Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

По дисциплине «Информатика»

Тема

Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Иванова А.А.

Аннотация

наименьший квадрат программирование

Данная курсовая работа содержит пример решения задачи "Аппроксимация квадратичной функции методом наименьших квадратов". Работа выполнена в офисных приложениях MS Word и MS Excel, а также представлен текст программы в интегрированной среде программирования Turbo Pascal 7.0. Описание содержит страницы текста, рисунков и библиографический список.

The summary

The given course work contains an example of a solution of a task " Approximation of square-law function by a method of least squares ". The work is carried out in office applications MS Word and MS Excel, and also the text of the program in the integrated medium of programming Turbo Pascal 7.0 is submitted. The description contains pages, appendices, tables.

Задание

1) Используя метод наименьших квадратов результаты эксперимента, представленные в виде таблицы , аппроксимировать

а) Многочленом первой степени ;

б) Многочленом второй степени ;

в) Экспоненциальной зависимостью .

2) Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности и остаточную дисперсию на одну степень свободы.

3) Вычислить коэффициент корреляции (только в случае a).

4) Для каждой зависимости построить линию тренда.

5) Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости y от x.

6) Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

7) Для каждой зависимости провести оценку значимости уравнения регрессии в целом по критерию Фишера при уровне значимости б₁.

8) Для каждой зависимости провести оценку параметров, входящих в уравнение регрессии, по критерию Стьюдента при уровне значимости б₂.

9) Написать программу на языке программирования Turbo Pascal.

10) Сравнить результаты работы программы с вычислениями, выполненными вручную.

11) Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует результаты эксперимента.

Введение

Цель данной курсовой работы -- с помощью аппроксимации установить зависимость между экспериментальными данными, решить поставленную задачу различными способами, провести расчеты с помощью табличного процессора Microsoft Excel и среды программирования Turbo Pascal 7.0.

Аппроксимация (от латинского "approximate"-"приближаться") - приближенное описание эмпирических данных с помощью уравнений, необходима для проведения интер- и экстраполяции. Задача - найти такую функцию, выраженную аналитической формулой, чтобы она наилучшим образом описывала эмпирические данные. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов, который позволяет найти функцию с такими параметрами, что сумма квадратов отклонений найденной функции от заданных значений функции будет минимальной.

Между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом.

При выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей. Для этого и применяется аппроксимация Ї приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Важно учитывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение.

Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных.

1. Постановка задачи

Рассмотрим таблицу значений двух величин:

x
y

Требуется:

построить уравнения линейной, квадратичной и экспоненциальной аппроксимирующей функции.

определить основные статистические параметры данных случайных величин, определить коэффициент детерминированности полученных уравнений.

построить график табличной функции и в той же системе координат график аппроксимирующей функции (для каждого вида аппроксимации отдельный рисунок)

Метод наименьших квадратов

Есть разные способы оценки суммарной ошибки аппроксимации, Чаще всего оценивают суммарную квадратичную ошибку, равную сумме квадратов отклонений эмпирических значений функции от теоретических:

Эмпирическая формула:

.(1)

(2)

Параметры a₁, a₂, … , a_m должны быть определены из условия минимума суммарной квадратичной ошибки. Запишем необходимое условие экстремума функции многих переменных S(a₁, a₂, … , a_m):

(3)

Формулы (3) представляют собой систему m уравнений с m неизвестными для определения наилучших значений параметров. Если функция (2) линейна относительно параметров a₁, a₂, … , a_m, то система (3) представляет собой систему линейных уравнений.

Метод определения параметров из условия минимума суммарной квадратичной ошибки называется методом наименьших квадратов.

2. Определение параметров аппроксимации

Рассмотрим различные случаи аппроксимации эмпирических данных функциями конкретного вида:

линейной функцией

y=a₁+a₂x.(4)

Тогда система (3) примет вид:

(5)

квадратичной функцией

y=a₁+a₂x+a₃x².(6)

Тогда система (4) будет иметь вид:

(7)

3) экспоненциальной функцией:

.(8)

В этом случае нужно вначале линеаризовать формулу (8) с помощью логарифмирования. Логарифмируя (8), получим:

lny=lna₁+a₂x (9)

К уравнению (9) можно применить формулы (5), но с другими обозначениями. Введем обозначения:

z=lny, c=lna₁ (10)

Тогда уравнение (8) перепишется в виде: z=c+a₂x и система для определения параметров c, a₁ примет вид:

(11)

или, возвращаясь к табличным эмпирическим данным,

(12)

Решая системы линейных уравнений (5), (7), (12), определим параметры аппроксимирующих функций. Для решения систем можно использовать различные методы: метод Крамера, метод Гаусса, метод Зейделя, метод обратной матрицы. Матрицы систем (5), (7), (12), являются невырожденными квадратными матрицами, поэтому система уравнений для определения параметров аппроксимирующих функций имеет единственное решение. Расчетные формулы методов Гаусса и Крамера и процедуры их реализации на Паскале даны в приложениях.

Кроме указанных методов можно использовать методы решения систем с симметричной матрицей, т.к. матрицы всех рассмотренных систем являются сммметричными.

Элементы теории корреляции

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

(13)

Корреляционное отношение вычисляется по формуле:

(14)

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

(15)

Параметры уравнений (5), (7), (12) связаны некоторыми соотношениями со статистическими оценками эмпирических данных. Особенно это относится к линейному уравнению (5).

