Глубоконеупругие соударения и уравнения эволюции КХД

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Институт ядерной физики и технологий (ИЯФИТ)

Кафедра №11

«Экспериментальные методы ядерной физики»

Реферат

Глубоконеупругие соударения и уравнения эволюции КХД

Москва, 2023

Содержание

• Введение
• 1. Глубоконеупругое рассеяние
• 2. Квантовая хромодинамика и уравнения эволюции
• Заключение
• Список литературы


Введение

Неупругое рассеяние является одним из четырех основных электромагнитных процессов, которые сопровождают прохождение заряженного лептона через вещество (три остальных: упругое рассеяние, в частности на атомных электронах, в котором образуются s-электроны, тормозное излучение и рождение электрон-позитронных пар). Наряду с другими электромагнитными процессами неупругое рассеяние вносит свой вклад в потери энергии частицей и влияет на кривую поглощения заряженных лептонов в веществе - одну из важнейших характеристик при исследовании космических лучей в подземных или подводных экспериментах. И хотя сечение неупругого рассеяния в области ГэВных и ТэВных энергий гораздо меньше сечений тормозного излучения или рождения пар, оно, в отличие от других, логарифмически растет с энергией лептона, что необходимо учитывать при исследовании области сверхвысоких энергий.

Другая особенность неупругого взаимодействия состоит в том, что сечение убывает с ростом переданного импульса значительно слабее, чем для других электромагнитных процессов. Это делает неупругое взаимодействие релятивистских лептонов с нуклонами удобным инструментов для исследования структуры материи на сверхмалых расстояниях. При неупругом взаимодействии начинает проявляться составная структура адронов и происходит рождение вторичных частиц. Для описания этих явлений необходимо использовать квантовую хромодинамику (КХД) - теорию сильных взаимодействий. Таким образом, неупругое рассеяние находится на стыке электромагнитных и кварк-глюонных процессов.

Слабое уменьшение сечения с ростом угла рассеяния приводит к тому, что неупругое рассеяние дает значительный вклад в величину фона в экспериментах по регистрации мюонов из нижней полусферы, так как является основным механизмом образования альбедных мюонов (рассеянных в верхнюю полусферу атмосферных мюонов), которые могут имитировать мюоны от нейтрино.

Обратимся к рассеянию лептонов на нуклонах. Эксперименты по взаимодействию заряженных лептонов с нуклонами неразрывно связаны с исследованием внутренней структуры последних. В середине 50-х годов Хофштадтер и его сотрудники измерили зависимость упругого формфактора протона от угла рассеяния. Эти эксперименты положили начало исследованиям внутренней структуры протона и ядер с помощью заряженных лептонов высоких энергий, в первую очередь электронов. Они убедительно показали, что протон является не точечной, а протяженной частицей.

Формфактор - функция, характеризующая пространственное распределение заряда (электрический формфактор) или магнитного момента (магнитный формфактор) внутри атома, атомного ядра или элементарной частицы. Характер этого распределения (его размеры и плотность) определяется типом частиц, образующих данную систему, и их взаимодействием. Так, формфактор атома определяется распределением атомных электронов, а средний радиус этого распределения порядка см. Формфактор ядра определяется в основном распределением нуклонов в ядре, средний радиус которого .

Дальнейшее изучение внутренней структуры протона и ядер в процессах неупругого рассеяния электронов и мюонов в последние 40 лет проводилось в четырех научных центрах, в которых активно исследовался этот процесс: Стандфорский линейный ускорительный центр (СЛАК - SLAC), Национальная ускорительная лаборатория им. Энрико Ферми (ФЕРМИЛАБ - FNAL), Европейский центр научных исследований (ЦЕРН - CERN) и Немецкий Электронный Синхротрон (ДЕЗИ - DESY).

Первые эксперименты по неупругому рассеянию электронов на протоне для энергий выше резонансной области начались в СЛАК в 1967 году. Предполагалось, что данные СЛАК подтвердят модель об экспоненциальном распределении заряда в протоне, обнаруженном в эксперименте Хофштадтера, и расширят исследованную кинематическую область в сторону больших значений четырехимпульса Q2 (до 16 ГэВ²). Однако, первые же результаты показали, что зависимость неупругого дифференциального сечения от переданного импульса была слишком слабой

Первое теоретическое рассмотрение неупругого взаимодействия заряженных лептонов с протонами относится к началу 60-х и связано с работами Ханда, а также Дрелла и Валечки, которые обнаружили, что сечение этого процесса определяется через две функции, которые зависят от переданной энергии и импульса. При этом в этих работах использовались различные пары формфакторов, которые линейным образом связаны друг с другом. Различие в подходах в какой-то мере отражает два основных направления изучения неупругого взаимодействия, которые разделились по выбору объекта изучения при рассмотрении акта рассеяния.

В первой группе моделей неупругое рассеяние рассматривается в рамках концепции доминатности векторных мезонов, т.е. взаимодействие виртуального фотона с протоном происходит через векторные мезоны, в которые флуктуирует фотон, и которые взаимодействуют с протоном посредством ядерных сил. Подобное описание направлено в первую очередь на виртуальный фотон, а мишень представляется цельным объектом с заданными адронными свойствами. Дальнейшее развитие подхода привело к созданию модели обобщенной векторной доминантности (ОВД), в которой учитывается бесконечный спектр масс векторных мезонов. Использование различных простых аппроксимаций структурных функций, полученных на основе ОВД, хотя и не позволяет описывать область больших переданных 4-импульсов, тем не менее, приводит к хорошему согласию с экспериментальными данными для не очень больших переданных 4-импульсов Q2, что позволяет использовать их при расчете энергетических потерь.

