Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• Историческая справка
• 1 Математическое описание распределения хи-квадрат
• 2 Методы розыгрыша случайной величины
• 2.1 Метод обратной функции
• 2.2 Метод Неймана
• 2.3 МетодМетрополиса
• Выводы


Введение

Выполнение данной курсовой работы можно условно разделить на несколько частей:

1. ознакомление с заданным распределением,

2. изучение методов преобразования случайных величин к заданному распределению вероятности,

3. разработка алгоритмов розыгрыша случайной величины,

4. реализация алгоритмов на языке программирования Delphi,

5. тестирование и отладка программы-генератора случайных величин.

В первом разделе данной курсовой работы предоставлено краткое математическое описание обратного распределения хи-квадрат, приведены графики функции плотности вероятности при типичных параметрах распределения.

Второй раздел работы содержит описание трех методов розыгрыша случайной величины заданного распределения, предоставлены блок-схемы алгоритмов розыгрыша и фрагменты кода, реализующие данные алгоритмы.



Историческая справка

Критерий ?? был предложен Карлом Пирсоном (Pearson) в 1900 году.^[1] Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 10²⁹!

Общее обсуждение критерия ?? и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена



1. Математическое описание распределения хи-квадрат

Распределение (хи-квадрат) с степенями свободы -- это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин. Пусть -- совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, то есть .

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и имеет вид:

,

где означает Гамма-распределение, а -- Гамма-функцию.

Функция распределения имеет следующий вид:

,

где и обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат

· Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если независимы, и, а , то

.

· Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если , то

,

.

· В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно

по распределению при .

Математическое ожидание - .

Дисперсия - 2.

Асимметрия -

Эксцесс -

Мода -

Распределение . Распределение Пирсона



Плотность вероятности

Функция распределения



2. Методы розыгрыша случайной величины

2.1 Метод обратной функции

Метод обратной функции - это метод преобразования стандартного датчика псевдослучайных чисел в датчик любого другого распределения.

Чтобы разыграть случайную величину необходимо:

1. Рассчитать функцию вероятности

2. Решить уравнение

Найденное значение может быть записано в следующем виде

,

где обратная функция к .

Так как для обратного распределения Гаусса было сложно вычислить интеграл от функции плотности вероятности, данную задачу я решил численно, табулируя функцию с определенным шагом.



Блок схема алгоритма

Табуляция функции

function Tabulate(step, lambda:double; mu:double):Arr; stdcall;

var Sum,Fx,x:Double; i:Integer;

xValues,FxValues:array of double;

begin

Setlength(Result,2);

Sum:=0; Fx:=0; i:=0;

x:=0.00001;

while true do

begin

Sum:=Sum+Sqrt(lambda/(2*PI*x*x*x))*Exp((-lambda*sqr(x-mu))/(2*mu*mu*x))*step;

if Sum > 0.999 then Break;

Fx:=Sum;

SetLength(Result[1],i+1);

SetLength(Result[2],i+1);

Result[1,i]:=Fx;

Result[2,i]:=x;

x:=x+step;

inc(i);

end;

end;

Розыгрыш случайного числа методом обратной функции

function GenerateRandomValues(step,lambda:double; mu:double):Double; stdcall;

var j, minIndex:Integer; min, StdRandomValue:Double;

xValues,FxValues:array of double;

begin

if (GLambda <> lambda) then

begin

GLambda:=lambda;

GMu:=mu;

x_Fx_Values:=Tabulate(step,lambda,mu);

end

else if (GMu <> mu) then

begin

GLambda:=lambda;

GMu:=mu;

x_Fx_Values:=Tabulate(step,lambda,mu);

end;

StdRandomValue:=Random;

min:=10000;

minIndex:=0;

j:=0;

while j <= (Length(x_Fx_Values[1])-1) do

begin

if(Abs(StdRandomValue-x_Fx_Values[1,j])<min) then

begin

min:=Abs(StdRandomValue-x_Fx_Values[1,j]);

minIndex:=j;

end;

inc(j);

end;

Result:=x_Fx_Values[2,minIndex];

end;

2.2 Метод Неймана

Данный метод подходит для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (a,b). Для генерации обратного распределенияГаусса, которое определено на интервале от нуля до плюс бесконечности, вычисляется интервал значимости, на котором изменение значения плотности на соседних значениях Х больше некоторой малой величины и производится генерация случайной величины на интервале от отрицательного предела до положительного.

Для реализации этого метода необходимо определить максимальное значение, которое принимает функция плотности вероятности.

После этого разыгрывается случайная точки из стандартного датчика в прямоугольнике, ограниченном слева и справа границами интервала (а,b), а сверху максимальным значение функции плотности вероятности на заданном интервале. алгоритм распределение программа генератор

Если полученная точка находится под кривой графика функции плотности, то значению случайной величины присваивается значение абсциссы случайной величины стандартного датчика.