Напомним некоторые статистические оценки. Наблюдаемые значения величин x_i, y_i можно рассматривать как выборочные значения двух случайных величин X, Y. По выборочным данным можно найти выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения X и Y, а также выборочный коэффициент корреляции, а именно:

(16)

3. Таблицы, выполненные средствами microsoft excel, с пояснениями

Задание:

В результате эксперимента определено изменение скорости детонации от процентного содержания наполнителей в составе гексогена. Данные собраны в таблицу 1. Требуется (1) определить тип и параметры аналитической зависимости, аппроксимирующей результаты испытаний;(2) проверить значимость уравнения регрессии по критерию Фишера-Снедекора при уровне значимости б=0,05

(3)установить значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента при уровне значимости б= 0,05; (4) вычислить прогнозное значение скорости детонации от содержания наполнителя.

Таблица 1

Наполнитель СаСО3
Скорость детонации D*103 м/с	7,2	7,05	6,59	6,7	6,65	6,61	6,55	6,50	6,45
Содержание наполнителя, %	0	3	5	10	15	17	20	22	25

Сначала проведем расчёты, используя средства табличного процессора Microsoft Excel. Методика проведения таких расчётов подробно изложена в работе [2].Для проведения расчётов данные целесообразно расположить в виде, представленном на рис. 2-3.

Пояснения к расчётам:

Рис.2. Вычисление вспомогательных сумм и средних значений.



Рис.3.Вычисление вспомогательных сумм (продолжение).

Шаг 1.В ячейки А3:А11 заносим значения .

Шаг 2. В ячейки В3:В11 заносим значения .

Шаг 3.В ячейки С3 вводим формулу =В3^2.

Шаг 4.В ячейки С4:С11 эта формула копируется.

Шаг 5.В ячейки D3 вводим формулу =В3*A3.

Шаг 6.В ячейки D4:D11 эта формула копируется.

Шаг 7.В ячейки E3 вводим формулу =В3^3.

Шаг 8.В ячейки E4:E11 эта формула копируется.

Шаг 9.В ячейки F3 вводим формулу =В3^4.

Шаг 10.В ячейки F4:F11 эта формула копируется.

Шаг 11.В ячейки G3 вводим формулу =В3^2*A3.

Шаг 12.В ячейки G4:G11 эта формула копируется.

Шаг 13.В ячейкиH3 вводим формулу =LN(A3).

Шаг 14.В ячейки H4:H11 эта формула копируется.

Шаг 15.В ячейки I3 вводим формулу =В3*LN(A3).

Шаг 16.В ячейки I4:I11 эта формула копируется.

Шаг 17.В ячейки А3:А11 заносим значения .

Шаг 18. В ячейки В3:В11 заносим значения .

Шаг 19.В ячейки J3 вводим формулу =(B3-$B$14)*(A3-$A$14)

Шаг 20.В ячейки J4:J11 эта формула копируется.

Шаг 21.В ячейки K3 вводим формулу =(В3-$B$14)^2.

Шаг 22.В ячейки K4:K11 эта формула копируется.

Шаг 23.В ячейки L3 вводим формулу =(A3-$A$14)^2.

Шаг 24.В ячейкиL4:L11 эта формула копируется.

Шаг 25.В ячейки M3 вводим формулу =(A3-($E$24+$E$25*B3))^2

Шаг 26.В ячейки M4:M14 эта формула копируется.

Шаг 27.В ячейки N3 вводим формулу =(A3-($F$38+$F$39*B3+$F$40*B3^2))^2

Шаг 28.В ячейки N4:N14 эта формула копируется.

Шаг 29.В ячейки O3 вводим формулу =(LN(A3)-$H$13)^2.

Шаг 30.В ячейки O4:O14 эта формула копируется.

Шаг 31.В ячейки P3 вводим формулу =(H3-(LN($E$54*EXP($E$53*B3))))^2

Шаг 32.В ячейки P4:P14 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования ?.

Шаг 33.В ячейку А3 вводим формулу =СУММ(А3:А11).

Шаг 34.В ячейку B3 вводим формулу =СУММ(B3:B11).

Шаг 35.В ячейку C3 вводим формулу =СУММ(C3:C11).

Шаг 36.В ячейку D3 вводим формулу =СУММ(D3:D11).

Шаг 37.В ячейку E3 вводим формулу =СУММ(E3:E11).

Шаг 38.В ячейку F3 вводим формулу =СУММ(F3:F11).

Шаг 39.В ячейку G3 вводим формулу =СУММ(G3:G11).

Шаг 40.В ячейку H3 вводим формулу =СУММ(H3:H11).

Шаг 41.В ячейку I3 вводим формулу =СУММ(I3:I11).

Шаг 42.В ячейку J3 вводим формулу =СУММ(J3:J11).

Шаг 43.В ячейку K3 вводим формулу =СУММ(K3:K11).

Шаг 44.В ячейку L3 вводим формулу =СУММ(L3:L11).

Шаг 45.В ячейку M3 вводим формулу =СУММ(M3:M11).

Шаг 46.В ячейку N3 вводим формулу =СУММ(N3:N12).

Шаг 47.В ячейку O3 вводим формулу =СУММ(O3:O11).

Шаг 48.В ячейку P3 вводим формулу =СУММ(P3:P11).

