Расчет температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» (НИТУ «МИСиС»)

Институт Новых материалов и нанотехнологий

Кафедра полупроводниковой электроники и физики полупроводников

Направление (профиль) 11.03.04 Электроника и наноэлектроника

(Полупроводниковые приборы микро- и наноэлектроники)

Курсовая работа

Дисциплина: Физика конденсированного состояния

Расчет температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников

Обучающийся (группы) БЭН-21-1

Христенко И.А.

Преподаватель доцент

Коновалов М.П.

Москва 2024



Задание на выполнение курсовой работы

Студенту группы БЭН-21-1 Христенко Илья Александрович

Тема работы: Расчет температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников

1) Теоретическая часть

- классификация веществ по величине и температурной зависимости проводимости;

- модельные представления об электропроводности собственных и примесных полупроводников;

- температурная зависимость концентрации носителей заряда и уровня Ферми в полупроводниках с одним типом примеси;

- эффект Холла;

- магниторезистивный эффект.

2) Расчетная часть

Рассчитать температурную зависимость, построить таблицы и графики функций:

- ln n = f (1/T) или ln p = f (1/T);

- F = f (T);

- м = f (T);

- ln у = f(1/T).

Рассчитать численные значения параметров заданного полупроводника при T = 300 К:

- подвижность основных носителей заряда с учетом вклада рассеяния на тепловых колебаниях решетки и ионах примеси;

- удельная электропроводность;

- коэффициент Холла;

- удельная теплопроводность;

- дифференциальная термоэдс;

- вклад Эффекта Эттингсгаузена в холловские измерения.

Исходные данные:

- кремний, легированный бор;

- концентрация бора - 1.5 ? 10¹⁷ см^-3.



Содержание

электропроводность носитель заряд

1. Классификация веществ по величине и температурной зависимости проводимости

2. Модельные представления об электропроводности собственных и примесных полупроводников

3. Температурная зависимость концентрации носителей заряда и уровня Ферми в полупроводниках с одним типом примеси

4. Эффект Холла

5. Магниторезистивный эффект



1. Классификация веществ по величине и температурной зависимости проводимости

В зависимости от электропроводности все материалы подразделяют на проводниковые, полупроводниковые и диэлектрические. У металлов удельная электрическая проводимость лежит в диапазоне 10⁵ < у < 10⁸ (Ом • см)^?1, у диэлектриков она у < 10^?12 (Ом • см)^?1, и у полупроводников занимает промежуточное положение между приведенными величинами 10^?12 < у < 10⁵ (Ом • см)^?1. Такое деление в значительной степени условно, так как электропроводность меняется в широких пределах при изменении состояния вещества. При температурах, близких к абсолютному нулю, полупроводники являются диэлектриками. С ростом температуры проводимость полупроводников растет.

У металлов же, с ростом температуры проводимость падает по гиперболическому закону, эта зависимость имеет вид:

(1)

где - удельное сопротивление металла, Ом • см;

0 - удельное сопротивление металла при T0, Ом • см;

T0 - температура, равная 273, K.

Зона, заполненная электронами, называется валентной (Ev). Свободная зона называется зоной проводимости (Ес). Промежуток между валентной зоной и зоной проводимости называется запрещенной зоной (Eg). Значение этой зоны влияет на свойства материалов. Если Eg приближается к нулю, то такие вещества относят к проводникам (металлы).

Если значение Eg больше 3 эВ, то такие вещества относят к диэлектрикам.

Если значение Eg от 0,01 до 3 эВ, то электроны легко переходят из валентной зоны в зону проводимости благодаря внешней энергии. Вещества с управляемой проводимостью относят к полупроводникам.

Полупроводниками называют материалы, которые находятся между проводниками и диэлектриками по уровню проводимости. Их особенностью является сильная зависимость проводимости от концентрации примесей, дефектов и внешних воздействий, таких как температура или освещенность.

Электропроводность полупроводников обусловлена движением электронов и дырок. Введение примесей изменяет распределение заряда, так как оно влияет на положение уровня Ферми и концентрацию носителей заряда. Примесные атомы могут вести себя как доноры (отдающие электроны) или акцепторы (принимающие электроны), в зависимости от их валентности. Соотношение между концентрациями электронов и дырок определяется "действующими массами". При достаточно высоких температурах в полупроводнике преобладает собственная электропроводность, когда концентрации электронов и дырок равны. Отличительным свойством полупроводников является сильная зависимость удельной проводимости от концентрации и вида примесей и дефектов в материале, а также от внешних воздействий, зависимость электропроводности от температуры представлена на рисунке 1. Удельную электропроводность полупроводника можно записать в виде:

(2)



Рисунок 1. Зависимость ???? ?? от обратной температуры для металлов и полупроводников

Ключевой отличительной чертой полупроводников от металлов является то, что в проводимости этих материалов участвуют два вида заряженных частиц: электроны и положительные по заряду квазичастицы (так называемые «дырки»). Формулы для расчета электропроводности электронного и дырочного полупроводников выглядят следующим образом:

(3)

(4)

где и - подвижности электронов и дырок;

n и p - концентрации электронов и дырок;

q - электрический заряд.

