Венгерский метод

Размещено на http://www.allbest.ru

Венгерский метод



Венгерский метод является одним из интереснейших и наиболее распространенных методов решения транспортных задач.

Рассмотрим сначала основные идеи венгерского метода на примере решения задачи выбора (задачи о назначениях), которая является частным случаем Т-задачи, а затем обобщим этот метод для произвольной Т-задачи.

Венгерский метод для задачи о назначениях

Постановка задачи. Предположим, что имеется различных работ и механизмов , каждый из которых может выполнять любую работу, но с неодинаковой эффективностью. Производительность механизма при выполнении работы обозначим , и = 1,...,n; j = 1,...,n. Требуется так распределить механизмы по работам, чтобы суммарный эффект от их использования был максимален. Такая задача называется задачей выбора или задачей о назначениях.

Формально она записывается так. Необходимо выбрать такую последовательность элементов из матрицы

чтобы сумма была максимальна и при этом из каждой строки и столбца С был выбран только один элемент.

Введем следующие понятия.

Нулевые элементы матрицы С называются независимыми нулями, если для любого строка и столбец, на пересечении которых расположен элемент , не содержат другие такие элементы .

Две прямоугольные матрицы С и D называются эквивалентными (C ~ D), если для всех i,j . Задачи о назначениях, определяемые эквивалентными матрицами, являются эквивалентными (т.е. оптимальные решенияодной из них будут оптимальными и для второй, и наоборот).

Описание алгоритма венгерского метода

Алгоритм состоит из предварительного этапа и не более чем (n-2) последовательно проводимых итераций. Каждая итерация связана с эквивалентными преобразованиями матрицы, полученной в результате проведения предыдущей итерации, и с выбором максимального числа независимых нулей. Окончательным результатом итерации является увеличение числа независимых нулей на единицу. Как только количество независимых нулей станет равным n, проблему выбора оказывается решенной, а оптимальный вариант назначений определяется позициями независимых нулей в последней матрице.

Предварительный этап. Разыскивают максимальный элемент в j - м столбце и все элементы этого столбца последовательно вычитают из максимального. Эту операцию проделывают над всеми столбцами матрицы С. В результате образуется матрица с неотрицательными элементами, в каждом столбце которой имеется, по крайней мере, один нуль.

Далее рассматривают i - ю строку полученной матрицы, разыскивают ее минимальный элемент ?i и из каждого элемента этой строки вычитают минимальный. Эту процедуру повторяют со всеми строками. В результате получим матрицу С0 (С0 ~ C), в каждой строке и столбце которой имеется, по крайней мере, один нуль. Описанный процесс преобразования С в С0 называется приведением матрицы.

Находим произвольный нуль в первом столбце и отмечаем его звездочкой. Затем просматриваем второй столбец, и если в нем есть нуль, расположенный в строке, где нет нуля со звездочкой, то отмечаем его звездочкой. Аналогично просматриваем один за другим все столбцы матрицы С0 и отмечаем, если возможно, следующие нули знаком “*”. Очевидно, что нули матрицы С0, отмеченные звездочкой, являются независимыми. На этом предварительный этап заканчивается.

(k+1)-ая итерация. Допустим, что k-я итерация уже проведена и в результате получена матрица Сk. Если в ней имеется ровно n нулей со звездочкой, то процесс решения заканчивается. В противном случае переходим к (k+1) - й итерации.

Каждая итерация начинается первым и заканчивается вторым этапом. Между ними может несколько раз проводиться пара этапов: третий - первый. Перед началом итерации знаком “+” выделяют столбцы матрицы Сk, которые содержат нули со звездочками.

Первый этап. Просматривают невыделенные столбцы Сk. Если среди них не окажется нулевых элементов, то переходят к третьему этапу. Если же невыделенный нуль матрицы Сk обнаружен, то возможен один из двух случаев: 1) строка, содержащая невыделенный нуль, содержит также и нуль со звездочкой; 2) эта строка не содержит нуля со звездочкой.

