Нелінійна парна регресія, як спосіб моделювання напружено-деформованого стану в деталях та елементах конструкцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара

НЕЛІНІЙНА ПАРНА РЕГРЕСІЯ, ЯК СПОСІБ МОДЕЛЮВАННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ В ДЕТАЛЯХ ТА ЕЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦІЙ

Сясєв Андрій Валерійович

канд. фіз-мат. наук, доцент, доцент

кафедри диференціальних рівнянь

Анотація

Показано, як за допомогою нелінійної парної регресії, а саме кубічної регресії, маючи експериментальні дані, можна дослідити взаємозв'язок дотичних напружень між різними шарами циліндричної деталі при нарощуванні. Така постановка задачі і підхід до її розв'язання є новими на даний час і не зустрічається у літературі. Розглянуто шість пар залежностей (моделей) між дотичними напруженнями. За кожною парою залежностей проведено оцінку точності побудованої моделі використовуючи середню помилку апроксимації та F-критерій Фішера, проведено порівняльний аналіз. Незважаючи на деякі протиріччя, які виникли при оцінці моделей за різними параметрами регресії, встановлено, що принаймні чотири із шести моделей є оптимальними і дозволяють адекватно моделювати процес формування напружено-деформованого стану у деталях та елементах конструкцій значно з меншими витратами ще до стадії виготовлення готової продукції. Цей факт приймає важливе особливе значення оскільки експериментальна база передбачає великі матеріальні витрати, які не бажані у військовий та післявоєнний час.

Ключові слова: нелінійна парна регресія, напружено-деформований стан, математичне моделювання, кубічна регресія, коефіцієнт детермінації, середня помилка апроксимації.

Вступ

При розв'язанні різноманітних прикладних задач, зокрема задач пов'язаних із моделюванням процесів нарощування, виникає необхідність детального аналізу напружено-деформованого стану в деталях та елементах конструкцій.

Об'єкт дослідження - формування напружено-деформованого стану (НДС) у циліндрі, що нарощується.

Предмет дослідження - нелінійна парна регресія, як метод математичного моделювання НДС.

Мета роботи - за допомогою регресійного аналізу встановити міру зв'язку між дотичними напруженнями у різних шарах циліндру, що нарощується та виявити можливі аналітичні залежності, що найкращим чином описують ці залежності (оптимальну модель).

З процесами нарощування ми зустрічаємося при вивченні різних технологічних і природних процесів типу намотування, напилювання, осадження, заморожування, аккреції, а також при послідовному зведенні та завантаженні споруджень і будівельних конструкцій, при вирощуванні кристалів, фазових перетвореннях у твердих тілах і т. п [1 - 5]. У теперішній час особливе значення приймають технології нарощування у військовому виробництві: спосіб відновлення пошкоджень корпусних деталей військової техніки; корпуси та елементи літаків, планерів, безпілотників та легкомоторних літаків; композитна броня для військової техніки; корпуси ракетних двигунів, радіопрозорі бані, обтічники різних антен; хімічно стійкі ємності, резервуари та трубопроводи для транспортування агресивних середовищ. напруження деталь циліндр нарощування

Теоретичне обґрунтування нових технологій виробництва різноманітних деталей шляхом нарощування [1,3, 4,6], вимагає розвитку методів розрахунку, що відображають у більш повній мірі властивості матеріалу, з якого виготовляється та чи інша деталь. Відомо, зокрема, що полімери та композитні матеріали [1, 7, 8], які використовуються при виготовленні різних деталей та елементів конструкцій, мають виражені властивості повзучості. Ця обставина приводить до перерозподілу напружень у деталі в процесі нарощування, зміни форми і розмірів після виготовлення та при навантажені.

Одним із основних питань при розв'язуванні таких задач та моделюванні подібних процесів є задача про визначення та дослідження напружено - деформованого стану, розв'язання якої в більшості випадків, на даний момент, можливе лише числовими методами [9 -12] або за рахунок експерименту.

Основний недолік числових методів - розв'язок задачі є таблицею чисел, що не дає можливості встановити безпосередній зв'язок між шуканими величинами. Так само і з експериментальними даними, але експериментальна база передбачає ще і великі матеріальні витрати, які не бажані у військовий та післявоєнний час. Але це зовсім не означає, що виробництво має призупинитися, навпаки - треба залучати прогресивні алгоритми, методики та методи, які дозволять спрогнозувати формування НДС значно з меншими витратами ще до стадії виготовлення готової продукції. Одним із таких підходів є регресійний аналіз [13, 14], який дозволяє маючи експериментальні данні встановити міру зв'язку та аналітичні залежності між величинами, які описують той чи інший процес.