Далее вычисляем средние значения:

Шаг 49.В ячейку B13 вводим формулу =СЧЁТ(В3:В11).

Шаг 50.В ячейку А14 вводим формулу =A13/$B$14.

Шаг 51.В ячейку B14 вводим формулу =B12/$B$13.

Шаг 52.В ячейку H16 вводим формулу =H12/$B$13

На рис.4 представлены расчёты для линейной аппроксимации.

Шаг 53.В ячейку А20 вводим формулу =$B$13.

Шаг 54.В ячейку В20 вводим формулу =В12.

Шаг 55.В ячейку А21 вводим формулу =B12.

Шаг 56.В ячейку В21 вводим формулу =С12.

Шаг 57.В ячейку С20 вводим формулу =А12.

Шаг 58.В ячейку С21 вводим формулу =D12.

Шаг 59.Выделяем ячейки А24:В25 и вводим формулу {=МОБР(А20:В21)}

Шаг 60.Выделяем ячейки Е24:Е25 и вводим формулу {=МУМНОЖ(А24:В25;С20:С21)}

Шаг 61.В ячейку Е22 вводим формулу =J12/(K12*L12)^(1/2)

Шаг 62.В ячейку Е23 вводим формулу =1-M12/L12

Шаг 63. В ячейку В27 вводим число 5,12 (определенно по б=0,05 , и df2=9 в табл. П1 из приложения 1).

Шаг 64.В ячейку B28 вводим формулу =E23*(B13-2)/(1-E23)

Шаг 65.В ячейку В29 вводим формулу =M12/(B13-2)

Шаг 66. В ячейку В30 вводим формулу =((B29*C12)/(B13*K12))^(1/2)

Шаг 67. В ячейку В31 вводим формулу =(B29/K12)^(1/2)

Шаг 68. В ячейку C28 вводим формулу

= ЕСЛИ (В28>В27; «Уравнение значимо»; «Уравнение не значимо»).

Шаг 69. В ячейку D31 вводим число 2,3646(Определенно по б=0,05 и df =7 в табл. П2 из приложения 2)

Шаг 70. В ячейку D30 вводим формулу =ABS(E24)/B30.

Шаг 71. В ячейку D31 вводим формулу =ABS(E25)/B31.

Шаг 72. В ячейку F30 вводим формулу

= ЕСЛИ(D30>$D$29; «значим»; «не значим»).

Шаг 73. В ячейку F31 вводим формулу

= ЕСЛИ(D31>$D$29; «значим»; «не значим»).

Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид:

у=7.1143-0.0288х (23)

При этом, согласно критерию Фишера-Снедекора, уравнение линейной регрессии (23) значимо и коэффициенты этого уравнения согласно критерия Стьюдента тоже значимы.

На рис. 5 представленны расчеты для квадратичной аппроксимации.

Шаг 74. В ячейку А33 вводим формулу =$B$16.

Шаг 75. В ячейку A34 вводим формулу =B12.

Шаг 76. В ячейку A35 вводим формулу = C12.

Шаг 77. В ячейку B33 вводим формулу =B12.

Шаг 78. В ячейку B34 вводим формулу =C12.

Шаг 79. В ячейку B35 вводим формулу =E12.

Шаг 80. В ячейку C33 вводим формулу =C12.

Шаг 81. В ячейку B34 вводим формулу =E12.

Шаг 82. В ячейку B35 вводим формулу =F12.

Шаг 83. В ячейку D33 вводим формулу =A12.

Шаг 84. В ячейку D34 вводим формулу =D12.

Шаг 85. В ячейку D35 вводим формулу =G12.

Шаг 86. Выделяем ячейки А38:С40 и вводим формулу {=МОБР (А33:С35)}.

Шаг 87. Выделяем ячейки F385:F40 и вводим формулу {=МУМНОЖ(А38:С40;D33:D35)}.

Шаг 88. В ячейку F36 вводим формулу =1-N12/L12.

Шаг 89. . В ячейку В44 вводим число 5,32(Определенно по б=0,05 и и df2=7 в табл. П1 из приложения 1)

Шаг 90. В ячейку В45 вводим формулу =F38*(B16-3)/(2*(1-F38))

Шаг 91. В Ячейку В47 вводим формулу =((N15/($B$16-3))*A40)^(1/2)

Шаг 92. В Ячейку В48 вводим формулу =((N15/($B$16-3))*B41)^(1/2)

Шаг 93. В Ячейку В49 вводим формулу =((N15/($B$16-3))*C42)^(1/2)

Шаг 94. В Ячейку С45 вводим формулу

=ЕСЛИ(В43>В42; «Уравнение значимо»; «Уравнение не значимо»)

Шаг 95. В Ячейку D44 вводим число (Определенно по б=0,05 и df =7 и в табл. П2 из приложения 2).

Шаг 96. В Ячейку D45 вводим формулу =ABS(F38)B45

Шаг 97. В Ячейку D46 вводим формулу =ABS(F39)/B46

Шаг 98. В Ячейку D7 вводим формулу =ABS(F40)/B47

Шаг 99. В Ячейку F45 вводим формулу

=ЕСЛИ(D45>$D$44; « значим»; « не значим»)

Шаг 100. В Ячейку F46 вводим формулу

=ЕСЛИ(D46>$D$44; « значим»; « не значим»)

Шаг 101. В Ячейку F47 вводим формулу

=ЕСЛИ(D47>$D$44; « значим»; « не значим»)

Таким образом, уравнение квадратичной регрессии имеет вид:

у =7.1871- 0.051х +0.0009 (24)

Согласно критерию Фишера - Снедекора, уравнение квадратичной регрессии(24) значимо. Все коэффициенты этого уравнения согласно критерия Стьюденса значимы.