Во втором случае переходим сразу ко второму этапу, отметив этот нуль штрихом.

В первом случае этот невыделенный нуль отмечают штрихом и выделяют строку, в которой он содержится (знаком “+” справа от строки). Просматривают эту строку, находят нуль со звездочкой и уничтожают знак “+” выделения столбца, в котором содержится данный нуль.

Далее просматривают этот столбец (который уже стал невыделенным) и отыскивают в нем невыделенный нуль (или нули), в котором он находится. Этот нуль отмечают штрихом и выделяют строку, содержащую такой нуль (или нули). Затем просматривают эту строку, отыскивая в ней нуль со звездочкой.

Этот процесс за конечное число шагов заканчивается одним из следующих исходов:

1) все нули матрицы Сk выделены, т.е. находятся в выделенных строках или столбцах. При этом переходят к третьему этапу;

2) имеется такой невыделенный нуль в строке, где нет нуля со звездочкой. Тогда переходят ко второму этапу, отметив этот нуль штрихом.

Второй этап. На этом этапе строят следующую цепочку из нулей матрицы Сk: исходный нуль со штрихом, нуль со звездочкой, расположенный в одном столбце с первым нулем со штрихом в одной строке с предшествующим нулем со звездочкой и т.д. Итак, цепочка образуется передвижением от 0' к 0* по столбцу, от 0* к 0' по строке и т.д.

Можно доказать, что описанный алгоритм построения цепочки однозначен и конечен, при этом цепочка всегда начинается и заканчивается нулем со штрихом.

Далее над элементами цепочки, стоящими на нечетных местах ( 0' ) -, ставим звездочки, уничтожая их над четными элементами ( 0* ). Затем уничтожаем все штрихи над элементами Сk и знаки выделения “+”. Количество независимых нулей будет увеличено на единицу. На этом (k+1) -я итерация закончена.

Третий этап. К этому этапу переходят после первого, если все нули матрицы Сk выделены. В таком случае среди невыделенных элементов Сk выбирают минимальный и обозначают его h (h>0). Далее вычитают h из всех элементов матрицы Сk, расположенных в невыделенных строках и прибавляют ко всем элементам, расположенным в выделенных столбцах. В результате получают новую матрицу С'k, эквивалентную Сk. Заметим, что при таком преобразовании, все нули со звездочкой матрицы Сk остаются нулями и в С'k, кроме того, в ней появляются новые невыделенные нули. Поэтому переходят вновь к первому этапу. Завершив первый этап, в зависимости от его результата либо переходят ко второму этапу, либо вновь возвращаются к третьему этапу.

После конечного числа повторений очередной первый этап обязательно закончится переходом на второй этап. После его выполнения количество независимых нулей увеличится на единицу и (k+1) - я итерация будет закончена.

Пример 3.4. Решить задачу о назначениях с матрицей

При решении задачи используем следующие обозначения:

Знак выделения “+”, подлежащий уничтожению, обводим кружком; цепочку, как и ранее, указываем стрелками.

Предварительный этап. Отыскиваем максимальный элемент первого столбца - 4. Вычитаем из него все элементы этого столбца. Аналогично для получения второго, третьего, четвертого и пятого столбцов новой матрицы вычитаем все элементы этих столбцов от п'яти, трех, двух и трех соответственно. Получим матрицу С'(C'~C). Так как в каждой строке С' есть нуль, то С' = С0 и процесс приведения матрицы заканчивается. Далее ищем и отмечаем знаком “*” независимые нули в С0, начиная с первой строки.

Первая итерация. Первый этап. Выделяем знаком “+” первый, второй, и четвертый столбцы матрицы С0, которые содержат 0*.

Просматриваем невыделенный третий столбец, находим в нем невыделенный нуль С23 = 0, отмечаем его штрихом и выделяем знаком “+” вторую строку. Просматриваем эту строку, находим в ней элемент С22 = 0* и уничтожаем знак выделения второго столбца, содержащего 0*. Затем просматриваем второй столбец - в нем нет невыделенных элементов. Переходим к последнему невыделенному столбцу (пятому), ищем в нем невыделенные нули. Поскольку невыделенных нулей нет, то переходим к третьему этапу.

