Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Устойчивость САУ



Нули и полюсы передаточной функции

Корни полинома в числителе передаточной функции называются нулями, а корни полинома в знаменателе - полюсами передаточной функции. Полюсы одновременно корни характеристического уравнения, или характеристические числа.

Рис. 1. Расположение корней минимально- фазового звена

Если корни числителя и знаменателя передаточной функции лежат в левой полуплоскости (при этом корни числителя и знаменателя лежат в верхней полуплоскости), то звено называется минимально-фазовым.

Соответствие левой полуплоскости корней р верхней полуплоскости корней (рис.2.2.1) объясняется тем, что , или , т.е. вектор получается из вектора поворотом на угол по часовой стрелке. В результате все векторы из левой полуплоскости приходят в векторы в верхней полуплоскости.

Неминимально-фазовые и неустойчивые звенья

Расмотренные выше звенья позиционного и дифферинцирующего типов относятся к устойчивым звеньям, или к звеньям с самовыравниванием.

Под самовыравниванием понимается способность звена самопро-извольно приходить к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Обычно термин самовыравнивание применяется для звеньев, являющихся объектами регулирования.

Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К ним, например, относятся звенья интегрируюшего типа.

Существуют звенья, у которых этот процесс выражен еще заметнее. Это объясняется наличием положительных вещественных или комплексных корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении (знаменателе передаточной функции, приравненом нулю), в результате чего звено будет относиться к категории неустойчивых звеньев.

Например, в случае дифференциального уравнения , имеем передаточная функция и характеристическое уравнение с положительным вещественным корнем . Это звено имеет одинаковую амплитудно-частотную характеристику с инерционным звеном с передаточной функцией . Но фазо-частотные характеристики этих звеньев совпадают. Для инерционного звена имеем . Для звена с передаточной функцией имеем

,

т.е. большее по абсолютной величине значение.

В связи с этим неустойчивые звенья относятся к группе не минимально-фазовых звеньев.

К не минимально-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (соответствующем правой части дифференциального уравнения) вещественные положительные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью.

Например, звено с передаточной функцией относится к группе не минимально-фазовых звеньев. Модуль частотной передаточной функции совпадает с модулем частотной передаточной функции звена, имеющего передаточную функцию . Но фазовый сдвиг первого звена по абсолютной величине больше:

Минимально-фазовые звенья имеют меньшие фазовые сдвиги по сравнению с соответствующими звеньями, имеющими такие же амплитудные частотные характеристики.

Говорят, что система устойчива или обладает самовыравниванием, если после снятия внешнего возмущения она возвращается в исходное состояние.

Так как движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, то математическое определение устойчивой системы можно cфоpмулировать следующим образом:

Система называется асимптотически устойчивой, если выполняется условие

(1)

Из анализа общего решения вытекает необходимое и достаточное условие устойчивости:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели строго отрицательные вещественные части, т.е. Rep_i < 0, I = 1…n. (2)

Для наглядности корни характеристического уравнения принято изображать на комплексной плоскости рис. 2.а. При выполнении необходимого и достаточного условия (2) все корни лежат слева от мнимой оси, т.е. в области устойчивости.

Рис. 2а. Плоскость корней характеристического уравнения A(p) = 0. ОУ- область устойчивости

Рис. 2б. Плоскость корней характеристического уравнения = 0. ОУ- область устойчивости

Поэтому условие (2) можно сформулировать следующим образом.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости.

Строгое общее определение устойчивости, методы исследования устойчивости нелинейных систем и возможность распространения заключения об устойчивости линеаризованной системы на исходную нелинейную систему даны русским ученым А.М. Ляпуновым.

На практике устойчивость часто определяется косвенным путем, с помощью так называемых критериев устойчивости без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения. К ним относятся алгебраические критерии: условие Стодолы, критерии Гурвица, Михайлова, а также частотный критерий Найквиста. При этом критерий Найквиста позволяет определять устойчивость замкнутой системы по АФХ или по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы.

Условие Стодолы

Условие получено словацким математиком Стодолой в конце 19-го столетия. Оно интересно в методическом плане для понимания условий устойчивости системы.

Запишем характеристическое уравнение системы в виде

D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 +…a_n= 0. (2.9.3)

По Стодоле для устойчивости необходимо, но недостаточно, чтобы пpи a₀ > 0 все остальные коэффициенты были строго положительны, т.е.

a₁ > 0,..., a_n > 0.

Необходимость можно сформировать так:

Если система устойчива, то все корни характеристического уравнения имеют , т.е. являются левыми.

Доказательство необходимости элементарное. По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

.