На рис.6 представлены расчеты для экспонентальной апромиксации

Шаг 102. В Ячейку A49 вводим формулу =$B$13

Шаг 103. В Ячейку B49 вводим формулу =B12

Шаг 104. В Ячейку A50 вводим формулу =B12

Шаг 105. В Ячейку B50 вводим формулу =C12

Шаг 106. В Ячейку C49 вводим формулу =H15

Шаг 107. В Ячейку C50 вводим формулу =I15

Шаг 108. Выделяем ячейки A53:B54 и вводим формулу {=МОБР (A49:B50)}.

Шаг 109. Выделяем ячейки E52:E53 и вводим формулу {=МУМНОЖ(А53:B54;C49:C50)}.

Шаг 110. В Ячейку E54 вводим формулу =EXP(E52)

Шаг 111.В ячейку E53 вводим формулу =1-P12/O12

Шаг 112.В ячейку B58 вводим формулу = B27

Шаг 117.В ячейку B57 вводим формулу =E51*(B13-2)/(1-E51)

Шаг 118.В ячейку B58 вводим формулу =P12/(B13-2))

Шаг 119.В ячейку B59 вводим формулу = (P12/(($B$13-2)*K12))^(1/2).

Шаг 120.В ячейку B60 вводим формулу =((P12*C12)/(($B$13-2)*$B$13*K12))^(1/2)

Шаг 121.В ячейку C57 вводим формулу = ЕСЛИ(B57>B56;"Уравнение значимо";"Уравнение не значимо")

Шаг 122.В ячейку D58 вводим формулу =D29

Шаг 123.В ячейку D59 вводим формулу = ABS(E53)/B59

Шаг 124.В ячейку D60 вводим формулу =ABS(E54)/B60

Шаг 125.В ячейку F59 вводим формулу = ЕСЛИ(D59>$D$58;"значим";"не значим")

Шаг 126.В ячейку F60 вводим формулу = ЕСЛИ(D60>$D$58;"значим";"не значим")

Таким образом, уравнение экспоненциальной регрессии имеет вид:

(25)

Согласно критерию Фишера- Снедекора, уравнение экспоненциальной регрессии (25) значимо. Оба коэффициента этого уравнения, согласно критерию Стьюдента, значимы.

4. Построение линии тренда

Методика проведения данных работ подробно изложена в работе . Результаты представлены на рис. 7-9.

.

Рис.7.Исходные точки линия тренда для линейной аппроксимации.

Рис.8.Исходные точки линия тренда для квадратичной аппроксимации.

Рис.9.Исходные точки линия тренда для экспоненциальной аппроксимации.

5. Получение числовых характеристик с использованием функций линейн и лгрфприбл

Методика этих функции подробно изложена в работе .Результаты расчётов представлены на рис. 10-12.

Рис.10.Фрагмент рабочего листа MS Excel использования функции ЛИНЕЙН для линейной аппроксимации.

Здесь в интервале ячеек G21:H25 введена формула

=ЛИНЕЙН(A3:A11:B3:B11;;ИСТИНА)

В ячейках G21 и H21 расположены соответственно значения коэффициентов и .

В ячейках G22 и H22 расположены соответственно значения стандартных ошибок коэффициентов и .

В ячейке G23-значение коэффициента детерминированности.

В ячейке G24-значение F-критерия.

В ячейке G25 - значение Sфакт.

В ячейке H25 - значение Sост.

Рис.11.Фрагмент рабочего листа MS Excel использования функции ЛИНЕЙН для квадратичной аппроксимации.

В ячейках G34, H34 и I34 расположены соответственно значения коэффициентов a₃, a₂ и a₁.

В ячейках G35, H35 I35 расположены соответственно значения стандартных ошибок коэффициентов a₃, a₂ и a₁.

В ячейке G36 - значение коэффициента детерминированности.

В ячейке G37 - значение F-критерия.

В ячейке G38 - значение Sфакт.

В ячейке H38 - значение Sост.

Рис.12.Фрагмент рабочего листа MS Excel использования функции ЛГРФПРИБЛ для экспоненциальной аппроксимации.

Здесь в интервале ячеек G50:H54 введена формула

=ЛГРФПРИБЛ(A3:A11;B3:B11;;ИСТИНА).

В ячейке H50 расположено значение коэффициента a₁.

В ячейке H50 расположено значение коэффициента lna₂. Таким образом, значение коэффициента a₂=-0,05.

В ячейках G51, I46расположены соответственно значения стандартных ошибок коэффициентов a₂ и a₁.

В ячейке G52 - значение коэффициента детерминированности.

В ячейке G53 - значение F-критерия.

В ячейке G54- значение Sфакт.

В ячейке H54 - значение Sост.

Сравнивая результаты, полученные с помощью функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ, с результатами, полученными вручную ранее с использованием основных расчётных формул, можно видеть, что они полностью совпадают. Это указывает на то, что вычисления верны.