Второй подход определяет неупругое рассеяние как взаимодействие виртуального фотона с частицами, являющимися составными частями протона - партонами, в качестве которых подразумеваются кварки. При таком рассмотрении виртуальный фотон является идеальным электромагнитным объектом без внутренней структуры, а объектом исследования выступает протон (или нейтрон). Вместо размерных неупругих формфакторов используются безразмерные структурные функции, которые выражаются через импульсные функции распределения кварков в нуклоне. Развитие квантовой хромодинамики привело к созданию системы уравнений, которые определяют зависимость структурных функция от Q2. Следует отметить, что ни одна из моделей неупругого рассеяния не описывает неупругие формфакторы протона во всей кинематической области: модели векторной доминантности работают при не очень больших квадратах переданных импульсов (порядка ГэВ²), а кварк-партонные модели, которые используют кварковуюхромодинамику в качестве основной модели сильного взаимодействия, наоборот применимы в области достаточно больших переданных импульсов, где бегущая константа связи мала и можно использовать теорию возмущений.

Для описания сечения также используется формулы, полученные фитированием экспериментальных зависимостей. Однако такой подход надежен только в пределах экспериментально изученной области.

Наряду с изучением неупругого рассеяния на протоне, большой интерес вызывают неупругое рассеяние на ядрах и возможные поправки, которые ядерное окружение может вносить в неупругий формфактор протона. Выделяются три основных ядерных эффекта: затенение, ЕМС-эффект и эффект Ферми-движения. Для каждого из них существуют модели, описывающие его влияние на сечение рассеяния лептона с протоном. Кроме того, проведено достаточно много экспериментов, в которых влияние ядерного окружения исследовано для значительной области изменения кинематических переменных на различных мишенях. Но в целом информации о поведении неупругих формфакторов протона, который находится внутри ядра, значительно меньше, по сравнению со свободным протоном.

Следует отметить, что, начиная с 70-х годов 20 века, основные усилия были сосредоточены на изучении именно неупругих формфакторов. Для расчета полного инклюзивного сечения и других характеристик взаимодействия заряженных лептонов с веществом обычно использовались ставшие классическими результаты, полученные в уже упомянутых работах, а кинематические границы вычислялись в рамках и приближениях той или иной конкретной задачи.

Способом получения выражения для сечения неупругого рассеяния во всей кинематической области является соединение двух основных подходов к описанию неупругого рассеяния. Использование выражений, полученных в области небольших , в качестве начальных условий для эволюционных уравнений, позволило описать неупругие формфакторы протона в широкой кинематической области. Эти работы стимулировали развитие нового подхода к изучению неупругого рассеяния, основанного на аналитическом обобщении предельных случаев описания этого процесса. С помощью полученных зависимостей в предельных (граничных) областях разрешенного диапазона изменения кинематических переменных, и после анализа поведения неупругих формфакторов в промежуточной области, удалось аналитически описать структурную функцию протона в всей кинематически разрешенной области.



1. Глубоконеупругое рассеяние

Глубоко неупругие процессы (глубоко неупругое рассеяние), процессы взаимодействия лептонов и адронов при высокой энергии, в которых передача импульса лептоном и суммарная полная энергия вторичных адронов в системе их центра инерции значительно превышают характерную энергию покоя адронов (1 ГэВ; в системе единиц ?=1, c=1, ? - постоянная Планка, c - скорость света).

Сечение ГНП рассеяния, например, электронов на протоне (e и e' - начальный и конечный электроны, p - протон, X - совокупность конечных адронов), характеризуется тремя переменными, в качестве которых можно выбрать: 1) модуль квадрата переданного лептоном (в данном случае электроном) четырёхмерного импульса, ; 2) миним. массу мишени (в единицах массы протона), на которой возможно упругое рассеяние с передачей импульса, , где m - масса протона, E и E' - энергии начального и конечного электронов; 3) долю потерянной лептоном энергии в системе покоя протона

В 1968 на линейном ускорителе в Станфорде (штат Калифорния) было обнаружено, что структурные функции Г. н. п. рассеяния электронов на протонах, в отличие от формфакторов упругого рассеяния, в области >1 ГэВ2 почти не зависят от , как если бы электрон рассеивался на некотором точечном объекте внутри протона. Это явление было названо скейлингом Бьёркена по имени Дж. Бьёркена, предсказавшего его в 1967. СкейлингБьёркена объясняется т. н. партонной моделью, согласно которой нуклон состоит из точечноподобных составляющих - партонов, несущих долю x полного четырёхмерного импульса протона. В квантовой хромодинамике (КХД) в качестве партонов выступают кварки, антикварки и глюоны, которые в области >1 ГэВ2 выглядят почти как свободные (точечные) частицы.

Экспериментальные измерения ГНР на нуклонах позволили заключить, что на долю u- и d-кварков приходится около 50% полного импульса протона. Остальные 50% несут в основномглюоны. Эксперименты на поляризованных мишенях показывают, что вклад спинов кварков в спин нуклона составляет всего лишь 20-30%, остальное приходится на долю глюонов и орбитального момента. Расчёты в КХД предсказывают, что с ростом структурные функции логарифмически уменьшаются в области x>0,1 и логарифмически возрастают в области x<0,1. Такое поведение наблюдается экспериментально.

ГНР на атомном ядре представляет собой один из основных процессов релятивистской ядерной физики. Он даёт «моментальный снимок» кварковой структуры ядра, указывающий на наличие в ядре ненуклонных степеней свободы (пионов, многокварковыхфлуктонов Блохинцева).

Партонная модель

Основные идеи партонной картины взаимодействия адронов высоких энергий изложены в небольшой статье Ричарда Фейнмана, опубликованной в 1969 году.

