Методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Кафедра автоматизованих систем управління

Звіт

до лабораторної роботи № 6

з курсу «Чисельні методи в інформатиці»

на тему «Методи розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних»

Виконав:

студент групи КН-31

Рожок О.О.

Прийняв: Романчук Я. П.

Львів - 2010

Мета роботи: Засвоїти теоретичний матеріал і методи розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних, набути практичні навики знаходження їхніх наближених значень.

Короткі теоретичні відомості. Із розв'язуванням диференційних рівнянь у частинних похідних інженерам і дослідникам доводиться зустрічатися в багатьох областях науки і техніки, в аеро- і гідродинаміці, ядерній фізиці, радіозв'язку тощо.

Розрізняють три типи диференційних рівнянь другого порядку:

- еліптичні, при B2 ? 4AC < 0 ;

- параболічні, при B2 ? 4AC = 0;

- гіперболічні, при B2 ? 4AC > 0.

Рівняння можуть переходити з одного вигляду до іншого в залежності від значень коефіцієнтів. Існують два методи розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних: різницевий метод (метод скінченних різниць) і метод скінченних елементів. У сучасній прикладній математиці обидва методи розглядаються як інтерпретації використання загальної теорії різницевих схем до розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних. В основі методу cкінченних елементів лежить варіаційне числення. Диференційне рівняння, яке описує задачу, та відповідні граничні умови використовують для формулювання варіаційної задачі. В методі скінченних елементів фізична задача замінюється її кусково-гладкою моделлю. Цей метод, незважаючи на те, що він вимагає складної постановки задачі, високої кваліфікації та досвіду користувача, є неуніверсальним (кожний розв'язок застосовується лише для конкретної задачі). Метод скінченних елементів знайшов широке використання для розв'язування спеціальних задач в теоретичній механіці, гідродинаміці, теорії поля, однак, він складний, вимагає серйозної підготовки і знань в конкретній області використання. Тому при розв'язуванні задач автоматики та систем керування частіше використовується різницевий метод.

1. Різницевий метод

Для числового розв'язування диференційних рівнянь другого порядку в частинних похідних найчастіше використовується двовимірна прямокутна сітка. Центрально-різницеві шаблони, які застосовують на двовимірній квадратній сітці з кроком h , зображеній на рисунку 1 (індекс j надається незалежній змінній y , а i відноситься до x ), можуть бути отримані аналогічно як і в одновимірному випадку.

Рис. 1. Квадратна сітка.

2. Розв'язування різних типів диференційних рівнянь у частинних похідних

диференційний рівняння еліптичний гіперболічний

Практичні методи і алгоритми розв'язування різних типів диференційних рівнянь в частинних похідних мають свої особливості і вимагають окремого розгляду на прикладі найбільш розповсюджених задач.

2.1 Еліптичні рівняння

До еліптичних рівнянь зводиться багато різних фізичних задач: розрахунок напружень, які виникають при пружному скруті довгого циліндричного стрижня; розподіл електричних напруг на площині, що проводить струм; задача про стаціонарні течії тепла в двовимірному тілі.

Розглянемо класичну задачу Діріхле для рівняння Лапласа в прямокутній області, що формулюється таким чином: знайти неперервну функцію f(x,y), яка в прямокутній області Щ = {(x, y) | 0 ? x ? a, 0 ? y ? b} задовольняє рівняння Лапласа:

і приймає на границі області задані значення:

x=0; f (0,y) = f1 (y), x=a; f (a,y) = f2 (y), y=0; f (x,0) = f3 (x), y=b; f (x,b) = f4 (x).

Введемо в області розв'язання двовимірну сітку з кроком h по осі x і l по осі y. Тоді, користуючись прийнятими в попередніх розділах позначеннями і апроксимуючи рівняння Лапласа різницевим рівнянням, отримаємо таку систему лінійних рівнянь (приймемо для спрощення l=h):

(2)

при i=1,2,…,n-1; j=1,…,m-1.