Третий этап. Находим минимальный элемент в невыделенной части матрицы С0 (т.е. элементы, которые лежат в столбцах и строках, не отмеченных знаком “+”). Он равен h = 1.

Вычтем h = 1 из всех элементов невыделенных строк (т.е. всех, кроме второго) и прибавим ко всем элементам выделенных столбцов (первого и четвертого). Получим матрицу С'1 и перейдем к первому этапу.

Первый этап. Перед его началом вновь выделяем знаком “+” первый, второй и четвертый столбцы. Просматриваем невыделенный третий столбец, находим в нем невыделенный нуль С23 = 0, отмечаем его знаком штрих. Поскольку во второй строке есть 0* (элемент С22), то выделяем знаком “+” вторую строку, далее уничтожаем знак выделения второго столбца, где лежит 0*. Потом просмотрим второй столбец, находим в нем невыделенный нульС12 = 0, отмечаем его знаком штрих. Поскольку в первой строке есть нуль со звездочкой С14 = 0*, то выделяем его знаком “+”, и уничтожаем знак выделения четвертого столбца, где находился этот знак 0*. Затем пересматриваем четвертый столбец и находим в нем невыделенный нуль С54 = 0. Так как в строке, где он находится, нет нуля со звездочкой, то отметив этот 0 штрихом, переходим ко второму этапу.

Второй этап. Начиная с элемента с54 = 0', строим цепочку, двигаясь от него по столбцу. Находим нуль со звездочкой с14 = 0*, далее от него движемся вдоль первой строки и находим 0'(с12), от этого элемента движемся вдоль первого столбца к с22 = 0*, в конечном итоге, двигаясь от с22 = 0* вдоль второй строки приходим к исходному с23 = 0'. Таким образом, цепочка построена: 0'54-0*14-0'12-0*22-0'23. Заменяем штрих на звездочку и уничтожаем звездочки над четными элементами цепочки, а также все знаки выделения столбцов и строк. На этом первая итерация заканчивается. В результате число независимых нулей увеличилось на единицу. Поскольку следующие итерации выполняются аналогично, то приведем результаты их выполнения без дополнительных пояснений. После второй итерации количество независимых нулей (0*) стало равно 5 (размерности матрицы С) и поэтому алгоритм заканчивает работу. Искомые элементы назначения соответствуют позициям независимых нулей матрицы С3 (т.е. 0*).

Соответствующее значение целевой функции

Первая итерация. Первый этап Третий этап

h=1

Первая итерация. Первый этап. Второй этап.

Вторая итерация.

Первый этап Второй этап



Венгерский метод для транспортной задачи

Рассмотренная выше задача о назначениях представляет собой частный случай Т-задачи, когда . Поэтому венгерский метод, применимый для решения транспортной задачи специального вида, можно распространить на общий случай Т-задачи. [18; 59].

Пусть требуется решить Т-задачу следующего вида

минимизировать 

при условиях

Алгоритм решения Т-задачи, основанный на венгерском методе, состоит из предварительного этапа и конечного числа однотипных итераций.

В результате предварительного этапа вычисляют матрицу , элементы которой удовлетворяют следующим условиям:

, (3.3.1)

. (3.3.2)

Если в условиях (3.3.1), (3.3.2) строгие равенства, то матрица Х0 является решением Т-задачи.

Матрицу, построенную в результате k-й итерации, обозначим .

Величина называется суммарной невязкой для матрицы . Она характеризует близость к искомому плану Т-задачи. Итерации проводятся до тех пор, пока величина не станет равна нулю.

