Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad

Введение

алгебраический дифференциальный уравнение mathcad

Современное развитие науки характеризуется потребностью сложного изучения всевозможных сложных процессов и явлений - физических, химических, биологических, экономических, социальных и других.

По мере увеличения сложности систем возникают проблемы, меньше связанные с рассмотрением свойств и законов функционирования элементов, а больше -- с выбором наилучшей структуры, оптимальной организации взаимодействия элементов, определением оптимальных режимов их функционирования, учетом влияния внешней среды и т.д. Поэтому целесообразно использование системного подхода при анализе и синтезе таких систем. Классический системный подход опирается на математическое моделирование с использованием теории подобия, теории научного эксперимента, математической статистики, теории алгоритмов и ряда других фундаментальных классических теорий. В то же время в области проектирования современных информационно-управляющих систем и программного обеспечения ЭВМ при анализе и синтезе сложных систем все большее применение находит так называемый объектно-ориентированный подход.

В настоящее время прикладная математика и ЭВМ являются одним из определяющих факторов научно-технического прогресса. Они способствуют ускорению развития ведущих отраслей народного хозяйства, открывают принципиально новые возможности моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов. ЭВМ обеспечивает интенсивный процесс математизации не только естественных и технических, но также общественных и гуманитарных наук. Математическое моделирование и ЭВМ получают широкое применение в химии, биологии, медицине, психологии, лингвистике и этот список можно продолжать и продолжать.

Математическое моделирование технических объектов. Понятие математической модели

С точки зрения информатики, решение любой производственной или научной задачи описывается следующей технологической цепочкой: "реальный объект - модель - алгоритм - программа - результаты - реальный объект". В этой цепочке важную роль играет звено "модель" как необходимый, обязательный этап решения этой задачи. Под моделью при этом понимается некоторый мысленный образ реального объекта (системы), отражающий существенные свойства объекта и заменяющий его в процессе решения задачи. Модель - очень широкое понятие, включающее в себя множество способов представления изучаемой реальности. Различают модели материальные (натурные) и идеальные (абстрактные). Материальные модели основываются на чем-то объективном, существующем независимо от человеческого сознания (каких-либо телах или процессах). Материальные модели делят на физические (например авто- и авиамодели) и аналоговые, основанные на процессах, аналогичных в каком-то отношении изучаемому. Границу между физическими и аналоговыми моделями провести можно весьма приблизительно и такая классификация моделей носит условный характер. Более продуктивным представляется такой подход к классификации идеальных моделей, при котором различают следующие.

Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности.

Математические модели - очень широкий класс знаковых моделей основанных на формальных языках над конечными алфавитами), широко использующих те или иные математические методы. Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием. Информатика имеет самое непосредственное отношение к математическим моделям, поскольку они являются основой применения компьютера при решении задач различной природы: математическая модель исследуемого процесса или явления на определенной стадии исследования преобразуется в компьютерную (вычислительную) модель, которая затем превращается в алгоритм и компьютерную программу.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказываться от испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества.

Рис.1. Общая схема процесса компьютерного математического моделирования

Классификация математических моделей

Типовыми группами моделей, которые могут быть положены в основу системы классификации, являются статические и динамические, детерминированные и стохастические, дискретные и непрерывные, натурные, аналоговые и символические.

Аналоговыми моделями являются модели, в которых свойство реального объекта представляется некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта.

К символическим или математическим моделям относятся те, в которых для представления процесса или системы используются символы, а не физические устройства.

Математическое моделирование можно разделить на аналитическое и имитационное. При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов системы записываются в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных, конечно-разностных и других соотношений и логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся найти явные зависимости для искомых характеристик;

2) численным, когда получают численные значения выходных параметров для заданных входных параметров.

Аналитические решения удается обычно получить только при упрощающих предположениях и они сильно зависят от особенностей модели. Чаще применимы численные методы, но они дают лишь частные результаты, которые трудно обобщить.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени и в пространстве, причем имитируются составляющие процесс элементарные явления с сохранением его логической и временной структуры. Имитационное моделирование не имеет ограничений на класс решаемых задач.

По сравнению с натурным экспериментом математическое моделирование имеет следующие преимущества:

1) экономичность (сбережение ресурсов реальной системы);

2) возможность моделирования гипотетических, т.е. нереализованных в природе объектов;

3) возможность реализации опасных или трудновоспроизводимых в природе режимов (критический режим ядерного реактора, работа систем ПРО);

4) возможность изменения масштаба времени;

5) большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей;

6) универсальность технического и программного обеспечения производимой работы.

Пакет MathCAD

К настоящему времени рядом мощных зарубежных фирм создан целый арсенал интегрированных систем и прикладных программ для проведении трудоемких математических расчетов и решения задач различной степени сложности в различных областях естествознания. В частности, эти системы предоставляют большие возможности для проведения аналитических физических расчетов и моделирования реально протекающих физических процессов с последующим их анализом. Таким образом возможен новый подход к моделированию физических процессов на базе использования средств символьной математики и средств визуализации результатов вычислений.