Ця система рівнянь має велику кількість нульових елементів і задовольняє умови збіжності при використанні ітераційних методів. Найбільше використання для розв'язання таких систем знайшов метод Гаусса-Зейделя, який, коли застосовується до еліптичних різницевих рівнянь, називається методом Лібмана або методом послідовних зміщень.

Порядок ітерацій можна простежити, переписавши систему (2) у вигляді:

де верхніми індексами позначено порядковий номер ітерації: m - попередня, m+1 - наступна. Зазвичай вважають для всіх i, j. Система рівнянь легко розв'язується на ПЕОМ. Взагалі кажучи, будь-які еліптичні рівняння, які не містять , зводяться до систем різницевих рівнянь, які можна розв'язувати як методом Лібмана, так і іншими ітераційними методами (Якобі, послідовної верхньої релаксації та ін.), оскільки для них виконуються умови збіжності. Для еліптичних рівнянь, які містять , в загальному вигляді, питання про збіжність ітераційних методів не має теоретичного розв'язку і необхідно розглядати отриману систему рівнянь в кожному конкретному випадку.

2.2 Гіперболічні рівняння

В інженерній практиці найчастіше зустрічається гіперболічне рівняння в частинних похідних - хвильове рівняння, яке описує різні види коливань: коливання струни або мембрани, розповсюдження звукових хвиль у різних середовищах тощо.

В загальному вигляді задача формулюється таким чином: знайти функцію f (x, t), яка задовольняє всередині області Щ={(x, t) , 0 ? x ? a, 0 ?t ? T } рівняння

,

Початкові

і граничні умови

Оскільки заміна змінних t =c?t приводить рівняння до вигляду:

то надалі приймаємо с=1.

Переходячи до різницевого рівняння на сітці з кроком h по x й ф по t з центральними різницями, отримаємо

Якщо ввести , то вираз для fi, j +1 прийме вигляд:

fi, j+1 = rІ ( fi+1, j + fi?1, j ) + 2(1 ? rІ ) fi, j ? fi, j? 1. (3)

Індивідуальне завдання

u(0,y)=0; u(1,y)=y; 0?y?1

u(x,0)=0; u(x,1)=x; 0?x?1

Текст програми

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include "RiznUn.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

const n=4,m=4;

TForm1 *Form1;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

float x[n]={0}, y[m]={0}, u[n+1][m+1]={0};

int i,j,m1,n1;

float a,b,hx,hy,s,t,w,r,e;

a=StrToFloat(LabeledEdit1->Text);

b=StrToFloat(LabeledEdit2->Text);

e=StrToFloat(LabeledEdit3->Text);

hx=a/n;

hy=b/m;

t=(hx/hy)*(hx/hy);

for (j=0; j<=m; j++)

{

y[j]=j*hy;

u[0][j]=0;

u[n][j]=y[j];

}

for (i=0; i<=n; i++)

{

x[i]=i*hx;

u[i][0]=0;

u[i][m]=x[i];

}

for (i=1; i<=n; i++)

for (j=1; j<=m; j++)

u[i][j]=1;

do

{

w=0;

for (i=1; i<=n; i++)

for (j=1; j<=m; j++)

{

s=(u[i-1][j]+u[i+1][j]+t*(u[i][j-1]+u[i][j+1]))/(2*(1+t));

r=abs(s-u[i][j]);

if (r>w) w=r;

u[i][j]=s;

}

}

while (w>=e);

StringGrid1->RowCount=n+2;

StringGrid1->ColCount=m+2;

StringGrid1->Cells[0][0]="x\\y";

for (i=0; i<=n; i++)

{

for (j=0; j<=m; j++)

StringGrid1->Cells[j+1][i+1]=FloatToStrF(u[i][j],ffFixed,6,3);

StringGrid1->Cells[0][i+1]=FloatToStrF(x[i],ffFixed,6,3);

}

for (j=0; j<=m; j++) StringGrid1->Cells[j+1][0]=FloatToStrF(y[j],ffFixed,6,3);

}

//---------------------------------------------------------------------------------

Результат виконання програми

Висновок

На цій лабораторній роботі я засвоїв теоретичний матеріал і методи розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних, набув практичні навики знаходження їхніх наближених значень.

Размещено на Allbest.ru