Применение формулы трапеций и формулы средних прямоугольников для решения задач численного интегрирования

Формула трапеций и формула средних прямоугольников. Применение численного интегрирования. Теория приближенного решения математических задач. Вычисление значения определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Формула трапеций с постоянным шагом.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 15.06.2013
Размер файла 481,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

ФГОУ СПО «Уфимский авиационный техникум»

Курсовая работа

Применение формулы трапеций и формулы средних прямоугольников для решения задач численного интегрирования

по дисциплине «Численные методы»

КР 080802.10.038.01 ПЗ

Студент А.С. Ахмедзян

Руководитель работы Э.Р. Ахматсафина

Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Метод трапеций

1.2 Метод средних прямоугольников

2. Постановка и решение задачи

2.1 Формулировка задачи

2.2 Решение задачи методом трапеций

2.3 Решение задачи методом средних прямоугольников

3. Программная реализация

3.1 Блок-схемы

3.2 Тексты программ

3.3 Тестовый пример

3.4 Решение задачи с помощью ЭВМ.

Заключение

Введение

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида , где - подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [a;b].

Определенный интеграл от функции, имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, можно воспользоваться формулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается формула трапеций и формула средних прямоугольников.

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Теория приближенного решения математических задач постоянно пополняется все более совершенными численными методами, проявление которых стимулируется как особенностями машинной математики, так и расширением функциональных возможностей прикладных программных средств. Все это требует определенного уровня внимания, который необходимо обеспечить при обучении численным методам.

Главная особенность обучения основам численных методов, которая все отчетливее проявляется в последние годы, связана с интенсификацией процессов использования различных специализированных математических пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения прикладных задач.

Цель заданной работы - освоить методы трапеций и средних прямоугольников численного интегрирования для вычисления интегралов; закрепление и систематизация полученных знаний, их применение при решении конкретных практических задач; закрепление навыков работы со справочной литературой и нормативными документами.

Данная курсовая работа состоит из трех частей. В первой части рассматривается теория двух рассматриваемых методов трапеций и средних прямоугольников. Во второй части мы используем данную теоретическую часть при вычислении примера. В третьей части составляем программы, блок-схемы алгоритмов по данным двум методам.

1 Теоретическая часть

Известно, что определенный интеграл функции типа (1) численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла -- метод трапеций (рис. 2) и метод средних прямоугольников (рис. 3).

Рисунок. 1 Криволинейная трапеция.

Рисунок. 2 Метод трапеций.

Рисунок. 3 Метод средних прямоугольников.

1.1 Метод трапеций

Величина определенного интеграла численно равна площади фигуры, образованной графиком функции и осью абсцисс (геометрический смысл определенного интеграла). Следовательно, найти это значит оценить площадь фигуры, ограниченной перпендикулярами, восстановленными к графику подынтегральной функции f(x) из точек a и b, расположенных на оси аргумента x.

Для решения задачи разобьем интервал [a,b] на n одинаковых участков. Длина каждого участка будет равна h=(b-a)/n (рис. 4).

Рисунок 4. Разбиение интервала [a,b] на n одинаковых участков

Восстановим перпендикуляры из каждой точки до пересечения с графиком функции f(x). Если заменить полученные криволинейные фрагменты графика функции отрезками прямых, то тогда приближенно площадь фигуры, а следовательно и величина определенного интеграла оценивается как площадь всех полученных трапеций. Обозначим последовательно значения подынтегральных функций на концах отрезков f0, f1, f2,..., fn и подсчитаем площадь трапеций

(2)

В общем случае формула трапеций принимает вид

(3)

где fi - значение подынтегральной функции в точках разбиения интервала (a,b) на равные участки с шагом h; f0, fn - значения подынтегральной функции соответственно в точках a и b.

Формула трапеций с постоянным шагом:

(4)

1.2 Метод средних прямоугольников

Простейшими методами численного интегрирования являются методы прямоугольников. В них подынтегральная функция заменяется полиномом нулевой степени, то есть константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке интервала интегрирования. В зависимости от этого методы прямоугольников делятся на: методы левых, правых и средних прямоугольников.

По методу средних прямоугольников интеграл равен сумме площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулу площадей для метода средних прямоугольников:

формула трапеция интегрирование прямоугольник

(5)

Формула средних прямоугольников с постоянным шагом:

(6)

2. Постановка и решение задачи

2.1 Формулировка задачи

Применение формулы трапеций и формулы средних прямоугольников для решения задач численного интегрирования (на примере вычисления ).

