Решение краевых задач в MatLab
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нейросетевом базисе. Схема соединения нейронов, реализующая решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нейросетевом базисе методом Рунге-Кутты 1-го порядка. Графики решения задачи.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.12.2012 |
| Размер файла | 473,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Введение
Искусственные нейронные сети широко используются для решения как инженерных, так и научных задач. Поскольку они оказались весьма эффективным средством обработки информации, постоянно делаются попытки расширить область их применения или найти новые принципы их построения и работы.
Несмотря на огромное число публикаций в настоящее время нет общепринятого определения искусственной нейронной сети (ИНС). Причина скорее всего в том, что различных типов ИНС существует очень много. Базовые нелинейные элементы ИНС называются формальными нейронами. Как правило, формальный нейрон получает несколько входных сигналов , суммирует их, выполняет нелинейное преобразование над этой суммой. Связи между нейронами характеризуются "весами" . Нейроны могут также получать "внешние" сигналы с весами . Таким образом, типичная операция, выполняемая нейроном в сети, - это преобразование вида
после чего ИНС посылает у в качестве своего выходного сигнала другим нейронам или устройствам. Функцию ѓ называют функцией активации. Очень часто ѓ является "сигмоидной" функцией вида
ѓ = 1/(1 + e-ax) или ѓ = tanh(ax)
В предельном случае а>?, ѓ становится пороговой функцией.
Выходом нейросети служат состояния нейронов (всех или некоторых) по окончании всех промежуточных расчетов. Таким образом, основные черты нейронной сети следующие:
Это устройство для обработки информации, получающее на входе сигнал Х (как правило, вектор) и вырабатывающее выходной сигнал Y = F(Х) (Y тоже может быть вектором).
Она состоит из элементов - нейронов, которые работают параллельно, подобно нейронам мозга.
НС способна обучаться. Обычно под обучением понимают процесс подборки весов ij для того, чтобы добиться желаемых свойств отображения F.
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нейросетевом базисе
Рассмотрим задачу решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в нейросетевом базисе. Нейросетевой базис представляет собой операцию нелинейного преобразования взвешенной суммы, т.е. операцию взвешенного суммирования нескольких входных сигналов с последующим преобразованием этой суммы посредством функции активации формального нейрона, которая может быть как линейной, так и нелинейной.
Пусть задана система n дифференциальных уравнений 1-го порядка
Y (x) = A Y(x), (1)
где А - квадратная матрица постоянных коэффициентов размера nЧn; Y - n - мерный вектор искомой функции аргумента х.
Для метода Рунге-Кутты 1-го порядка (метод прямоугольников) решение системы (1) можно представить в виде:
Yt+1 = Yt + hAYt = (E + hA)Yt = Bt Yt, (2)
где Е - единичная матрица размером nЧn.
Элементы матрицы В есть первые два члена разложения матричной экспоненты в степенной ряд.
Для системы двух уравнений выражение (2) принимает вид:
y1t+1 = b11y1t + b12y2t = (1 + ha11)y1t + ha12y2t,
y2t+1 = b21y1t + b22y2t = ha21y1t + (1 + ha22)y2t.
Схема соединения нейронов, реализующая решение системы показана на рис.1.
Рис. 1. Схема соединения нейронов, реализующая решение системы ОДУ в нейросетевом базисе методом Рунге-Кутты 1-го порядка
Здесь Ne1 и Ne2 - нейроны, участвующие в операции интегрирования. Выходом сети являются сигналы y1 и y2. Входные сигналы g10 и g20 вводят в нейроны начальное возбуждение, эквивалентное начальным условиям решения системы уравнений. Функция активации у обоих нейронов - симметричная линейная функция.
Пример разработки НС решения ОДУ в системе Simulink
Разработаем НС для решения системы уравнений
y'1 = y2, (3)
y'2 = -y1
при начальных условиях: y1(0) = -1, y2(0) = 0, t = 0…2р.
Блок-схема решения системы (3) в нейросетевом базисе, созданная в среде Simulink, показана на рис.2.
Рис. 2. Блок-схема решения системы (3) в нейросетевом базисе.
При построении схемы используются блоки из меню Neural Network Blockset: netprod, netsum (Net Input Functions), purelin (Transfer Functions). Для визуализации результатов используется блок Scope (Sinks), для задания шага интегрирования - блок Constant (Sources), для установки начальных значений - блок Unit Delay (Discrete). Окно задания параметров блока Unit Delay показано на рис.3. Для показа двух графиков в блоке Scope использован блок Mux (Signals&Systems).
Окно браузера библиотеки Simulink показано на рис.4.
Рис. 3. Окно задания параметров блока Unit Delay.
Рис. 4. Окно библиотеки блоков системы Simulink.
