Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Образования Российской Федерации

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Курсовая работа

по специальности "Прикладная информатика в экономике"

на тему: "Теория игр. Неантагонистические игры"

Выполнил:

Замятин Денис Сергеевич

Руководитель:

Сеньчонок Татьяна Александровна

Екатеринбург, 2012

Оглавление

Введение

Глава I. Общие понятия теории игр

1.1 Основные понятия и классификация теории игр

1.2 Представление игр

Глава II. Игры с ненулевой суммой

2.1 Общее представление

2.2 Некооперативные игры

2.3 Кооперативные игры

Глава III. Практическая часть

Заключение

Список литературы

Введение

Любая сфера человеческой деятельности, в особенности экономика и бизнес, связана с принятием решении в условиях неполноты информации, которая, в свою очередь, может быть обусловлена разнообразными причинами -- как объективными, так и субъективными. Особенно распространенными являются ситуации, когда выбор решения осуществляется в условиях рисков: существует неопределенность в виде множества частных исходов результата принятия решения, причем вероятности появления этих исходов либо определяемы тем или иным способом, либо неизвестны или не имеют смысла.

В теории оптимизации рассматриваются задачи, когда выбор решения осуществляется одной стороной (максимизация прибыли производителя, модели потребительского выбора и пр.). В реальности имеется столкновение интересов нескольких сторон, каждая из которых желает оптимизировать свою деятельность на рынке. Классическими примерами такой ситуации являются: продавец -- покупатель; несколько производителей на рынке, воздействующих на цену товара (олигополия); объединения или коалиции, участвующие в столкновении разных интересов. Много подобных примеров встречается в биологии, социологии, психологии, в военном деле, в различных играх и т. д. Математическая теория игр ведет свое начало от анализа обычных игр -- салонных, карточных, спортивных. Впервые теория игр была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г. Их книга содержала в основном экономические примеры, так как экономическую ситуацию относительно легко описать в численной форме. Уже во время второй мировой войны теория игр была применена в военном деле для исследования стратегических решений. Во второй половине XX в. главное внимание в теории игр стало уделяться экономическим приложениям.

Глава I Общие понятия теории игр

1.1 Основные понятия и классификация теории игр

Любое социально-экономическое явление носит в той или иной степени черты конфликта, и значит, соответствующая математическая модель, которая называется игрой, должна это отражать. Введем необходимые понятия,

1. В игре участвует некоторое количество (множество) заинтересованных сторон, которые обычно называются игроками. Если число игроков конечно, то они различаются либо по номерам, либо по названиям (1-й и 2-й к игрок, Продавец и Покупатель).

2. Возможные действия каждой из сторон (игроков) называются ходами или стратегиями.

3. Интересы сторон представлены для каждого из игроков функциями выигрыша (платежа); эти функции можно трактовать как функции полезности для каждой из сторон. В теории игр полагается, что функции выигрыша и множество доступных для каждого игрока стратегии известны. Иными словами, каждый игрок знает как свои функции выигрыша н набор имеющихся в его распоряжении стратегий, так и функции выигрыша и стратегии остальных игроков. В соответствии с этой информацией он и организует свое поведение, то есть определяет выбор своей стратегии.

Игры классифицируются по разным признакам: по числу игроков, по свойствам функции выигрыша, по способу взаимодействия между игроками в ходе игры.

A. В зависимости от числа заинтересованных сторон различают игры с двумя, тремя и более участниками. Возможны также игры с бесконечным числом игроков.

B. По количеству стратегий различают игры конечные и бесконечные. В конечных играх в распоряжении игроков конечное число возможных стратегий (например, "орел" или "решка" в игре в орлянку). В таком случае сами стратегии называются чистыми стратегиями. В бесконечных играх игроки обладают бесконечным числом возможных стратегий (в ситуации Продавец -- Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого или покупаемого товара).

C. По свойствам функций выигрыша игры различаются по следующим трем категориям. Первая -- когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (или общая сумма выигрыша равна общей сумме проигрыша); такие игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми (игра в орлянку, карточные игры). Ко второй категории относятся игры с постоянной разностью, когда игроки выигрывают и проигрывают одновременно и поэтому им выгодно действовать сообща; игры этой категории являются прямой противоположностью играм первой категории. К третьей категории относятся игры между этими двумя крайними случаями -- множество игр с ненулевой суммой, когда имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.