Описание алгоритма Венгерского метода

Предварительный этап. В каждом из столбцов матрицы транспортных издержек отыскивают минимальный элемент, который вычитают из всех элементов этого столбца. Получают матрицу С'. Далее в каждой строке матрицы С' выбирают минимальный элемент и вычитают его из всех элементов рассматриваемой строки. Приходят к матрице С0 (С0 ~ C), все элементы которой неотрицательны, причем в каждой строке и столбце С0имеем по крайней мере, один нуль. Строят матрицу Х0 так, чтобы ее ненулевые элементы были расположены в позициях нулей матрицы С0.

Пусть -- номер строки, в которой расположен k-й нуль j-го столбца матрицы С0.

Т.е. все элементы первого столбца , которым соответствуют ненулевые элементы в матрицы С0, заполняют нулями, а остальные элементы этого столбца заполняют по методу северо-западного угла.

Допустим, что столбцы Х0 от первого до (j-1) - го включительно уже заполнены.

Если , то Х0 - оптимальный план Т-задачи. Если , то переходим к первой итерации.

(k+1)-я итерация. Каждая итерация состоит из двух или трех этапов. Итерация начинается первым этапом, а заканчивается вторым. Между первым и вторым этапами в общем случае несколько раз могут быть проведены третий и первый этапы.

Допустим, что уже проведено k итераций, причем . В этом случае необходимо, используя матрицы Сk и Хk, провести следующую (k+1)-ю итерацию. Перед началом итерации выделяют знаком “+” те столбцы матрицы Сk, для которых невязки по столбцам равны

Первый этап. Если все ненулевые элементы матрицы Сk окажутся в выделенных столбцах, то переходят к третьему этапу. В противном случае пусть некоторый невыделенный нуль находится в -й строке и в -м столбце. Тогда вычисляют значения невязки -й строки:

Возможен один из двух случаев: 1) , 2) . В первом случае -ю строку Сk отмечают знаком “+” справа от нее, а сам невыделенный нуль отмечают штрихом. Далее просматривают элементы -й строки, которые лежат в выделенных столбцах и ищут среди них существенные нули (напомним, что существенным нулем Сk называется такой элемент , для которого ). Если таким существенным нулем оказался элемент , а сам столбец ? -- выделен, то знак выделения “+” над столбцом ? уничтожают, а сам этот нуль отмечают звездочкой.

Затем просматривают ?-й столбец и отыскивают в нем нуль (нули), расположенные в отличных от -й строках. Если такой нуль имеется, то отмечают его штрихом и анализируют невязку его строки.

Далее процесс поиска нулей и выделение их (штрихами или звездочками) продолжается аналогично, и за несколько шагов он заканчивается одним из следующих исходов:

1) найдем очередной невыделенный нуль матрицы Сk, для которого невязкая в строке . Тогда отметив его штрихом, переходим ко второму этапу;

2) все нули матрицы Сk оказались выделенными, причем для каждого из нулей, выделяемых штрихом, невязка . Тогда переходим к третьему этапу.

Во втором случае, отметив этот нуль штрихом, сразу переходим к третьему этапу.

Второй этап. Состоит в построении цепочки из нулей матрицы Сk, отмеченных штрихами и звездочками, и в последующем переходе к новой матрице Хk+1

Пусть для некоторого нуля со штрихом матрицы Сk, расположенного, например, в позиции ( ), невязка строки . Начиная с этого элемента , строят цепочку из отмеченных нулей матрицы Сk: двигаясь по столбцу , выбирают нуль со звездочкой , далее двигаясь от него по строке , находят нуль со штрихом . Потом движутся от него по столбцу ?2 к следующему нулю со звездочкой и т.д.. Такой последовательный переход от 0' к 0* по столбцу и от 0* к 0' по строке осуществляют до тех пор, пока это возможно.

Можно доказать, что процесс построения цепочки однозначный и законченный, цепочка не имеет циклов, начинается и заканчивается нулем со штрихом.

После того как цепочка вида

построена, осуществляют переход к матрице от матрицы 

Таким образом, -минимальный элемент среди совокупности четных элементов цепочки, невязки строки, где начинается цепочка, и столбца, где она заканчивается.

