Система управления перевернутым маятником

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовой проект

Система управления перевернутым маятником

Задание

Объект управления представлен на рисунке

Рис. 1 Перевернутый маятник

=3 кг-масса тележки, =1 кг-масса маятника, =0.5 м - длина стержня, угловое положение маятника, - горизонтальное положение тележки, - управление.

Требуется:

1. Получить нелинейную математическую модель объекта

2. Найти нелинейный закон управления, обеспечивающий устойчивость нулевого состояния равновесия для трех случаев:

А) линеаризации обратной связью относительно угла совместно с управлением.

Б) линеаризации обратной связью относительно позиции тележки совместно с управлением энергией.

1. Математическая модель объекта

Классические и современные методы синтеза систем автоматического управления основаны на математических моделях в виде дифференциальных или разностных уравнений. Для перевода на язык математических моделей используют законы классической механики. Такой способ построения математических моделей называют аналитическим - он возможен для объектов хорошо изученной природы.

В качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы выберем (t) - угол отклонения маятника и x(t) - положение тележки.

Для записи уравнений динамики механической системы воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода

(1.1)

где - кинетическая энергия, - потенциальная энергия (для консервативных сил), - приложенная к тележке неконсервативная обобщенная сила.

Выражение для кинетической энергии запишется так

(1.2)

где



С учетом этих выражений вместо (3.2) получим

. (1.3)

Потенциальная энергия для силы тяжести равна

. (1.4)

В результате подстановки (1.3) и (1.4) в (1.1) получим математическую модель рассматриваемого объекта в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка

(1.5)

(1.6)

Уравнения (1.5) и (1.6) представляют собой выражения баланса моментов, действующих на маятник, и баланса сил, действующих на тележку.

Если за начало отсчета угла маятника принять нижнее положение равновесия, то в уравнениях (2.5), (2.6) изменятся знаки некоторых слагаемых с учетом тождеств: . В результате запишутся несколько иные уравнения:

 (1.5, а)

(1.6, б)

Эти уравнения описывают так называемый козловый кран, в котором роль маятника играет груз на тросе.

1.2 Дифференциальные уравнения в форме Коши

Для записи системы дифференциальных уравнений в форме Коши - системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, исходные уравнения разрешим относительно старших производных. Заметим, что вторые производные в уравнения (1.5), (1.6) входят линейно. С учетом этого, приведем уравнения к матричной форме:

.

Прежде всего, проверим существование и единственность решения - вычислим определитель матрицы:

и убедимся в том, что он не равен нулю.

Для решения системы уравнений воспользуемся правилом Крамера



Заметим, что правые части уравнений не содержат переменных , т.е. положение и скорость тележки не влияют на ускорения маятника и тележки. Объект может занимать любое положение или совершать равномерное поступательное движение. Это не отразится на динамике системы «тележка-маятник».

Теперь легко записать уравнения объекта в форме Коши:

;

; (1.7)

;

Если за начало отсчета угла маятника принять нижнее положение равновесия, то изменятся некоторые знаки во втором и четвертом уравнениях системы (1.7):

; (1.7, а)

(1.7, б)

2. Компьютерное моделирование маятника на тележке

коши уравнение маятник регулятор

Линеаризованные уравнения (1.9) позволяют исследовать устойчивость и качественный характер движений при малых отклонениях состояния системы от положения равновесия. Для исследования поведения объекта управления при произвольных отклонениях необходимо решать нелинейные уравнения (1.7). Для автоматизации численных решений при конкретных начальных условиях и внешних воздействиях разработаны программные средства; далее будем использовать программу MATLAB/Simulink фирмы The MathWorks, Inc.

В окне команд MATLAB введем команду

>>simulink

Появится окно с подсистемами блоков. Выберем опции File/New/Model; откроется окно без имени (`Untitled'). Построение компьютерной модели сводится к выбору соответствующих библиотечных блоков и их соединение ориентированными связями, как показано на рис. 2. Представленная структурная схема - модель объекта на языке Simulink. Основу программы образуют два двойных интегратора, входами которых являются вторые производные переменных.

Рис. 2. Модель на языке графического редактора Simulink

Блоки Fcn и Fcn1, реализуют выражения, находящиеся в правых частях второго и четвертого уравнений системы (1.7):

Fcn: ((M+m)*9.8*sin (u[1]) - m*l*u[2]*u[2]*sin (u[1])*cos (u[1]) - u[3]*cos (u[1]))/(l*M+m*l*sin (u[1])*sin (u[1]));

Fcn1: (m*l*l*u[2]*u[2]*sin (u[1])+l*u[3] - m*l*9.8*sin (u[1])*cos (u[1]))/(l*M+m*l*sin (u[1])*sin (u[1]))

На входы этих блоков подается вектор = (u[1] u[2] u[3])'.