Условно к проводникам относят материалы с удельным электрическим сопротивлением < 10?5 Ом · м. С точки зрения зонной теории к проводникам (металлам) относятся вещества, имеющие или не полностью заполненную энергетическую зону, или частично перекрывающиеся полностью заполненную и свободную зоны, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рисунок 2). В таком случае при наложении внешнего электрического поля электроны могут переходить на более высокие энергетические уровни в зоне, вследствие чего они приобретают скорость направленного движения, участвуя в электрическом токе.

Рисунок 2. Температурная зависимость удельного сопротивления проводников

С ростом температуры удельное сопротивление проводников увеличивается. Для примера на рисунке 3 приведена зависимость = f(t) для меди.

Рисунок 3. Зависимость = f(t) для меди до плавления металла

Диэлектрики - это материалы, которые обладают очень низкой проводимостью электрического тока. Они характеризуются тем, что электроны в них практически не могут свободно двигаться под воздействием электрического поля. В отличие от проводников и полупроводников, где проводимость определяется движением заряженных частиц, в диэлектриках заряды могут перемещаться только в результате поляризации атомов или молекул под воздействием электрического поля.

Полупроводник отличается от диэлектрика лишь более узкой запрещённой зоной. Поэтому при низких температурах свойства полупроводников и диэлектриков близки, а при повышении температуры электропроводность полупроводников возрастает и становится заметной.

2. Модельные представления об электропроводности собственных и примесных полупроводников

Одним из ключевых параметров, определяющих электрические, оптические и другие свойства полупроводников, является ширина запрещенной зоны. Для лучшего понимания смысла этой характеристики давайте рассмотрим основные модели, описывающие электропроводность полупроводников на примере материалов 4-й группы, таких как германий и кремний.

В полупроводнике между атомами происходит образование ковалентной связи, которая поддерживается парой электронов, принадлежащих обоим атомам. Если в кристалле полупроводника нет нарушенных ковалентных связей, то свободных электронов в кристаллической структуре отсутствуют, что приводит к отсутствию электропроводности. На рисунке 4 показана двумерная модель ковалентной решетки полупроводника на примере кремния. При температуре T = 0 К отсутствуют свободные электроны в решетке из-за того, что все валентные электроны участвуют в ковалентных связях. При увеличении температуры флуктуации теплового движения атомов могут вызвать разрыв ковалентных связей в некоторых областях кристалла, что приводит к высвобождению электронов, способных участвовать в проводимости. Таким образом, для превращения валентного электрона в электрон проводимости требуется внесение определенной энергии активации ДЕ, равной энергии разрыва ковалентной связи.



Рисунок 4. Двумерная модель ковалентной решетки полупроводника на примере кремния

После того, как электрон покидает свою орбиту, происходит нарушение соответствующей ковалентной связи. Электроны, связанные с соседними атомами, могут переместиться в вакансию. Это движение связанных электронов по вакантным местам можно рассматривать как движение положительно заряженных дырок в противоположном направлении. Таким образом, разрыв ковалентных связей в полупроводнике приводит к двум механизмам электропроводности: электронной проводимости, связанной с движением свободных электронов против электрического поля, и дырочной проводимости, соответствующей движению положительно заряженных дырок в направлении электрического поля. Общая электропроводность полупроводника состоит из суммы этих двух составляющих.

Полупроводники, в которых электропроводность обусловлена разрывом собственных ковалентных связей в кристаллической решетке, называются собственными. В таких полупроводниках концентрация свободных электронов равна концентрации дырок. Концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках увеличивается при повышении температуры. Более низкая энергия активации ДЕ (энергия разрыва ковалентных связей) в полупроводнике приводит к большей концентрации носителей заряда при той же температуре.

В полупроводнике имеют место процессы генерации и рекомбинации носителей заряда, и при любой температуре эти процессы находятся в равновесии. При этом в собственном полупроводнике существуют собственные концентрации электронов и дырок:

n = (5)

где - положение дна зоны проводимости

- положение потолка валентной зоны;

- уровень Ферми.

