Аналитические модели в условиях отсутствия априорной информации об объекте

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Санкт-Петербургский горный университет»

Кафедра геофизических и геохимических методов поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

Отчет по практической работе

По дисциплине: Разведочная геофизика

Аналитические модели в условиях отсутствия априорной информации об объекте

Выполнил(а):

студент группы РФ-20

Алексеев У.Д.

Проверил(а):

доцент Мовчан И.Б.

Санкт-Петербург

2021



Аннотация

Данная работа представляет собой отчет по практическому заданию, выполненный в рамках учебной дисциплины «Разведочная геофизика». В процессе выполнения практической работы были применены способы решения дифференциальных разделяемых уравнений.

Задача делится на 2 части. В первой части работы был построен графический образ, отражающий закономерность вытекания жидкости во времени. Во второй части была найдена температура внутри твердой шаровой оболочки. Также было определено количество теплоты, отдаваемое во внешнее пространство за 1 секунду.

Для решения задач использовались прикладные программы, такие как: MSExcel.

Данный отчет содержит в себе: 14 страниц, 3 рисунка.



Оглавление

дифференциальный уравнение теплота пространство

Аннотация

Введение

1. Теоретический разбор процессов, представленных в данной задаче

2. Решение задач

Заключение

Список литературы



Введение

Жизнь любого человека сопровождается процессами моделирования и различными моделями. Использование различных учебных пособий, макетов в школьные годы, проведение лабораторных экспериментов, расчетов в студенческие годы, разработка чертежей, проектирование и расчет реальных устройств и процессов, построение теорий различного рода и назначения - примеры использования моделей и моделирования, когда реальные объекты и процессы заменяются их отображениями (моделями, описаниями и т.д.). Если кратко охарактеризовать моделирование, то оно заключается в замене реальной системы (процесса, явления) моделью, которая находится с ней (с ними) в некотором соответствии и способна воспроизводить интересующие исследователя свойства или характеристики реальной системы. Безусловно, моделирование является не единственным методом изучения окружающего нас мира. Но роль моделирования в науке, в исследованиях инженерных, организационных, экономических объектов и систем и, вообще, в жизни человека, весьма велика. Можно утверждать: познание любого объекта, системы, процесса, явления сводится, по существу, к созданию его (ее) модели.

Познание и изучение окружающего нас мира можно осуществлять различными способами и методами. Но при исследовании различных сложных объектов, явлений, процессов, при создании, организации и оптимизации сложных систем метод моделирования является одним из самых мощных методов. Так, перед изготовлением любого технического устройства или сооружения разрабатывается его модель-проект, человек, прежде чем совершить что-либо, обдумывает возможную последовательность действий и возможные последствия этих действий, организуя взаимодействие множества объектов, т.е. организуя деятельность некоторой системы, человек организует систему так, чтобы получить максимальный эффект от деятельности такой системы и т.д. Причиной все более расширяющегося применения моделей является то, что процессы, происходящие в модели, можно регистрировать, проверять их соответствие результатам теоретического анализа, заменять аналитические расчеты процессов их непосредственным наблюдением, т. е. эффективно решать все основные задачи экспериментального исследования.

Можно отметить и другой существенный фактор, способствующий значительному повышению интереса к методам моделирования как в науке и технике, так в других областях, - это развитие и широкое распространение средств вычислительной техники. С помощью моделей, реализованных на компьютере, можно изучать новые явления, решать практически все задачи анализа и проектирования сложных систем, осуществлять выбор наилучших вариантов решений, выполнять анализ и прогнозирование поведения технических систем и решать множество других задач.