Пусть , т.е действительное число, а - комплексно-сопряженные корни. Тогда

Отсюда видно, что в случае полинома с действительными коэффициентами комплексные корни попарно-сопряженные. При этом, если , , то имеем произведение многочленов с положительными коэффициентами, которое дает многочлен только с положительными коэффициентами.

Недостаточность условия Стодолы заключается в том, что условие не гарантирует, что все . В этом можно убедиться на конкретном примере, рассмотрев полином степени .

Заметим, что в случае условие Стодолы одновременно необходимо и достаточно. Из вытекает . Если , то и , чтобы .

Для из анализа формулы корней квадратного уравнения также вытекает достаточность условия.

Из условия Стодолы вытекает два важных следствия.

1. Если условие выполняется, а система неустойчива, то переходный процесс имеет колебательный характер. Это следует из того, что уравнение с положительными коэффициентами не может иметь действительных положительных корней. По определению корень - это число, обращающее характеристический полином в нуль. Никакое положительное число не может обратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами, то есть быть его корнем.

2. Положительность коэффициентов характеристического полинома (соответственно выполнение условия Стодолы) обеспечивается в случае отрицательной обратной связи, т.е. в случае нечетного числа инверсий сигнала по замкнутому контуру. В этом случае характеристический полином . В противном случае имели и после приведения подобных некоторые коэффициенты могли оказаться отрицательными.

Заметим, что отрицательная обратная связь не исключает возможности невыполнения условия Стодолы. Например, если , а , то в случае единичной отрицательной обратной связи . В данном полиноме коэффициент при равен нулю. Отрицательных коэффициентов нет, но, тем не менее, условие не выполняется, так как оно требует строго выполнения неравенств .

Это подтверждает и следующий пример.

Пример 1. Применить условие Стодолы к схеме рис. 3.

Рис. 3. Структурнаясхема системы

Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи системы равна и характеристическое уравнение замкнутой системы есть сумма числителя и знаменателя, т. е.

D(p ) = p² + k₁k₂ = 0.



Так как отсутствует член с р в первой степени (a₁ = 0), то условие Стодолы не выполняется и система неустойчива. Данная система структурно неустойчива, так как ни при каких значениях параметров k₁ и k₂ не может быть устойчивой.

Чтобы сделать систему устойчивой, нужно ввести дополнительную связь или корректирующее звено, т.е. изменить структуру системы. Покажем это на примерах. На рис. 2.9.3. звено прямой цепи представлено последовательно включенными звеньями с передаточными функциями и . Параллельно первому введении дополнительная связь.

Рис. 4. Схема с дополнительной связью

Передаточная функция разомкнутой по единичной отрицательной связи системы и характеристическое уравнение замкнутой системы соответственно равна

,

.

Теперь условие Стодолы выполняется при любых . Так как в случае уравнения второй степени оно не только необходимо, но и достаточно, то система устойчива при любых положительных коэффициентах усиления .

Рис. 5. Схема с корректирующимзвеном

На рис. 5 в схему введено последовательно форсирующее звено. Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной связи системы в этом случае равна и характеристическое уравнение замкнутой системы равно .

Аналогично предыдущему система устойчива при любых положительных .

Критерий устойчивости Раусса-Гурвица

Математики Раусс (Англия) и Гурвиц (Швейцария) разработали этот критерий приблизительно в одно время. Отличие заключалось в алгоритме вычислений. Мы познакомимся с критерием в формулировке Гурвица.

По Гурвицу для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы при a₀ > 0 определитель Гурвица = _n и все его главные миноры ₁, ₂,..., _n-1 были строго положительны, т.е.

(4)

Cтруктура определителя Гурвица легко запоминается, если учесть, что по главной диагонали расположены коэффициенты а₁,…,а_n, в строчках расположены коэффициенты через один, если они исчерпаны, то свободные места заполняются нулями.

Пример 2. Исследовать на устойчивость по Гурвицу систему с единичной отрицательной обратной связью, в прямой цепи которой включены три инерционных звена и, следовательно, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

(5)

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы как сумму числителя и знаменателя (5):

Следовательно,

Определитель Гурвица и его миноры имеют вид

(6)

с учетом a₀ > 0 из строгой положительности определителя Гурвица и миноров (6) вытекает условие Стодолы и, кроме того, условие a₁ a₂ - a₀ a₃ > 0, что после подстановки значений коэффициентов дает

(Т₁Т₂+ Т₁Т₃+Т₂Т₃)(Т₁+Т₂+Т₃)>Т₁Т₂Т₃(1+k). (7)

Отсюда видно, что при увеличении k система из устойчивой может превратиться в неустойчивую, так как неравенство (7) перестанет выполняться.