Эффективные плотности состояний в зоне проводимости и в валентной зоне:

(6)

(7)

где и - эффективные массы электронов и дырок;

h - постоянная Планка.

У собственного полупроводника уровень Ферми находится вблизи середины запрещенной зоны. В таком случае концентрация собственных носителей:

(8)

где - ширина запрещенной зоны.

Электропроводность собственного полупроводника:



(9)

Проводник, в котором один из атомов в кристаллической структуре замещен атомом другого элемента, именуется примесным проводником, а его способность проводить электричество определяется как примесная электропроводность. Примесные полупроводники делятся на два типа: p-тип и n-тип, которые различаются валентностью добавленных примесей. Полупроводники типа n формируются путем введения в 4-валентный полупроводник примесей с 5-валентностью, что приводит к появлению свободных электронов и положительно заряженных ионов донорной примеси.

Рисунок 5. Образование (генерация) свободных носителей заряда - электронов и дырок - в легированном (примесном) полупроводнике

Вместе с ионизацией примеси происходит также и ионизация атомов основного материала. Однако, при температурах ниже уровня значительной собственной электропроводности, количество электронов, оторванных от примесей, будет заметно больше, чем количество электронов и дырок, образованных в результате разрыва ковалентных связей. В результате этого электроны играют доминирующую роль в проводимости полупроводника, их обозначают как основные носители заряда, в то время как дырки рассматриваются как неосновные. Такой тип полупроводника называется электронным или p-типа, а примесь, высвобождающая электроны, - донорной или примесью p-типа.

3. Температурная зависимость концентрации носителей заряда и уровня Ферми в полупроводниках с одним типом примеси

Уровень Ферми в полупроводниках представляет собой энергетический уровень, который определяет вероятность нахождения электрона в состоянии с определенной энергией при термодинамическом равновесии. Этот уровень разделяет энергетические зоны, в которых могут находиться электроны с разными энергиями. В полупроводниках Уровень Ферми располагается между валентной зоной, где находятся электроны, связанные с атомами материала, и зоной проводимости, где электроны обладают достаточной энергией для свободного движения. Положение Уровня Ферми определяется концентрацией электронов и дырок в полупроводнике при данной температуре и является ключевым параметром, определяющим электропроводность и другие электрические свойства материала.

Уровень Ферми также является индикатором верхней границы энергий, которые могут быть заняты электронами при термодинамическом равновесии. При комнатной температуре он обычно находится вблизи середины зоны запрещенных состояний, что обеспечивает баланс между заполненными и незаполненными электронными состояниями. Изменение положения Уровня Ферми в полупроводнике может происходить под воздействием внешних факторов, таких как температура, добавление примесей и т.д.

Полупроводник может содержать как донорную, так и акцепторную примесь. Пусть концентрации этих примесных уровней составляют соответственно, и они располагаются на расстоянии и от краев соответствующих зон.

Для определения положения уровня Ферми в полупроводнике используется уравнение электронейтральности, которое в этом случае будет иметь вид:

(8)

где и - концентрации электронов в зоне проводимости и на донорных уровнях

и - концентрации дырок в валентной зоне и на акцепторных уровнях

Рассмотрим случай невырожденного полупроводника:

(9)

где F - уровень Ферми

- уровень донорной примеси

g - фактор вырождения

Для донорного полупроводника будем считать, что >> и температура не слишком велика, так что переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости можно пренебречь. Тогда определение уровня Ферми принимает вид:

(10)

Проведем анализ найденного выражения для уровня Ферми. В области низких температур, когда выполняется условие:



(11)

Формула (10) упрощается, и положение уровня Ферми определяется выражением:

(12)

Из (12) видно, что уровень Ферми при абсолютном нуле температуры проходит посередине между дном зоны проводимости и примесным уровнем. При достаточно низких температурах (пока <) уровень Ферми повышается до некоторого максимального, а затем начинает снижаться. Такому изменению уровня Ферми отвечает экспоненциальная зависимость концентрации электронов от температуры:

(13)

Эта область называется областью слабой ионизации примеси.

При последующем повышении температуры концентрация электронов в зоне проводимости растет, а концентрация электронов на примесных уровнях уменьшается. При выполнении неравенства:

(14)

Формула (12) аппроксимируется выражением:

(15)



которому соответствует:

(16)

Это означает, что практически вся донорная примесь оказывается ионизированной, и концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры. Эта область температур называется областью истощения примеси (или областью насыщения).