Согласно этой картине, можно на мгновение представить себе каждый из взаимодействующих друг с другом адронов в виде «облака» составляющих каждый из адронов частичек, «партонов», не взаимодействующих между собой, имеющих малый поперечный импульс, но при этом каждый отдельный партон с плотностью вероятности F(x) несет долю x от полного импульса адрона . Именно самый медленный (например, в лабораторной системе отсчета), т.е. имеющий самое малое значение x партон взаимодействует с мишенью (точнее, самым медленным партоном адрона-мишени). Таким образом, сечение взаимодействия двух адронов определяется как сечением взаимодействия этих самых медленных партонов друг с другом, так и распределением партонов по величине x, задаваемых структурной функцией F(x). «Облако» партонов когерентно, и если взаимодействие с мишенью не произошло, т.е. ни амплитуды, ни фазы партонных волн не изменились, то когерентная сумма этих волн по-прежнему представляет собой исходный адрон. Если же случилось взаимодействие, то начальная согласованность фаз и амплитуд разрушается и «облако» рассыпается на частицы конечного состояния: вначале ? на партоны, которые затем становятся адронами («адронизуются»), подхватывая другие партоны, недостающие для превращения в полноценный адрон, из вакуумных флуктуации.

Можно провести аналогию между партонной картиной взаимодействия частиц и фрагментацией ядер, когда доминирует полюсной механизм, например, (рис. 1). Распределение нуклонов в ядре по импульсам (или по величине x) определяется волновой функцией ядра Ш(x).

Рис. 1. Фрагментация адронов (а) или релятивистских ядер (б) в партонной (спектаторной) картине соответственно. Поперечный импульс партонов считается малым, взаимодействием партонов (одного и того же адрона) между собой можно пренебречь

Рис. 2. Фрагментация релятивистских дейтронов в партонной картине и основная идея релятивистской динамики на световом фронте.

Кинематика глубоконеупругого рассеяния

Обычно, когда говорят о «глубоконеупругом» рассеянии (ГНР), подразумевают неупругое рассеяние лептона на адронной системе, причем такое, когда регистрируемый в конечном состоянии лептон имеет заметно меньшую энергию, чем начальный. В приближении однофотонного обмена такой процесс представляется диаграммой рис. (3).

Рис. 3. Кинематические переменные для описания ГНР лептона нуклоном. Величины k, k' ? 4-импульсы начального и конечного лептонов, P ? 4-импульс нуклона с массой М. W ? масса системы X, получившей отдачу. Обмениваемая частица ? фотон или промежуточный бозон (г, W^±, Z); он переносит к нуклону 4-импульс q = k ? k'



Стандартными переменными ГНР являются . Поясним эти переменные и рассмотрим интервалы их изменения.

· Потеря энергии лептоном в системе покоя нуклона (поэтому ? энергия начального и конечного лептонов берутся в системе покоя нуклона):

(1)

· Квадрат передачи 4-импульса:

(2)

если массами лептонов можно пренебречь, то

(3)

где и ? угол рассеяния лептона (по отношению к направлению падающего лептона-снаряда). Видно, что с точностью до знака переменная Q² есть мандельстамовская переменная t; обратный по отношению к t выбор знака величины Q² обусловлен историческими причинами.

(4)

эта величина в партонной модели имеет смысл доли импульса нуклона, переносимая партоном.

(5)



В системе покоя нуклона эта вeличина имеет смысл доли энергии, потерянной лептоном при рассеянии.

· Квадрат эффективной массы системы X:

(6)

· Наконец, важной переменной является

(7)

то есть, квадрат полной энергии лептона и нуклона в системе их центра масс.

Есть еще одна переменная, которую используют, когда вместе с рассеянным лептоном регистрируется адрон h, входящий в адронную систему с эффективной массой W в конечном состоянии:

(8)

Здесь ? полная энергия регистрируемого адрона. Смысл переменной z: это доля переданной энергии, унесенная регистрируемым адроном конечного состояния.

Физический смысл х.

Представим себе, в рамках партонной картины, что виртуальный бозон (фотон) поглотился партоном, имеющем долю полного 4-импульса нуклона (рассмотрение проведем на световом фронте в простейшем варианте: т. н. системе бесконечного импульса, в которой лептон-снаряд имеет бесконечно большой импульс).

Тогда квадрат полной энергии в системе центра масс виртуального бозона и этого партона равен

(9)

где ? масса партона. Если она много меньше прочих кинематических величин, характерных для задачи, то ею можно пренебречь (равно как и массой нуклона), и в конечном итоге из (4.21) имеем

(10)

где видно, что в формуле (9) есть не что иное, как x из (4). При анализе глубоконеупругого рассеяния лептонов эту переменную называют «Бьеркеновский x», или .

Кинематически разрешенные области изменения переменных ГНР схематически изображены на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Области изменения кинематических переменных.

Здесь 2Mн = Q²/x.

О некоторых терминах

Эффективная масса. Определение «эффективной массы» в разных областях физики делается различным образом. Например, есть понятие «эффективной массы» носителей заряда, употребительное в физике твердого тела и, в частности, в физике полупроводников. В физике частиц это понятие тоже существует, причем оно определено вполне однозначно (до той поры, пока речь не идет об элементарных частицах в ядерной среде): эффективной массой системы n детектируемых частиц называется (или, до середины 90-х годов называлась) величина , где 4-импульс i-й зарегистрированной частицы, все n частиц были зарегистрированы, идентифицированы, а их 4-импульс измерен. Это понятие было введено еще на заре ядерной физики и физики частиц; оно использовалось достаточно долго без каких-либо затруднений или неоднозначных трактовок. В последние десятилетия оно стало замещаться термином «инвариантная масса».

Недостающая масса. Как и эффективная масса, это понятие использовалось без каких-либо затруднений или неоднозначных трактовок достаточно долго и продолжает использоваться в том же значении поныне. Оно похоже на понятие эффективной массы, но применяется тогда, когда не все частицы конечного состояния регистрируются (или не все их импульсы измеряются). Определение недостающей массы выглядит так: , где имеет тот же смысл, что и выше, a есть 4-импульсы снаряда и мишени. Иными словами, это не что иное, как эффективная масса системы незарегистрированных или ненаблюдаемых частиц. Можно рассматривать ее (в кинематике) как массу некоторой фиктивной частицы с полным 4-импульсом .

