Методика Вальда для проверки гипотезы о свойствах случайной величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тихоокеанский Государственный университет»

Кафедра: Прикладная математика

Курсовая работа

по дисциплине: Обработка экспериментальных данных на ЭВМ

Методика Вальда для проверки гипотезы о свойствах случайной величины

Выполнил: ст. группы ПМ-81

Литовченко И.Ю.

Проверил: доцент

Агапова Е.Г.

Хабаровск 2012г.



Содержание

Введение

1. Интерполяционный полином Лагранжа. Сплайн-функции

2. Множественная регрессия

3. Временной ряд

интерполяционный полинома лагранж регрессия



1. Интерполяционный полином Лагранжа. Сплайн-функции

Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для следующих данных:

Таблица 1.1 Данные

X	-2	0	1	2	4	XO=3,5
Y	1	1.5	3	3.5	4

Интерполяционный полином Лагранжа:

. (1.1)

Построим полином:

L5(x)= (0,00694) (x-0)(x-1)(x-2)(x-4)+(-0,0938) (x--2)(x-1)(x-2)(x-4)+(0,333) (x--2)(x-0)(x-2)(x-4)+(-0,219) (x--2)(x-0)(x-1)(x-4)+(0,0278) (x--2)(x-0)(x-1)(x-2)

Подставим X0=3,5, и вычислим значение полинома. Получаем, что значение полинома Лагранжа равно 3,38.

График полинома представлен на рисунке 1.1.



Рисунок 1.1 График полинома Лагранжа

По приведенной ниже таблице 1.2 значений функции требуется построить квадратичный сплайн, который в точке x=1.5 равен 0.43 и который в каждой данной точке имеет первую производную, равную результату численного дифференцирования данной функции в данной точке.

Таблица 1.2 Данные

x	-1.2	-0.5	0.4	1.5	2.1	2.9	3.3	3.9	4.3	5.1
f(x)	-2.11	-2.33	-0.14	0.43	1.34	2.65	6.23	9.23	7.65	4.23

График квадратичного сплайна имеет вид:



Рисунок 1.2 График квадратичного сплайна

2. Множественная регрессия

На основании данных Таблицы 1:

Проверить наличие коллинеарности и мультиколлинеарности. Отобрать неколлинеарные факторы.

Построить уравнение линейной регрессии.

Определить коэффициент множественной регрессии.

Проверить значимость уравнения при уровне значимости 0,05.

Построить частные уравнения регрессии.

Определить средние частные коэффициенты эластичности.

Построить уравнение линейной регрессии в стандартном масштабе.

Оценить информативность факторов на основе уравнения линейной регрессии в стандартизированном масштабе.

Вычислить частные коэффициенты корреляции.

Оценить их значимость при уровне значимости 0,05.

Оценить информативность факторов на основе частных коэффициентов корреляции.

Построить уравнение регрессии с учетом только информативных факторов.

Проверить гипотезу о гомоскедастичности ряда остатков с уровнем значимости 0,05.

Таблица 2.1 Исходные данные

у	х1	х2	х3
136	95	74	71
126	87	76	66
115	94	75	67
113	93	77	58
124	72	64	50
124	90	77	68
109	93	74	70
138	95	64	60
122	96	66	60
128	92	71	71
124	85	74	38
140	88	81	66
146	87	68	55
144	109	74	86
148	92	78	69
117	85	58	58
114	90	74	67
113	78	66	51
123	84	71	52
122	95	73	66
134	87	72	73
130	89	77	58
139	87	81	62
149	92	87	74
125	101	81	75
130	76	56	45
124	105	82	66
126	93	73	72
121	94	70	69
123	98	73	75
117	82	65	60
120	91	73	60
120	80	65	51
128	100	76	68
118	87	65	62
125	93	66	49
114	91	78	49
118	99	74	65
120	90	76	55
122	87	64	65
123	97	69	74
116	96	77	67
128	85	76	78
136	88	71	69

1. Построим корреляционную матрицу, используя пакет Excel

	у	х1	х2	х3
у	1
х1	0,11	1
х2	0,25	0,49	1
х3	0,21	0,55	0,3	1

Рисунок 2.1 Корреляционна матрица

Из корреляционной матрицы следует, что наблюдается коллинеарность между факторами x2 и x1 . Исключаем x1 так как он имеет наименьшую тесноту связи с y. Следовательно будем строить уравнение регрессии y(х), зависящее от факторов x2 и x3.

2. Построим линейное уравнение регрессии.