D. В зависимости от возможности предварительных переговоров между Игроками различают кооперативные и некооперативные игры. В кооперативных играх игроки до начала игры образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях (образование коалиций и групп в парламенте). Если же игроки не могут координировать свои стратегии таким образом, игра называется некооперативной (все антагонистические игры являются некооперативными играми).

1.2 Представление игр

В случае игры двух игроков функции выигрыша каждого из них удобно представлять в виде матрицы выигрышей или матрицы платежей, в которой строки представляют стратегии одного игрока, а столбцы - стратегии другого игрока; в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков для каждой ситуации.

1. Игра с нулевой суммой. Например, при игре в орлянку каждый из игроков имеет две стратегии - "Орел" и "Решка". Если оба выбирают одинаковые стратегии (оба говорят "Орел" или "Решка"), 1-й игрок выигрывает 10 ден. ед., а 2-й проигрывает 10 ден. ед. В результате матрица выигрышей 1-го игрока имеет следующий вид:

1игрок\2игрок	Орел	Решка
Орел	10	-10
Решка	-10	10

Соответственно, матрица выигрышей для второго игрока будет такой же, только взятая с противоположным знаком. Для большего удобства матрицу выигрышей обоих игроков можно объединить в одну биматрицу, которая дает полную информацию о всей игре:

1игрок\2игрок	Орел	Решка
Орел	(10, -10)	(-10, 10)
Решка	(-10, 10)	(10, -10)

2,Игра с ненулевой суммой. Две фирмы функционируют на рынке одновременно с одинаковым товарным объемом V. У обеих фирм по соображениям рентабельности есть следующие стратегии: либо выбросить на рынок полный объем товара V, либо выбросить половину объема 0,5V. Если 1-я фирма выбрасывает на рынок полный объем V, а 2-я -- половину объема 0,5V, то 1-я получает 100% запланированной прибыли, а 2-я -- только 25%, и наоборот. Если обе фирмы выбросят па рынок но полному объему V, то получат но 15% прибыли; если по 0,5V, то прибыль каждой из фирм составит по 50% от запланированной. Биматрица выигрышей для игроков имеет следующий вид:

1игрок\2игрок	V	0.5V
V	(15, 15)	(100, 25)
0.5 V	(25, 100)	(50, 50)

3. Бесконечная игра. В случае дуополии каждый ил игроков может назвать цену р, по которой он хочет продать определенное количество товара. При этом полагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену; в случае объявления одинаковой цены спрос D (р) распределяется между фирмами поровну. Функция выигрышей игроков(величины дохода) имеет вид

П(pi, pj) = pi D(pi), pi<pj

П(pi, pj) = pi D(pi)/2, pi=pj (i <> j)

П(pi, pj) = pj D(pj), pi>pj

Глава II. Игры с ненулевой суммой

2.1 Общее представление

В игре с ненулевой суммой необязательно, чтобы один из участников выигрывал, а другой проигрывал; напротив, они могут и выигрывать и проигрывать совместно. Поскольку интересы игроков теперь не являются полностью противоположными, то имеется возможность угрожать противнику, блефовать, сообщать друг другу о своих намерениях, накапливать опыт игры. Так, например, если в игре с нулевой суммой игрокам не выгодно открывать друг другу свои стратегии, то в игре с ненулевой суммой иной раз желательно координировать свои действия с партнером или каким-либо способом влиять на его действия.

Потребность в сообщении между партнерами и в координировании их действий совершенно очевидна в координированных играх, в которых платежи обоих игроков либо одинаковы, либо в более общем случае различаются на постоянную величину, так что игроки и выигрывают, и проигрывают совместно.

Предположим в качестве примера, что два человека оказались в горящем доме. Дверь так сильно захлопнута, что ее можно открыть только совместными усилиями.

Действуя вместе, оба человека могут спастись -- выигрыш каждого в этом случая равен 100: в противном случае могут пострадать оба - выигрыш каждого равен 0. Очевидно, что для них лучше всего действовать сообща.