Переменная Фейнмана хF

Пусть при рассеянии частиц a, b после их взаимодействия регистрируется частица c, а остальные продукты реакции не регистрируются (система X), то есть проводятся инклюзивные измерения реакции

(11)



Чтобы не загромождать формулы, под 4-импульсом (или компонентами его, то есть энергией и 3-импульсом) регистрируемой частицы будем понимать , опуская индекс c. В случае обращения к системе центра масс реакции соответствующие неинвариантные величины будем помечать символом *.

Кинематическую область возможных значений импульса регистрируемой частицы можно легко определить, пользуясь формулами для «круга импульсов» (если речь идет о системе центра масс) или «эллипса импульсов» (если речь идет о любой другой системе отсчета, например, лабораторной), рассмотренными ранее. В частности, продольный импульс регистрируемой частицы может лежать в пределах

(12)

где

(13)

здесь ? минимальное допустимое значение эффективной массы системы X, равное сумме масс входящих в нее частиц (имеется в виду, допустимое законами сохранения квантовых чисел для рассматриваемой реакции). Если графически представить круг импульсов, то принадлежит хорде круга, проведенной перпендикулярно его вертикальному диаметру на расстоянии от горизонтального диаметра, а границы изменения определяются крайними точками этой хорды. В лабораторной системе, где круг импульсов превращается в эллипс импульсов, величина принадлежит хорде эллипса, проведенной перпендикулярно его малой полуоси на расстоянии от большой оси, а границы изменения определяются крайними точками этой хорды (см. рис. 4, эллипс импульсов для реакции p (p, р) X). Т. о. экстремальные (максимальное и минимальное) возможные значения для реакции (11) определяются крайними точками большой оси этого эллипса.

Вспомнив о партонной картине взаимодействия адронов, можно заподозрить, что инвариантная безразмерная переменная

(14)

может быть хорошей переменной для анализа данных инклюзивных измерений реакций типа (11). Опыт показал, что так оно и есть. Переменная (14) называется фейнмановскойскейлинговой переменной.

Ясно, что при анализе дифференциальных распределений, проинтегрированных по поперечному импульсу, под следует понимать экстремальное значение продольного импульса (например, соответствующее точке В на рис. 4). Кроме того, в партонной картине Фейнмана считается, что поперечный импульс партонов невелик, то есть их импульсное распределение в адроне «прижато» к оси абсцисс рис. 4, что дает некоторое дополнительное оправдание такому рецепту определения .

В литературе часто употребляют и другое определение , а именно:

(15)

практически совпадающее с (14), когда s намного больше значений всех масс, входящих в определение (2), равно как и значений поперечного импульса . Определение (14) представляется более точным при конечных энергиях или при работе вблизи кинематических границ рассматриваемого процесса (но все же при невысоких , если для максимального значения продольного импульса принимается его экстремальная величина).

Рис. 4. Эллипс импульсов пиона в лабораторной системе для реакций p (p, р) X и p (d, р) X. Область внутри меньшего эллипса разрешена для пиона, рожденного в реакции p (p, р) X (оба нуклона - свободные).

Граница большего эллипса соответствует реакции p (d, р) X, когда дейтрон рассматривается как «материальная точка», а эффективная масса системы X минимально возможная (после учета всех законов сохранения и правил отбора по квантовым числам). Область импульсов вне большего эллипса ? абсолютно запрещена для пиона вследствие законов сохранения энергии и импульса. Между внешним и внутренним эллипсами ? «кумулятивная» область, недоступная для реакции p (p, р) X вследствие тех же законов сохранения энергии и импульса.

Быстрота и псевдобыстрота

Можно убедиться, что безразмерная переменная, называемая быстротой, может быть выражена через энергии и импульсы регистрируемой частицы так:

(16)



а продольная быстрота как

(17)

Можно получить выражение

(18)

Таким образом, существенными кинематическими переменными для анализа реакций типа (11), являются пары (,) или (). Однако значения пределов изменения одной из переменных в указанных парах зависят от значений другой переменной. Еще одна часто употребляемая при высоких энергиях переменная, а именно ? псевдобыстрота. Ее практическая ценность в том, что измерять псевдобыстроту проще, чем быстроту: не нужно измерять величины импульсов, равно как и нет особой необходимости идентифицировать частицы, чтобы правильно вычислять их энергии. Дело в том, что для измерения псевдобыстроты достаточно измерить угол и вылета частицы. При этом псевдобыстрота почти везде достаточно близка к продольной быстроте.

Вначале заметим, что

(19)

(величина называется «поперечной массой»), если выполнены условия:

1. угол вылета много меньше 1, но не слишком мал:

(20)

2. поперечный импульс много меньше продольного:

; (21)

3. импульсы велики по сравнению с массами:

(22)

Если несколько ослабить первое условие, то есть допустить, что

, (23)

то можно увидеть, что

(24)

Последнее приближенное равенств в этой формуле используется как определение псевдобыстроты, позволяющее ограничиться измерениями углов вылета частиц в лабораторной системе:

(25)

Следует заметить, что в разных работах по изучению процессов множественного рождения частиц в инклюзивной постановке экспериментов при высоких энергиях нередко используются слегка разные определения псевдобыстроты. Поэтому небесполезно внимательно следить за тем, какое именно определение псевдобыстроты используется в той или иной работе, хотя все такие определения отталкиваются от углов вылета регистрируемой частицы. Безусловно, необходимо помнить о различии между псевдобыстротой и настоящей быстротой. Также нужно сказать, что продольную быстроту иногда также называют просто быстротой.

Переменная псевдобыстроты в свое время стала весьма популярной, и вот почему. Партонная картина неупругого взаимодействия подразумевает, что при высоких энергиях средние поперечные импульсы вторичных частиц почти не растут с ростом начальной энергии (или растут достаточно медленно). Иными словами, область внутри разрешенного кинематикой эллипса «заселяется» частицами неравномерно: они концентрируются вблизи оси абсцисс в довольно узкой полосе. С ростом энергии эллипс расширяется, но частицы остаются почти в той же полосе: распределение по поперечному импульсу при фиксированной быстроте почти не меняется, и когда поперечный импульс частицы много меньше ее полного импульса, распределение по продольному импульсу становится (приближенно) распределением по углу вылета частицы. Это означает, что характер распределения событий внутри эллипса не зависит (или слабо зависит) от его абсолютных размеров: важно лишь относительное расстояние точки, изображающей событие, от центра эллипса (круга в с.ц.м.).