З практичної точки зору, особливу увагу заслуговує дослідження та аналіз залежностей напружень і переміщень між різними шарами тіла обертання, що нарощується. Це обумовлено тим, що у механиці подібних процесів, взагалі кажучи, не існує співвідношень з яких можна було б аналітично визначити такі залежності. Тому будь-який підхід, який дозволяє це зробити є новим.

У даній роботі показано, як за допомогою нелінійної парної регресії, маючи тільки експериментальні дані, можна дослідити взаємозв'язок дотичних напружень у різних шарах циліндричної деталі при нарощуванні. Ця робота є, так би мовити, анонсом (першим етапом) наступних авторських досліджень пов'язаних з аналітичним моделюванням формування НДС, та процесів нарощування в цілому, за допомогою регресійного аналізу.

Виклад основного матеріалу

Розглянемо порожнистий однорідний круговий циліндр із полімерного матеріалу, поперечний переріз якого являє собою кругове кільце внутрішнього радіуса а₀ і зовнішнього Ь₀. Починаючи з моменту часу t = 0 до циліндра зсередини прикладається внутрішній тиск P(t), Р( 0) = Ро і починається його безперервне нарощування однорідним в'язкопружним матеріалом, так що внутрішній радіус циліндра монотонно спадає за законом a(t), а(0) = а₀. У момент часу Т внутрішній радіус циліндра досягає значення а₁, і процес нарощування припиняється, тобто a(t) = а₁ при t>T (рис. 1).

Функції a(t) і P(t) передбачаються неперервно диференційовні на інтервалі 0 < t <Т. Треба визначити напружено-деформований стан у циліндрі для всіх t > 0 та дослідити взаємозв'язок між дотичними напруженнями у різних шарах циліндра отримавши аналітичні залежності. Така постановка на даний час не зустрічається в літературі.

Рис. 1 Схема нарощування циліндру

Математична постановка задачі полягає у наступному. Із експерименту [4, 5, 15] маємо значення дотичних напружень т_г$ у циліндрі, що нарощується для таких шарів циліндру: 1 - г = Ь₀; 2 - г = 0,9Ь₀ -- 0; 3 - г = 0,79Ь₀ (табл. 1).

Необхідно визначити нелінійну аналітичну залежність, що найкращим чином описує зв'язок

1. T_r$(b₀,t)(r_r$(0.9b₀,t)), де T_r$(0.9b₀,t) - факторна незалежна змінна, T_r$(b_Q,t) - результативна залежна змінна. У подальшому, для скорочення запису, цю залежність позначатиме Y1(X2).

2. T_r$(b_Q,t)(r_r$(0.79b_Q,t)), де т_г$(0.79b_Q,t) - факторна незалежна змінна, т_r$(b₀,t) - результативна залежна змінна. У подальшому, для скорочення запису, цю залежність позначатиме Y1(X3).

3. т_г$(0.9Ь₀, t)(r_r$(0.79b₀,t)), де z_r$(0.79b₀, t)факторна незалежна змінна, T_r$(0.9b₀,t) - результативна залежна змінна. У подальшому, для скорочення запису, цю залежність позначатиме Y2(X3).

За кожною парою залежностей провести оцінку точності побудованої моделі використовуючи середню помилку апроксимації А та F-критерій Фішера, а також побудувати зворотні моделі Y2(X1), Y3(X1), Y3(X2). Провести порівняльний аналіз.

Для розв'язання поставленої задачі застосуємо регресійний аналіз, а саме - нелінійну парну регресію. Розрахунки проводились у програмі Microsoft Excel. Результати розрахунків наведені на рис. 2 та у табл. 2.

Таблиця 1

Експериментальні дані

дані сформовано з [4, 5, 15]

кубічна регресія найкращим чином описує досліджувані залежності, тобто є оптимальною моделлю. Обґрунтування цього факту наведено нижче.

Коефіцієнт детермінації R² обчислюється програмою автоматично (0 < R² < 1). Функціональний зв'язок виникає при значенні, що дорівнює 1, а відсутність зв'язку - 0. Інші параметри обчислювалися за наступними формулами.

Індекс кореляції -

Чим більше значення індексу кореляції наближається до 1, тим сильніше спостерігається зв'язок між змінними.

Середня помилка апроксимації -

де:

п - кількість спостережень; Уі - фактичне значення;

Уі - прогнозоване значення.