Сохраним модель под именем ?pendulum?.

Выберем следующие значения параметров: l = 0.5 м; m = 1 кг; M = 3 кг и введем их в рабочее пространство MATLAB:

>>l=0.5;

>>m=1;

>>M=3;

Проведем компьютерный эксперимент при следующих начальных условиях: - маятник отклонен на 1 рад, угловая скорость маятника, положение и скорость тележки равны нулю. Рассматриваем свободные движения автономной системы - к тележке не оказывается воздействие, т.е. . На рис. 3 приведены результаты моделирования, из которых ясно, что верхнее положение маятника не устойчиво - при малейшем отклонении от него состояние системы не возвращается к нему, а начинаются колебания маятника относительно нижнего положения. Маятник колеблется с амплитудой радиан, а тележка совершает периодические движения своеобразной формы.



Рис. 3. Поведение объекта управления при начальных условиях

Колебания маятника и тележка не затухают, так как построенная ранее математическая модель игнорирует потери энергии на преодоление сопротивления среды и трение.

3. Синтез регулятора для маятника на тележке операторным методом

Запишем дифференциальное уравнение объекта от входа - силы , приложенной к тележке, до переменной выхода - положения тележки в операторной форме

,	(2.1)

где - символ оператора дифференцирования; операторные полиномы

,

.

Поскольку операторные полиномы не имеют общих нетривиальных делителей, объект по этому каналу полностью управляем и наблюдаем, т.е. нет неподвижных корней характеристического полинома - обратная связь, подобранная соответствующим образом, способна переместить любые корни. Заметим также, что отношение ненулевых полюсов и нулей зависит от соотношения масс маятника и тележки и равно .

Необходимым топологическим условием перемещения собственных значений является создание контура управления - реализация принципа обратной связи.

Структурный синтез - определение порядка регулятора - сводится к анализу степеней полиномов. Степени операторных полиномов объекта равны соответственно: . Порядок регулятора равен , а порядок системы .

Пусть численные значения коэффициентов полиномов объекта равны:

.

Искомое дифференциальное уравнение стабилизирующей отрицательной обратной связи (регулятора) также запишем в операторной форме

.	(2.2)

В раскрытом виде с учетом степеней полиномов получим:

.

Следовательно, необходимо найти значения семи коэффициентов дифференциального уравнения регулятора.

Поскольку порядок системы равен семи, назначим семь желаемых корней в левой полуплоскости: -0.2; -0.4; -1.0; -1.2247; -2.0; -4.0; -8.0. Один из корней характеристического полинома объекта (левый) оставляем на месте.

Желаемый характеристический полином построим с помощью команд MATLAB:

>> r=[-0.2 -0.4 -1 -1.2247 -2 -4 -8];

>> poly(r)

ans =

1.0000 16.8247 98.1853 260.0493 341.4710 221.4175 63.9056 6.2705

По этим коэффициентам желаемый полином запишется так

.

Характеристический полином замкнутой системы

Из тождества

следует система уравнений

Матрица системы составлена из коэффициентов полиномов объекта; такая матрица называется матрицей Сильвестра. Ее определитель - результант полиномов - отличен от нуля, если полиномы взаимно просты. Следовательно, задача размещения корней операторным методом разрешима, если характеристика вход-выход объекта является полной, т.е. объект полностью управляем и наблюдаем. В рассматриваемом примере решение существует и единственно.

Для численного решения системы воспользуемся программой MATLAB; введем матрицу

>>C = [0 0 0 -98.0000 0 0 0;

0 0 0 0 -98.0000 0 0;

-58.8 0 0 2.5000 0 -98.0000 0;

0 -58.8000 0 0 2.5000 0 -98.0000;

1.0000 0 -58.8000 0 0 2.5000 0;

0 1.0000 0 0 0 0 2.5000;

0 0 1.0000 0 0 0 0]

и коэффициенты желаемого полинома

>> a=[6.2705 63.9056 221.4175 341.4710 260.0493 156.9853 16.8247]';

К пятому элементу добавлен коэффициент, равный 58.8.

Для решения воспользуемся командой

>> R=C\a

R =

1.0e+003 *

-2.5100

-0.3315

0.0168

-0.0001

-0.0007

1.5037

0.1954

Получен вектор коэффициентов регулятора R.