Среди множества таких систем (Derive, MATLAB, Mathematica 2 и 3, Maple V и др.) особое место занимают системы класса Mathcad.

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Это мощный текстовый редактор для ввода и редактирования как текста, так и формул, вычислительный процессор - для проведения расчетов согласно введенным формулам, и символьный процессор,являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта.

Рис. 1.2. Использование панели инструментов MathCAD

Создатели MathCAD сделали все возможное чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании, мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий

Основные функции Mathcad:

решение алгебраических уравнений и систем (линейных и нелинейных);

. решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и краевая задача);

решение дифференциальных уравнений в частных производных;

статистическая обработка данных (интерполяция, экстраполяция, аппроксимация и многое другое);

работа с векторами и матрицами (линейная алгебра и др.);

поиск минимумов и максимумов функциональных зависимостей;

- математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора

- математические расчеты производятся немедленно, в соответствии с введенными формулами;

- графики различных типов (по выбору пользователя) с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

- возможен ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

- документы могут быть распечатаны непосредственно в MathCAD в том виде, который пользователь видит на экране компьютера, или сохраненные в формате RTF для последующего редактирования в более мощных текстовых редакторах.

Математические панели инструментов

- Calculator (Калькулятор) - служит для вставки основных математических операций, получила свое название из-за схожести набора кнопок с кнопками типичного калькулятора;

- Graph (График) - для вставки графиков;

- Matrix (Матрица) - для вставки матриц и матричных операторов;

- Evaluation (Выражения) - для вставки операторов управления вычислениями;

- Calculus (Вычисления) - для вставки операторов интегрирования, дифференцирования, суммирования;

- Boolean (Булевы операторы) - для вставки логических (булевых) операторов;

- Programming (Программирование) - для программирования средствами MathCAD;

- Greek (Греческие символы) - для вставки греческих символов;

- Symbolic (Символика) - для вставки символьных операторов.

Рис. 1.3. Математические панели инструментов

Web технологии

Для загрузки web-страницы в клиентский браузер посылают установленную на серверном компьютере специальную программу, называемую http-сервером, соответствующему запросу и обрабатывает полученные от него данные.

HTML, Hyper Text Markup Language, или, по-русски, «язык разметки гипертекста», является фундаментальной, базовой технологией Интернета. Несмотря на бытующее среди пользователей Всемирной сети мнение, HTML является полнофункциональным языком программирования, обладающим практически всеми чертами, характерными для других аналогичных языков. Практически все содержимое web-узлов, которое отображается на экране подключенных к Интернету компьютеров, является набором документов, содержащих программный код HTML. HTML позволяет формировать на странице сайта текстовые блоки, включать в них изображения, организовывать таблицы, управлять отображением цвета документа и текста, добавлять в дизайн сайта звуковое сопровождение, организовывать гиперссылки с контекстным переходом в другие разделы сервера или обращаться к иным ресурсам Сети и компоновать все эти элементы между собой. Файлы, содержащие гипертекстовый код, имеют расширение .htm или .html.

Тэги HTML

Все тэги HTML начинаются с "<" и заканчиваются символом ">". Как правило, существует стартовый тэг и завершающий тэг. Например тэги заголовка, определяющие текст, находящийся внутри стартового и завершающего тэга и описывающий заголовок документа:

<TITLE> Заголовок документа </TITLE>

Завершающий тэг выглядит также, как стартовый, и отличается от него прямым слэшем перед текстом внутри угловых скобок. В данном примере тэг <TITLE> говорит WEB-браузеру об использовании формата заголовка, а тэг </TITLE> - о завершении текста заголовка.

Некоторые тэги, такие, как <P> (тэг, определяющий абзац), не требуют завершающего тэга, но его использование придает исходному тексту документа улучшенную читаемость и структурируемость.

Заголовочная часть документа <HEAD>

Тэг заголовочной части документа должен быть использован сразу после тэга <HTML> и более нигде в теле документа. Данный тэг представляет из себя общее описание документа. Стартовый тэг <HEAD> помещается непосредственно перед тэгом <TITLE> и другими тэгами, описывающими документ, а завершающий тэг </HEAD> размещается сразу после окончания описания документа. Например:

<HTML>

<HEAD>

<TITLE> Список студентов </TITLE>

</HEAD>

Заголовок документа <TITLE>

Большинство WEB-браузеров отображают содержимое тэга <TITLE> в заголовке окна, содержащего документ и в файле закладок, если он поддерживается WEB-браузером. Заголовок, ограниченный тэгами <TITLE> и </TITLE>, размещается внутри <HEAD>-тэгов. Заголовок документа не появляется при отображении самого документа в окне.

Тело документа <BODY>

Тело документа должно находиться между тэгами <BODY> и </BODY>. Это та часть документа, которая отображается как текстовая и графическая (смысловая) информация вашего документа.

Тэг абзаца <P>

В отличии от большинства текстовых процессоров, в HTML-документе обычно игнорируются символы возврата каретки. Физический разрыв абзаца может находиться в любом месте исходного текста документа. Однако браузер разделяет абзацы только при наличии тэга <P>. Если не разделить абзацы тэгом <P>, то документ будет выглядеть как один большой абзац.