Блок-схема алгоритма

Определение максимума функции плотности вероятности

functionGetMaxPDF(step, lambda:double; mu:double):Double; stdcall;

var x:double; i:Integer;

FxValues:array of double;

begin

x:=0.0001; i:=0;

while x<1000 do

begin

SetLength(FxValues,i+1);

FxValues[i]:= Sqrt(lambda/(2*PI*x*x*x))*Exp((-lambda*sqr(x-mu))/(2*mu*mu*x));

x:=x+step;

inc(i);

end;

//получаем максимальное значение функции плотности распределения

Result:=MaxValue(FxValues);

end;

Определение значения коэффициента b

function GetB(lambda,mu:double):Double; stdcall;

var x,Fx:Double;

begin

x:=lambda/2; Fx:=100;

while(Fx > 10E-10) do

begin

Fx:= Sqrt(lambda/(2*PI*x*x*x))*Exp((-lambda*sqr(x-mu))/(2*mu*mu*x));

x:=x+0.1;

end;

result:=x;

end;

Розыгрыш случайной величины методом Неймана

functionGenerateRandomValueNeiman(step,lambda,mu,b:double):double; stdcall;

var x,Fx,StdRandomValue:Double; i:Int64;

begin

if (GLambda <> lambda) then

begin

GLambda:=lambda;

GMu:=mu;

maxRoForNeiman:= GetMaxCDF(step,lambda, mu);

end

else if (GMu <> mu) then

begin

GLambda:=lambda;

GMu:=mu;

maxRoForNeiman:= GetMaxCDF(step,lambda, mu);

//b:=GetB(lambda, mu);

end;

StdRandomValue:=Random;

x:=0+b*StdRandomValue;

StdRandomValue:=Random;

Fx:=StdRandomValue*maxRoForNeiman;

while Fx >(Sqrt(lambda/(2*PI*x*x*x))*Exp((-lambda*sqr(x-Mu))/(2*Mu*Mu*x))) do

begin

StdRandomValue:=Random;

x:=0+b*StdRandomValue;

StdRandomValue:=Random;

Fx:=StdRandomValue*maxRoForNeiman;

end;

result:=x;

end;



2.3 Метод Метрополиса

Метод Метрополиса решает стандартную задачу преобразования случайной величины и относится к классу методов отбора.

Алгоритм метода

1. Определяем значение :

где - равномерная величина распределенная на некотором интервале

2. Вычисляем соответствующее значение

3. После этого, если значение 1, то выход.

4. Если 1, разыгрываем случайную величину из стандартного датчика и, если , то . В противном случае переход к пункту 1.

При реализации данного метода начальное значение рационально выбирать в самой высокой точке распределения. рационально выбирать величиной сравнимой с характерным размером распределения.



Блок-схема алгоритма

Розыгрыш случайной величины методом Метрополиса

functionMetropolisGenerator(lambda,mu,right,delta,xMax:double) : double; stdcall;

var x, w, prevX: double;

begin

prevX:=xMax;

w:=0;

repeat

x := prevX + (-1 + 2 * Random) * delta;

if x>0 then

w := (Sqrt(lambda/(2*PI*x*x*x))*Exp((-lambda*sqr(x-mu))/(2*mu*mu*x)))/(Sqrt(lambda/(2*PI*prevX*prevX*prevX))*Exp((-lambda*sqr(prevX-mu))/(2*mu*mu*prevX)));

until ((w > Random) and (x > 0) and (x < right));

prevX := x;

Result := x;

end;

//определениемаксимальногозначенияPDF

function MaxPDF(step,lambda,mu):double; stdcall;

var x:double; i:Int64;

xValues,FxValues:array of double;

maxValue:double; maxIndex:Int64;

begin

x:=step; i:=0;

while x<mu do

begin

SetLength(FxValues,i+1);

SetLength(xValues,i+1);

FxValues[i]:= Sqrt(lambda/(2*PI*x*x*x))*Exp((-lambda*sqr(x-mu))/(2*mu*mu*x));

xValues[i]:=x;

x:=x+step;

inc(i);

end;

i:=0;

while i<Length(FxValues) do

begin

if FxValues[i]>maxValue then

begin

maxValue:=FxValues[i];

maxIndex:=i;

end;

end;

Result:=xValues(maxIndex);

end;



Выводы

В ходе выполнения курсовой работы мною была разработана программа-генератор случайных величин из обратного распределения Гаусса.

На примерах приведенных выше видно, что численные значения, полученные в результате вычислений незначительно отличаются от теоретических. Гистограммы частот также незначительно отличаются от теоретической кривой функции плотности вероятности данного распределения. При тестировании было выявлено, что более точные результаты давал метод Неймана, но при определенных параметрах распределения этот метод работал намного дольше остальных. Метод Метрополиса давал более грубые оценки дисперсии и математического ожидания, чем остальные методы.

На основании многократного тестирования программы можно сделать выводы, что генератор случайных чисел работает правильно и позволяет получать случайные величины из обратного распределения Гаусса.

В работе были использованы следующие возможности, предоставляемые средой Delphi:

1. Динамические библиотеки

2. Реализация разреженных массивов с использованием массива указателей

3. Функции TryStrToFloatи TryStrToIntдля проверки ввода

4. Оператор Application.ProcessMessager

5. Динамические массивы

6. Работа с текстовыми файлами

7. Работа с компонентами TChartи TStringGrid

8. Работа с буфером обмена и др.

Размещено на Allbest.ru

...