Побудоване рівняння регресії вважається високої точності, якщо А < 10%, хороша точність - 10% < А < 20%, задовільна точність - 20% < А < 50%, незадовільна точність - А > 50%.

F-критерій Фішера обчислюємо за формулою

де:

m - число параметрів при змінних (степінь рівняння регресії).

Якщо F > _Р_табл, то коефіцієнт детермінації статистично значущий (знайдена оцінка рівняння регресії статистично надійна), F < _Р_табл - знайдена оцінка рівняння регресії статистично не надійна. Значення F_Ta^ обираємо із таблиці значень [16] критерія Фішера.

Для зручності аналізу одержаних результатів сформуємо таблицю (табл. 2).

Таблиця 2

Результати розрахунків

дані сформовано за даними розрахунків з рис. 2

Fi-абл для перших двох залежностей (стовпчиків) - 4,35, а для інших - 5,41.

Перейдемо до інтерпретації одержаних результатів.

1. Залежність Y1(Z2) або модель 1(2). Маємо індекс кореляції Рху = 0,7192, що говорить про середній (помірний) рівень зв'язку між змінними.

Це підтверджується і значенням коефіцієнта детермінації R² = 0,5187, що означає - у 51,87% випадків зміни дотичних напружень T_r$(0.9b₀,t) (Х2) призводять до зміни напружень т_r$(b₀,t) (Х1). Іншими словами - точність підбору рівняння регресії - не дуже висока. Середня помилка апроксимацію у 10,83% говорить про хорошу точність. Критерій Фішера F = 2,4996 < _Р_табл = 4,35 - з формально-математичної точки зору знайдена оцінка рівняння регресії Y1 = 1612,4(X2)³ - 752,15(X2)² - 81,531(X2) - 4,179 (4) статистично не надійна.

Таким чином, всупереч деяким протиріччям в оцінці моделі 1(2) за різними параметрами регресії слід вважати зв'язок між дотичними напруженнями т_гй(Ь₀, t)(r_r^(0.9b₀,0) задовільним, але рівняння кубічної регресії (4) не бажано використовувати як оптимальну модель для прогнозування формування НДС у деталях та елементах конструкцій. При певних умовах рівняння (4) все ж таки можна, на мій погляд, використовувати на практиці, як деяке перше наближення. Справа у тім, що з підвищенням степеня апроксимації результат буде трохи кращим, але застосування поліноміальної регресії високого степеня часто не має практичного сенсу.

2. Залежність Х1(Х3) або модель 1(3). Індекс кореляції р_ху = 0,9755 вказує на дуже високий рівень зв'язку між змінними, як і значення коефіцієнта детермінації R² = 0,9517. Це означає, що у 95,17% випадків зміни дотичних напружень т_гй(0.79Ь₀, t)(X3) призводять до зміни напружень т_гй(Ь₀, t) (Х1).

Іншими словами - точність підбору рівняння регресії - дуже висока. Інші 4,83% зміни т_гй(Ь₀,t) пояснюються факторами, які не враховані в моделі, а також помилками специфікації. Середня помилка апроксимацію у 3,2% також говорить про високу точність. Критерій Фішера F = 32,827 > _Р_табл = 4,35 - підтверджується статистична значимість всього рівняння регресії

Y1 = -1238,5(X3)³ - 413,9(X3)² - 47,348(X3) - 5,4142 (5)

та показника тісноти зв'язку R².

Отже, за всіма параметрами регресії зв'язок між дотичними напруженнями т_гй(Ь₀, t)(r_r^(0.79b₀, t)) є тісним, а рівняння кубічної регресії (5) для моделі 1(3) можна вважати оптимальним при моделюванні НДС.

3. Залежність Х2(Х3) або модель 2(3). У даному випадку індекс кореляції р_ху = 0,8639, як і коефіцієнт детермінації R² = 0,747, вказують на високий рівень зв'язку між змінними. У 74,7% випадків зміни дотичних напружень т_гй(0.79Ь₀, t)(X3) призводять до зміни напружень т_гй(0.9Ь₀, t) (Х2). Іншими словами - точність підбору рівняння регресії - висока. Середня помилка апроксимацію у 3,34% також говорить про високу точність. Критерій Фішера F = 5,9 > _Р_табл = 5,41 підтверджується статистична значимість всього рівняння регресії

Y2 = -121,94(X3)³ - 40,59(X3)² - 3,7885(X3) - 0,3542. (6)

Таким чином, за всіма параметрами регресії зв'язок між дотичними напруженнями т_гй(0.9Ь₀, t)(r_r^(0.79b₀, t)) є тісним, а рівняння кубічної регресії для моделі 2(3) можна вважати оптимальним при моделюванні НДС.