Связь быстроты и переменной хF.

В определениях фейнмановской переменной и продольной быстроты фигурирует один и тот же продольный импульс регистрируемой частицы. Отсюда следует, что эти переменные связаны между собой. Эту связь нетрудно установить:

(26)



Можно убедиться, что вблизи | x_F | ~ 0 продольная быстрота тоже мала: , но в этой, т. н. «центральной» области, данный конечный фиксированный интервал с ростом энергии столкновения vs отображается на растущий с vs интервал быстроты. Иными словами, быстрота «растягивает» центральную область по сравнению с .

Сечение глубоконеупругого рассеяния

В случае неупругого процесса следует рассматривать двойное дифференциальное сечение в зависимости от .

Глубоконеупругое рассеяние можно представить как двухчастичный процесс: е + р > е' + W. На опыте измеряются угол отклонения электрона и, энергия Е' и импульс к' электрона после взаимодействия с протоном. Этих данных достаточно, чтобы вычислить степень возбуждения протона после соударения с электроном, используя законы сохранения энергии и импульса и уже приведенные формулы.

На рис. 5 показано двойное дифференциальное сечение

в зависимости от и

При увеличении W от 2 ГэВ до 3.5 ГэВ наблюдается отсутствие зависимости этого сечения от . Это свидетельствует о том, что взаимодействие электрона происходит на точечных объектах, содержащихся внутри протона.

Таким образом, было доказано существование в протоне точечных образований, названных партонами. Дальнейшее изучение свойств партонов, спин которых оказался равным J = ћ/2, позволило отождествить их с кварками, предложенными Гелл-Манном и Цвейгом для объяснения структуры адронов.



Рис. 5. Двойное дифференциальное сечение в зависимости от q² для неупругого процесса с различными энергиями Е'. Для сравнения показано сечение для упругого рассеяния (кривая 1). Кривые 2, 3, 4 получены при энергиях 2, 3, 3.5 ГэВ соответственно

Последующие эксперименты по глубоконеупругому рассеянию других точечных лептонов ? мюонов и нейтрино ? на протонах привели к еще более убедительным результатам, которые помогли уточнить представление о структуре так называемых «элементарных» частиц ? адронов. Эти результаты показаны на рис. 6, на котором изображены структурные функции протона в зависимости от и для разных значений фейнмановской переменной х. Отсутствие зависимости этих распределений от при свидетельствует о точечности объектов, на которых происходит рассеяние.

В многочисленных экспериментах по изучению глубоконеупругого рассеяния лептонов на нуклонах получены структурные функции для партонов внутри нуклонов, из которых определены импульсные спектры кварков в нуклоне. По сформированному в настоящее время представлению барионы состоят из трех кварков, мезоны ? из кварка и антикварка. Точечное строение адронов проявляется только при очень больших передаваемых импульсах, на расстояниях

При малых передаваемых импульсах q налетающий лептон взаимодействует не с отдельным кварком, а с совокупностью кварк-антикварковых пар и глюонов, окружающих точечно-подобный кварк, который называется валентным.

Окружающие его кварк-антикварковые пары называются морскими кварками. На рис. 6 приведены энергетические спектры кварков и антикварков из моря (1) и валентных кварков (2). Другая часть партонов с целым спином была отождествлена с глюонами. Из этих данных можно определить долю энергии нуклона х = Е_i/Е_р, заключенную в валентных и морских кварках. Оказывается, <x>_v = 0.4, <х>_s = 0.1. Оставшаяся доля <х>_g = 0.5 содержится в глюонах, играющих существенную роль в структуре нуклона, что уже упоминалось в начале работы.

Рис. 5. Протонная структурная функция , измеренная в электромагнитном рассеянии злектронев и мюонов для . Эксперименты выполнены на ускорителе HERA

Рис. 6. Спектры партонов в нуклоне в зависимости от доли энергии, уносимой партоном, ? доля энергии протона, заключенная в партоне i, ? энергия протона: 1 ? морские кварки (s). 2 ? валентные кварки (v), 3 ? партоны (кварки и глюоны). Разными значками показаны результаты, полученные в разных экспериментах, в которых изучалось взаимодействие нейтрино с ядрами железа, углерода и СаСО3. Квадрат переданной энергии заключен в интервале 10 ? 100 ГэВ²

2. Квантовая хромодинамика и уравнения эволюции

Историческая справка и основы

Глубоконеупругие процессы занимают центральное место в физике высоких энергий. Эти процессы характерны тем, что они происходят на малых расстояниях, где проявляется внутренняя структура элементарных частиц.

Теоретическое рассмотрение глубоконеупругих процессов базируется на квантовой хромодинамике. Вместе с тем анализ физических явлений в этих процессах требует синтеза представлений квантовой хромодинамики (кварки, глюоны) с определенными на опыте феноменологическими характеристиками.

Исходным пунктом для построения и теоретического описания физики адронов явилась гипотеза об их кварковой структуре, предложенная в 1964 году Гелл-Маном и Цвейгом. Согласно этой гипотезе все обычные адроны - барионы и мезоны - состоят из трех сортов (ароматов) кварков u, d, s с зарядами, равными +2/3б, -1/3, -1/3 заряда протона, причем барионы составлены из трех кварков, а мезоны - из кварка и антикварка. Триплет кварков u, d, s является простейшим представлением группы симметрии SU(3) сильных взаимодействий и был введен в теорию, чтобы наиболее естественным и экономны способом описать всю совокупность экспериментальных данных по адронной спектроскопии.