Для запуска схемы из командной строки MatLab следует набрать:
>> N=100;
>> h=2*pi/N;
>> sim('Koshi_neuro')
После открытия блока Scope можно увидеть графики решения задачи (рис.5).
Рис. 5. Графики решения задачи в Simulink.
Сравним полученные графики с аналогичными графиками решения задачи в MatLab. Для этого создадим М-файл, задающий систему уравнений (3):
После сохранения М-файла с именем Koshi_ex используем для решения рассматриваемой системы ОДУ функцию ode45, набрав в командном окне MatLab:
>> [T,Y] = ode45('Koshi_ex',[0 2*pi],[-1 0]);
>> plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.')
Получаем графики решения, идентичные графикам на рис.5 (рис.6).
Рис. 6. Графики решения задачи с помощью функции ode45.
Задание
Разработать в среде Simulink ИНС для решения системы ОДУ:
при начальных условиях: y1(0) = 0, y2(0) = 0, y3(0) = 1, t = 0…15.
Литература
нейросетевой уравнение задача график
Л.Г.Комарцова, А.В.Максимов. Нейрокомпьютеры. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2002. - 320 с.
И.В.Черных. SIMULINK: среда создания инженерных приложений. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. - 496 с.
Размещено на www.allbest.
...Подобные документы
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 05.11.2011Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в программе Matlab. Применение метода Рунге–Кутты. Априорный выбор шага интегрирования. Построение трехмерного графика движения точки в декартовой системе координат и создание видеофайла формата AVI.
контрольная работа [602,8 K], добавлен 04.05.2015Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
курсовая работа [226,6 K], добавлен 05.04.2013Решение уравнения методом половинного деления. Программа в Matlab для уравнения (x-2)cos(x)=1. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона. Интерполяция заданной функции. Решение системы линейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 15.08.2012Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений Maple. Произвольные константы решения дифференциального уравнения второго порядка, представленном рядом Тейлора. Значения опции method при численном решении.
лабораторная работа [47,2 K], добавлен 15.07.2009Численные методы решения задач. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Уточнение корня по методу половинного деления. Решение систем линейных уравнений методом итераций. Методы решения дифференциальных уравнений. Решение транспортной задачи.
курсовая работа [149,7 K], добавлен 16.11.2008Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа [532,9 K], добавлен 14.01.2014Основные этапы математического моделирования. Метод Эйлера как наиболее простой численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Написание компьютерной программы, которая позволит изучать графики системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 05.01.2013Разработка быстрого и эффективного алгоритма для решения задачи оценки параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами, не разрешаемых аналитически. Реализация алгоритма в виде библиотеки на языке программирования MATLAB.
дипломная работа [1,6 M], добавлен 19.06.2012Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа [580,1 K], добавлен 18.01.2011Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 02.06.2014Решение дифференциального уравнения с помощью численных методов (Рунге-Кутта и Эйлера модифицированного). Особенности построения графиков в программе Microsoft Visual Basic 10 с использованием ответа задачи, который имеет незначительную погрешность.
курсовая работа [1017,3 K], добавлен 27.05.2013Математическая модель, описание теории, применяемой к задаче. Обсчет точек методом Рунге-Кутта, модифицированным методом Эйлера, схема и листинг программы. Решение дифференциальных уравнений и построение графиков, решение уравнений в среде Turbo Pascal.
курсовая работа [76,7 K], добавлен 18.11.2009Опытное исследование свойств методов Рунге-Кутты. Реализация численных методов приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, наиболее часто применяющихся в практике моделирования и проектирования систем автоматизации и управления.
курсовая работа [311,5 K], добавлен 05.03.2009Разработка программы на языке Turbo Pascal 7.0 для преобразования кинетической схемы протекания химических реакций при изотермических условиях в систему дифференциальных уравнений. Ее решение в численном виде методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
курсовая работа [929,7 K], добавлен 06.01.2013Разработка программы для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на базе языка программирования Паскаль АВС. Чтение исходных данных из внешнего файла. Вывод исходных данных и результатов на дисплей и во внешний файл. Суть метода Ейлера.
реферат [126,1 K], добавлен 12.01.2012Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши, суть метода Рунге-Кутта. Выбор среды разработки. Программная реализация метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Определение порядка точности метода. Применение языка программирования C++.
курсовая работа [163,4 K], добавлен 16.05.2016Численные методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, к действиям, которые выполняет ЭВМ. Решение нелинейных, системы линейных алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений численными методами.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 18.08.2009Схема и основные параметры элементов цепи. Вывод системы дифференциальных уравнений. Реализация алгоритма на языке программирования высокого уровня Pascal. Решение дифференциальных уравнений в пакете MathCAD. Решение интерполяции в пакете Excel.
курсовая работа [375,4 K], добавлен 06.01.2011