2.2 Решение задачи методом трапеций

с точностью =0.01

x0 xn

Вычислим интеграл I1 по формуле метода трапеций (4):

h1=1

I1=(f(x0)+f(xn))=((12+1)sin(1-0.5)+(22+2)sin(2-0.5))=2.9725

x0 x1 xn

Уменьшим шаг вдвое и вычислим интеграл I2 по формуле метода трапеций (4):

h2=

I2=(f(xo)+f(xn)+2f(x1))=((12+1)sin(1-0.5)+ (22+1)sin(2-0.5)+2((1.5)2+1)sin(1.5-0.5))=2.85325

Вычислим критерий для интегралов I1 и I2, так как I2?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.04>

Полученный критерий не выполняется, вычисляем интеграл I3, уменьшая шаг вдвое:

x0 x1 x2 x3 xn

h3=

I3=(f(x0)+f(xn)+2(f(x1)+f(x2)+f(x3)))=((12+1)sin(1-0.5)+(22+1)sin(2-0.5)+2(((1.25)2+1)sin(1.25-0.5)+ +((1.5)2+1)sin(1.5-0.5)+ ((1.75)2+1)sin(1.75-0.5)))=2.826875

Вычислим критерий для интегралов I2 и I3, так как I3?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.00933<

Полученный критерий выполняется, следовательно, мы вычислили заданный интеграл с требуемой точностью.

Ответ: 2.826875 с точностью 0.01.

2.3 Решение задачи методом средних прямоугольников

x1 xn

Вычислим интеграл I1 по формуле метода средних прямоугольников (6):

h1=1

I1=hf(x0+)=((1.5)2+1)sin(1.5-0.5)=2.734

x0 x1 xn

Уменьшим шаг вдвое и вычислим интеграл I2 по формуле метода средних прямоугольников (6):

h2=

I2= h(f(x0+)+f(x1+))=((1.25)2+1)sin(1.25-0.5)+ ((1.75)2+1)sin(1.75-0.5))=2.8005

Вычислим критерий для интегралов I1 и I2, так как I2?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.023746>

Полученный критерий не выполняется, вычисляем интеграл I3, уменьшая шаг вдвое:

x0 x1 x2 x3 xn

h2=

I3=h(f(x0+)+f(x1+)+f(x2+)+f(x3+))=((1.125)2+1)sin(1.125-0.5)+(1.375)2+1)sin(1.375-0.5)+ +(1.625)2+1)sin(1.625-0.5)+ (1.875)2+1)sin(1.875-0.5))=2.814

Вычислим критерий для интегралов I2 и I3, так как I3?1, то критерий вычисляется по формуле:

=0.004797<

Полученный критерий выполняется, следовательно, мы вычислили заданный интеграл с требуемой точностью.

Ответ: 2.814 с точностью 0.01.

3. Программная реализация

3.1 Блок-схемы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод трапеций

Метода средних прямоугольников

Размещено на http://www.allbest.ru/

3.2 Тексты программ

Метод трапеций

A - нижний предел интегрирования

B - верхний предел интегрирования

S - значение интеграла

S1 - значение интеграла

H - шаг интегрирования

X - точки, в которых ищутся значения интегралов

E - точность вычисления интеграла

I - количество отрезков

N - количество интервалов

Program Integral;

Uses Crt;

Var a,b,s,x,h,s1,d,e:real;

I, n: integer;

Function f(x1:real):real;

begin f:=(x1*x1+1)*sin(x1-1/2);

end;

Begin

ClrScr;

Writeln('вычисление определенного интеграла');

Writeln('метод трапеций');

a:=1; b:=2;

h:=1;

e:=1/100;

s1:=0;

s:=0;

x:=a;

n:=trunc((b-a)/h);

for i:=1 to n-1 do begin x:=x+h;

s:=s+f(x);

end;

s:=h*((f(a)+f(b))/2+s);

writeln ('s ',s:7:4);

repeat

h:=h/2;

n:=trunc((b-a)/h);

x:=a;

for i:=1 to n-1 do begin

x:=x+h;

s1:=s1+f(x);

end;

s1:=h*((f(a)+f(b))/2+s1);

writeln('s1 ',s1:7:8);

if s1>=1 then d:=ABS((s1-s)/s1)

else d:=ABS(s1-s);

s:=s1; s1:=0;

until d<e;

Writeln('интеграл равен ', s:10:7);

Readln;

End.

