Определение токов в ветвях схемы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

кирхгоф ваттметр ток амплитуда

1. Задание и выбор варианта для его выполнения

2. Расчет электрической цепи на гармоническом токе

2.1. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа

2.2. Расчет токов во всех ветвях цепи гармонического тока

3. Расчет комплексных амплитуд потенциалов точек схемы. Построение топографической диаграммы электрической цепи и векторной диаграммы токов

4. Построение временной функции одного из токов ветвей

5. Определение показаний ваттметра

5.1 Определение показаний ваттметра использованием комплексных выражений для токов и напряжений

5.2 Определение показаний ваттметра использованием временных функций токов и напряжений

Библиографический список

1. Задание и выбор варианта для его выполнения

Номером варианта являются последние две цифры зачетной книжки или студенческого билета (от 01 до 00). В соответствии с этим номером следует произвести выбор данных, необходимых для выполнения задания, из табл. 1.1.

Рис. 1.1. Электрическая схема цепи, в которой следует рассчитать токи

После этого следует перерисовать электрическую схему, показанную на рис. 1.1, которую следует рассчитать, с учетом того, что на этой схеме следует изображать только те источники ЭДС, сопротивления, емкости и индуктивности, для которых в табл. 1.1 заданы те или иные значения.

Бесконечно большое значение емкости или нулевое значение индуктивности, указанное в табл. 1.1, означает, что вместо емкости или индуктивности можно включить закоротку. Если в соответствующем столбце табл. 1.1 имеется прочерк напротив значения ЭДС, то это означает, что этого источника ЭДС в схеме нет, и вместо него также можно включить закоротку.

Для выбранного варианта задания требуется выполнить следующее:

1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы, записав её в двух формах:

а) для мгновенных значений (в виде временных функций);

б) для комплексных амплитуд или комплексных действующих значений.

2. Любым из известных методов определить комплексные амплитуды токов во всех ветвях схемы. Полученные значения проверить законами Кирхгофа. Погрешность расчетов не должна превышать 5%.

3. Рассчитать комплексные амплитуды потенциалов точек, обозначенных на схеме рис. 1.1. Построить топографическую векторную диаграмму напряжений, наложив на нее векторную диаграмму токов всех ветвей.

4. Используя результаты расчетов токов ветвей схемы, записать для любого тока его мгновенное значение и построить график этой функции для одного периода колебаний.

5. Определить показания ваттметра, включенного в схеме рис. 1.1.

В качестве напоминания заметим, что величина есть круговая частота заданных колебаний, измеряемая в [град/с] или в [рад/с], и равная:

, (1.1)

где - заданное в табл. 1.1 (столбец 14) значение рабочей частоты, [Гц].

Таблица 1.1

№ варианта	Величины элементов схемы	Величины ЭДС, В.	Часто- та, кГц
	Сопротивления, Ом.	Индуктивности, мГн.	Ёмкости, нФ.
1	1	1	1	1	4	1		1	0,25	2cos(+300)	8cos(-600)	-6sin	159
2	1	1	2	0	5	3	1	0,25	0,5	6sin	2cos(+450)	9sin(-600)	159
3	1	1	1	7	0	3	0,125	1	0,25	2sin(-450)	4cos(+300)	-5sin	159
4	1	1	1	3	4	1	0,25	0,2		2sin (-600)	6cos	-8sin(+450)	159
5	1	1	1	1	1	1		0,5	0,25	2cos(+600)	4cos	4sin(+300)	159
6	1	1	2	3	0	4	0,125	0,5	0,05	6cos(- 300)	7cos	-4sin(+600)	318
7	1	3	1	2	1	0	0,1	0,5	0,5	4cos	4cos(-600)	-3sin(-300)	318
8	1	1	1	0	2,5	2	0,5	0,125	0,1	8cos(+300)	9cos	3sin(+600)	318

2. Расчет электрической цепи на гармоническом токе

кирхгоф ваттметр ток амплитуда

2.1 Составление системы уравнений по законам Кирхгофа

Для цепей гармонического тока уравнения Кирхгофа могут быть записаны в двух формах:

а) для мгновенных значений токов , , (в виде временных функций);

б) для комплексных амплитуд токов , , или комплексных действующих значений токов , , :

, (2.1.1)

, (2.1.2)

. (2.1.3)

Чтобы записать уравнения первого и второго законов Кирхгофа для анализируемой цепи рис. 1.1, обозначим направления токов , , в ветвях этой цепи (см. рис. 2.1.1).