4. Залежність Х2(Х1) або модель 2(1). Індекс кореляції р_ху = 0,9708 вказує на дуже високий рівень зв'язку між змінними, як і значення коефіцієнта детермінації R² = 0,9426. Це означає, що у 94,26% випадків зміни дотичних напружень T_r$(b₀,t)(Xl) призводять до зміни напружень т_гй(0.9b₀,t) (Y2). Іншими словами - точність підбору рівняння регресії - дуже висока. Інші 5,74% зміни T_r$(0.9b₀,t) пояснюються факторами, які не враховані в моделі. Середня помилка апроксимацію у 5,63% також говорить про дуже високу точність. Критерій Фішера F = 38,3089 > _Р_табл = 5,41 - підтверджується статистична значимість всього рівняння регресії

Y2 = -0,1408(X1)³ - 1,2143(X1)² - 3,3839(X1) - 3,3 (7)

та показника тісноти зв'язку R².

Отже, за всіма параметрами регресії зв'язок між дотичними напруженнями т_гй(0.9Ь₀,0(т_гй(Ь₀,0) є тісним, а рівняння кубічної регресії (7) для моделі 2(1) можна вважати оптимальним при моделюванні НДС.

5. Залежність У3(Х1) або модель 3(1). Усі параметри оцінки кубічної парної регресії вказують на тісний зв'язок між змінними та дуже високу точність моделі. Значення коефіцієнта детермінації R² = 0,9997 означає, що у 99,97% випадків зміни дотичних напружень т_гй(Ь₀,t)(X1) призводять до зміни напружень т_гй(0.79Ь₀, t) (У3). Іншими словами - точність підбору рівняння регресії - дуже висока. Середня помилка апроксимацію у 0,91% це підтверджує. Критерій Фішера F = 497,93 > _Р_табл = 5,41 - підтверджується статистична значимість всього рівняння регресії

Y3 = -0,0304(X1)³ - 0,1904(X1)² - 0,3859(X1) - 0,4535 (8)

та показника тісноти зв'язку R².

Отже, за всіма параметрами регресії зв'язок між дотичними напруженнями т_гй(0.79Ь₀,0(т_гй(Ь₀,0) є тісним, а рівняння кубічної регресії (8) для моделі 3(1) можна вважати оптимальним при моделюванні НДС.

6. Залежність У3(Х2) або модель 3(2). У даному випадку, як видно з рис. 2, усі спроби апроксимації цієї залежності (у тому числі і поліноміальною регресією високого степеня) не мали успіху. Оцінка за всіма параметрами регресії (табл. 2, останній стовпчик) вказують на те, що ніякого зв'язку між дотичними напруженнями т_гй(0.79Ь₀,t)(r_r^(0.9b₀,t)) не існує. Моделювання у такий спосіб неможливо.

Аналіз результатів та висновки. Виходячи із математичної інтерпретації одержаних результатів (про змістовну фізичну складову зараз поки що казати важко, необхідні додаткові дослідження) можна зробити наступні висновки.

7. Дотичні напруження в шарах 1 і 2 (моделі 1(2) та 2(1)) по різному впливають одне на інше. Так, наприклад, у разі моделі 1(2) вплив напружень у шарі 2 на напруження у шарі 1 є помірним і рівняння регресії важко рекомендувати на всі 100% для практичних задач. Тільки при певних умовах. У зворотному випадку, модель 2(1) зв'язок є дуже тісним, а рівняння кубічної регресії можна вважати за оптимальну модель і використовувати у проектних інститутах, конструкторських бюро і в інших установах.

8. Зв'язок між дотичними напруженнями в шарах 1 і 3 (моделі 1(3) та 3(1)) є тісним в обох випадках. Так само і рівняння кубічної регресії в обох моделях оцінюються високою точністю. їх можна використовувати при моделюванні процесів виготовлення циліндричних деталей і елементів конструкцій методами нарощування прогнозуючи НДС.

9. Зв'язок між дотичними напруженнями в шарах 2 і 3 (моделі 2(3) та 3(2)) виявився непередбачуваним. Аналіз результатів показує, що напруження в шарі 3 значно впливають на напруження в шарі 2 (модель 2(3)), зв'язок між ними є тісним, а рівняння кубічної регресії має високу точність. Воно може бути використаним при математичному моделюванні. У випадку моделі 3(2) зв'язок між напруженнями взагалі відсутній. За допомогою нелінійної парної регресії на вдається отримати будь яку апроксимацію.