Температура , при которой , называется температурой насыщения, и ее можно определить из условия:

(17)

При последующем повышении температуры увеличение концентрации электронов в зоне проводимости будет происходить за счет переходов электронов из валентной зоны. В этом случае положения уровня Ферми и концентрация электронов определяются формулами (16) и (17).

В случае собственной проводимости, воспользовавшись, получаем уравнение для определения температуры перехода к собственной проводимости:

(18)

Таким образом, используя описанные приближения, можно проследить изменение концентрации электронов и положения уровня Ферми для невырожденного электронного полупроводника во всей области изменения температур.



Рисунок 6. Положение уровня Ферми для полупроводника n -типа

Рисунок 7. Изменение концентрации носителей заряда для примесного полупроводника в зависимости от температуры

4. Эффект Холла

Кинетические эффекты, имеющие место при одновременном воздействии на проводник электрического и магнитного полей, называют гальваномагнитными. Эффект Холла является одним из гальваномагнитных эффектов. Причиной всех гальваномагнитных явлений является отклонение траектории движущихся заряженных частиц - электронов и дырок под действием силы Лоренца:



(19)

где - скорость частицы

- индукция внешнего магнитного поля.

Рассмотрение эффекта Холла проведем для слабого магнитного поля. Под слабым магнитным полем понимают такое поле, для которого период обращения . по круговой орбите в магнитном поле много больше времени релаксации :

(20)

В слабых полях:

(21)

где - частота

- эффективная масса

B - индукция

м - подвижность носителей заряда

В сильных полях:

(22)

Таким образом, условие слабого и сильного магнитного полей определяется не только индукцией магнитного поля B, но и подвижностью носителей заряда м.

Если воспользоваться длиной свободного пробега и радиусом циклоторонной орбиты , по которой движется носитель заряда, то:



(23)

Поворот траекторий носителей заряда в магнитном поле вызовет появление поперечной компоненты плотности тока , что, в свою очередь, вызовет накопление заряда на боковых гранях образца при разомкнутых «холловских» контактах 3 и 4 (рисунок 8). Накопление заряда на боковых гранях приведет к возникновению холловской ЭДС (поперечного поля Холла ). Знак холловской ЭДС (направление поля Холла) будет определяться знаком основных носителей заряда в полупроводнике. Так, для геометрии эксперимента, изображенной на рисунке 8, правая грань будет заряжаться отрицательно, если основными носителями заряда являются электроны, и положительно - если образец имеет дырочную проводимость. Подчеркнем, что электроны и дырки будут отклоняться к одной и той же грани образца. Заряды этих частиц противоположны по знаку, но и дрейфовые скорости в электрическом поле направлены в противоположные стороны, т.е. сила Лоренца будет направлена и для электронов, и для дырок в одну сторону. Накопление зарядов на боковой грани не будет продолжаться бесконечно - за время, сравнимое с временем , т.е. за , холловское поле создаст ток , равный по величине и направленный противоположно току . В результате полный ток в поперечном направлении (по оси y) будет равным нулю, а стационарное значение холловского поля будет пропорционально плотности тока через образец и индукции магнитного поля:

(24)



Рисунок 8

Действие магнитного поля B приводит к тому, что суммарное электрическое поле оказывается повернутым на некоторый угол (угол Холла) относительно тока. Угол Холла определяется холловской подвижностью :

= (25)

(26)

где - дрейфовая подвижность;

- напряженность электрического поля;

- Холл-фактор, величина которого зависит от механизма рассеяния носителей заряда в полупроводнике.

Коэффициент Холла в пределе слабых и сильных магнитных полей будет разным. В случае слабых магнитных полей

(27)



Для рассеяния на тепловых колебаниях решетки А?1,17, в свою очередь для рассеяния на ионах примеси А?1,93.

5. Магниторезистивный эффект

Искривление траектории носителей заряда в магнитном поле приводит к изменению составляющей тока, направленной вдоль вектора электрического поля, что эквивалентно изменению удельного сопротивления полупроводника. Это явление получило название эффекта магнитосопротивления (эффект Гаусса) или магниторезистивного эффекта.

Удельное сопротивление в отсутствие магнитного поля, когда направление плотности тока J совпадает с направлением напряженности электрического поля , определяется выражением вида:

(28)

Выражение для тока в слабых магнитных полях:

(29)

Оставаясь в рамках линейного приближения по магнитному полю и пренебрегая членами, содержащими , с учетом получаем:

(30)

Следовательно, из формул (28), (29) и (30):

(31)



Таким образом, а слабом магнитном поле в линейном приближении сопротивление полупроводника не меняется.

Размещено на Allbest.ru

...