Рис. 2.1.1. Схема анализируемой цепи с обозначенными на ней направлениями токов ветвей

Для анализируемой схемы рис. 2.1.1 для мгновенных значений (в виде временных функций) можно записать два уравнения второго закона Кирхгофа и одно уравнение первого закона Кирхгофа. Обходя каждый из контуров цепи рис. 2.1.1 по часовой стрелке, а также беря втекающие в узел ”b” токи ветвей со знаком “плюс”, получим систему уравнений:

. (2.1.4)

Поскольку решать такую систему интегро-дифференциальных уравнений сложно, переходят к использованию метода комплексных амплитуд. При этом записываются комплексные амплитуды токов, напряжений и комплексные сопротивления пассивных элементов (сопротивлений, ёмкостей, индуктивностей), что позволяет перейти к системе комплексных алгебраических уравнений. Такая система для нашей схемы будет иметь вид:

, (2.1.2)

где: , , - комплексные амплитуды источников ЭДС гармонического тока , , , соответственно, [В]; , , - комплексные амплитуды искомых гармонических токов ветвей , , , соответственно, [А]; , , - активные сопротивления ветвей схемы рис. 2.1.1, [Ом]; , , - комплексные (реактивные) сопротивления индуктивностей ветвей схемы рис. 2.1.1, [Ом]; , , - комплексные (реактивные) сопротивления ёмкостей ветвей схемы рис. 2.1.1, [Ом]; (подробнее см. [5, 6]).

2.2 Расчет токов во всех ветвях цепи гармонического тока

Как и ранее для цепей с источниками постоянного тока, расчет электрической цепи с источниками гармонического тока можно проводить одним из следующих способов:

- использованием непосредственно законов Кирхгофа;

- методом контурных токов (МКТ);

- методом узловых потенциалов (МУП);

- методом эквивалентного генератора (МЭГ), включающим, при необходимости, метод преобразования треугольника в звезду.

Прежде всего, выберем наиболее рациональный из перечисленных методов расчета. При использовании системы уравнений (2.1.2), составленных по законам Кирхгофа, число этих одновременно решаемых уравнений будет равно числу неизвестных токов ветвей, то есть, трем. При использовании метода контурных токов число уравнений системы будет равно числу контурных токов, то есть, для нашей схемы это два. При использовании же метода узловых потенциалов, число уравнений будет равно числу независимых узлов, то есть, одному (при этом один из узлов необходимо заземлить). Таким образом, наиболее эффективно решать поставленную задачу, используя метод узловых потенциалов. Дополнительным преимуществом при этом будет то, что проверять результаты расчета, проведенного методом узловых потенциалов, следует уравнениями первого законы Кирхгофа, то есть, такая проверка наиболее проста.

Использование метода эквивалентного генератора в данном случае также сводится к вопросу об использовании законов Кирхгофа, МКТ или МУП, так как в МЭГ также придется определять токи во всех ветвях цепи.

Таким образом, для нашего случая наиболее рациональным является использование метода узловых потенциалов, для чего следует составить соответствующее уравнение метода узловых потенциалов для рассчитываемой схемы рис. 2.1.1. Для этого, перерисуем схему рис. 2.1.1 с учетом необходимости заземления одного из узлов схемы (пусть это будет, например, узел “a”) и с учетом того, что гармонические ЭДС и искомые токи представлены для удобства расчета в комплексной форме. Тогда схема примет вид, показанный на рис. 2.2.1. Заметим, что заземление узла “a” означает, что его потенциал принят равным нулю, то есть, выполняется условие:

, (2.2.1)

где - комплексное значение потенциала узла “a”, [В].

Рис. 2.2.1. Схема анализируемой цепи с заземленным узлом “a”

Составление уравнения метода узловых потенциалов для анализируемой цепи рис. 2.2.1 начнем со следующего рассуждения. Если бы нам были известны комплексные амплитуды потенциалов точек “a” и ”b” и , соответственно, то токи ветвей можно было бы легко найти, так как ток ветви равен комплексной амплитуде падения напряжения на ветви (разности потенциалов между точками “a” и ”b” схемы рис. 2.2.1), деленной на комплексное сопротивление соответствующей ветви, с учетом комплексной амплитуды напряжения источника, расположенного в этой ветви. Далее для упрощения изложения мы будем оперировать понятием “комплекс” тока или напряжения, имея в виду его “комплексную амплитуду”. Итак, комплексы токов ветвей равны:

