Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В наши дни невозможно представить жизнь без компьютера, особенно если это связано с работой на некотором предприятии. Невозможно представить сейчас производственную, учебную деятельность и в общем жизнь людей без компьютерных систем и технологий. Математические и научно-технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня. С каждым днем повышаются требования к уровню подготовки молодых специалистов в этой сфере деятельности. Для этого изучаются языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов [1]. Выполненная курсовая работа является показателем того, чем студент занимался все время учебы.

Целью работы является разработка программы вычисляющей определенный интеграл методом трапеций для подынтегральной функции и моделирует задачу вынужденных колебаний без затухания.

В данном проекте для получения решения поставленных задач используются такие пакеты, как Delphi, Mathcad. Для достижения цели выполнения курсовой работы, необходимо решить следующие задачи:

· произвести формулировку задачи с конкретными данными;

· провести предварительный анализ задачи, описать математический аппарат, который будет использоваться для её решения;

· в соответствии с определенным заданием разработать алгоритм решения задачи;

· разработать программу в среде Delphi, реализующую построенный алгоритм;

· решить задачу с помощью интегрированного пакета MathCAD;

· провести анализ полученных результатов;

· сделать общие выводы.

Предметом исследования являются методы решений определенных интегралов, и дифференциальных уравнений.

Данное исследование имеет научную и практическую значимость. Использование данных программ даёт возможность инженерам, физикам, простым пользователям, значительно быстрее и менее трудоёмко выполнить расчеты. Собранный материал может быть использован в курсе «Информатика» - в этом и заключается практическая значимость данного исследования.

1. Теоретическая часть

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности

Смещение из точки [x_k; y_k] в точку происходит не сразу, а через промежуточные точки. На практике наибольшее распространение получил метод 4-го порядка точности. Значение функции в i+1-й точке вычисляется следующим образом:

(1.4)

Метод Рунге-Кутта обладает достаточно высокой точностью, легко программируется, так как для вычисления нужно знать лишь одно значение y_i. С помощью этого метода можно начинать решение ДУ. Величина шага изменения аргумента х легко меняется на любом этапе вычисления.

Недостатки:

1) необходимость четыре раза вычислять значение функции на каждом шаге;

2) отсутствие легко определяемой оценки ошибки метода.

Для оценки правильности шага рассчитывают: , которое должно быть меньше либо равно 0,05. В противном случае шаг следует уменьшить в два раза, провести вычисления и снова оценить д.

Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности, сопоставимый со значением шага, взятым в 4-й степени. Для оценки погрешности метода пользуются формулой Рунге:

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Аппроксимация является частным случаем интерполирования и применяется для определения аналитического вида функции заданной таблично. Задача аппроксимации сводится к определению свободного параметра (параметров) функции заданного вида, который обеспечит наилучшее приближение функции заданной таблично модельной аналитической функцией.

Метод наименьших квадратов.

Пусть таблично задана функция . Определить аппроксимационный многочлен вида:

Для определения коэффициентов (где i=1,2…m) используют аппроксимацию методом наименьших квадратов [3]. Функционал находится по формуле , где n - количество пар значений аргумента x_i и функции y_i. Т.к. S должен быть минимален, то первые частные производные от S по всем коэффициентам полинома должны равняться нулю. Вычислим их и приравняем к нулю:

(1)

После преобразования система слегка упростится:

интеграл программа трапеция подынтегральный

(2)

Если полином первой степени, то 2 уравнения, если шестой степени, то 7 уравнений. Введём следующие обозначения:

С учётом этих обозначений система (2) перепишется следующим образом:

(3)

Решив эту систему одним из известных методов определится ряд значений , с помощью которого и строится многочлен (1).

Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле:

1.3 Блок-схемы алгоритмов решений поставленных задач

Рисунок 1.1 - Блок-схема метода Рунге-Кутта

Рисунок 1.2 - Блок-схема аппроксимации

2. Практическая часть

2.1 Решение поставленной задачи в Delphi

2.1.1 Описание интерфейса программы в среде Delphi

Интерфейс программы представлен главной формой. Форма имеет три вкладки Page Control. Первая вкладка имеет название «Задание 1» на ней находятся кнопки «Выйти», «Сохранить график», «Вычислить», «Очистить».

Компонент TChart отображает график, результаты расчетов выводятся на поле Memo. Также используя компонент CheckBox выбираем метод. Следующие две вкладки «Задание 2» и «Задание 2 (аппроксимация)» имеют похожий набор компонентов. Это компоненты для ввода вывода информации, а также компоненты для сохранения расчетов и графиков в файл. Для визуального улучшения интерфейса программы используeтся XPManifest.

2.1.2 Перечень использованных в программе идентификаторов

Перечень использованных в программе идентификаторов находится в таблице (Таблица 1.1).

Таблица 1.1 - Перечень использованных в программе идентификаторов

2.1.3 Тексты основных модулей и вид форм приложения

Тексты основных модулей приведены в приложении А.

Вид формы

Рисунок 2.1 - Меню программы

Рисунок 2.2 - Форма программы

2.1.4 Графическое представление результатов

Рисунок 2.2 - Графическое представление результатов

2.2 Решение поставленной задачи средствами MathCad

Рисунок 2.5 - Решение поставленной задачи средствами MathCad

2.2.1 Перечень использованных в программе идентификаторов

Перечень использованных в программе идентификаторов (Таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Перечень использованных в программе идентификаторов

Заключение

При решении задач применено два различных средства программирования - среда DELPHI и MathCad. Это позволяет сравнить их в конкретной ситуации и оценить их достоинства и недостатки.

MathCad является достаточно распространенным продуктом, что привело к его частому применению, в том числе и для решения задач отображения графической информации в виде различных графиков. Выполнение той же задачи с помощью DELPHI требует гораздо больше времени, более глубоких знаний в области программировании навыков их применения. Возможно, MathCad позволяет решать подобные задания даже быстрее, чем среда DELPHI, но она является очень гибкой и универсальной, а для неопытных пользователей это составляет определённые трудности.

В результате курсовой работы был разработан алгоритм решения поставленной задачи, точно такая же задача была решена в среде MathCad.

Полученный алгоритм имеет практическое значение, т. к. задача решается в многих сферах деятельности человека таких как научные исследования, прогнозирование погоды, математические расчеты и т.д.

Опыт, который получен при выполнении курсовой работы позволит сделать правильный выбор при выборе средства для решении подобных задач в практике и целесообразности их применения.

Размещено на Allbest.ru