Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Теоретические основы

Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, зачастую бывает трудно выявить какую-нибудь закономерность их варьирования (изменения). Для изучения закономерностей варьирования значений случайной величины опытные данные подвергаются обработке.

Пример1. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течении часа дали следующие результаты: 3,1,3,1,4,3,2,3,1,0,4,1,7,1,0,5,3,2,4,0,0,1,5,1,1,2,2,5. Здесь полученные о случайной дискретной величине Х сведения представляют собой статистические (наблюдаемые) данные.

Операция, заключающая в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, т.е. наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке не убывания, называется ранжированием опытных данных.

После проведения операции ранжирования опытные данные нетрудно объединить в группы, т.е. сгруппировать так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины будут одинаковы. Расположив, приведенные выше данные в порядке неубывания и сгруппировав их, получаем следующий ранжированный ряд данных наблюдения: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 0. Из полученного ряда чисел видно, что все 30 значения случайной величины разбиты на 7 групп, в пределах каждой из которых все значения случайной величины одинаковы. Таким образом, имеется 7 различных значений случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7. каждое такое значение обычно называют вариантом.

Значение случайной величины, соответствующе отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называют вариантом, а изменение этого значения - варьированием. В приведенном примере четвертая группа данных содержит 5 одинаковых значений, равных 3, т.е. х₄=3. Просматривая ряд полученных данных, нетрудно убедиться, что значение случайной величины варьирует от 0 до 7, причем наиболее часто встречается вариант х₂=1.

Для каждой группы сгруппированного ряда данных можно подсчитать их численность, т.е. определить число, которое показывает, сколько раз встречается соответствующий вариант в ряде наблюдений. Такие числа называют частотой соответствующего варианта и обозначается m_i, где i - индекс варианта. Например, в примере 1 для варианта х₄ частота m₄=5. В ряде случаев в психологии практический интерес представляет относительная частота того или иного варианта, называемая частостью.

Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот всех вариантов называется частостью или долей этого варианта и обозначается , где i - индекс варианта:

.(1)

Так как в приведенном примере общая сумма всех частот равна 30, то нетрудно подсчитать, что . Таким образом, частость выражает долю данного варианта во всей совокупности наблюдаемых значений случайной величины. Предполагая, что , где n - объем выборки, формулу (1) можно переписать в виде

.(2)

Подсчитав частоты и частости для каждого варианта, представим наблюдаемые данные в виде таблицы 1 (на примере 1), где в первой строке расположены индексы вариантов i, во второй - варианты х_i, в третьей - соответствующие частоты m_i, в четвертой - соответствующие частости .

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариантов х_i с соответствующими им частотами m_i. Как следует из определения, в табл.1 представлен дискретный вариационный ряд распределения 30 неправильных соединений по числу этих соединений в минуту.

Табл.1

Полигон и гистограмма

Наблюдаемые данные, представленные в виде вариационного ряда, можно изобразить графически. К наиболее распространенным видам графического изображения вариационных рядов относятся полигон и гистограмма.

Графическое изображение рядов с помощью полигона или гистограммы позволяет получить наглядное представление о закономерности варьирования наблюдаемых значений случайной величины.

Полигон обычно используют для изображения дискретного вариационного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами (х_i; m_i) или (х_i;.). Затем отмеченные точки соединяют отрезками прямой линии. Полученная ломанная называется полигоном. На рисунке 1 изображен полигон частостей, при построении которого использованы данные табл.1

Рис. 1

В случае непрерывного признака (когда величина может принимать в определенных пределах любые значения, отличающиеся друг от друга на сколь угодно малую величину) целесообразно строить гистограмму. Для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n - сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. В таком случае гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению m_i / h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии m_i / h.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна hm_i/h = m_i - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки. На рис.2 изображена гистограмма частот распределения объема m=100, приведенного в табл.2.

Рис.2

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению /h (плотность относительной частоты).

Табл.2

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии /h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h/h = - относительной частоте вариант, попавших в i-ый интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

2. Задания на лабораторную работу

Задача 1

При проведении теста «Мотивация к избеганию неудач» получены результаты, на основе которых выявлено, что уровень мотивации у разных испытуемых встречается с неодинаковой частотой. Результаты представлены в следующем виде: 1, 2, 1, 4, 5, 4, 3, 2,5, 3, 3, 4, 3, 2, 1, 4, 3, 3, 1, 5, 5, 4, 2, 3, 3, где 1 означает очень низкий уровень мотивации, 2 - низкий уровень мотивации, 3 - средний уровень мотивации, 4,5 - соответственно высокий и очень высокий уровень мотиваций. Требуется определить частоты для различных уровней мотиваций, а также построить полигон частот. Сделать соответствующие выводы.

Решение задачи с помощью программного обеспечения

1) Сформируйте таблицу на 5 столбец и 5 строк, заполнив ее результатами тестирования.

2) Сформируйте столбец значений от 1 до 5; он и будет являться карманом или интервалом частот.

3) Для подсчета количества значений переменной, попадающей в интервалы результатов, в Excel предоставлена функция «ЧАСТОТА»(FREQUENCY) (f(x)- массив). Особенность ее применения заключается в том, что она имеет результатом не одно значение, как обычная функция, а массив (см. примечание).

Примечание.

Формулы (могут содержать многие функции и различные арифметические операторы), которые возвращают массивы (рассчитывают несколько значений), должны быть введены как формулы массивов после выделения подходящего числа ячеек.

Формула массива может выполнить несколько вычислений, а затем вернуть одно значение или группу значений. Формула массива обрабатывает несколько наборов значений, называемых аргументами массива. Каждый аргумент массива должен включать одинаковое число строк и столбцов. Формула массива создается так же, как и другие формулы, с той разницей, что для ввода формулы используется комбинация клавиш CTRL + SHIFT + ENTER.

При вводе формулы массива Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки {}.

Порядок ввода формулы массива следующий:

Выделите ячейку (если формула массива рассчитывает одно значение) или диапазон ячеек (если формула массива рассчитывает несколько значений).

Наберите формулу (или введите нужную встроенную функцию).

Нажмите комбинацию клавиш CTRL + SHIFT + ENTER.

Задача 2