Теоретическое описание глубоконеупругих процессов основывалось на методах алгебры токов, верных для широкого класса квантовых теорий поля, но позволяющих получить лишь ограниченные результаты в виде правил сумм. На этом пути в 1969 г. Бьеркеном были сделаныпервые утверждения о масштабно-инвариантном поведении сечений - и -рассеяния. Затем Фейнманом была сформулирована партонная модель, использующая представление о том, что в глубоконеупругих процессах адроны выступают как совокупность невзаимодействующих частиц-партонов (от английского раrt - часть). На основе партонной модели и отождествления партонов с кварками было получено большое число предсказаний для различныхфизических эффектов, оказавшихся, как правило, в хорошем согласии с экспериментом. Однако партонная модельс ее предположением об ограниченности поперечных импульсов партонов не следовала из рассматривавшихся в товремя моделей квантовой теории поля и тем самым былане вполне удовлетворительной с теоретической точки зрения.

Существенный прогресс был достигнут благодаря успехам в развитии калибровочных теорий, в результате которых была создана теория сильных взаимодействий - квантовая хромодинамика (КХД), дающая последовательное и согласующееся с опытом описание сильного взаимодействия адронов на малых расстояниях.

Основная гипотеза, на которой базируется КХД, состоит в том, что кварк каждого сорта помимо координати спинов обладает тремя степенями свободы - так называемыми «цветами» (отсюда название «квантовая хромодинамика»), т.е. волновая функция кварка характеризуется цветовым индексом i=1, 2, 3 (или красный, синий, желтый). Физические адронные состояния бесцветны (т.е.являются синглетами в цветовой группе SU(3)_с, где индексс означает color, Необходимость введения понятия цвета вытекает из всей совокупности данных по спектроскопии низколежащих барионных состояний, данных по распадами многих других. Одним из наиболее ярких подтверждений этойгипотезы является величина наблюдаемого на опыте сечения -аннигиляции в адроны.

В КХД предполагается, что квантами - переносчикамивзаимодействия - служат восемь цветных безмассовых векторных мезонов (глюонов), причем взаимодействие кварков и глюонов. В КХД возникает прямое (не через кварковые пары) самодействие глюонов. Наличие самодействия глюонов приводит к КХД к иному, непохожему на КЭД, поведению эффективной константывзаимодействия на малых расстояниях. Как известно, в КЭД эффективный квадрат заряда растет с убыванием расстояния r. В КХД, наоборот, квадратэффективной константы сильного взаимодействия логарифмически убывает при т.е. в асимптотическом пределе взаимодействие выключается и теория переходит в теорию свободных частиц (асимптотическая свобода). Тем самым КХДдает качественное обоснованиепартонной модели, и наоборот - экспериментальные подтверждения партонной модели одновременно подтверждают КХД в ее первом грубомприближении. Следует подчеркнуть, что в отличие от теорий с юкавским взаимодействием (типа КЭД) КХД непротиворечива на малых расстояниях.

Константа сильного взаимодействия хотя и убывает с ростом передаваемых импульсов, но сравнительно медленно. Поэтому в КХД при больших Q возникают поправки к предсказаниям партонной модели и, в частности, отклонения от ожидаемого в партонной модели масштабноинвариантного поведения сечений глубоконеупругих процессов. Эти поправки вычисляются в КХД и в принципе могут служить для экспериментальной проверки теории.

В применении к глубоконеупругим процессам КХД нетолько подтверждает и уточняет выводы партонной модели, но и приводит также к новым качественным эффектам, связанным с существованием кварк-глюонного взаимодействия. Наиболее четкий из таких эффектов - это рождениеглюонных струй и связанный с ним рост поперечных импульсов адронов в жестких процессах. В кварк-партонноймодели ожидалось, что, например, пара кварк-антикварк, образующаяся в процессе -аннигиляции в адроны, должна дать начало двум струям адронов с большими продольными относительно общей струи в системе центра инерции (с. ц. и.) и малыми поперечными импульсами. Угловоераспределение струй в -аннигиляции предсказывалосьоднозначно, и их экспериментальное наблюдение - сильнейшее подтверждение кварк-партонной модели. В КХДпомимо кварковых струй за счет испускания кварком летящего под большим угломглюона с большой энергией должно происходить также рождение глюонных струй, т.е.струй адронов, порождаемых глюоном. Экспериментальноэто должно наблюдаться в е*е-аннигиляции как появлениенекоторого числа трехструйных событий с определеннымисвойствами. Такие события действительно наблюдалисьв опытах на ускорителе со встречными е*е-пучкамиРЕТRА в Гамбурге. Их наблюдение можно рассматриватькак экспериментальное доказательство существованияглюона и тем самым убедительное подтверждение КХД.

Падение эффективного заряда на малых расстоянияхв КХД неразрывно связано с ростом заряда на большихрасстояниях, показывающих, что при взаимодействие в КХД становитсясильным. Рост с r необходим как для объяснениясвойств сильного взаимодействия адронов при малых энергиях (а также при больших энергиях и малых переданныхимпульсах), так и для рещения основной проблемы КХД-почему физические адроны бесцветны, а цветные объектыне вылетают (confinment - проблема удержания илиобесцвечивания). В настоящее время проблемы КХД набольших расстояниях еще ждут своего разрешения. Поэтому сейчас переход кварков и глюонов в физическиеадроны не удается последовательно рассмотреть теоретически, и такое рассмотрение приходится подменять феноменологическим описанием, вводя определяемые из опытафункции фрагментации адронов в кварки (глюоны) и наоборот. При проведении этой программы встает задачанахождения таких характеристик жестких процессов, в которых отсутствует влияние неопределенностей, связанных с большими расстояниями (инфракрасно-стабильныевеличины в КХД).

Таким образом, в настоящее время существует четкоочерченная область физики частиц - физика жестких процессов, протекающих на расстояниях, которая, с одной стороны, описывается надежной, обладающейбольшой предсказательной силой, теорией, а с другой - характеризуется бурно развивающимся экспериментом.