Вычисляем невязку для 

На этом (k+1)-я итерация заканчивается.

Третий этап. Итак, допустим, что все нули выделены. Третий этап заключается в переходе от матрицы Сk к эквивалентной матрице С?k, в которой появляется новый невыделенный нуль (или нули). Пусть , где минимум выбирают из всех невыделенных элементов матрицы Сk. Тогда из всех элементов невыделенных строк матрицы Сk вычитают h, а ко всем элементам выделенных столбцов прибавляют h. В результате получают матрицу С'k(С'k ~ Ck), в которой все существенные нули матрицы Сk остаются нулями, и кроме того, появляются новые невыделенные нули.

Далее переходят к первому этапу, и в зависимости от его результата либо переходят ко второму этапу, либо снова возвращаются к третьему этапу. За конечное число повторов пары этапов третий - первый обязательно перейдем ко второму этапу.

Если после выполнения второго этапа то Хk+1 - оптимальный план. В противном случае переходим к (k+2) итерации.

Отметим некоторые важные особенности венгерского метода.

Поскольку данный метод в отличие от метода потенциалов не использует опорных планов, то явление вырожденности плана для него отсутствует. Это устраняет возможность зацикливания, связанного с вырожденностьюпланов Т-задачи, которая облегчает программирование метода и его реализацию на ЭВМ.

Метод позволяет на каждой итерации по величине невязки оценить близость Хk к оптимальному плану, а также верхнюю границу необходимого числа оставшихся итераций Nост

Эта формула справедлива для целочисленных значений всех переменных и .

Обоснование венгерского метода

Прежде всего введем справедливость признака оптимальности, т.е. если , то план Хk - оптимален.

Действительно, в силу построения Хk, если , то (эти нули называют существенными). Поэтому план Хk оказывается оптимальным для задачи с матрицей Сk

Но матрица Сk получена эквивалентными преобразованиями из исходной матрицы С. Докажем, что Хk - оптимален и для задачи с матрицей С. Матрицы С и Сk как эквивалентные связаны соотношениями

Но и не зависит от плана Хk, поэтому план Хk оптимален и для исходной задачи с матрицей С.

Перейдем теперь к обоснованию алгоритма.

Предварительный этап. На предварительном этапе строят матрицу Хk элементы которой удовлетворяют условиям

, (3.3.15)

. (3.3.16)

Если все условия (3.3.15), (3.3.16) выполняются как строгие равенства, то план Х0 - оптимален, согласно только что доказанному.

Первый этап. Цель первого этапа состоит в отыскании такого невыделенного нуля , для которого . Предположим, что такой нуль найден, и мы перешли ко второму этапу.

Второй этап. Он состоит в построении цепочки из нулей со штрихами и звездочками и переходе к Хk+1.

Элементы матрицы Хk+1 вычисляют по рекуррентным формулами

Так как в каждой строке и столбце имеется как 0', так и 0*, либо они оба отсутствуют, за исключением строки и столбца , где имеется лишь 0

)

Поэтому, если матрица Хk удовлетворяла ограничениям (3.3.15), (3.3.16), то и матрица Хk+1 будет им также удовлетворять.

Третий этап. В соответствии с правилами перехода от Сk к С'k при выборе элемента h > 0 элементы невыделенных строк Сk уменьшаются на величину h, появляются новые нули, и можно снова перейти к первому этапу. При этом по правилу выделения строк и столбцов все существенные нули Сk останутся нулями и в матрице C'k.

Пример 3.5. Найти решение транспортной задачи со следующими условиями:

Проверим условие баланса 

Предварительный этап. Вычитаем из элементов первого столбца 2, из второго - 3, из третьего -1, из четвертого -2. Приходим к матрице С1. Далее, вычитая минимальный элемент из элементов каждой строки, получаем матрицу С0:

Строим начальную матрицу перевозок

Невязки для столбцов ?j = 0, 1, 9, 0, для строк ?j = 4; 6; 0. Суммарная невязка

Первая итерация. Первый этап. Отмечаем знаком “+” сверху первый и четвертый столбцы, которым соответствуют нулевые невязки, а знаком “х” слева первую и вторую строки, которым отвечают ненулевые невязки, черточкой сверху - существенные нули.

