Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение токов в электрической цепи методом контурных токов и узловых потенциалов

Оглавление

• Введение
• 1. Теоретическая часть
• 1.1 Метод контурных токов
• 1.2 Метод узловых потенциалов
• 2. Практическая часть
• 2.1 Решение задания 1 методом контурных токов
• 2.2 Решение задания 1 методом узловых потенциалов
• Заключение
• Библиографический список


Введение

Динамическое физическое действие электрического тока проявляется в нагреве и механическом воздействии на токоведущие элементы электротехнического устройства. В конечном итоге это влияет на долговечность и надежность его работы. Перегрев токоведущих элементов устройства в первую очередь вызывает интенсивный износ изоляции, что, в конечном счете, приводит к короткому замыканию сопровождаемому, как правило, электрической дугой. Превышение механических усилий своего допустимого значения приводит к разрушению устройства, затем - к короткому замыканию. Поэтому первым этапом расчета электротехнического устройства, ставится задача определения величин токов в элементах устройства. При этом считается, что конфигурация и параметры элементов схемы электрической цепи устройства известны.

Универсальными законами, позволяющими рассчитать любую электрическую цепь, являются законы Кирхгофа. Для упрощения математических расчетов, уменьшения порядка системы линейных алгебраических уравнений, Максвеллом были предложены методы контурных токов и узловых потенциалов. Это позволяет спланировать программу будущих действий. Поскольку вариантов возможных планов множество, то, необходимо из них выбрать лучший оптимальный по какому-либо критерию в соответствии с поставленной целью.

1.Теоретическая часть

1.1. Метод контурных токов

В составе любой электрической цепи имеются контуры и ветви. Действующие в них электротоки определяют при помощи правил Кирхгофа. При этом количество уравнений будет совпадать с количеством неизвестных величин.

Существуют способы упростить расчет цепей, сокращая количество необходимых для решения задачи уравнений. Один из наиболее известных основывается на таком понятии, как контурный ток. С его помощью процедура расчёта становится более эффективной, что особенно выгодно при рассмотрении наиболее сложных электрических цепей.

Иногда возникает вопрос, являются ли контурные токи реальными токами ветвей. В отдельных случаях это может быть так, но не всегда. Действительный ток равен контурному, если он протекает лишь в одном контуре.

При проведении расчётов онлайн или офлайн применяются особые, искусственно смоделированные электротоки. Одна из особенностей смоделированных электротоков заключается в том, что каждый проходит внутри элементарного контура. При этом рассматриваются только те из них, которые по сравнению друг с другом имеют новые ветви.

Расчет по методу контурных токов предполагает, что не все токи в рассматриваемой схеме являются независимыми. Поэтому этот способ позволяет сократить количество нужных для расчета уравнений. С его помощью можно определить действительные токи на каждом участке схемы.

Чтобы лучше понять, как можно определить токи в ветвях цепи методом контурных токов, предлагаем рассмотреть такую схему.

Рис. 1. Пример схемы

Анализ схемы показывает, что есть и контурные, и реально протекающие электротоки. Первые имеют индекс из одной цифры, вторые - из двух. Нужно заметить, что каждая сторона треугольника является отдельным контуром. В каждом из них задано направление обхода. Оно выбирается произвольно, но определяет знаки токов проходящих в ветвях. В качестве нагрузки используются резисторы, но могут рассматриваться и более сложные элементы. Учитывая направление токов, составляем систему уравнений:

Рис. 2. Система уравнений

Чтобы рассчитать составленную систему, воспользуемся правилами Кирхгофа:

Рис. 3. Второй закон Кирхгофа

При определении неизвестной величины слагаемое берётся с плюсом в тех ситуациях, когда направления электротоков в соседних контурах совпадают, и с минусом, когда они противоположные. ЭДС контура может быть положительной или отрицательной. Первый вариант применяется в тех случаях, когда направления электродвижущей силы и контурного электротока совпадают. В противном случае ЭДС берётся с минусом.

Уравнение составляется не для всех контуров. Исключением являются те, в которых присутствует источник электротока. В такой ситуации контурный ток совпадает с реальным. Количество уравнений в полученной системе равно количеству контуров, являющихся независимыми, то есть тех, у которых имеется хотя бы одна ветвь, отличающая их от всех других. Решение полученной системы уравнений позволит вычислить электротоки на каждом участке схемы.

1.2. Метод узловых потенциалов

Метод расчета, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Этот метод наиболее рационально применять в схемах, где число узлов без единицы (q-1) меньше, чем число n контуров. В этом случае он более экономичен, чем метод контурных токов. Количество неизвестных можно уменьшить еще на одну, если один из узлов заземлить, присвоив ему нулевой потенциал (это можно сделать без изменения токораспределения в схеме).