1 человек \ 2 человек	Толкать	Не толкать
Толкать	(100,100)	(0,0)
Не толкать	(0,0)	(0,0)

В качестве примера рассмотрим еще одну игру. Двое подростков едут навстречу друг другу на автомобилях: проигравшим считается тот, кто первым свернет в сторону.

Если один свернул в сторону, а другой нет, то "выигравший" игрок получает 5, а "проигравший" (свернувший с дороги) получает -5.

Если сворачивают оба, то состязание заканчивается вничью и выигрыши равны нулю.

Если же никто из них не свернул в сторону, то игра завершается аварией и выигрыш каждого равен -100.

Здесь ни один из игроков не располагает доминирующей стратегией, которая является наилучшей при любых предположениях о поведении другого игрока.

Если бы каждый из них мог убедить другого, что он намеревается свернуть, то они сыграли бы вничью, однако каждый испытывает желание выиграть, нарушив любое подобное соглашение.

Если нарушают договоренность оба, то исходом является катастрофа.

Водитель 1\Водитель 2	Сворачивать	Не сворачивать
Сворачивать	(0,0)	(-5,5)
Не сворачивать	(5,-5)	(-100,-100)

Из наиболее известных примеров можно привести торговлю (где и продавец и покупатель ищут выгоду) и войну.

Так же игры с ненулевой суммой могут быть кооперативными или некооперативными.

2.2 Некооперативные игры

В некооперативных играх игроки принимают решения независимо друг от друга либо потому, что координация запрещена, либо потому, что осуществление соглашения невозможно. Примером первой ситуации могут служить антитрестовские законы, запрещающие некоторые виды соглашений между фирмами, а примером второй заключение международных торговых соглашений, навязать которые трудно или невозможно.

Один из подходов к решению некооперативных игр состоит в определении точек равновесия игр, т.е. точек, где ни один из игроков не имеет никаких причин отказываться от своей стратегии независимых действий.

В игре двух подростков существуют две точки равновесия: (5. --5) и (-- 5,5), где один игрок сворачивает в сторону, а другой нет.

Для того чтобы дать точное определение понятию точки равновесия, используя понятие смешанной стратегии, предположим, что если игрок 1 выбирает стратегию S_i¹, а игрок 2 -- стратегию S_i², то выигрыш первого игрока равен П_ij¹, а выигрыш второго П_ij². Если вероятность того, что игрок 1 выберет i-ю чистую стратегию S_i¹, равна р_i¹ (i = 1,2,…,т), то смотанная стратегия первого игрока выражается вектором

p¹ = (p₁¹,p₂¹,….,p_m¹), где p¹1'=1, p¹? 0

Аналогично, если р_j² - вероятность выбора j-й чистой стратегии

Sj² игроком 2 (j = 1,2, …,п). то смешанная стратегия второго игрока выражается вектором

p² = (p₁²,p₂²,….,p_n²)', где 1p²=1, p²? 0

Точкой равновесия является пара векторов р^1*, р²*. определяющих оптимальные смешанные стратегии каждого из игроков, т. е. стратегии, приводящие данного игрока к максимальному ожидаемому выигрышу при условии, что противник применяет свою (оптимальную) смешанную стратегию. Следовательно,

р¹П¹р²* ? р¹ *П¹ р²* для всех р¹,

р¹П² р² ? р¹ *П² р²* для всех р² .

игра выигрыш матрица кооперативный

В каждой конечной игре двух лиц существует пара векторов смешанных стратегий, приводящих к точке равновесия. Такая пара векторов может быть не единственной, и может оказаться, что различным парам соответствуют различные значения (ожидаемого) выигрыша. Вообще говоря, в каждой игре n лиц с конечным числом стратегий существуют смешанные стратегии, приводящие к равновесию. Равновесие - это набор таких смешанных стратегий, которые невыгодно самостоятельно изменять ни одному из игроков.

2.3 Кооперативные игры

Кооперативной игрой называется игра с непостоянной суммой, в которой игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о совместных действиях: иначе говоря, игроки могут образовывать коалиции. Основная задача в кооперативной игре состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции. Следует различать кооперативные игры с побочными платежами, в которых платежи являются переводимыми, и игры без побочных платежей, в которых платежи непереводимы.