Метод средних прямоугольников

A - нижний предел интегрирования

B - верхний предел интегрирования

S - значение интеграла

S1 - значение интеграла

H - шаг интегрирования

X - точки, в которых ищутся значения интегралов

E - точность вычисления интеграла

I - количество отрезков

N - количество интервалов

Program Integral;

Uses Crt;

Var a,b,s,x,h,s1,d,e:real; I, n: integer;

Function f(x1:real):real;

begin f:=(x1*x1+1)*sin(x1-1/2);

end;

Begin

ClrScr;

Writeln('вычисление определенного интеграла');

Writeln('метод средних прямоугольников');

a:=1; b:=2;

h:=1;

e:=1/100;

s1:=0;

s:=0;

x:=a;

n:=trunc((b-a)/h);

for i:=0 to n-1 do begin

s:=s+f(x+h/2);

x:=x+h;

end;

s:=h*s; writeln ('s ',s:7:4);

repeat

h:=h/2;

n:=trunc((b-a)/h);

x:=a;

for i:=0 to n-1 do begin

s1:=s1+f(x+h/2);

x:=x+h; end;

s1:=h*s1; writeln('s1 ',s1:7:8);

if s1>=1 then d:=ABS((s1-s)/s1)

else d:=ABS(s1-s);

s:=s1;

s1:=0;

until d<e;

Writeln('интеграл равен ', s:10:7);

Readln;End.

3.3 Тестовый пример

Метод трапеций

В качестве тестового примера возьмем , аналитически его можно решить и решение имеет вид .

Проверим правильность работы программы для тестового примера.

Рисунок 5. Результат работы тестовой программы методом трапеций

Метод средних прямоугольников

В качестве тестового примера возьмем , аналитически его можно решить и решение имеет вид .

Проверим правильность работы программы для тестового примера.

Рисунок 6. Результат работы тестовой программы методом средних прямоугольников

3.4 Решение задачи с помощью ЭВМ.

Метод трапеций

Рисунок 7. Результат работы программы методом трапеций

При вычислении заданного интеграла на языке программирования Turbo Pascal мы получаем следующие результаты (рис. 7)

Метод средних прямоугольников

Рисунок 8. Результат работы программы методом средних прямоугольников

При вычислении заданного интеграла на языке программирования Turbo Pascal мы получаем следующие результаты (рис. 8)

Заключение

Таким образом, очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами трапеций и средних прямоугольников решение не дает нам точного значения интеграла, а только приближенное.

Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции или прямоугольника, в зависимости от метода), тем точнее результат, получаемый машиной. Для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.

Использование для вычисления одновременно двух методов (трапеций и средних прямоугольников) позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоих методов.

Следовательно, при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по обеим методам стремятся друг к другу и оба к точному результату.

Программы написаны на языке Turbo Pascal для вычисления значений интегралов. Полученные в результате работы программ решения совпадают с ответами в примере.

При сравнении двух методов трапеций и средних прямоугольников, формула трапеций является более точной по сравнению с формулой средних прямоугольников. Это объясняется тем, что метод средних прямоугольников требует больших вычислительных затрат, что связано с довольно громоздкими формулами а также с большим объемом вычислений и поэтому для относительно простых систем целесообразно использовать более простые методы решения.

Список литературы

1. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.

2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. -- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. -- 432 с.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов. -- 13-е изд. -- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985. -- 432 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Рассмотрение методов приближенного численного анализа. Формулы интегрирования, прямоугольников, трапеций, формула Симпсона. Оценка погрешностей интегрирования. Вычисление интеграла по формуле трапеций с тремя десятичными знаками и по формуле Симпсона.

    курсовая работа [995,7 K], добавлен 09.07.2012

  • Методы левых и правых прямоугольников численного интегрирования для вычисления интегралов. Геометрический смысл определённого интеграла. Программная реализация, блок-схемы алгоритмов. Результат работы тестовой программы. Решение задачи с помощью ЭВМ.

    курсовая работа [180,4 K], добавлен 15.06.2013

  • Реализация интегрирования функции методами прямоугольников, трапеций, Симпсона. Построение графика сравнения точности решения методов интегрирования в зависимости от количества разбиений. Алгоритм расчета энтропии файлов с заданным расширением.

    контрольная работа [1011,0 K], добавлен 04.05.2015

  • Сущность и особенности применения метода средних треугольников. Порядок расчета по методу трапеций и Ньютона-Котеса. Формула Чебышева и значения узлов ее квадратуры. Составление блок-схемы программы и ее основных процедур различными численными методами.