Дополнительные параметры тэга <P>:

<P ALIGN=left|center|right>

позволяют выравнивать абзац по левому краю, центру и правому краю соответственно.

Центрирование элементов документа

Можно центрировать все элементы документа в окне браузера. Для этого можно использовать тэг <CENTER>.

Все элементы между тэгами <CENTER> и </CENTER> будут находиться в центре окна

Для просмотра html-документов необходимо специальное программное обеспечение, предназначенное для динамической обработки кода HTML и отображения web-страниц. Такие программы называются браузерами.

Браузеры содержат встроенный транслятор языка разметки гипертекста, компилирующий html-код в процессе открытия web-страницы.

Существует несколько классов браузеров, различающихся в основном спектром реализуемых ими возможностей. Два основных класса ? это браузеры, поддерживающие и не поддерживающие отображение графических элементов web-страниц. Большинство современных браузеров относятся к первому классу. Наиболее распространены среди пользователей Интернета браузеры Microsoft Internet Explorer и Netscape Navigator, предназначенные для работы в среде Microsoft Windows. Менее распространены Opera, Arachne (работает под управлением DOS) и текстовый браузер для UNIX-совместимых платформ под названием Lynx.

Алгоритмический анализ задачи. Постановка задачи

1. Исследовать зависимости диаметра балки от L4 и прогиба балки от длины Q4;

2. В пакете MathCAD по полученной математической модели исследовать действие критических нагрузок на балку;

3. Построить эпюру поперечной силы и крутящего момента;

4. По найденным экстремальным значениям крутящего момента определить размер сечения балки;

5. Рассчитать и построить графики угла поворота и максимального прогиба.

Условие задачи. Материал балки - углеродистая сталь.

Длины участков: L1=3м, L2=6м, L3=11м, L4=17м, L5=26м, L6=30м;

Нагружающие силы: Р1=28000Н, Р2=11000Н, Р3=21000Н, Р4=22000Н;

Распределенная нагрузка: Q1=28000Н/м, Q2=19000Н/м, Q3=21000Н/м;

Нагружающий момент: М0=11000Н*м.

Рис.

Математическая модель

Для решения поставленной задачи необходимо составить математическую модель задачи.

Определяем опорные реакции. Для их определения используется условие равенства нулю изгибающего момента на правой опоре:

?М_b=0

Разбив систему на участки, рассмотрим влияние заданных сил и распределенных нагрузок на поперечную силу и на изгибающий момент каждого из участков:

Структурный анализ задачи в MathCAD

Строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М

Находим по графику максимальное значений изгибающего момента М_max;

Определяем размеры сечения балки: для этого находим по формуле - минимальный осевой момент сопротивления сечения, где у_доп - допускаемое напряжение для заданного материала балки. И по формуле определяем размеры сечения балки.

Определяем перемещений балки с помощью интеграла Мора: для этого задаём реакцию в точке А от единичной нагрузки, приложенной в точке xx - R_a1(xx)=(L6-xx)/L6 , и момент реакции в точке А от единичного момента, приложенного а точке xx - R_a2=1/L6 ;

Составляем уравнения действия реакции и момента реакций на участках:

Прогиб балки определяется по формуле:

где, J=рd⁴/64 - момент инерции;

Е - Модуль упругости для заданного материала балки;

Угол поворота определяется по формуле:



Строим графики угла поворота и максимального прогиба.

На основе полученного решения проводим исследование (в решении, по полученному заданию, изменяем нагрузку (P4) и длину участка (L4)).

(Подробное решение задания смотри в приложении А)

Заключение

В ходе данной курсовой работы я закрепил свои знания в области вычислительной техники, математики и механики материалов. Это связано с тем, что для создания программы необходимо было исследовать механизм на изгиб и прочность, и производить расчеты в среде MathCAD.

В первой главе дается анализ понятия модель, математическая модель, приводится классификация математических моделей, а также приведена общая схема процесса компьютерного математического моделирования,

Вторая глава посвящена алгоритмическому анализу задачи. В ней приводится постановка задачи, на основании которой разрабатывается математическая модель и схема алгоритма решения задачи.

На основе решения и проведённых исследований мы получили зависимость (приложение Б), на которой отчётливо видно, что с увеличением нагрузки уменьшается и диаметр, и с удлинением участка L4 увеличивается прогиб балки.

Литература

1.Токочаков В. И. Практическое пособие по теме «Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 2000.

2.Краскевич В.Е.,Зеленский К.Х. Численные методы в инженерных исследованиях. - Киев:1986.

3.Останина А.М. Применение математических методов и ВМ.Мн.:1985.

4.Гусак А.А.Элементы методов вычислений,издание II.-Мн.:Издательство БГУ им.В.И. Ленина,1982.

5. В.П. Дьяконов «Справочник по MathCAD PLUS 7.0 Pro» Москва 1998г.

6. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. - Мн.: ДизайнПРО, 1997. - 640с.: ил..

Размещено на Allbest.ru

...