Один из принципов кооперативной игры без побочных платежей для двух игроков известен как решение Нэша.

Игроки достигают некоторого соглашения о согласовании своих стратегий, причем если бы им не удалось скоординировать свои действия, то каждый игрок получил бы некоторый фиксированный платеж. Этот платеж называется платежом при угрозе.

Так например, в соответствующей некооперативной игре точкой угрозы могли бы быть максиминные платежи.

Нэш указал ряд разумных допущений, при которых решение игры с торгом является единственным.

Первое допущение симметрия: предполагается, что решение не зависит от того, какие номера присвоены игрокам.

Второе допущение - инвариантность относительно линейных преобразований:

Третье допущение -- независимость от не имеющих отношения к делу альтернатив: решение не изменится, если исключить из рассмотрения те возможные выборы, которые не использованы в решении.

Четвертое допущение оптимальность по Парето: не может быть решением такой набор платежей, помимо которого существует какой-нибудь другой набор платежей, более выгодный хотя бы для одного игрока. Если эти условия выполнены, то единственным решением является пара платежей (П^1*,П²*), которые максимизируют произведение превышений этих платежей над платежами при угрозе

max (П¹-Т¹) (П²-Т²)

П¹,П²

Здесь П¹, П^{2 -} выигрыш каждого игрока; Т¹, Т² выигрыши каждого игрока в точке угрозы. На рис. 1 решение представлено в геометрической форме. Заштрихованная часть плоскости соответствует множеству возможных платежей это множество выпукло, так как игроки могут применять смешанные стратегии.



Рис. 1 Решение Нэша в задаче торгов

Прямой линией на границе множества отмечена "передовая линия" платежей, т.е. множеству всех пар платежей, которые удовлетворяют допущению оптимальности по Парето. Точкой угрозы является точка Т, а решением Нэша является точка S, в которой передовая линия платежей достигает линии наибольшего уровня. Линии уровня в данном случае - это равносторонние гиперболы с центром в Т. Решение является единственным: оно принадлежит переговорному множеству, т.е. множеству всех точек на передовой линии платежей, в которых выигрыши игроков больше, чем в точке угрозы.

Кооперативными играми с побочными платежами называются игры, в которых допускается заключение взаимнообязывающих соглашений о стратегиях, а платежи могут перераспределяться между игроками. Поскольку разрешены побочные платежи, то следует рассматривать только общие выигрыши любых возможных коалиций. Игры такого типа можно анализировать, пользуясь характеристической функцией игры, с помощью которой описываются все возможные коалиции, а именно указывается, какой максимальный общий выигрыш может гарантировать себе каждая из коалиций. Если известно множество игроков в игре n лиц

N = {1,2,..,п},

то любое подмножество S множества N является коалицией; характеристическая функция указывает, чему равен гарантированный выигрыш для S. Таким образом, характеристическая функция представляет собой вещественную функцию, область определения которой состоит из 2ⁿ возможных подмножеств множества N*. Запишем эту функцию в виде v(S), где S С N.

В качестве примера запишем характеристическую функцию для игры трех лиц:

v( O) = 0;

v(1) = 0, v(2) = 0,v (3) = 0;

v (l,2) = 0, v (1,3) = 0,2, v (2,3) = 0,2;

v ( 1,2,3) = v (N) = 1

Здесь каждая из четырех строк соответствует значениям характеристической функции для коалиций, число игроков в которых равно соответственно 0, 1, 2, 3. Первая строка отражает предположение, что максимальный выигрыш для пустого множества равен нулю. Вторая строка показывает, что выигрыш любого игрока, действующего в одиночку, равен нулю. В третьей строке указаны выигрыши трех коалиций, которые могут быть составлены из двух игроков. Если игроки 1 и 2 действуют совместно, они могут гарантировать себе выигрыш в размере 0,1: коалициям игроков 1 и 3 или 2 и 3 гарантирован выигрыш, равный 0.2. Наконец последняя строка показывает, что если все игроки объединяются в "большую коалицию", то выигрыш равен 1. Рассматриваемая игра представлена в нормализованной форме 0-1:

v(i) = 0, при любом i € N.

v(N) = 1. где N = {1,…,n},

т.е выигрыш самостоятельно действующего игрока равен нулю, а выигрыш большой коалиции, включающей всех игроков, равен единице. Если для всех непересекающихся подмножеств А и В выполняется равенство

v(АUВ)? v (А) + v(В),

то характеристическая функция является супераддитивной.