, (2.2.2)

, (2.2.3)

. (2.2.4)

Если эти выражения (2.2.2) - (2.2.4) подставить в выражение первого закона Кирхгофа - третье уравнение системы (2.1.2), то можно получить уравнение метода узловых потенциалов для анализируемой схемы рис. 2.2.1:

. (2.2.5)

Учитывая нулевой потенциал узла “a” схемы рис. 2.2.1 (выражение (2.2.1)), получим:

. (2.2.6)

Введем вспомогательные обозначения комплексных проводимостей первой, второй и третьей ветвей , , , соответственно:

, (2.2.7)

, (2.2.8)

. (2.2.9)

Выражая из (2.2.6) потенциал узла ”b” схемы рис. 2.2.1, с учетом обозначений (2.2.7) - (2.2.9), имеем:

. (2.2.10)

Подставив численные значения комплексов в выражение (2.2.10), получим комплексное значение потенциала точки ”b” схемы рис. 2.2.1. После этого легко найти комплексы токов ветвей из выражений (2.2.2) - (2.2.4).

Проверку результатов расчета схемы рис. 2.2.1, проведенного методом узловых потенциалов, следует осуществить подстановкой полученных численных значений комплексов токов ветвей в уравнение первого закона Кирхгофа - третье уравнение системы (2.1.2). Допустимая относительная погрешность расчетов составляет 5%.

3. Расчет комплексных амплитуд потенциалов точек схемы. Построение топографической диаграммы электрической цепи и векторной диаграммы токов

Поскольку величины комплексов токов всех ветвей цепи рис. 2.2.1 уже определены, можно определить комплексы потенциалов точек схемы. Для этого выберем направление обхода контуров схемы рис. 2.2.1, например, по часовой стрелке, и, начиная с узла “a”, определим комплексы потенциалов всех точек цепи, следуя уравнениям второго закона Кирхгофа (см. первое и второе уравнения системы (2.1.2)). Для удобства и наглядности перерисуем схему анализируемой цепи рис. 2.2.1 в таком виде, чтобы на ней были обозначены полярности всех точек (по принципу “откуда течет ток - там “плюс”; куда течет ток - там “минус”” для пассивных элементов цепи, и “ток течет от минуса к плюсу” - для источников) - см. схему рис. 3.1.

Рис. 3.1. Схема анализируемой цепи с обозначенными на ней полярностями всех точек цепи

Тогда в общем виде комплексные потенциалы точек первой ветви схемы рис. 3.1 равны:

, (3.1)

, (3.2)

, (3.3)

, (3.4)

. (3.5)

Учитывая (3.1), комплексные потенциалы точек второй ветви схемы рис. 3.1 равны:

, (3.6)

, (3.7)

, (3.8)

. (3.9)

Аналогично выражениям (3.1) - (3.5) для комплексных потенциалов точек первой ветви, и выражениям (3.6) - (3.9) для комплексных потенциалов точек второй ветви, комплексные потенциалы точек третьей ветви схемы рис. 3.1 равны:

, (3.10)

, (3.11)

, (3.12)

. (3.13)

После того, как при помощи выражений (3.1) - (3.13) определены комплексы потенциалов всех точек схемы рис. 3.1, следует приступить к построению топографической диаграммы анализируемой цепи. Топографическая диаграмма представляет собой векторную сумму потенциалов точек схемы при обходе схемы по каждой из ветвей. Для её построения следует изобразить декартову систему координат, на вертикальной и горизонтальной оси которых выбирают масштаб по напряжению (например, справа по вертикальной оси и сверху по горизонтальной оси - масштаб по потенциалам точек схемы в [В]). На этих же осях выбирают масштаб по токам ветвей (соответственно, слева по вертикальной оси и снизу по горизонтальной оси, в [А]). Затем в этой системе координат в соответствии с выбранным масштабом изображают комплексы рассчитанных выше потенциалов всех точек схемы (это будет векторная топографическая диаграмма цепи), а также векторную диаграмму токов ветвей схемы. Пример такого построения приведен ниже на рис. 3.2 (численные значения токов и напряжений рассчитаны для одного из вариантов задания).

