремального значения и максимального отрицательного размаха кривой (-4m), который составляет около 1% от экстремума. Это говорит о том, что характер свободных колебаний в цепи является практически апериодическим

Рис. 2.10 -- Ступенька (а) на входе цепи и переходная характеристика (б) исследуемой цепи

8. В итоговом заключении можно утверждать, что прогнозные и расчетные данные подтверждены опытами при выполнении обоих заданий лабораторной работы.

Выводы

В результате выполненной лабораторной работы приобретены навыки в изучение частотных и временных свойств линейных цепей. Прогнозируются и расчеты характеристик заданной цепи, выполнение опытных проверок. Сравнение расчетных и опытных данных.

Размещено на Allbest.ru