Метод касательных. Решения нелинейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод касательных. Решения нелинейных уравнений

Введение

Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:

Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).

Математическая формулировка задачи.

Разработка алгоритма решения задачи.

Написание программы на языке программирования.

Подготовка исходных данных.

Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.

Отладка программы.

Тестирование программы.

Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.

В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ.

Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах.

Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами:

детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату;

массовостью, позволяющей получать результат при различных исходных данных;

результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.

Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.

Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.

На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык Паскаль ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.

Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.

В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.

Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.

Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.

Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.

Краткое описание сущности метода касательных (метода секущих Ньютона)

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -- функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f' и f”.

Так как f'(x) № 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде:

x = x - (f (x) / f'(x)) (1).

Решая его методом итераций, можем записать:

xn+1 = xn - (f (xn) / f'(xn)) (2).

Если на отрезке [a;b] f'(x) * f“(x) > 0, то нулевое приближение выбираем x0 = a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y = f (x).

Пусть для определенности f`(x) > 0 и f“(x) > 0. Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)).

Ее уравнение будет иметь вид:

y = f (b) + f'(b) * (x - b).

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая, что f' (x) № 0, решаем его относительно x. Получим:

x = b - (f (b) / f`(b)).

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox:

x1 = b - (f (b) - f' (b)).

Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).

Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью оx:

x2 = x1 - (f (x1) / (f' (x1)).

Вообще:

xk+1 = xk - (f (xk) / f'(xk)) (3).

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке bk (xk; f (xk0). Метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения хk принадлежала интервалу ]a;b[.

В случае существования производных f', f”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f'(х0) * f (х0) > 0.

Для оценки приближения используется общая формула:

|c-xk-1| Ј |f (xk+1) / m|, где m = min f'(x) на отрезке [a;b].

На практике проще пользоваться другим правилом. Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < |f (x)| и e -- заданная точность решения, то неравенство |xk+1 - xk| Јe влечет выполнение неравенства |c-xk-1| Јe.

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство:

|c-xk-1| Јe.

программа паскаль метод касательная

Решение нелинейного уравнения аналитически

Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х - 1,2 = 0 аналитически. Находим:

f (x) = х3 + 0,1х2 + 0,4х - 1,2.

f` (x) = 3х2 + 0,1х + 0,4.

f (-1) = -2,5 < 0 f (0) = -1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0.

x	- Ґ	-1	0	+1	+ Ґ
sign f (x)	-	-	-	+	+

Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [0; +1].

Приведем уравнение к виду x = j (x) так, чтобы |j` (x) | <1 при 0 Ј x Ј +1.

Так как

max |f' (x)| = f'(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5, то можно взять R = 2.

Тогда

j (x) = x - (f (x) / R) = x - 0,5 х3 - 0,05 х2 - 0,2 х + 0,6 = -0,5 х3 - 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6.

Пусть х0 = 0, тогда хn+1 = j (хn).

Вычисления расположим в таблице

n	х n	х 2 n	х 3 n	j (х n)	f (x)
1	1	1	1	0,85	-0,17363
2	0,85	0,7225	0,614125	0,9368125	0,08465
3	0,9368125	0,87761766	0,822163194	0,89448752	-0,04651
4	0,89448752	0,800107923	0,715686552	0,917741344	0,024288
5	0,917741344	0,842249174	0,772966889	0,905597172	-0,01306
6	0,905597172	0,820106238	0,74268589	0,912129481	0,006923
7	0,912129481	0,83198019	0,758873659	0,908667746	-0,0037
8	0,908667746	0,825677072	0,750266124	0,910517281	0,001968
9	0,910517281	0,829041719	0,754856812	0,909533333	-0,00105
10	0,909533333	0,827250884	0,752412253	0,910057995	0,000559
11	0,910057995	0,828205555	0,753715087	0,909778575	-0,0003
12	0,909778575	0,827697055	0,753021048	0,909927483	0,000159
13	0,909927483	0,827968025	0,753390861	0,909848155	-8,5E-05
14	0,909848155	0,827823665	0,753193834	0,909890424	4,5E-05
15	0,909890424	0,827900583	0,753298812	0,909867904	-2,4E-05
16	0,909867904	0,827859602	0,753242881	0,909879902	1,28E-05
17	0,909879902	0,827881437	0,753272681	0,90987351	-6,8E-06
18	0,90987351	0,827869803	0,753256804	0,909876916	3,63E-06
19	0,909876916	0,827876002	0,753265263	0,909875101	-1,9E-06
20	0,909875101	0,827872699	0,753260756	0,909876068	1,03E-06