6. Вычисление прогнозного значения

Прогноз значения зависимость средней температуры прогрева частицы от её радиуса для наполнителя CaCO₃.с помощью функции наиболее хорошо аппроксимирующей табличные данные, т.е по формуле (23).Результаты вычислений прогнозного значения представлены на рис.13.

Рис.13.Фрагмент рабочего листа MS Excel вычисления прогнозного значения.

Здесь в ячейку H25 введена формула

=МАКС(B3:B11)

В ячейку H28 введена формула =МИН(B3:B11)

В ячейку H29 введена формула H27-H28

В ячейку H30 введена формула A14+0,1*H29

В ячейку H31 введена формула E24+E25*H30

7. Расчет аппроксимации по программе в среде turbo pascal 7.0

Блок-схема алгоритма

Рис.14.Укрепленная блок-схема алгоритма

Результаты расчета, полученные с помощью TURBO PASCAL

Исходные данные

0 7.20

3 7.05

5 6.95

10 6.70

15 6.65

17 6.61

20 6.55

22 6.50

25 6.45

N = 9 - число наблюдений

Табличные данные

5.12 2.4469

5.32 2.3646

a1L = 7.1143 a2L = -0.0288 -коэффициенты линейной аппроксимации

koef_cor=-0.973519 - коэффициент корреляции

R_det_L= 0.947739 - коэффициент детерминированности

Sa1L=0.039558 Sa2L=0.002555 - стандартные ошибки коэффициентов

Критерии для проверки нулевых гипотез:

FLine= 126.942 ta1L= 179.845 ta2L= 11.267

Уравнение линейной аппроксимации значимо

Коэффициент a1L значим

Коэффициент a2L значим

a1sqr = 7.1871 a2sqr = -0.0510 a3sqr = 0.0009 -коэффициенты квадратичной аппроксимации

R_det_sqr= 0.986672 - коэффициент детерминированности

Sa1sqr=0.027712 Sa2sqr=0.005491 Sa3sqr=0.000216 - стандартные ошибки коэффициентов

Критерии для проверки нулевых гипотез:

Fsqr= 222.095 ta1sqr= 259.348 ta2sqr= 9.292 ta3sqr= 4.187

Уравнение квадратичной аппроксимации значимо

Коэффициент a1sqr значим

Коэффициент a2sqr значим

Коэффициент a3sqr значим

a1exp = 7.1169 a2exp = -0.0042 -коэффициенты экспоненциальной аппроксимации

R_det_exp= 0.952931 - коэффициент детерминированности

Sa1exp=0.005510 Sa2exp=0.000356 - стандартные ошибки коэффициентов

Критерии для проверки нулевых гипотез:

Fexp= 141.719 ta1exp=1291.708 ta2exp= 11.905

Уравнение экспоненциальной аппроксимации значимо

Коэффициент a1exp значим

Коэффициент a2exp значим

В прогнозной точке Xpr=15.5000 прогнозное значение Ypr=6.6680

Program Kursovik;

Uses Crt, Graph;

Const

NMax=100;

Type

Vector=array[1..Nmax] of real;

ari=array[1..100] of longint;

Var

f,g : text;

filevvod: string;

x1,y1:ari;

x,y,lnY,SsrL,STsqr,Ssrsqr,Ftab,Stab,YL,Ysqr,Yexp,lnYexp:vector;

i,N,N1,gr:integer;

Sx,Sy,Sxy,Sx2,Sx3,Sx4,Sx2y,Sx2sr,Sy2sr,Sxysr,Slny,Sxlny,a1L,a2L,koef_cor, MD:real;

Sa1L,Sa2L,Xsr,Ysr,lnYsr,SostL,SregrL,SpolnL,R_det_L,FLine,Sline,ta1L,ta2L:real;

a1sqr,a2sqr,a3sqr,Sa1sqr,Sa2sqr,Sa3sqr,Sarsqr,Sostsqr,Sregrsqr,Spolnsqr,R_det_sqr,DSost,Fsqr,Ssqr,ta1sqr,ta2sqr,ta3sqr:real;

cexp,a1exp,a2exp,Sa1exp,Sa2exp,Sostexp,Sregrexp,Spolnexp,R_det_exp,Fexp,ta1exp,ta2exp:real;

Min,Max,Xpr,Ypr:real;

{Процедура ввода данных из файла}

Procedure Inp_vect(name:string; var a,b:vector; var N:integer);

var

k:integer;

f:text;

Begin

N:=0;

k:=1;

assign(f,name);{Инициализируем файловую переменную}

{$I-} {Проверяем существование файла}

reset(f);

{$I+}

if IOResult = 0 then {Если файл с заданным именем существует}

begin

reset(f);

while not SeekEOF(f) do

begin

while not SeekEOLN(f) do

begin

readln(f,a[k],b[k]);

N:=N+1;

k:=k+1;

end;

end;

close(f);

end

else

begin

writeln('файл с именем', name, 'не найден');

exit;

end;

end;

{Процедура решения системы двух линейныйх уравнений методом Крамера}

Procedure Lin_Kram(var a11:integer; var a12,a21,a22,b1,b2:real;var a1,a2:real);

var

D,D1,D2:real;

begin

D:=a11*a22-a21*a12;

D1:=b1*a22-b2*a12;

D2:=a11*b2-a21*b1;

a1:=D1/D;

a2:=D2/D;

end;