Для построения уравнения линейной регрессии используем функцию «Сервис. Анализ данных. Регрессия.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,287678553
R-квадрат	0,08275895
Нормированный R-квадрат	0,039080805
Стандартная ошибка	9,639145252
Наблюдения	45

Рисунок 2.2 Регрессионная статистика

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	352,093354	176,0466772	1,8947451	0,162987066
Остаток	42	3902,35109	92,91312119
Итого	44	4254,44444
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	94,43	16,87	5,60	0,000002
Переменная X 1	0,32	0,24	1,32	0,19
Переменная X 2	0,14	0,15	0,93	0,36

Рисунок 2.3 Дисперсионный анализ

Отсюда уравнение линейной регрессии имеет вид:

3. Коэффициент множественной регрессии равен 0,08.

4. Для проверки уровня значимости уравнения при уровне значимости 0,05 необходимо использовать F-критерия Фишера. Фактическое значение критерия .

Для определения табличных значений используем встроенную функцию MS Excel «FРАСПОБР», задавая параметры б = 0,05, k1 = 2, k2 = 45 - 2 - 1 = 42.

В результате получаем . Так как то отсюда следует, что уравнение регрессии при уровне значимости 0,05 незначимо.

5.Построим частные уравнения регрессии. Чтобы построить частные уравнения регрессии, предварительно определим средние значения переменных:

125,9, 72,5, 62,8

С учетом средних значений построим частные уравнения регрессии:

, (2.3)

6.Определить средние частные коэффициенты эластичности.

,

Средний коэффициент эластичности характеризует на сколько процентов изменится результативная переменная y(х) относительно своего среднего уровня при изменении х на 1%. В нашем случае если факторная переменная x2 изменится на 1% относительно своего среднего уровня, то результат- на 18%,а если измениться x3 измениться на 1% -то на 7%.

7.Построим уравнение линейной регрессии в стандартизированном масштабе. Его коэффициенты связанны с коэффициентами обычного уравнения регрессии соотношениями:

(2.4)

Определим среднеквадратические отклонения используя функцию MS Excel «Стандотклонп»:

,,

Следовательно

и уравнение линейной регрессии в стандартизированном масштабе имеет вид

(2.5)

8.Оценим информативность факторов на основе уравнения линейной регрессии в стандартизированном масштабе. Так как , то делаем вывод что факторы не одинаково информативны и так как то можно предположить что большее влияние оказывает фактор .

9. Для вычисления частных коэффициентов корреляции воспользуемся рекуррентными формулами

(2.6)

(2.7)

Отсюда0,15

10. Оценить значимость частных коэффициентов корреляции при уровне значимости 0,05. Для оценки значимости вычислим фактические значения частного F-критерия Фишера

0,02

Для определения табличных значений используем MS Excel «FРАСПОБР», задавая параметры , , . В результате получаем 3,219942293. Откуда следует, что частные коэффициенты корреляции незначимы.

11. Оценим информативность факторов на основе частных коэффициентов корреляции. Так как оба коэффициента незначимы, то оба фактора неинформативны и могут быть не включены в уравнение регрессии.

Построить уравнение регрессии с учетом только информативных факторов.

x1.

Проверить гипотезу о гомоскедастичности ряда остатков с уровнем значимости 0,05. Для проверки гипотезы о гомоскедастичности ряда остатков используем тест Гольфрельда-Квандта.

Упорядочим выборку по переменной затем построим регрессию для первых 11 наблюдений и для последних 11 наблюдений. Для каждой найдем ; 14,2, 198,7

Найдем статистику :

2,27

Так как то гипотеза о гомоскедастичности отвергается. Следовательно переменная негомоскедастична.

Проверим переменную на гомоскедастичность. Упорядочим выборку по переменной затем построим регрессию для первых 11 наблюдений и для последних 11 наблюдений. Для каждой найдем

16,3,

Найдем статистику :

, 2,27



Так как то гипотеза о гомоскедастичности отвергается. Следовательно переменная негомоскедастична.

В результате проверки гипотезы на гомоскадастичность, можно сделать вывод что модель негомоскедастична.

3. Временной ряд

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии (уt) жителями региона за 16 кварталов. Данные представлены в таблице 4.1. Требуется:

1. Построить график данного временного ряда и сделать вывод о наличии и периодичности сезонных колебаний.

2. Построить мультипликативную модель временного ряда.

3. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

4. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Таблица 3.1 Данные

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Yt	5,8	4,5	5,1	9,1	7	5	6	10,1	7,9	5,5	6,3	10,8	9	6,5	7	11,1

1. Построим график данного временного ряда. Он представлен



Рисунок 3.1 График временного ряда

Из графика видно, что значения объемов потребления электроэнергии имеют ярко выраженную сезонность периодичностью в 4 квартала.