График функции

y = х3 + 0,1х2 + 0,4х - 1,2

.

Блок схема программы

Программа на языке PASCAL 7.0

program metod_kasatel;{Название программы}

uses Crt; {Модуль дисплейных функций}

var {Блок описаний переменных}

xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0: real;

function f1(x1: Real): Real; {Основная функция}

begin

f1:= x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;

end;

function f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции}

begin

f2:= x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4-1.2;

end;

begin {Начало основного тела программы}

Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы}

a:=0;b:=1;c:=0.00000001;

Writeln (' От A=',a,' до B=',b); {Вывод на экран}

Writeln (' Погрешность с=',c);

Readln; {Ожидание нажатия клавиши Enter}

xn:=b;

xn1:= f1(xn);

y0:=f2(b);

while ABS (y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня}

begin {Тело цикла}

xn:=xn1;

xn1:=f1(xn);

y0:= f2(xn1);

{Печать промежуточного результата}

Writeln ('xn=',xn,' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);

Readln; {Ожидание нажатия клавиши Enter}

end; {Конец тела цикла}

Writeln ('Конечные значения'); {Печать полученного результата}

Writeln (' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);

Readln; {Ожидание нажатия клавиши Enter}

end. {Конец основного тела программы}

Результаты выполнения программы

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

Погрешность с= 1.0000000000E-08

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

Погрешность с= 1.0000000000E-08

xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f(xn+1)= 8.4649960270E-02

xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f(xn+1)=-4.6507647892E-02

xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f(xn+1)= 2.4288343840E-02

xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f(xn+1)=-1.3064617920E-02

xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f(xn+1)= 6.9234699658E-03

xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f(xn+1)=-3.6990702320E-03

xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f(xn+1)= 1.9678960780E-03

xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f(xn+1)=-1.0493249720E-03

xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f(xn+1)= 5.5884091853E-04

xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f(xn+1)=-2.9781681224E-04

xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f(xn+1)= 1.5865717614E-04

xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f(xn+1)=-8.4537703515E-05

xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f(xn+1)= 4.5040009354E-05

xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f(xn+1)=-2.3997676180E-05

xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f(xn+1)= 1.2785800209E-05

xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f(xn+1)=-6.8122881203E-06

xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f(xn+1)= 3.6295678001E-06

xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f(xn+1)=-1.9338276616E-06

xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f(xn+1)= 1.0303429008E-06

xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f(xn+1)=-5.4896190704E-07

xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f(xn+1)= 2.9248803912E-07

xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f(xn+1)=-1.5583464119E-07

xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f(xn+1)= 8.3031409304E-08

xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f(xn+1)=-4.4236003305E-08

xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f(xn+1)= 2.3572283681E-08

xn= 9.0987573945E-01 xn+1= 9.0987572766E-01 f(xn+1)=-1.2558302842E-08

xn= 9.0987572766E-01 xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09

Конечные значения

xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09

Список литературы

Алексеев В. Е., Ваулин А. С., Петрова Г. Б. Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию/ Практ. Пособие. -- М.: Высшая школа, 1991.

Абрамов С. А., Зима Е. В. Начала программирования на языке Паскаль. -- М.: Наука, 1987.

Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов. - М.: Высшая школа, 1990.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. -- М.: Просвещение, 1990.

Марченко А. И., Марченко Л. А. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0 - К.: ВЕК+. -- М.: Бином Универсал, 1998.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.matematika-r.info/

Размещено на Allbest.ru

...