Передаточная функция системы по ошибке равна

(8)

Согласно теореме о конечном значении оригинала установившаяся ошибка отработки единичного ступенчатого сигнала будет равна 1/(1+k). Следовательно, обнаруживается противоречие между устойчивостью и точностью. Для уменьшения ошибки надо увеличивать k, но это приводит к потере устойчивости.

Принцип аргумента и критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова основан на так называемом принципе аргумента.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы, который по теореме Безу можно представить в виде

D(p) = a₀pⁿ+ a₁p^n-1+…+ a_n = a₀(p - p₁)…(p - p_n).

Сделаем подстановку p = j

D(j) = a₀(j)ⁿ+ a₁(j)^n-1+…+ a_n = a₀(j - p₁)…(j - p_n) = X()+jY().



Для конкретного значения имеет точку на комплексной плоскости, задаваемую параметрическими уравнениями

Рис. 6. Определение приращения аргумента вектора: а) случай левого корня; б) случай правого корня; в) случай чисто мнимого корня

Если изменять в диапазоне от - до , то будет прочерчена кривая Михайлова, т. е. годограф. Изучим поворот вектора D(j) при изменении от - до , т. е. найдем приращение аргумента вектора (аргумент равен сумме для произведения векторов): .

При = - разностный вектор, начало которого в точке р_i, а конец на мнимой оси, направлен вертикально вниз. По мере роста конец вектора скользит вдоль мнимой оси, а при = вектор направлен вертикально вверх. Если корень левый (рис. 6а), то arg = +, а если корень правый, то arg = -. фазовый устойчивость система связь

Если характеристическое уравнение имеет m правых корней (соответственно n - m левых), то .

Это и есть принцип аргумента. При выделении действительной части Х() и мнимой Y() мы отнесли к Х() все слагаемые, содержащие j в четной степени, а к Y() - в нечетной степени. Поэтому кривая Михайлова симметрична относительно действительной оси (Х() - четная, Y() - нечетная функция). В результате, если изменять от 0 до +, то приращение аргумента будет в два раза меньше. В связи с этим окончательно принцип аргумента формулируется следующим образом

. (9)

Если система устойчива, т.е. m = 0, то получаем критерий устойчивости Михайлова.

По Михайлову для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы

, (10)

то есть кривая Михайлова должна последовательно проходить через n четвертей против часовой стрелки.

Очевидно, что для применения критерия Михайлова не требуется точного и детального построения кривой. Важно установить, каким образом она огибает начало координат и не нарушается ли последовательность прохождения n четвертей против часовой стрелки.

Пример 3. Применить критерий Михайлова для проверки устойчивости системы, показанной на рис. 7.

Рис. 7. Структурная схема системы

Характеристический полином замкнутой системы при k1k2 > 0 соответствует устойчивой системе, так условие Стодолы выполняется, а для n = 1 оно достаточно. Можно непосредственно найти корень р1 = - k1k2 и убедиться, что необходимое и достаточное условие устойчивости выполнено. Поэтому применение критерия Михайлова носит иллюстративный характер. Полагая p=j, получим

D(j) = X()+jY(),

где Х() = ; Y() = . (11)

Рис. 8. Годограф Михайлова для системы

По параметрическим уравнениям (11) построен годограф Михайлова на рис. 8, из которого видно, что при изменении от 0 до вектор D(j) поворачивается против часовой стрелки на +/2 , т.е. система устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста

Как уже было отмечено, критерий Найквиста занимает особое положение среди критериев устойчивости. Это частотный критерий, позволяющий определить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой. При этом предполагается, что система разомкнута по цепи единичной отрицательной обратной связи (рис. 9).



Рис. 9. Место размыкания системы при проверке устойчивости по критерию Найквиста

Одним из достоинств критерия Найквиста является то, что частотные характеристики разомкнутой системы могут быть получены экспериментально.

Вывод критерия основан на использовании принципа аргумента. Передаточная функция разомкнутой системы (по цепи единичной отрицательной обратной связи на рис. 9. равна

Рассмотрим

. (9)

В случае реальной системы с ограниченной полосой пропускания степень знаменателя передаточной функции разомкнутой системы п больше степени числителя , т.е. n > . Поэтому степени характеристических полиномов разомкнутой системы и замкнутой системы одинаковы и равны n. Переход от АФХ разомкнутой системы к АФХ по (2.9.32) означает увеличение вещественной части на 1, т.е. перенос начала координат в точку (-1, 0), как показано на рис. 10.