2. Построим аддитивную модель временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

T+S+E=Y,

- тренд, - сезонная компонента, .- случайная составляющая.

Процесс построения аддитивной модели включает в себя следующие шаги:

1)Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней

2)Расчет значений сезонной компоненты S

3)Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E) в аддитивной модели.

4)Аналитическое выравнивание уровней (T + E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5)Расчет полученных по модели значений (T + E)

6)Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Проведем оценку сезонной компоненты.

Таблица 3.2 Оценка сезонная компонента

№ квартала,	Объем потребления электроэне ргии,	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	5,8	-	-	-	-
2	4,5	24,5	6,125	--	--
3	5,1	25,7	6,425	6,275	-1,175
4	9,1	26,2	6,55	6,4875	2,6125
5	7	27,1	6,775	6,6625	0,3375
6	5	28,1	7,025	6,9	-1,9
7	6	29	7,25	7,1375	-1,1375
8	10,1	29,5	7,375	7,3125	2,7875
9	7,9	29,8	7,45	7,4125	0,4875
10	5,5	30,5	7,625	7,5375	-2,0375
11	6,3	31,6	7,9	7,7625	-1,4625
12	10,8	32,6	8,15	8,025	2,775
13	9	33,3	8,325	8,2375	0,7625
14	6,5	33,6	8,4	8,3625	-1,8625
15	7	-	-	-	-
16	11,1	-	-	-	-

Рассчитаем значения сезонной компоненты.

Таблица 3.3 Скорректированная сезонная компонента

Показатели	№ квартала,
	I	II	III	IV
	-	-	-1,175	2,6125
	0,3375	-1,9	-1,1375	2,7875
	0,4875	-2,0375	-1,4625	2,775
	0,7625	-1,8625	--	--
Всего за -й квартал	1,5875	-5,8	-3,775	8,175
Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,	0,529167	-1,93333	-1,25833	2,725
Скорректированная сезонная компонента,	0,5135	-1,9489	-1,2739	2,7093

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

0,529-1,93-1,26+2,725=0,0625

Корректирующий коэффициент: k=0,0625/4=0,0156

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим данные в табл. 4.3.

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 4.4). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

3) Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 4.7). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

4) Определим компоненту данной модели.

Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие: 0,1865*t+5,7081

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (табл. 4.4).

Таблица 3.4 Величины, содержащие тенденцию и случайную компоненту

1	2	3	4	5	6	7	8
1	5,8	0,5135	5,2865	5,8946	6,4081	-0,6081	0,369786
2	4,5	-1,9489	6,4489	6,0811	4,1322	0,3678	0,135277
3	5,1	-1,2739	6,3739	6,2676	4,9937	0,1063	0,0113
4	9,1	2,7093	6,3907	6,4541	9,1634	-0,0634	0,00402
5	7	0,5135	6,4865	6,6406	7,1541	-0,1541	0,023747
6	5	-1,9489	6,9489	6,8271	4,8782	0,1218	0,014835
7	6	-1,2739	7,2739	7,0136	5,7397	0,2603	0,067756
8	10,1	2,7093	7,3907	7,2001	9,9094	0,1906	0,036328
9	7,9	0,5135	7,3865	7,3866	7,9001	-0,0001	1E-08
10	5,5	-1,9489	7,4489	7,5731	5,6242	-0,1242	0,015426
11	6,3	-1,2739	7,5739	7,7596	6,4857	-0,1857	0,034484
12	10,8	2,7093	8,0907	7,9461	10,6554	0,1446	0,020909
13	9	0,5135	8,4865	8,1326	8,6461	0,3539	0,125245
14	6,5	-1,9489	8,4489	8,3191	6,3702	0,1298	0,016848
15	7	-1,2739	8,2739	8,5056	7,2317	-0,2317	0,053685
16	11,1	2,7093	8,3907	8,6921	11,4014	-0,3014	0,090842

5) Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов ( табл. 4.4).

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.



Рисунок 3.2 Фактические и теоретические значения уровней ряда

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

R2=0,98, отсюда можно говорить о том, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

6) Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем потребления электроэнергии на 2 квартала вперед. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда =0,1865*t+5,7081

Получим

T17=0,1865*17+5,7081= 8,8786;

T18=0,1865*18+5,7081= 9,0651;

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: S1=0,5135 и S2=-1,9489.

Таким образом,



F17=T17+S17=8,8786+0,5135=9,3921;

F18=T18+S18=9,0651-1,9489=7,1162;

Т.е. в следующие первые два квартала следует ожидать объемы потребление электроэнергии порядка 9,3921 и 7,1162 соответственно.

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Размещено на Allbest.ru

...