Это значит, что если нет ни одного игрока, который входил бы в обе коалиции А и В. то коалиция, составленная как объединение этих двух подмножеств, будет иметь выигрыш не меньший, чем сумма выигрышей А и В. Предположение о супераддитивности характеристической функции вполне приемлемо, поскольку создание коалиций было бы бессмысленным, если бы величина выигрыша уменьшалась с увеличением числа участников коалиции.

Вектор П n-мерного евклидова пространства, компонентами которого являются суммарные выигрыши каждого отдельного игрока, называется "дележом":

П = (П¹, П²,..Пⁿ),

где Пⁱ - выигрыш i-го игрока (i = 1,2,…п).

Примером дележа для ранее описанной игры на троих, является вектор (0,3;0,2;0,5). т. е. игрок 1 получает 0,3. игрок 2 получает 0,2. а игрок 3 -- 0,5. Предположим, что если мы учтем всех игроков и все платежи, то величина суммарного выигрыша игроков будет равна выигрышу большой коалиции, включающей всех игроков, т. е.

v(N) = ? Пⁱ = ? Пⁱ

Это допущение называется условием групповой рациональности. Вполне обосновано также предположение, что участвуя в коалиции, каждый игрок получает по меньшей мере столько, сколько он мог бы получить, действуя независимо, т.е.

Пⁱ ? v({i}) при любом i € N.

Это допущение называется условием индивидуальной рационалъности. Укачанные предположения ограничивают чисто возможных дележей. Так например, в играх, представленных в формализованной форме, единственными приемлемыми дележами являются векторы с неотрицательными компонентами, сумма которых равна единице. Однако и при таких ограничениях множество дележей остается чрезвычайно большим. Поэтому, для того чтобы еще дополнительно сузить это множество, приходится вводить какой-либо критерий допустимости или доминирования на множестве дележей.

Одним из слабых критериев доминирования на множестве дележей является критерий, называемый решением по фон Нейманну-Моргенштерну. Множество игроков называется эффективным при данном дележе, если их общий выигрыш после объединения в коалицию будет по меньшей мере равен сумме выигрышей, получаемых каждым игроком в отдельности. Следовательно, коалиция S является эффективной при дележе

П= (П¹,…Пⁿ), если

v(S) ? ?Пⁱ.

В ранее рассмотренном примере игры на троих множество, состоящее из игрока 2 и игрока 3 является эффективным при дележе (0,95; 0; 0,05).

Действительно, если они образуют коалицию, то их общий выигрыш составит 0,2. а это больше того, что можно получить согласно данному дележу. Дележ П₁ = (П₁¹, П₁², .. ,П₁ⁿ) доминирует, над дележом П₂ = (П₁¹, П₂², .. ,П₂ⁿ), если существует такая коалиция игроков, эффективная при П₁, что каждый из игроков, вступивших в коалицию, получает при П₁ больше, чем при П₂. Иначе говоря, имеется некоторая коалиция S, такая, что

v(S) ? ?П₁ ⁱ.

причем каждый член этой коалиции получает при П₁ больше, чем при П2 П1 ⁱ> П₂ ⁱ при всех i€S

В нашей игре на троих, дележ П₁ = (0,1;0,8;0,1) доминирует над П₂ = (0.05:0.9:0,05). Действительно, коалиция (1,3) является эффективной при П₁ и оба игрока 1 и 3 получают при П₁ больше, чем при П₂. Если удастся воспрепятствовать независимым действиям игроков, то возможность образования коалиции (1,3) служит гарантией того, что дележ (0,05;0,9;0,05) может никогда не использоваться в игре.