Пятьдесят лет назад слова «модель», «моделирование» были известны только очень узкому кругу высокопрофессиональных специалистов, связанных или с исследованием сложных физических и природных процессов и явлений, или с созданием сложных технических объектов (в основном, как правило, военного назначения). Сегодня слова «модель» и «моделирование» известны даже школьникам, используются в обычной жизни и уже не воспринимаются как узкоспециальные термины. Компьютерные информационные технологии расширили возможности моделирования, и сегодня трудно представить научно-исследовательскую и серьезную проектную деятельность без использования методологии и современных средств построения и использования моделей. Можно констатировать, что за последние десятилетия моделирование оформилось в самостоятельную междисциплинарную область знаний со своими объектами, закономерностями, подходами и методами исследования и относится к общим методам научного познания.

Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Под понятием аналитическая модель понимается следующее: модель, позволяющая получить явные функциональные зависимости для искомых величин или определить численные решения для конкретных начальных условий и количественные характеристики модели.

Составлением таких моделей в отсутствии априорных данных занимается современная геофизика, в виду того, что заказчик не имеет доступа к ней или же не проводил геологические, геофизические изыскания или же не проводил бурение скважины. Однако ситуация, на первый взгляд безвыходная, является вполне выполнимой, так как имея хотя бы общеизвестные данные, а также зная законы физики и имея умение решать математические уравнения, можно решить задачу. Для решения задач без какой-либо априорной информации на помощь приходят методы аппроксимации, экстраполяции, дифференциальные уравнения, математические ряды, фильтры.

Актуальность данной темы высока, так как не всегда удается определить те или иные показатели, а задачу решить нужно, иначе могут произойти непредвиденные ситуации.

Целью данной работы является изучение принципов работы с аналитическими моделями в отсутствии априорных данных, умение работать с ними, а также извлечение полезной информации из задач.



1. Теоретический разбор процессов, представленных в данной задаче

В 1 задаче рассматривается процесс вытекания жидкости из сосуда. Наука, изучающая движение жидкости, называется гидродинамика. Для того, чтобы подойти к уравнению вытекания жидкости из сосуда нужно ознакомиться с законом Бернулли.

Движения невязкой жидкости вдоль линии тока. В покоящейся жидкости действуют и дают уравновешенную систему два рода сил:

? силы тяжести (и другие массовые силы);

? разности сил давлений.

Эти же силы действуют и в движущейся жидкости, но здесь к ним присоединяется еще трение жидкости, которое следует рассматривать как сопротивление деформации. Предположим также, что рассматриваемая нами идеальная жидкость обладает также свойством несжимаемости, следовательно, никаких изменений объема при движении не происходит.

Для того чтобы найти соотношение между давлением и массовой силой, с одной стороны, и кинематическими величинами, с другой, будем исходить из основного закона динамики: результирующая всех действующих на выделенный объем жидкости сил равна массе умноженной на ускорение.

Выделим в движущейся жидкости частицу в виде небольшого цилиндра с осью, расположенной вдоль линии тока (рис. 1).

Рис. 1. Баланс сил при движении невязкой жидкости вдоль линии тока



Пусть давление на основание цилиндра, расположенное выше по течению, равно р, тогда сила, действующая на это основание, равна pdF. На основании цилиндра, лежащем ниже по течению, давление отличается от р на величину dр и равно:

(1)

Следовательно, за счет разности давлений на выделенный цилиндр действует сила давления, равная

(2)

Кроме силы давления на жидкость действует массовая сила (например, сила тяжести), величина которой, отнесенная к единице массы, пусть будет g. На выделенный цилиндр действует в направлении течения составляющая этой силы, равная

(3)

гдеб - угол между линией действия массовой силы и линией тока

Теперь нам остается определить составляющую ускорения в направлении течения, т. е. касательное ускорение. Пусть скорость частицы равна . Величина w зависит от положения частицы на линии тока и от времени, следовательно, она является функцией от s и t.

Поэтому для касательного ускорения мы будем иметь выражение:

(3)



окончательно получим:

(4)

Массовой силой обычно является только одна сила тяжести. Тогда величину g можно считать постоянной по модулю и направлению.