10. Маючи експериментальні дані в одному із шарів циліндру, можна прогнозувати поведінку напружень в інших шарах деталі не проводячи додаткових експериментів, що економить грошові витрати і час.

Отже, мета роботи досягнута. Показано, як за допомогою нелінійної парної регресії, а саме кубічної регресії, маючи експериментальні дані, можна дослідити взаємозв'язок дотичних напружень між різними шарами циліндричної деталі при нарощуванні. Незважаючи на деякі протиріччя, які виникли при оцінці моделей за різними параметрами регресії, встановлено, що принаймні чотири із шести моделей є оптимальними і дозволяють адекватно моделювати процес формування напружено-деформованого стану у деталях та елементах конструкцій значно з меншими витратами ще до стадії виготовлення готової продукції.

У наступних дослідженнях в цьому напрямку планується приділити більше уваги фізичним аспектам задачі, проаналізувати зв'язок між переміщеннями та провести багатофакторний регресійний аналіз різних залежностей.

Список використаних джерел

1. Kutin, A.Yu., Aryasov, G.P. (2020) Modeling of winding process of composite cylindrical shells. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, (20(2)), 283-289. doi: 10.17586/2226-1494-2020-20-2-283-289

2. Сясєв, А. (2021). Оптимізація параметрів проектування намотувальних механізмів. ГРААЛЬ НАУКИ, (1), 278-279. https://doi.org/10.36074/grail-of-science.19.02.2021.056

3. Alsaid, M., Salamekh, A. (2018). Method of sample manufacturing from multilayer composite materials for studying their mechanical properties. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Marine engineering and technologies, (4), 16-23. https://vestnik.astu.org/en/nauka/article/31563/view#wiki

4. Siasiev, A., Dreus, A., Horbonos, S., Balanenko, I., & Dziuba, S. (2020). The stressedstrained state of a rod at crystallization considering the mutual influence of temperature and mechanical fields. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 3(5 (105)), 38-49. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3718745

5. Syasev, A.V., Vesselovskiy, V.B., Mamuzych, I., Kochubey, A.A., Syasev, V.A., & Klim, V.Y. (2003). The nonlinear shaping of the thermomechanical status of two-phases bodies. Materiali in Tehnologije, (37(3-4)), 137-143.

6. Баженов, С.Л. (2014). Механика и технология композиционных материалов. Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект».

7. Чернышов Е.А., Романов А.Д. (2014). Современные технологии производства изделий из композиционных материалов. Современные наукоемкие технологии, (2), 46 - 51.

8. Quagliano Amado, J.C. (2016). Manufacture and testing of lightweight tubes for rocketry and centrifuges. Lightweight Composite Structures in Transport: Design, Manufacturing, Analysis and Performance, (18), 421 -437. doi: 10.1016/B978-1 -78242-325-6.00017-7

9. Загорулько, А.В. (2008). Чисельні методи у механіці: навч. посіб. Суми: СумДУ.

10. Задачин, В.М. & Конюшенко, І. Г. (2014). Чисельні методи: навчальний посібник. Х.: Вид. ХНЕУ ім. С. Кузнеця.

11. Мусіяка, В. Г. (2004). Основи чисельних методів механіки: Підручник. К.: Вища освіта.

12. Syasev, A., Zelenskaya, T. (2015). Lengthwise movement dynamic boundary-value problem for trailing boundary ropes. Metallurgical and Mining Industry, (3), 283-287. https://www. metaljou rnal.com. ua/assets/Jou rna l/engl ish-ed ition/M MI_2015_3/036%20Syasev.pdf

13. Турчин, В.М. (2014). Теорія ймовірностей і математична статистика. Дніпропетровськ: IMA-прес.

14. Руденко, В.М. (2012). Математична статистика. Навч. посіб. К.: Центр учбової літератури.

15. Сясєв, А.В., Сясев, В.О. (2001). Вісесиметричне нарощування в'язкопружного циліндра при нагріванні. ВісникДніпропетр. ун-ту. Серія: Механика, (4), 184 - 192.

16. Таблица значений критерия Фишера (F-критерия). (2022). Вилучено з https://xn---8sbanwvcjzh9e.xn--p1 ai/raznoe/kriteriya-fishera-tablica-kriterij-fishera-tablica-kakpolzovatsya-primer-yandeks-znatoki.html

Размещено на Allbest.ru