Решением игры по фон Нейману и Моргенштерну называется множество дележей со следующими свойствами: ни один из дележей этого множества не доминирует над другим дележом из того же множества; для любого дележа, не входящего в множество, существует доминирующий дележ, принадлежащий данному множеству. Этот слабый критерий доминирования обычно несколько сужает множество дележей, однако он не приводит, как правило, к множеству, состоящему из одного дележа. В действительности, решение фон Неймана - Моргенштерна часто содержит бесконечное число дележей. В игре более чем с двумя участниками даже и число решений фон Неймана- Моргенштерна (т.е. число множеств дележей, каждое из которых является решением фон Неймана Моргенштерна) может быть либо очень большим, либо бесконечным. Кроме того, существует ряд примеров игр, которые не обладают решениями фон Неймана-Моргенштерна.

Более сильный критерий доминирования на множестве де- лежей можно задать с помощью понятия "ядра" игры. Ядро -- это некоторое подмножество каждого решения фон Неймана- Моргенштерна (если такие решения существуют). Число дележей, входящих в ядро, значительно меньше, чем в решении фон Неймана-Моргенштерна, поскольку дележи, входящие в ядро, должны удовлетворять следующему условию: каждая из коалиций при данном дележе получает по меньшей мере столько, сколько могли бы получить в сумме входящие в нее игроки, действуя самостоятельно. Ядром называется множество всех недоминируемых дележей, т.e. таких дележей П= (П¹, .. ,Пⁿ) , которые удовлетворяют условию ?П ⁱ ? v(S) для любого подмножества S из N.

Следовательно, множество дележей, входящих в ядро, удовлетворяет условию "коалиционной рациональности". Это условие включает более частные условия "индивидуальной рациональности" (когда рассматриваются подмножества, состоящие из отдельных игроков), "групповой рациональности" (когда подмножеством является большая коалиция, включающая всех игроков) и условие рациональности любой коалиции промежуточного размера. Ядро ранее описанной игры трех участников показано в геометрической форме на рис. 2.

Рис. 2 Ядро игры

Изображенный на рисунке равносторонний треугольник является границей симплекса в пространстве Е³, т.е. границей множества дележей (П¹, П², П³ ) - векторов трехмерного пространства, -- таких, что

Пⁱ?0 i = 1,2,3. П¹ + П² + П³ = 1.

Вершины треугольника соответствуют таким дележам, при которых один из игроков выигрывает всю сумму. Заштрихованная область треугольника - это ядро игры. Представляется вполне разумным следующее предположение: если игра имеет ядро, то все выбираемые дележи должны принадлежать ядру. Это означает, что игроки учитывают все возможные коалиции. Однако, к сожалению, многие игры не имеют ядра (ядро является пустым множеством), т.e. не существует дележей, удовлетворяющих условию коалиционной рациональности для какой бы то ни было коалиции. Например, если бы в нашей игре трех участников все коалиции из двух игроков получали бы 0,8, то ядро было бы пустым.

Число дележей, входящих в ядро, как правило, либо равно нулю (т.е. ядро пустое), либо их много (как, например, на рис. 2). Ядра, состоящие из единственного дележа, встречаются очень нечасто. Однако в играх с ценой Шепли ядро всегда состоит из одного дележа. Ценой Шепли называется дележ, величина платежей в котором зависит от "силы" каждого игрока. Последняя учитывается исходя из значения дополнительного выигрыша, который может получить коалиция, если данный игрок войдет в нее. Так, например, третий игрок в нашей игре обладает большей силой, чем остальные, и поэтому должен получить больше, чем они: две коалиции, состоящие из двух игроков и включающие игрока 3, получают 0,2, тогда как коалиция без этого игрока получает 0,1. Предположим, что каждый игрок получает выигрыш, равный средней величине своих вкладов во все те коалиции, куда он мог бы вступить. Выигрыш i-го игрока равен средней взвешенной из v(S U {i}) - v(S), где S -- это любое подмножество игроков, не содержащее игрока i, а SU{i} то же самое подмножество, включающее игрока i. Средняя взвешенная равна платежу

Пⁱ = ?y_n (S) [v(S U {i}) - v(S)],

где взвешивающие множители y_n (S) равны

y_n (S)=s!(n-s-1)!