Рассмотрим, как выразить ток через потенциалы узлов. Пусть есть ветвь, содержащая сопротивлениеRmn и источник ЭДСEmn, и подключенная кузлам m и n. Ток направим согласно с ЭДС, от узла m к узлу n, и обозначимImn. Обозначим потенциалы этих узлов цmи цn соответственно. Определим потенциал вспомогательной точки а - цa. Он будет меньше потенциала цmна величину падения напряжения на сопротивлении ветви: ImnRmn:цa=цm - ImnRmn. Теперь определим потенциал точки n относительноточки а: поскольку направление стрелки в источнике ЭДС указывает направление возрастания потенциала, то потенциал точки n будет больше потенциала ц a точки а на величину ЭДС:цn=цa + Emn. Подставляя затем сюда выражение цa=цm - ImnRmn и выражая ток, получим:. Если записать токи во всех ветвях таким образом, а затем составить уравнения для (q-1) узла по первому закону (исключая заземленный узел), то получим систему, позволяющую найти потенциалы узлов, а затем и токи в ветвях.

2. Практическая часть

2.1 Решение задания 1методом контурных токов

Определить токи ветвей в схеме I_1…I₆

Исходные данные: Е1=4 В, Е2=40 В, Е3=10 В, Е4=20 В, R1=2 Ом, R2=5 Ом, R3=10 Ом, R4=5 Ом, R5=10 Ом.

Решение:

Нарисуем схему:

Рис. 4. Электрическая цепь

Выражаем токи ветвей из контурных токов:

I1=I22;

I2=I33-I22;

I3=I11;

I4=I11-I22;

I5=I11-I33;

I6=I33.

Записываем для каждого контура второй закон Кирхгофа:

1) Собственное сопротивление контуров:

R11=R1+R3=12 Ом;

R22=R2+R4=10 Ом;

R33=R3+R4+R5=25 Ом.

2) Общее сопротивление контуров:

R12=R21=0 Ом;

R13=R31=-10 Ом;

R23=R32=-5 Ом.

3) ЭДС Контура:

Е11=Е4-Е1=16 В;

Е22=Е2-Е3-Е4 =10 В;

Е33=Е3=10 В.

4) Выводим систему:

I11*R11+I22*R12+I33*R13=E11;

I11*R21+I22*R22+I33*R23=E22;

I11*R31+I22*R32+I33*R33=E33.

5) Подставляем полученные значения:

I11*12+I22*0-I33*10=16;

I11*0+I22*10-I33*5=10;

- I11*10-I22*5+I33*25=10.

6) Составляем матрицы и находим их определитель:

7) Находим токи контуров:

8) Находим токи в цепи:

Ответ: По методу контурных токов, токи равны: I1=2A; I2=0A; I3=3A; I4=1A; I5=1A; I6=2A

кирхгоф контурный ток узловой

2.2 Решение задания 1 методом узловых потенциалов

Определить токи ветвей в схеме I_1…I₆

Исходные данные: Е1=4 В, Е2=40 В, Е3=10 В, Е4=20 В, R1=2 Ом, R2=5 Ом, R3=10 Ом, R4=5 Ом, R5=10 Ом.

Решение:

Нарисуем схему:

Рис. 5. Электрическая цепь

1) Известные потенциалы:

ц0 =заземлен=0 В;

если ц0=0, то ц2=Е4=20 В.

2) Записываем выражения для токов в ветвях через потенциалы узлов:

2) Составим системы уравнений для узлов:

3) Собственная проводимость:

4) Общие проводимости:

5) Источники тока:

6) Подставляем полученные значения:

6) Подставляем значения:

0,7

0,1

7) Система уравнений

8) Подставляем потенциалы и определяем токи в цепи:

Ответ: По методу узловых потенциалов токи равны: I1=2A; I2=0A; I3=3A; I4=1A; I5=1A; I6=2A

Заключение

кирхгоф контурный ток узловой

При выполнении данной работы был изучены методы решения задач с помощью методов контурных токов и узловых потенциалов.

Библиографический список

1. Основы электротехники и электроники: учебник для высшего профессионального образования / В.Т. Еременко, А.А. Рабочий, А.П. Фисун и др.; под общ. ред. В.Т. Еременко. - Орел: ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК», 2012. - 529 с

2. Нейман, В.Ю. Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Часть 1. Линейные электрические цепи постоянного тока / В.Ю. Нейман. - Новосибирск: НГТУ, 2011. - 116 с.

3. Курочкин А.Е. Методы анализа и расчета аналоговых электронных устройств: Методическое пособие по курсовому и дипломному проектированию для студентов специальностей 2301 и 2308 - Мн.: БГУИР, 1994 -34 с. Визгунов Н.П. - Динамическое программирование в экономических задачах - Н. Новгород: ННГУ, 2011. - 72 с.

4. Курочкин А.Е. Методы анализа и расчета аналоговых электронных устройств: Методическое проектированию для студентов специальностей 2301 и 2308 - Мн.: БГУИР, 1994 -34 с.

Размещено на Allbest.ru