Просматриваем невыделенный второй столбец матрицы С0, находим в нем невыделенный нуль С32 = 0 и отмечаем его штрихом. Так как ?3 = 0, то выделяем третью строку знаком “+”. Просматриваем третью строку относительно выделенных столбцов. Там существенных нулей нет. Поскольку в С0 больше не осталось невыделенных нулей (все нули расположены в выделенных строках или столбцах), то переходим к третьему этапу.

Третий этап. Среди элементов невыделенных строк и столбцов матрицы С0 находим минимальный элемент h = 1, прибавляем его ко всем элементам выделенных столбцов и вычитаем из всех элементов невыделенных строк. Получим матрицу С1.

Переходим к первому этапу.

Первый этап. Среди невыделенных столбцов находим нулевой элемент С22, который расположен в строке с ненулевой невязкой, а потому переходим ко второму этапу.

Второй этап. Цепочка состоит из одного элемента С22 = 0. Находим и прибавим1 = 1 к элементу х1. Получим матрицу Х1.

Вторая итерация. Первый этап. В матрице С1 отмечаем знаком “+” первый, второй и четвертый столбцы, которым отвечают нулевые невязки. Находим в третьем столбце нуль С33 = 0 и отмечаем его штрихом.

Так как невязка в третьей строке равна нулю, то выделяем ее знаком “+”. Просматриваем эту строку, находим в ней существенный нуль С32, расположенный в выделенном столбце. Отмечаем его звездочкой и уничтожаем знак выделения второго столбца.

Далее просматриваем второй столбец и отыскиваем в нем невыделенный нуль С22. Так как невязка по строке ?2 > 0, то отметив этот нуль штрихом, переходим ко второму этапу.

Второй этап. Строим цепочку в матрице С1 вида , а затем аналогичную цепочку в матрице Х1.

В результате получаем матрицу Х2: ?2 = min {5, 8, 9} = 5

Третья итерация. Первый этап. В матрице С2 отмечаем знаком “+” первый, второй и четвертый столбцы, которым соответствуют нулевые невязки. Находим нулевой элемент С33 в третьем столбце. Так как ему соответствует нулевая невязка в третьей строке, то отмечаем этот нуль штрихом. Далее, просматриваем третью строку, отыскиваем в ней существенный нуль С32 = 0, расположенный в выделенном втором столбце, отмечаем звездочкой этот нуль и уничтожаем знак выделения над вторым столбцом. Просматриваем второй столбец, находим в нем нулевой элемент С22 = 0 и отмечаем его штрихом, а вторую строку, где он лежит, знаком “+” (так как ?2 = 0).

Далее, просмотрев вторую строку, находим в ней существенный нуль С21 = 0 в выделенном первом столбце. Поэтому выделяем этот нуль звездочкой и уничтожаем знак “+” над первым столбцом.

h = min {4, 3, 2} = 2

На этом процесс выделения нулей заканчиваем. Так как больше выделенных нулей не имеется, то переходим к третьему этапу.

Третий этап. Находим минимальный невыделенный элемент в матрице С2 h = 2, вычитаем h из всех элементов невыделенных строк и прибавляем ко всем элементам выделенных столбцов (т.е. прибавляем к четвертому столбцу и вычитаем из первой строки). В результате получим матрицу С3, в которой появился новый невыделенный нуль (С- 13). Переходим к первому этапу.

Первый этап. В матрице С3 находим невыделенный нуль С13. Так как ?1 > 0, то переходим ко второму этапу.

Второй этап. Вся цепочка состоит из одного элемента . Поэтому ?3 = min {?1 = 4, ?2 = 4} = 4. Прибавим ?3 к , получим матрицу X3.

Так как ?3 = 0, то Х3 - оптимальный план. Соответствующее значение целевой функции Lорт = (сравните с результатами решения этой задачи методом потенциалов, см. пример 3.3).

Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями

Рассмотрим Тd - задачу:

Минимизировать

при условиях

Введем следующие определения.

1. Элемент сij = 0 матрицы С называется Х - неполным нулем, если в плане Х Тd-задачи элемент хij < dij. Если же хij = dij, то элемент сij называется Х - полным нулем.

2. Х - существенным нулем матрицы С называется такой ее элемент сij = 0, для которого хij > 0, в противном случае этот элемент называется несущественным нулем.

Описание алгоритма венгерского метода. Алгоритм решения Тd-задачи, основанный на венгерском методе, состоит из предварительного этапа и ряда однотипных итераций [18; 59].

Предварительный этап. Его цель - приведение матрицы С и построение начального приближения к решению Х0.

В каждом столбце матрицы С разыскивают минимальный элемент и вычитают из всех элементов данного столбца. В результате получают матрицу С'. Далее, из всех элементов каждой строки С' вычитают минимальный элемент этой строки и получают в результате матрицу С0(С0?С), в каждой строке и столбце которой имеется хотя бы один нуль.

После этого формируют матрицу Х0=|| xij0 ||, процесс построения которой ведут по столбцам. Пусть уже заполнены первые (j-1) столбцы матрицы Х0. Перенумеруем нули j-го столбца матрицы С0 сверху вниз и через ikj (k=1,2,…,r) обозначим номер строки, содержащей k-й нуль j-го столбца. Тогда элементы j-го столбца определяются в соответствии с формулой

если k=1,2.. (3.3.21)

Если для матрицы Х0 суммарная невязка

венгерский метод транспортная задача

то Х0 - оптимальной план Тd-задачи.

Если же ?0>0, то переходят к первой итерации.

Каждая итерация алгоритма в общем случае включает 3 этапа: начинается первым этапом, затем несколько раз могут повторяться первый и третий этапы, а заканчивается итерация вторым этапом либо установлениемнеразрешимости данной задачи.

(k+1)-я итерация. Предположим, что уже осуществлено k итераций алгоритма, в результате которых получены матрицы Хk и Сk.

Пусть и еще не установлена неразрешимость Т?-задачи.

Целью (k+1)-й итерации является построение матрицы Хk+1 и проверка ее на оптимальность или на установление неразрешимости Тd-задачи. Перед началом итерации знаком “+” выделяют те столбцы матрицы Сk, для которых невязк

Первый этап. Выбирают произвольный невыделенный Хk- неполный нуль матрицы Сk, если это элемент Сijk , то вычисляют невязку строки i

Тогда возможен один из двух случаев:

Во втором случае, отметив этот невыделенный нуль cijk =0 знаком штрих, сразу переходим ко второму этапу.

В первом случае знаком “+” выделяют i -ю строку матрицы Сk , а элемент сijk отмечают штрихом. Если на пересечении м-го выделенного столбца i-й строки матрицы Сk расположен Хk-существенный нуль матрицы Сk , то знак выделения этого столбца уничтожают, а сам элемент ciмk =0 отмечают звездочкой. Далее просматривают столбец ?, отыскивают в нем невыделенный неполный нуль (нули). Если такой нуль имеется, то отмечают его штрихом и анализируют строку, содержащую его. За конечное число шагов процесс выделения Хk-неполных нулей матрицы Сk заканчивается одним из трех исходов:

1) найден Хk-неполный нуль в строке і, где > 0, тогда переходим ко второму этапу, отметив этот нуль штрихом;

2) все Хk-неполные нули выделены, для каждого из них , а среди невыделенных элементов матрицы Сk имеются либо положительные, либо среди дважды выделенных элементов Сk (т.е. элементов, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов), отрицательные элементы. В этом случае переходим к третьему этапу;

3) все Хk-неполные нули выделены (для кажого из них ?и(k) = 0), все невыделенные элементы Сk - отрицательны, а дважды выделенные -положительны. Это означает неразрешимость Тd - задачи.