Введем систему координат с осью z, направленной вертикально вверх ().

Рис. 2

Из рис. 2 видно, что в этом случае

(5)

Соответственно (4) можно преобразовать к виду

(6)

Уравнение (6) и есть искомое уравнение невязкой несжимаемой жидкости в одномерном представлении.

Если рассматриваемое движение установившееся (т. е. последний член в уравнении (6) равен нулю), и среда несжимаемая (т.е. плотность постоянная), то все члены уравнения (6) представляют собой производные по s, и поэтому его можно интегрировать вдоль линии

(7)

Интегрирование приводит к следующему так называемому уравнению Бернулли:

(8)

где:

плотность жидкости,

w - скорость потока,

g - гравитационная постоянная,

z - высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

p - давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости.

Уравнение (8) является основным уравнением при одномерном рассмотрении задач о движении жидкостей, но в то же время оно имеет фундаментальное значение для всей гидромеханики. . Оно выражает собой закон сохранения содержащейся в единице массы механической энергии движущейся жидкости, а именно: первый член есть не что иное, как работа сил давления, второй - потенциальная энергия силы тяжести и третий - кинетическая энергия.

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например, труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины -- гидравлики.

Применение уравнения Бернулли к потоку вязкой жидкости становится возможным при соблюдении следующего условия: течение жидкости в рассматриваемых сечениях должно быть плавно изменяющимся.

Изучением явления вытекания жидкости из сосуда занимался итальянский физик Эванджелиста Торричелли. В 1643 году он обнаружил, что скорость вытекания жидкости через малое отверстие на дне открытого сосуда описывается формулой:

, (9)

где: h - высота уровня жидкости над отверстием

Получение этой формулы идет напрямую из закона Бернулли. Разделив формулу (1) на и введя - высоту открытой поверхности жидкости над отверстием, получим формулу (2). Эта формула называется формулой Торричелли.

Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна.

В действительности, найденная формула не совсем точна. В более точном приближении скорость жидкости зависит от формы и размера отверстия, от вязкости жидкости и режима течения. Поэтому, формула Торричелли часто записывается с дополнительным множителем ц:

, (10)

где: коэффициент, близкий к единице, зависящий от дна сосуда.

В задаче 2 рассматривается процесс кондуктивной теплопередачи в основе которого находится закон Фурье:

, (11)

где: Q - величина теплового потока;

S - площадь поверхности;

k - коэффициент теплопроводности;

T - температура поверхности;

r - расстояние от поверхности до точки;

Теплопередача - процесс теплообмена между двумя теплоносителями или иными средами, которые могут находиться во взаимодействии (например, в непосредственном контакте). Различают 3 вида теплопередачи: кондуктивный, конвективный и лучистый. Кондуктивная теплопередача - процесс передачи энергии от более нагретых частей тела к менее нагретым, обусловленный хаотическим (тепловым) движением микрочастиц (атомов, молекул, свободных электронов). Конвективная теплопередача - процесс передачи энергии, обусловленный совместным действием процесса переноса энергии путём перемещения жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой температурой, а также процесса теплопроводности. Лучистая теплопередача - процесс передачи энергии, при котором перенос энергии в пространстве осуществляется электромагнитными волнами.

Интенсивность теплопередачи характеризуется коэффициентом теплопередачи, равным плотности теплового потока на стенке (поверхности раздела), отнесённой к температурному напору между средами а(теплоносителями).

Физический смысл кондуктивного теплообмена будет характеризоваться следующим образом: Если в некоторой среде в стационарных условиях существует градиент температур, то для обозначения переноса энергии используется термин теплопроводность (кондуктивный теплообмен). Физический механизм передачи энергии -- взаимодействие частиц, обладающих разным запасом энергии (разной температурой), в результате которого их энергии выравниваются.