a s -- число игроков в S. Выбор именно таких взвешивающих множителей обусловлен следующими обстоятельствами: коалиция из n участников может быть образована n! различными способами: существует s! различных способов организации для s игроков, входящих в коалицию S до того, как к ней присоединяется игрок i; игроки, не входящие в расширенную коалицию, число которых равно n- s - 1, могут быть организованы (n--s-- 1)! различными способами. Следовательно, если предположить, что все п! способов формирования коалиций, состоящих из п игроков, равновероятны, то y_n (S) представляет собой не что иное, как вероятность присоединения игрока i к коалиции S. В нашей игре каждому игроку предоставляются четыре возможности. Для игрока 1 эти возможности следующие:

-v ({1}) - v (O) = 0,

-v ({1.2}) - v ({2}) = 0,1,

- v({1.3}) - v ({3}) = 0,2,

- v ({ 1,2,3}) - v ({2,3}) = 0,8.

Веса, соответствующие каждому из этих четырех случаев, таковы: 2/6, 1/6, 1/6 и 2/6. Следовательно, выигрыш игрока 1 составит:

П¹= (2/6)*0 + 1/6* 0,1+ 1/6*0,2 + 2/6*0,8 = 19/60

Из аналогичных рассуждений вытекает, что выигрыш игрока 2 равен 19/60, а выигрыш игрока 3 составит 22/60. Итак, в данной игре вектор дележа, соответствующий цепе Шепли равен (19/60, 19/60, 22/60)

Глава III. Практическая часть

Две фирмы функционируют на рынке одновременно с одинаковым товарным объемом V. У обеих фирм по соображениям рентабельности есть следующие стратегии: либо выбросить на рынок полный объем товара V, либо выбросить половину объема 0,5 v.

Если первая фирма выбрасывает на рынок полный объем V, а вторая половину объема 0,5V, то первая получает 90% запланированной прибыли, а вторая только 20%, и наоборот. Если обе фирмы выбросят на рынок по полному объему V, то получат по 25% прибыли, если по 0,5 V, то прибыль каждой из фирм составит по 50% от запланированной.

Определить основные характеристики игры, если:

1) фирма действует в условиях возможного взаимодействия

2) фирмы не могут воздействовать друг на друга до тех пор, пока не придут к некоторому соглашению.

Решение:

Биматрица выигрышей для игроков будет иметь вид:

Стратегии 2-го игрока V (25,25) (20,90)

Стратегии 1-го игрока 0.5V (90,20) (50,50)

На плоскости h1,h2 множеством S, определяющим игру, является треугольник с вершинами, данными в биматрице: A (25;25), B (20;90), C (90;20) - это множество является выпуклым (рис. 1).

Сторона АВ этого треугольника представляет собой Парето-оптимальное множество: увеличение выигрыша одного игрока возможно только за счет партнера.



Рис. 1

Точка Т (50;50) определяет выигрыши, которые игроки могут получить без взаимодействия с партнером. Переговорное множество N (отрезок ) лежит на линии ВС, На этой линий находится точка Нэша N*(55;55) - в ней произведение (h1 - 55) (h2 - 55) для точек (h1;h2). лежащих вне множества N, принимает наибольшее значение.

Заключение

В заключение данной работы можно сделать вывод о необходимости использования теории игр в современных экономических условиях.

В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем стимулирования.

Уже в момент ее зарождения многие предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эти прогнозы нельзя было считать излишне смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при принятии решений во взаимосвязанных ситуациях, что характерно для большинства актуальных проблем в экономических и социальных науках. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами.

Первые работы по теории игр отличались упрощенностью предположений и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для практического использования. За последние 10 - 15 лет положение резко изменилось. Бурный прогресс в промышленной экономике показал плодотворность методов игр в прикладной сфере.

В последнее время эти методы проникли и в управленческую практику.

В данной работе были проиллюстрированы практическое применение двух основных стратегий теории игр и сделаны соответствующие выводы.

В практической части решена игра с помощью графического метода (по Нэшу).

Список использованной литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.

2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику.

3. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций.

4. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики.

5. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман

6. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование.

7. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов.

8. Курс экономики: Учебник. Под ред. Б.А. Райзберга.

9. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование.

10. Матвеев В.И., Сагитов Р.В., Шершнев В.Г. Курс линейного программирования для экономистов: Учеб. пособие.

Размещено на Allbest.ru

...