    курсовая работа [482,7 K], добавлен 03.01.2010

  • Составление блок-схемы и алгоритма программы для решения уравнения с приближенным значением корня по методу Ньютона, расчета приближенного значения интеграла по формуле трапеций, вычисления уравнения длины вектора. Типы формул общего члена суммы.

    курсовая работа [41,3 K], добавлен 15.12.2012

  • Идея численного интегрирования. Создание программы, вычисляющей определенный интеграл методом трапеций. Листинг программы, результаты работы. Проверка в среде Mathcad. Зависимость точности вычисления от количества отрезков разбиения, расчет погрешности.

    отчет по практике [106,8 K], добавлен 28.04.2013

  • Знакомство с наиболее известными технологиями программирования. Особенности разработки программ для вычисления интеграла по формуле средних прямоугольников. Общая характеристика методов структурного программирования. Рассмотрение формулы Симпсона.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 03.03.2015

  • Исследование внутренней сходимости численного интегрирования методами Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка C. Результаты исследования, их анализ, описание применения. Условия и характеристики выполнения программы.

    курсовая работа [385,2 K], добавлен 14.03.2011

  • Применения численного интегрирования. Интерполяционные методы нахождения значений функции. Методы прямоугольников, трапеций и парабол. Увеличение точности, методы Гаусса и Гаусса-Кронрода. Функциональные модели и программная реализация решения задачи.

    курсовая работа [450,9 K], добавлен 25.01.2010

  • Формула Симпсона как интеграл от интерполяционного многочлена второй степени, рассмотрение сфер использования. Знакомство с основными особенностями и этапами написания программы для численного интегрирования с помощью формулы Симпсона, анализ примеров.

    практическая работа [153,8 K], добавлен 16.03.2015

  • Математическое описание, алгоритм и программа вычисления определенного интеграла методом трапеций. Расчет n-значений исследуемой функции и вывод их в виде таблицы. Технические и программные средства. Входные и выходные данные, функциональное назначение.

    курсовая работа [21,0 K], добавлен 03.01.2010

  • Разработка прикладного программного обеспечения для решения расчетных задач для компьютера. Численное интегрирование - вычисление значения определённого интеграла. Проектирование алгоритма численного метода. Тестирование работоспособности программы.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 03.08.2011

  • Аппроксимация линейной, степенной и квадратичной функции. Определение корней уравнения вида f(x)=0 методом половинного деления. Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников, трапеций, парабол и Эйлера. Интерполяция формулой Лагранжа.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 21.09.2011

  • Разработка программы нахождения значения определенного интеграла с помощью метода трапеций. Оценка абсолютной погрешности метода. Использование среды программирования Visual Studio Community 2015 для написания программы. Работа с графическим интерфейсом.

    курсовая работа [573,8 K], добавлен 17.03.2016

  • Метод численного интегрирования. Использование метода половинного деления для решения нелинейного уравнения. Определение отрезка неопределенности для метода половинного деления. Получение формулы Симпсона. Уменьшение шага интегрирования и погрешности.

    курсовая работа [3,0 M], добавлен 21.05.2013

  • Формулирование и создание программы по вычислению определенного интеграла по формуле трапеций с тремя десятичными знаками и по формуле Симпсона. Выбор Delphi как программного средства разработки программы. Создание алгоритма и листинг программы.

    курсовая работа [990,9 K], добавлен 15.06.2009

  • Разработка программы, выполняющей интегрирование методом входящих прямоугольников с кратностями и методом Симпсона. Расчет определённого интеграла приближенным и точным методами. Оценка погрешности при вычислении приблизительного значения интеграла.

    контрольная работа [71,7 K], добавлен 13.02.2016

  • Разработка алгоритма решения определенного интеграла методом трапеций для подынтегральной функции и моделирования задачи вынужденных колебаний без затухания. Описание интерфейса программы в среде Delphi и MathCad; идентификаторы, модули и приложения.

    курсовая работа [500,4 K], добавлен 28.05.2013

  • Численные методы. Создание программного продукта, использование которого позволит одновременно исследовать два метода вычисления определенных интегралов: метод трапеций и метод Симпсона. Рассмотрен ход вычисления интеграла в виде кода программы.

    курсовая работа [834,6 K], добавлен 14.04.2019

  • Постановка задачи численного интегрирования. Классификация методов интегрирования: методы Ньютона-Котеса; методы статистических испытаний; сплайновые методы; методы наивысшей алгебраической точности. Метод Симпсона: суть; преимущества и недостатки.

    реферат [165,3 K], добавлен 01.03.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.