{Процедура решения системы трех уравнений методом Крамера}

Procedure Sqr_Kram(var a11:integer; var a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33,b1,b2,b3,a1,a2,a3,MD:real);

var

D,D1,D2,D3:real;

begin

D:=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13-a13*a22*a31-a21*a12*a33-a11*a23*a32;

D1:=b1*a22*a33+a12*a23*b3+b2*a32*a13-a13*a22*b3-b2*a12*a33-b1*a23*a32;

D2:=a11*b2*a33+b1*a23*a31+a21*b3*a13-a13*b2*a31-a21*b1*a33-a11*a23*b3;

D3:=a11*a22*b3+a12*b2*a31+a21*a32*b1-b1*a22*a31-a21*a12*b3-a11*b2*a32;

a1:=D1/D;

a2:=D2/D;

a3:=D3/D;

MD:=D;

end;

{Процедура вычисления коэффициента детерминированности}

Procedure koef_det(ns:integer; a,b:vector; c:real; var S1,S2,S3,R:real);

var

I:integer;

begin

for i:=1 to ns do

begin

S1:=S1+sqr(b[i]-a[i]);

S2:=S2+sqr(b[i]-c);

end;

S3:=S1+S2;

R:=1-S1/S3;

end;

{Процедура вычисления стандартных ошибок коэффициентов уравнения линейной регрессии и критериев для проверки нулевых гипотез}

Procedure ZnachLine(n:integer; DS,R2,a,asr,a1,a2:real; var S1,S2,f,t1,t2:real);

begin

S1:=sqrt(DS*a/(n*(n-2)*asr));

S2:=sqrt(DS/((n-2)*asr));

f:=R2*(n-2)/(1-R2);

t1:=abs(a1)/S1;

t2:=abs(a2)/S2;

end;

{Процедура печати результатов работы программы в файл}

Procedure Print(var gr:integer; sa1,sa2,sa3,sk,sR,sm1,sm2,sm3,sf,st1,st2,st3:string;

a1,a2,a3,k,r,m1,m2,m3,f,t1,t2,t3:real);

var

Fd,Sd:real;

st:string;

begin

case gr of

1: st:='линейной аппроксимации';

2: st:='квадратичной аппроксимации';

3: st:='экспоненциальной аппроксимации';

end;

write(g,sa1,' = ',a1:7:4,' ', sa2,' = ',a2:7:4);

if gr=2 then

write(g,' ',sa3,' = ',a3:7:4);

writeln(g,' -коэффициенты ', st);

if gr=1 then

writeln(g,sk,k:9:6,' - коэффициент корреляции');

writeln(g,sR,R:9:6,' - коэффициент детерминированности');

write(g,sm1,m1:8:6,' ',sm2,m2:8:6);

if gr=2 then

write(g,' ',sm3,m3:8:6);

writeln(g, ' - стандартные ошибки коэффициентов');

writeln(g, ' Критерии для проверки нулевых гипотез:');

write(g,sf,f:8:3,' ',st1,t1:8:3,' ',st2,t2:8:3);

if gr=2 then

write(g,' ',st3,t3:8:3);

writeln(g);

if gr=2 then

Fd:=Ftab[2]

else

Fd:=Ftab[1];

if gr=2 then

Sd:=Stab[2]

else

Sd:=Stab[1];

if f>Fd then

writeln(g,'Уравнение ',st,' значимо')

else

writeln(g,'Уравнение ',st,' не значимо');

if t1>Sd then

writeln(g,'Коэффициент ',sa1,' значим')

else

writeln(g,'Коэффициент ',sa1,' не значим');

if t2>Sd then

writeln(g,'Коэффициент ',sa2,' значим')

else

writeln(g,'Коэффициент ',sa2,' не значим');

if gr = 2 then

begin

if t3>Sd then

begin

writeln(g,'Коэффициент ',sa3,' значим');

end

else

begin

writeln(g,'Коэффициент ',sa3,' не значим');

end;

end;

end;

{Процедура построения исходных точек и линии тренда на экране}

Procedure Grafik(var gr:integer);

const

k=100;{количество точек просчета}

kxn=95;

kxk=590;

kyn=70;

kyk=385;{параметры окна}

var

dr,md,i:integer;{тип и режим адаптера}

x,y:vector;{массивы для значений функции и аргумента}

kx,ky:ari;{массивы для координат точек по x и y}

ymin,ymax:real;{экстремальные значения}

l:integer;

VOL:string;

mx,my:real;{масштабные коэффициенты}

h:real;{шаг по оси x}

{Фунцкия для вывода целых чисел}

Function IntStr(L,DiG:integer):string;

var

buf:string[10];

begin

Str(L:DiG,Buf);

IntStr:=Buf;

end;

{Тело процедуры}

begin

clrscr;

h:=30/(k-1);{Определяем шаг по оси x}

x[1]:=0;

ymin:=0;

ymax:=8;

for i:=1 to k do{табулируем функцию}

begin

case gr of

1: y[i]:=a1L+a2L*x[i];

2: y[i]:=a1sqr+a2sqr*x[i]+a3sqr*x[i]*x[i];

3: y[i]:=a1exp*exp(a2exp*x[i]);

end;

if i <> 100 then

x[i+1]:=x[i]+h;

end;

mx:=(kxk-kxn)/(x[k]-x[1]);{определяем масштаб по оси x}

my:=(kyk-kyn)/(ymax-ymin);{определяем масштаб по оси y}

for i:=1 to k do {определяем координаты точек}

begin

kx[i]:=round((x[i]-x[1])*mx)+kxn;

ky[i]:=round((ymax-y[i])*my)+kyn;

end;