Рис. 3.2. Пример построения векторной топографической диаграммы напряжений анализируемой цепи (векторы напряжений показаны сплошными линиями), совмещенной с векторной диаграммой токов (векторы токов показаны пунктирными линиями)

Как видно на рис. 3.2, обход схемы электрической цепи по любой из ветвей, приводит из точки “a” в точку “b”; таким образом, видно, что уравнения второго закона Кирхгофа выполняются. Векторная диаграмма токов также представляет собой замкнутую фигуру, что подтверждает выполнение первого закона Кирхгофа. Таким образом, выполняются уравнения системы (2.1.2).

4. Построение временной функции одного из токов ветвей

Для построения временной функции выберем один из рассчитанных ранее токов. Пусть, например, это будет ток первой ветви. Его комплексное значение в общем виде в алгебраической форме:

, (4.1)

где: - реальная (действительная) часть комплекса тока первой ветви ; - мнимая часть комплекса тока первой ветви .

Первый ток в показательной форме комплексных чисел:

, (4.2)

где: - модуль (абсолютная величина) комплекса тока первой ветви, [А], равная:

, (4.3)

- начальная фаза гармонического колебания тока первой ветви, [рад], равная:

. (4.4)

Записав найденный ранее комплекс тока первой ветви в алгебраической (4.1) и показательной (4.2) формах, можно перейти к записи этого тока во временной форме . Это можно сделать в синусоидальных проекциях (если изначально при вводе исходных данных комплексы были получены из синусоидальных проекций гармонических функций источников ЭДС):

, (4.5)

либо в косинусоидальных проекциях (если изначально при вводе исходных данных комплексы были получены из косинусоидальных проекций гармонических функций источников ЭДС):

, (4.6)

где: - амплитуда гармонических колебаний тока первой ветви, [А], равная модулю комплекса тока первой ветви (4.3):

. (4.7)

Круговая частота , [рад/с], определится из выражения (1.1); время , [с], в выражении , есть текущая величина, меняя которую в пределах от 0 до , [с], можно будет построить график временной зависимости тока первой ветви . Величина есть период колебаний, равный:

. (4.8)

Величину начальной фазы гармонических колебаний тока первой ветви определим из выражения (4.4). После того, как определены все величины, входящие в выражение (4.5) или (4.6) гармонической функции тока первой ветви, можно построить графически эту гармоническую функцию. Для этого в декартовой системе координат по горизонтальной оси будем откладывать время в пределах от 0 до , [с], а по вертикальной оси - величину тока, полученную из выражений (4.5) или (4.6), [А].

Например, пусть изначально источники ЭДС заданы в виде синусоидальных гармонических функций. Тогда для определения временной зависимости следует воспользоваться выражением (4.5). Положим, что при расчете величины по выражениям (4.1)-(4.8) получилась следующая функция:

, (4.9)

что соответствует исходно заданной частоте колебаний Гц, период колебаний составит [с]. Тогда пределы построения графика по горизонтальной оси (оси времени ) составят от 0 до 0,04 с. Величина начальной фазы колебаний в соответствии с (4.9) составляет , амплитуда колебаний [А] (соответствует максимальному размаху колебаний тока первой ветви в области положительных, “с плюсом”, и в области отрицательных, “с минусом”, амплитуд). Тогда график временной зависимости тока первой ветви будет иметь вид, показанный на рис. 4.1.



Рис. 4.1. График временной зависимости тока первой ветви анализируемой цепи

Для удобства на графике рис. 4.1 сверху горизонтальной оси отложены координаты времени в секундах, снизу оси - координаты времени в долях периода . Кроме того, на графике обозначено значение начальной фазы колебаний.

5. Определение показаний ваттметра

На схеме рис. 3.1 ваттметр обозначен символом W. Подключение ваттметра через клеммы (см. рис. 5.1 и рис. 3.1) производится последовательно в цепь, в которой течет ток, мощность которого следует измерить (в данном случае, это цепь тока третьей ветви ). Клеммами ваттметр подключается параллельно цепи к узлам и , таким образом снимая напряжение с цепи. В соответствии с таким подключением ваттметра в цепь (имеется в виду ваттметр, работающий на токах Фуко), последовательная обмотка ваттметра (клеммы ) называется токовой, а параллельная (клеммы ) - обмоткой напряжения. Конструктивно в ваттметре эти обмотки расположены перпендикулярно друг другу. При прохождении тока в третьей ветви схемы рис. 3.1, между токовой обмоткой и обмоткой напряжения возникают вихревые токи (токи Фуко), которые заставляют вращаться диск, выполненный из электропроводящего, но не магнитного материала (как правило, из алюминия). Этот диск, в свою очередь, механически связан со счетчиком, отградуированным в единицах потребляемой электроэнергии ().