Второй этап. Он состоит в построении цепочки из нулей матрицы Сk, отмеченных штрихами и звездочками. С помощью этой цепочки осуществляют переход от Хk к Хk+1. Итак, пусть первый этап завершился таким образом, что для некоторого невыделенного неполного нуля, расположенного, например, на пересечении строки ?1 и столбца ?1, невязка . Этот элемент принимают за начало цепочки из отмеченных нулей матрицы Сk. Цепочку строят так.

Движутся по столбцу ?1 матрицы С0 и находят в нем нуль со звездочкой , далее движутся от него по строке ?1 и находят и т.д. Процесс построения цепочки, складывающийся из последовательных переходов от нуля со штрихом к нулю со звездочкой по столбцу и от нуля со звездочкой к нулю со штрихом по строке, всегда начинается и заканчивается на нуле со штрихом.

Элементы хij(k+1) матрицы Хk+1 вычисляют по рекуррентной формуле

если - не входят в цепочку;

если - нечетный элемент цепочки;

если - четный элемент цепочки.

(3.3.23)

Если суммарная невязка

то матрица Хk+1 является решением Тd-задачі, в противном случае переходят к следующей итерации.

Третий этап. На этом этапе производят преобразование матрицы Сk в эквивалентную матрицу Сk'.

Пусть первый этап закончился вторым исходом.

где h' - минимальный среди невыделенных положительных элементов матрицы Сk ; h'' - минимальный среди дважды выделенных отрицательных элементов матрицы Сk , взятых с обратным знаком. Вычитаем h из элементов матрицы Сk , расположенных в невыделенных строках, и прибавляем h к элементам Сk , расположенным в выделенных столбцах. Получим матрицу Сk' . Если дважды выделенный отрицательный элемент Сk становится нулем вСk' , то знак выделения над столбцом уничтожают, а сам элемент отмечают звездочкой. Остальные знаки выделения, а также все отметки нулей переносят из матрицы Сk в матрицу Сk'.

Далее, снова переходят к первому этапу, заменив Сk на Сk'. Если первый этап снова завершится вторым исходом, то опять возвращаются к третьему этапу. Циклы, состоящие из первого и третьего этапов, проводят до тех пор, пока последний из них не закончится первым или третьим исходом. При первом исходе переходят ко второму этапу, а при третьем - делают вывод о неразрешимости Тd-задачи из-за несовместимости ее условий.

Пример 3.6. Решить венгерским методом Тd-задачу со следующими условиями

-- матрица пропускных способностей коммуникаций.

Предварительный этап. Составляем матрицу С:

.



Затем строим матрицу Х0 с учетом матрицы D:

Будем отмечать одной точкой сверху неполные нули матрицы Сk , а двумя точками Хk -полные нули этих матриц. Строки матрицы Сk , которым отвечают ненулевые невязки, будем отмечать знаком “?”.

Первая итерация Третий этап

Первый этап Второй этап

Первая итерация. Первый этап. Знаком “+” выделяем четвертый столбец. Так как матрица С0 не содержит ни одного Х0 - неполного нуля, то сразу переходим к третьему состоянию, отыскиваем неполный невыделенный нуль, c23 и, отметив его штрихом, переходим ко второму этапу. Цепочка, построенная на втором этапе, состоит из одного элемента x320 . Поэтому



Вторая итерация

Третья итерация Первый этап Третий этап

Второй этап

?3 = 2

Третья итерация состоит из первого и третьего этапов при h = 1, а также из первого и второго этапов, причем цепочка второго этапов, причем цепочка второго этапа содержит лишь один элемент x312.

Четвертая итерация

Первый и третий этапы



Третий этап Первый этап

Второй этап

Поскольку суммарная невязка ?4=0, то Х4-оптимальный план. Соответствующее значение целевой функции Lmin=3·I + 1·4 + 2·2 + 1·4 + 2·1 + 1·3 + 1·2 + 1·1 = 23.

Размещено на www.allbest.

...