Dr:=detect;

InitGraph(dr,md,'');{инициализируем графический режим}

SetBkColor(7);{цвет фона светло серый}

ClearDevice;{очищаем экран}

SetColor(1);{текущий цвет синий}

SetLineStyle(0,0,2);{тип линии сплошная толщиной 2 пикселя}

Line(kxn,kyk,kxk,kyk);{рисуем координатную линию по x}

Line(kxn,kyk,kxn,kyn);{рисуем координатную линию по y}

SetTextStyle(1,0,2);{выбираем шрифт}

for i:=0 to 2 do

begin

l:=8-i*1;

VOL:=IntStr(l,3);

OutTextXY(30,50+i*128,VOL); {выводим значения функции}

end;

for i:=0 to 5 do

begin

l:=0+i*6;

VOL:=IntStr(l,3);

OutTextXY(kyn+i*100,390,VOL);

end;

for i:=1 to n do{выводим исходные данные в виде}

begin

circle(x1[i],y1[i],2);{окружностей радиусом 2 пикселя}

end;

case gr of {выводим заголовок}

1 : OutTextXY(250,70,'y=a1L+a2L*x');

2 : OutTextXY(180,70,'y=a1sqr+a2sqr*x+a3sqr*x^2');

3 : OutTextXY(220,70,'y=a1exp*exp(a2exp*x)');

end;

SetColor(4);{текущий цвет красный}

for i:=1 to k-1 do{рисуем линию тренда}

begin

Line(kx[i],ky[i],kx[i+1],ky[i+1]);

end;

Readkey;{ждем нажатия на любую клавишу}

closegraph;{закрываем графический режим}

end;

{Процедура вычисления минимального и максимального значений в массиве}

Procedure MinMax(var a:vector; var n:integer; var min,max:real);

var

i:integer;

begin

Min:=a[1];

Max:=a[1];

for i:=2 to n do

begin

if a[i]<min then

min:=a[i];

if a[i]>max then

max:=a[i];

end;

end;

{Начало основного блока программы}

begin

writeln('Введите полное имя файла с исходными данными (input.txt)');

readln(filevvod);

inp_vect(filevvod,x,y,N);{ввод исходных данных}

writeln('Введите полное имя файла с табличными данными (tabl.txt)');

readln(filevvod);

inp_vect(filevvod, Ftab, Stab, n1);{Вводим табличные данные}

Sx:=0;

Sy:=0;

Sx2:=0;

Sxy:=0;

Sx3:=0;

Sx4:=0;

Sx2y:=0;

Slny:=0;

SxLny:=0;

Sxysr:=0;

Sx2sr:=0;

Sy2sr:=0;

for i:=1 to n do

begin

Sx:=Sx+x[i];

Sy:=Sy+y[i];

Sx2:=Sx2+sqr(x[i]);

Sxy:=Sxy+x[i]*y[i];

Sx3:=Sx3+sqr(x[i])*x[i];

Sx4:=Sx4+sqr(sqr(x[i]));

Sx2y:=Sx2y+sqr(x[i])*y[i];

lny[i]:=ln(y[i]);

Slny:=Slny+lny[i];

Sxlny:=Sxlny+x[i]*lny[i];

end;

{Вычисляем средние значения по x,y и lny}

Xsr:=Sx/n;

Ysr:=Sy/n;

lnYsr:=Slny/n;{и по логарифму от Y}

for i:=1 to n do

begin

Sxysr:=Sxysr+(x[i]-Xsr)*(y[i]-Ysr);

Sx2sr:=Sx2sr+sqr(x[i]-Xsr);

Sy2sr:=Sy2sr+sqr(y[i]-Ysr);

end;

{Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии для линейной аппроксимации}

Lin_Kram(n,Sx,Sx,Sx2,Sy,Sxy,a1L,a2L);

koef_cor:=Sxysr/(sqrt(Sx2sr)*sqrt(Sy2sr)); {вычисляем коэффициент корреляции}

for i:=1 to n do {вычисляем коэффициент детерминированности для линейной аппроксимации}

begin

Yl[i]:=a1L+a2L*x[i];

end;

koef_det(n,y,YL,Ysr,SostL,SregrL,SpolnL,R_det_L);{вычисляем стандартные ошибки коэффициентов уравнения линейной регрессии и

критерии для проверки нулевых гипотез}

ZnachLine(n,SostL,R_det_L,Sx2,Sx2sr,a1L,a2L,Sa1L,Sa2L,FLine,ta1L,ta2L);{вычисляем коэффициенты уравнения регрессии для квадрат

ичной аппроксимации}

Sqr_Kram(n,Sx,Sx2,Sx,Sx2,Sx3,Sx2,Sx3,Sx4,Sy,Sxy,Sx2y,a1sqr,a2sqr,a3sqr,MD); {вычисляем коэффициент детерминированности для ква

дратичной аппроксимации}

for i:=1 to n do

begin

Ysqr[i]:=a1sqr+a2sqr*x[i]+a3sqr*sqr(x[i]);

end;

koef_det(n,y, Ysqr,Ysr,Sostsqr,Sregrsqr,Spolnsqr, R_det_sqr);{вычисляем стандартные ошибки коэффициентов уравнения квадратично