Несмотря на то, что фундаментальная природа сильных взаимодействий понята, математические законы, выражающие её, очень сложны, и потому во многих конкретных случаях вычисления из первых принципов оказываются (пока что) невозможными. В результате рядом с математически строгими вычислениями соседствуют полуколичественные подходы, основанные на квантовомеханической интуиции, которые, однако, прекрасно описывают экспериментальные данные.

Подходы к описанию сильного взаимодействия существенно зависят от того, какой именно объект изучается. Можно выделить следующие основные группы:

· жёсткие адронные реакции, в которых основную роль играют именно кварки и глюоны и которые хорошо описываются теорией возмущений в КХД;

· полужёсткие реакции, в которых для разумного описания приходится учитывать бесконечное число членов ряда теории возмущений, и в определённых предельных случаях это удаётся сделать.

· низкоэнергетические (мягкие) адронные реакции, в которых более разумными степенями свободы становятся связанные состояния кварков (адроны) и изучаются законы взаимодействия.

· статические свойства адронов, в которых, в зависимости от конкретного случая, могут использоваться разные подходы.

Жёсткие адронные реакции - адронные реакции, в которых основную роль играют именно кварки и глюоны и которые хорошо описываются теорией возмущений в КХД.

Все открытые до сих пор адроны укладываются в стандартную картину, в которой они являются бесцветными составными частицами, построенными из кварков и антикварков. Характерные энергии, связанные с этой внутренней кварковой структурой (то есть характерные энергии связи в потенциальных моделях) порядка. Возникает естественная классификация процессов столкновений адронов:

· если передача импульса существенно меньше, то динамика внутренних степеней свободы адронов несущественна, и можно переформулировать теорию в виде эффективной адронной теории.

· если же передача импульса при рассеянии существенно больше этой величины, то речь идёт о жёсткой адронной реакции.

В этом случае речь идет о том, что с хорошей точностью адроны можно считать слабосвязанными, и рассеяние происходит между отдельными составляющими быстро движущихся адронов - партонами. Такое поведение называется асимптотической свободой и связано оно прежде всего с убыванием константы сильного взаимодействия при увеличении передачи импульса.

При более низких энергиях, из-за сильных многочастичных корреляций работа в терминах кварков и глюонов становится малоосмысленной, и приходится на основе КХД строить эффективную теорию взаимодействия бесцветных объектов - адронов.

Однако начиная с 2008 года для КХД-расчётов стала активно и крайне плодотворно применяться методика КХД на решётке - непертурбативный подход к квантовохромодинамическим расчётам, основанный на замене непрерывного пространства-времени дискретной решёткой и симуляции происходящих процессов с помощью метода Монте-Карло. Такие расчёты требуют использования мощных суперкомпьютеров, однако позволяют с достаточно высокой точностью рассчитывать параметры, вычисление которых аналитическими методами невозможно. Например, расчёт массы протона дал величину, отличающуюся от реальной менее чем на 2%. КХД на решётке также позволяет с приемлемой точностью рассчитывать и массы других, в том числе и ещё не открытых адронов, что облегчает их поиск.

В 2010 году с помощью решёточных расчётов была резко уточнена оценка массы u и d-кварков: погрешность снижена с 30% до 1,5%.

Уравнение эволюции Докшицера - Грибова - Липатова - Альтарелли - Паризи

На языке Бьоркена и Фейнмана виртуальный г (или, в общем случае, любой калибровочный бозон) рассматривает кварковыепартоны внутри нуклонной мишени как квазисвободные, потому что их (расширенное по Лоренцу) время взаимодействия КХД намного больше, чем - продолжительность виртуального взаимодействия фотонов. В результате структурные функции пропорциональны плотности партонов с долей x импульса нуклона, взвешенной с учетом квадрата заряда. Заряды кварков были получены на основе данных о структурных функциях электрона и нейтрино:

(26)

где - плотности числа партонов в протоне (с долей x продольного импульса протона), которые в пределе масштабирования не зависят от . Нормализация структурных функций и партонных плотностей такова, что выполняются соотношения зарядов:

(27)

Также экспериментально было доказано, что при значениях с несколькими ГэВ2, в области масштабирования около половины импульса нуклона, заданного правилом суммы импульсов, переносится нейтральными партонами (глюонами). Эти результаты сохраняются в КХД в верхнем порядке и позволяют подтвердить квантовые числа кварков.

В КХД существуют вычисляемые нарушения логарифмического скейлинга, вызванные . Только что введенные партонные правила могут быть обобщены в формуле:

(29)



Мы можем разложить на множители массовую особенность в переопределении плотности кварков: мы заменяем

на

Здесь коэффициент t обозначает , с k - константой, и то, что мы подставляем вместо зависит от определения перенормированной плотности кварков.

Эффективная партонная плотность которую мы определили, теперь зависит от масштаба. В терминах этой зависящей от масштаба плотности мы имеем следующие соотношения, где мы также заменили фиксированную константу связи на бегущую:

(30)

В самом низком порядке мы воспроизводим формулы партонной модели для структурных функций в терминах эффективных партонных плотностей, которые зависят от масштаба. Уравнения эволюции для партонных плотностей записаны в терминах ядер («функций расщепления»), которые могут быть расширены по степеням текущей связи. В первом порядке мы можем интерпретировать уравнение эволюции, сказав, что изменение плотности кварков в точке x определяется сверткой плотности кварков в y, умноженной на вероятность испускания глюона с долей x / y импульса кварка.

Интересно, что интегро-дифференциальное уравнение эволюции КХД для плотностей может быть преобразовано в бесконечный набор обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов Меллина. Момент fn плотности f(x) определяется как:

(31)

Более простое уравнение для n-го момента:

(32)

Решение:

(33)

Уравнение эволюции кварков тогда:

(34)

Где

(35)

В первом порядке интерпретация уравнения заключается просто в том, что изменение плотности кварков обусловлено сверткой плотности кварков при более высокой энергии, умноженной на вероятность нахождения кварка в кварке (с правильной долей энергии), плюс плотность глюонов при более высокой энергии, умноженная на вероятность нахождения кварка (с заданным ароматом i) в глюоне.