Рис. 5.1. Обозначение ваттметра на схеме и подключение его в электрическую цепь

Подробно рассматривать мощность гармонического тока в настоящем пособии нет смысла; такое рассмотрение подробно проведено в другой учебно-методической литературе [3-6]. Здесь мы лишь напомним, что ваттметр измеряет активную мощность (то есть ту, которая в конечном итоге превращается в тепло, или потребляется). Эту мощность можно рассчитать двумя способами:

- используя комплексные выражения для токов и напряжений (в нашем случае это комплекс тока третьей ветви и комплекс напряжения на цепи );

- используя временные функции токов и напряжений (тока третьей ветви и падения напряжения на цепи ).

5.1 Определение показаний ваттметра использованием комплексных выражений для токов и напряжений

Как уже говорилось выше, подробно вопрос о мощности гармонического тока рассмотрен в известной учебно-методической литературе [3-6]. Воспользовавшись результатами этих рассмотрений, запишем выражения для определения активной мощности гармонического тока через известные комплексы токов и напряжений в цепи. Активная часть мощности гармонического тока может быть определена из следующего выражения (см., например, [5,6]):

, (5.1.1)

где: - комплекс действующего значения тока той ветви, в которую включена токовая обмотка ваттметра, [А]; в нашем случае это величина:

, (5.1.2)

где: - рассчитанное ранее амплитудное значение комплекса тока третьей ветви, [А];

- действующее значение тока ветви, в которую включен ваттметр, комплексно сопряженная с величиной , [А];

- комплекс действующего значения напряжения на цепи, [B]; в нашем случае это комплекс действующего значения напряжения между узлами и схемы цепи рис. 3.1, причем положительное направление этого напряжения должно совпадать с выбранным положительным направлением тока третьей ветви, то есть:

, (5.1.3)

где: - амплитудное значение падения напряжения между узлами и схемы цепи рис. 3.1, [В].

- величина, комплексно сопряженная с , [В].

5.2 Определение показаний ваттметра использованием временных функций токов и напряжений

Кроме использования комплексных величин токов и напряжений, для расчета мощности гармонического тока можно использовать выражения для этих токов и напряжений, записанные в виде функций времени [3-6]. При этом активная составляющая мощности в анализируемой нами цепи (показания ваттметра) может быть определена следующим образом:

, (5.2.1)

где: - амплитуда напряжения между узлами и , [В]; - амплитуда тока третьей ветви, [А]; - сдвиг фаз (разница фаз) между напряжением и током , [град] или [рад]:

, (5.2.2)

где - фаза напряжения на цепи ; - фаза тока .

Реально оценить взаимное расположение векторов напряжения на цепи и тока третьей ветви можно на рис. 3.2.

Заметим, что величины активной мощности, рассчитанные по выражениям (5.1.1) и (5.2.1) должны совпасть.

Библиографический список

1. Основы теории цепей. Методические указания и контрольные задания для студентов радиотехнического факультета спец. 0701 “Радиотехника”.-Сост. Ю.А. Мантейфельд, А.Д. Суслов. М.: МИРЭА.-1980.-48 с.

2. Основы теории цепей. Программа, контрольные задания и методические указания к выполнению лабораторных работ № 6-9 для студентов специальности 0701 “Радиотехника”.-Красноярск: Изд. КПИ.-1984.-31 с.

3. Основы теории цепей. Методические указания по выполнению расчетно-графических заданий №1-2 для студентов радиотехнического факультета. Сост. В.И.Вепринцев. Красноярск: Изд-во КГТУ, 2000. 64 с.

4. Шебес, М.Р., Каблукова, М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособ. для электротехнич., радиотехнич. Спец. вузов.-4-е изд. перераб. и доп.-М.: Высш. шк., 1990.-544 с.: ил.

5. Основы теории цепей: учебник для вузов / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. - 5-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

6. Теория линейных электрических цепей: учебник для вузов / Б. П. Афанасьев, О. Е. Гольдин, И. Г. Кляцкин, Г. Я. Пинес. - М.: Высш. шк., 1973. - 592 с.

Размещено на Allbest.ru

...