й регрессии и критерии для проверки нулевых гипотез}

DSost:=Sostsqr/(n-3);

Sa1sqr:=sqrt(DSost*(Sx2*Sx4-Sx3*Sx3)/MD);

Sa2sqr:=sqrt(DSost*(n*Sx4-Sx2*Sx2)/MD);

Sa3sqr:=sqrt(DSost*(n*Sx2-Sx*Sx)/MD);

Fsqr:=R_det_sqr*(n-3)/(2*(1-R_det_sqr));

ta1sqr:=abs(a1sqr)/Sa1sqr;

ta2sqr:=abs(a2sqr)/Sa2sqr;

ta3sqr:=abs(a3sqr)/Sa3sqr;

{вычисляем коэффициенты уравнения регрессии для экспоненциальной аппроксимации}

Lin_Kram(n,Sx,Sx,Sx2,Slny,Sxlny,cexp,a2exp); {Крамер}

a1exp:=exp(cexp);

for i:=1 to n do {вычисляем коэффициент детерминированности для экспоненциальной аппроксимации}

begin

Yexp[i]:=a1exp*exp(a2exp*x[i]);

lnYexp[i]:=ln(Yexp[i]);

end;

koef_det(n,lny,lnYexp,lnYsr,Sostexp,Sregrexp,Spolnexp,R_det_exp);

{вычисляем стандартные ошибки коэффициентов уравнения экспоненциальной регрессии и критерии для проверки нулевых гипотез}

ZnachLine(n,Sostexp, R_det_exp,Sx2,Sx2sr,a1exp,a2exp,Sa1exp,Sa2exp,Fexp,ta1exp,ta2exp);

{Печатаем исходные и табличные данные в выходной файл out.txt}

assign(g,'out.txt');

rewrite(g);

writeln(g,'Исходные данные');

for i:=1 to n do

begin

writeln(g,x[i]:6:0,' ',y[i]:6:2);

end;

writeln(g,'N = ',N:2,' - число наблюдений');

writeln(g,'Табличные данные');

for i:=1 to n1 do

{Вывод результатов для линейной аппроксимации}

begin

writeln(g, Ftab[i]:6:2,' ', Stab[i]:6:4);

end;

gr:=1;

Print(gr,'a1L','a2L','','koef_cor=','R_det_L=','Sa1L=','Sa2L=','','FLine=',

'ta1L=','ta2L=','',a1L,a2L,0,koef_cor,R_det_L,Sa1L,Sa2L,0,Fline,ta1L,ta2L,0);

{Вывод результатов для квадратичной аппроксимации}

gr:=2;

Print(gr,'a1sqr','a2sqr','a3sqr','','R_det_sqr=','Sa1sqr=','Sa2sqr=',

'Sa3sqr=','Fsqr=','ta1sqr=','ta2sqr=','ta3sqr=',a1sqr,a2sqr,a3sqr,0,R_det_sqr,

Sa1sqr,Sa2sqr,Sa3sqr,Fsqr,ta1sqr,ta2sqr,ta3sqr);

{Вывод результатов для экспоненциальной аппроксимации}

gr:=3;

Print(gr,'a1exp','a2exp','','','R_det_exp=','Sa1exp=','Sa2exp=','','Fexp=',

'ta1exp=','ta2exp=','',a1exp,a2exp,0,0,R_det_exp,Sa1exp,Sa2exp,0,Fexp,ta1exp,ta2exp,0);

{Вычисление прогнозных значений}

MinMax(x,n,Min,Max);

Xpr:=Xsr+0.1*(Max-Min);

Ypr:=a1L+a2L*Xpr;

writeln(g,'В прогнозной точке Xpr=',Xpr:6:4,' прогнозное значение Ypr=',Ypr:6:4);

close(g);

{Вычисляем координаты точек исходного массива}

for i:=1 to n do

begin

x1[i]:=round(95+x[i]*495/30);

y1[i]:=round(385-y[i]*315/8);

end;

{Рисуем линию тренда для линейной аппроксимации}

gr:=1;

Grafik(gr);

{Рисуем линию тренда для квадратичной аппроксимации}

gr:=2;

Grafik(gr);

{Рисуем линию тренда для экспоненциальной аппроксимации}

gr:=3;

Grafik(gr);

end.

Вывод

Данная зависимость x от y наиболее лучшим образом аппроксимируется квадратичной функцией, т. к. линейный коэффициент детерминированности наиболее близок по абсолютной величине к 1 из всех вычисленных коэффициентов. На правильность вычислений указывают результаты функции ЛИНЕЙН.

Результаты расчета, полученные с помощью TURBO PASCAL, совпадают с результатами, полученными средствами EXCEL, что также указывает на правильность вычислений.

библиографический список

1. Методические указания по выполнению курсовой работы / Санкт Петербургский государственный горный институт (технический университет). Сост. Г.Н. Журов, В.В. Беляев, Г.П. Парамонов. СПб,2010.54 с.

2.Беляев В.В. Информатика. Аппроксимация методом наименьших квадратов. Методическое указание по выполнению курсовой работы студентов всех специальностей./ В.В. Беляев, Г.Н. Журов. Спб.:СПГГИ(ТУ),2005.

Размещено на Allbest.ru

...