2. Решение задач

Типовая задача 1. Формулировка задачи:

В отсутствие необходимых инженерно-геологических изысканий сооружено непроницаемое бетонное основание и на нём - отстойник (цилиндрический резервуар) токсичных жидких отходов. В резервуаре сделано вертикальное окошко контроля уровня жидкости. Периодичность контроля составляет одни сутки. В процессе эксплуатации объекта на дне резервуара и в его фундаменте возникла скрытая щель, через которую в течение первых суток вытекло 10% жидкости. Сколько требуется времени, чтобы вытекла половина жидкости?

Для решения данной задачи необходимо сделать рисунок. Рисунок для данной задачи выглядит следующим образом:



Рисунок 3. Графическая модель для 1 задачи

Необходимо реализовать аналитическое решение:

Пусть R - радиус резервуара;

h - его высота;

х - высота уровня жидкости в резервуаре по истечении t дней.

Тогда объем жидкости в резервуаре в момент t равен , а скорость изменения объема - . По условию задачи эта величина пропорциональна х, так что дифференциальное уравнение задачи

где: (5)

k - коэффициент пропорциональности,

Разделяя переменные и проинтегрировав (5) получим:

(6)

По начальным условиям при t = 0 резервуар полностью наполнен, так что x = h. Выражая константу и подставляя в (6), получаем следующее уравнение:



(7)

По дополнительным условиям при t=1 и тогда, подставляя коэффициент пропорциональности и выражая t получаем, что t = 6,57 суток.

Построен графический образ, отражающий закономерность вытекания жидкости во времени:

Рис. 4. Закономерность вытекания жидкости во времени

2 задача. Формулировка задачи:

Пусть Земля представляет собой твердую шаровую оболочку с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 (h = R2 ? R1 - мощность земной коры). Внутри оболочки находится разогретый теплоноситель с температурой T1. На поверхности оболочки поддерживается постоянная температура T2. Найти температуру внутри твердой шаровой оболочки, на расстоянии r от её центра кривизны (R1 < r <R2). Предположив известной теплопроводность вещества шаровой оболочки, определить также количество теплоты, которое в одну секунду шар отдаёт во внешнее пространство.

1 этап. Создание рисунка, отображающего данную задачу:

Рис. 5. Графическая модель задачи 2

2 этап. Решение задачи:

Возьмем закон Фурье (4), выразим S= разделим переменные и проинтегрируем, получим:

Q= (8)

При начальных условиях T=T1, r=R1, выражаем константу и подставляем в формулу (8) и выражаем Т, тогда получится:

, где: (9)



значение температуры внутри шаровой оболочки на расстоянии r.

Далее нужно было найти количество теплоты, которое шар отдает во внешнее пространство. Теплопроводность вещества предположили известной. Для этого выразим , а . Из уравнения (9) выразим Q и получим следующую формулу:

(10)

Ответ: ;



Заключение

Составление аналитических моделей с целью решения задач без априорной информации - является важным качеством современного геофизика, работающего на производстве. Изучив способы решения данных задач, появилось понимание некоторых физических процессов, а также умение работать с дифференциальными разделяемыми уравнениями.



Список литературы

1. Моделирование технологических процессов. Автор: В.А. Штерензон Екатеринбург: Изд-во Рос. гос. проф.-пед. ун-та, 2010. 66 с.

2. Введение в динамику жидкости. Автор: Бэтчелор Дж. / Пер. с англ. под ред. Г. Ю. Степанова. -- М.: Мир, 1973. -- 760 с.

3. Закон Торричелли. Режим доступа URL: https://ido.tsu.ru/schools/physmat/data/res/mehanika/uchpos/text/6_4.html.

4. Термодинамика и теплопередача в пожарном деле. Авторы: Кошмаров Ю.А., Башкирцев М.П. М., 1987 - 440 с.

5. Основы теплопередачи. Авторы Михеев М.А., Михеева И.М., изд. «Энергия», 1977 - 344 с.

Размещено на Allbest.ru

...