Уравнение эволюции для плотности глюонов, необходимое для замыкания системы, может быть получено путем соответствующего расширения той же линии рассуждений на зонд геданкена, чувствительный к цветовым зарядам, например, виртуальный глюон. Результирующее уравнение имеет вид:

(36)

Уравнения (34), (36) представляют собой уравнения эволюции КХД для партонных плотностей Грибова и Липатова (1972), Альтарелли и Паризи (1977), см. также Докшицер (1977), также называемые уравнениями DGLAP или GLAP или AP. Явная форма функций расщепления в низшем порядке может быть непосредственно получена из вершин КХД, так что они являются свойством теории и не зависят от конкретного процесса, в котором участвует партонная плотность. При более высоких порядках уравнения эволюции DGLAP легко обобщаются, но вычисление функций расщепления быстро становится очень сложным.

Кварк-глюонная и глюон-глюонная функция расщепления - вероятность исходному кварку испустить глюон



Функция расщепления > вероятность глюону в исходном состоянии испустить глюон.

Глюон-кварковая и кварк-кварковая функция расщепления - вероятность исходному глюону испустить кварк

Функция расщепления - вероятность того, что кварк в начальном состоянии испустит кварк

Помимо основного порядка, следует указать точное определение партонных плотностей. Как только определение партонных плотностей установлено, коэффициенты, которые связывают различные структурные функции с партонными плотностями в каждом фиксированном порядке, могут быть вычислены. Аналогично, функции расщепления более высокого порядка также зависят, в некоторой степени, от определения партонных плотностей, и для каждого порядка должен использоваться согласованный набор коэффициентов и функций расщепления.

Для разрешения каких вопросов применяется ДЛГАП?

* Чтобы извлечь партонные распределения из данных, учитывает начальную параметризацию поведения переменной функции x для различных партонных распределений при малых .

* Использование эволюционных уравнений DGLAP для определения партонных распределений для любых больших , где измеряются наблюдаемые.

* Фиттирование параметров, используемых при параметризации начальных условий.

* Выбор непертурбативных параметров.

* Вклад морских кварков (образованных парами кварк-антикварк, образовавшимися при глюонном расщеплении) .

*Доминирующее распределение в этой области - глюонное.

Понимание взаимодействия в сильном режиме для малого x - это трудная задача в КХД. Структурные функции в области малого x и изучение перехода между пертурбатиными непертурбативным режимами развито в рамках теории глубоконеупругих соударений. Уравнения DGLAP для партонных распределений хорошо описывают физику нарушения масштабирования. Однако все еще остается несколько вопросов:

* Где начинается область малого x?

* При каких значениях доли импульса x формализм DGLAP для эволюции структурных функций становится непригодным?

* Текущие данные показывают рост в пределе x = 0, и этот рост увеличивается с увеличением; наблюдается нарушение унитарности.



Рис. 7. Структурная функция при фиксированном x в сравнении с глобальным фиттингом на основе уравнения эволюции ДЛГАП. Выполненым в The MATLAB ReservoirSimulationToolbox (MRST)

Область малых x является связующим звеном пертурбативной и непертурбатиыной КХД, а константа связи все еще мала. Мотивацией развития уравнений ДЛГАП стала необходимость восстановить унитарность, аналитически разделить пертурбативную и непертурбативную КХД.

Требования заключались в следующем: учесть диаграммы с членами разложения порядка при ; включение интегрирования по всему фазовому пространству, образованному поперечными составляющими моментов испускаемых патронов. Таким образом, новый подход к описанию динамики требовался для описания распределения партонов.

Уравнения эволюции Балицкого - Фадина - Кураева - Липатова

В качестве возможного решения было разработано уравнения эволюции БФКЛ. Уравнение БФКЛ описывает эволюцию Бьоркеновской переменной при небольших Оно записывается в терминах функции глюонов которая дает вероятность нахождения глюона в нуклоне с поперечным попентом .

Дифференциальная форма уравнения имеет вид:

(37)

Оно справедливо для существенно малых значений , таких, что

(38)

В пределе высоких энергий распределение глюонов доминирует в эволюции.

Другая форма записи (37):

(39)

гдеж(x) - Риманова дзета-функция.

Первый множитель дает поведение распределение глюонов - характеристику формализма БФКЛ. ДинамикаБФКЛпредсказываетбыстрый рост поперечного сечения с ростом энергии.

Ограничения БФКЛ



Рис. 8. Описание уравнением БФКЛ структурной функции в сравнении с данными HERA.

Решение получено для , зависящего от Это ограничивает применимость уравнения диапазоном малых в котором поведение константы связи можно аппроксимировать. * Предсказание значительного увеличения числа глюонов нарушает ограничение Фруассара на максимально возможный рост полных сечений st сильных взаимодействий адронов при высоких энергиях:



Заключение

После того, как первоначальные измерения неупругого рассеяния были завершены, начались дейтронные исследования, предпринятые с целью найти структурные функции нейтрона. Были проведены эксперименты в большой области углов, и статистические, радиационные и систематические ошибки были уменьшены. Было найдено, что структурные функции нейтрона отличаются от протонных. Модель векторной доминантности была отброшена, а к 1972 г. было найдено, что все дифракционные модели и ядерная демократия не согласуются с экспериментальными результатами. Все более детальные партонные вычисления и сравнения с правилом сумм, теперь фокусирующиеся на кварковых составляющих, потребовали морских кварков - виртуальных кварк-антикварковых пар - в нуклоне, и, позже, глюонов - нейтральных бозонов, обеспечивающих межкварковые связи.

Что касается «теоретического фронта», был найден специальный класс теорий, который может включать асимптотическую свободу, и, однако, быть согласованным со связью, необходимой для обеспечения стабильности нуклона. Нейтринные эксперименты подтвердили спин 1/2, приписанный партонам, а также то, что партоны имеют скорее дробный, чем целый, электрический заряд. Было найдено, что число «валентных» кварков равняется 3, в согласии с первоначальными предположениями 1964 г.

...