Предположим теперь, что замкнутая система устойчива, а характеристическое уравнение разомкнутой системы А(р ) = 0 имеет m правых корней. Тогда в соответствии с принципом аргумента (2.9.29) получим необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы по Найквисту

Рис. 10. АФХ для определения устойчивости по Найквисту

(10)

Т.е. для устойчивости замкнутой системы вектор W₁(j) должен делать m/2 полных оборотов против часовой стрелки, что равносильно повороту вектора W_paз(j) относительно критической точки (-1,0).

На практике, как правило, разомкнутая система устойчива, т.е. m = 0. В этом случае приращение аргумента равно нулю, т.е. АФХ разомкнутой системы не должна охватывать критическую точку (-1,0).

Критерий Найквиста для ЛАХ и ЛФХ

На практике чаще используются логарифмические характеристики разомкнутой системы. Поэтому целесообразно сформулировать критерий Найквиста для определения устойчивости замкнутой системы по ним. Количество оборотов АФХ относительно критической точки (-1,0) и охват или не охват ее зависят от количества положительных и отрицательных пересечений интервала (-,-1) действительной оси и соответственно пересечений фазовой характеристикой линии -180° в области L() 0 . На рис. 11 изображены АФХ и показаны знаки пересечений отрезка (-,-1) действительной оси.

Рис. 11. Примеры АФХ

Справедливо правило

где - число положительных и отрицательных пересечений.

По АФХ рис.2.9.24в построены ЛАХ и ЛФХ, изображенные на рис. 12, причем на ЛФХ отмечены положительные и отрицательные пересечения. На отрезке (-,-1) модуль больше единицы, чему соответствует L() > 0. Поэтому Критерий Найквиста:

Рис. 12. ЛАХ и ЛФХ для АФХ

Для устойчивости замкнутой системы ЛФХ разомкнутой системы в области, где L() > 0, должна иметь положительных пересечений линии -180° на больше, чем отрицательных.

Если разомкнутая система устойчива, то число положительных и отрицательных пересечений фазовой характеристикой линии -180° в области L() > 0 для устойчивости замкнутой системы должно быть одинаковым или пересечений не должно быть.

Критерий Найквиста для астатической системы

Особо необходимо рассмотреть случай астатической системы порядка r с передаточной функцией разомкнутой системы, равной

.

В этом случае при 0, т. е. амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы уходит в бесконечность. Раньше мы строили АФХ при изменении от - до и это была непрерывная кривая, замкнутая при = 0. Теперь она также замыкается при = 0, но на бесконечности и при этом не ясно, с какой стороны действительной оси (на бесконечности слева или справа?).

Рис. 13в иллюстрирует, что в этом случае возникает неопределенность в подсчете приращения аргумента разностного вектора. Он теперь все время расположен вдоль мнимой оси (совпадает с j). Только при переходе через нуль изменяется направление (при этом поворот вектора против часовой стрелки на или по часовой стрелке на -?), Для определенности считаем условно, что корень левый и огибание начала координат происходит по дуге бесконечно малого радиуса против часовой стрелки (поворот на +). Соответственно в окрестности = 0 представим в виде

,

где = + при изменении от - 0 до + 0. Последнее выражение показывает, что при таком раскрытии неопределенности АФХ поворачивается при изменении от - 0 до + 0 на угол - по часовой стрелке. Соответственно построенную АФХ надо при = 0 дополнить дугой бесконечности радиуса на угол , т. е. против часовой стрелки до положительной действительной полуоси.

Запасы устойчивости по модулю и фазе

Чтобы гарантировать устойчивость при изменениях параметров системы вводятся запасы устойчивости по модулю и фазе, определяемые следующим образом.

Запас устойчивости по модулю показывает во сколько раз или на сколько децибел допустимо увеличивать или уменьшать коэффициент усиления, чтобы система оставалась устойчивой (оказывалась на границе устойчивости). Он определяется как min(L₃,L₄) на рис.2.9.25. Действительно, если не менять ЛФХ, то при подъеме ЛАХ на L₄ частота среза _ср переместится в точку ₄ и система окажется на границе устойчивости. Если опустить ЛАХ на L₃, то частота среза сместится влево в точку ₃ и система также окажется на границе устойчивости. Если опустить ЛАХ еще ниже, то в области L() > 0 останется только отрицательное пересечение ЛФХ линии -180°, т.е. по критерию Найквиста система станет неустойчивой.

Запас устойчивости по фазе показывает, на сколько допустимо увеличить фазовый сдвиг при неизменном коэффициенте усиления, чтобы система оставалась устойчивой (оказалась на границе устойчивости). Он определяется как дополнение (_ср) до -180°.

На практике L 12-20 дБ, 20-30°.

Размещено на Allbest.ru

...