По коэффициентам вектора R составим числитель и знаменатель передаточной функции (операторы дифференциального уравнения регулятора):

>> den=[1 R(3) R(2) R(1)];

>> num=[R(7) R(6) R(5) R(4)];

>> regulator=tf (num, den)

195.4 s^3 + 1504 s^2 - 0.6521 s - 0.06398

-

s^3 + 16.82 s^2 - 331.5 s - 2510

Дифференциальное уравнение регулятора имеет вид:

Заметим, что регулятор неустойчив - полином имеет отрицательные коэффициенты.

Вначале проведем анализ линейной системы. Передаточная функция объекта

>> plant=tf([2.5 0 -98], [1 0 -58.8 0 0])

2.5 s^2 - 98

-

s^4 - 58.8 s^2

Передаточная функция замкнутой системы

>> sysz=feedback (plant, regulator)

2.5 s^5 + 42.06 s^4 - 926.7 s^3 - 7924 s^2 + 3.248e004 s + 2.46e005

-

s^7 + 16.82 s^6 + 98.19 s^5 + 260 s^4 + 341.5 s^3 + 221.4 s^2 + 63.91 s + 6.27

Можно заметить, что знаменатель передаточной функции совпадает с желаемым полиномом.

Вычислим собственные значения замкнутой системы

>> eig(sysz)

-8.0000

-4.0000

-2.0000

-1.2247

-1.0000

-0.4000

-0.2000

Они получились в точности заданными.

Подключим к нелинейной модели объекта линейный регулятор, как показано на рис. 4.

Рис. 4. Система, образованная нелинейным объектом и линейным регулятором

Переходные процессы в системе при максимальном отклонении маятника рад приведены на рис. 4.

Система регулирования, синтезированная операторным методом, может оказаться весьма чувствительной к изменениям параметров объекта и неточной реализации алгоритма. Для иллюстрации введем коэффициенты передаточной функции регулятора с клавиатуры, сохраняя четыре значащие цифры

regulator=tf([195.4 1504 -0.6521 -0.06398], [1 16.82 -331.5 -2510])

Передаточную функцию замкнутой системы получим по команде:

>> sysc=feedback (plant, regulator)

2.5 s^5 + 42.05 s^4 - 926.8 s^3 - 7923 s^2 + 32487 s + 245980

-

s^7 + 16.82 s^6 + 98.2 s^5 + 261 s^4 + 341.4 s^3 + 195.8 s^2 + 63.91 s + 6.27

Видно, что коэффициент знаменателя (характеристического полинома замкнутой системы) при второй степени равен 195.8 вместо желаемого значения 221. Такое отличие объясняется необходимостью выполнения операций по вычитанию больших по модулю примерно равных величин.

Рис. 5. Процессы в системе при максимальном отклонении маятника

Система в данном примере устойчива, однако, ее собственные значения:

-8.0078

-4.1704

-1.9346 + 1.0956i

-1.9346 - 1.0956i

-0.3100 + 0.3910i

-0.3100 - 0.3910i

-0.1526

отличаются от заданных.

Однако это не влияет на размер области устойчивости и характер процесса при отклонении маятника 0.08 рад (см. рис. 5).

4. Регулятор состояния

Пусть имеется информация обо всех переменных состояния объекта

. (2.3)

Алгоритм регулятора состояния запишется так:

. (2.4)

Уравнение замкнутой системы в стандартной форме пространства состояний получим, если из уравнений объекта (2.3) и регулятора состояния (2.4) исключим переменную

,

где - матрица замкнутой системы. Отметим, что замкнутая система получилась автономной - она не имеет входов.

Задача имеет решение, если объект управляем. Для анализа управляемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы управляемости :

>> rank (ctrb(A, B))

ans =

4

Матрица управляемости имеет полный ранг, что свидетельствует о полной управляемости объекта. Действуя с силой на тележку, можно стабилизировать верхнее положение маятника и привести тележку в исходное положение.

Заключение

В настоящей курсовой работе была спроектирована система управления положением перевернутого маятника. Задача управления в такой системе заключается в стабилизации углового положения маятника на нулевом уровне. Результаты моделирования подтвердили правильность теоретических расчетов. Экспериментальные исследования системы проведены моделированием в пакете SIMULINK системы MATLAB.

Список литературы

1. Бобиков А.И. Использование пакета Simulink/MATLAB для исследования систем управления (Построение блок-схем): Уч. пособие. Рязань: РГРТА, 2003. 64 с.

2. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 632 с.

3. Дебни Дж., Харман Т.Л. Simukink 4. Секреты мастерства. Пер. с англ. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 403 с.

4. Бобиков А.И. Теория автоматического управления. Методические указания к курсовой работе. Рязань: РГРТА, 1994. 44 с.

Размещено на Allbest.ru

...