Основы теории автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Логарифмические частотные характеристики

Логарифмические частотные характеристики (л. ч. х.) включают в себя построенные отдельно на одной плоскости логарифмическую амплитудную характеристику (л. а. х.) и логарифмическую фазовую характеристику (л. ф. х.). Для построения л. а. х. находится величина:

L(?) = 20lg |W(j?) | = 20lg |A(?).

Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один Бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 Бела - в 100 раз, 3 Бела - в 1000 раз и т.д.

Необходимость логарифмировать модуль частотной передаточной функции приводит к тому, что, строго говоря, л. а. х. может быть построена только для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собой безразмерную величину. Это возможно при одинаковых размерностях входной и выходной величин звена. В дальнейшем изложении будет подразумеваться именно этот случай.

Это же замечание относится и к угловой частоте ?, которая имеет размерность [с~1] и которую приходится логарифмировать в соответствии с изложенным. Для построения л. а. х. и л. ф. х используется стандартная сетка. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, а около отметок пишется само значение частоты ? в рад/с. Для этой цели может использоваться какая-либо шкала счетной логарифмической линейки. При ее отсутствуй разметка производится с учетом того, что на логарифмической шкале расстояние между двумя отметками. Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Для практических расчетов, как это будет ясно ниже, удобно совместить точку нуля децибел с точкой, где фаза равна -180°. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный - вниз.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая л, а. х. может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической л. а. х., представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дБ/дек.

Типовые динамические звенья. Разновидности, классификация

Классификация звеньев производится именно по виду дифференциального уравнения. Одним и тем же уравнением могут описываться весьма разнообразные устройства (механические, гидравлические, электрические и т. д.). Обозначим входную величину звена через х1, а выходную через х2. Возмущение, действующее на звено, в соответствии с изложенным выше обозначим f(T). Статическая характеристика любого звена может быть изображена прямой линией, так как пока будут рассматриваться линейные или, точнее, линеаризованные системы. В звеньях позиционного, или статического, типа линейной зависимостью х2 = kх1 связаны выходная и входная величины в установившемся режиме.

Коэффициент пропорциональности k между выходной и входной величинами представляет собой коэффициент передачи звена.

В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью

dх2 /dt = kх1

связаны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме. В этом случае для установившегося режима будет справедливым равенство:

х2 = k?х1dt.

Коэффициент пропорциональности k в этом случае также является коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность [с-1].

В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью

х2 = kdх1/dt

связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной. Коэффициент пропорциональности k является коэффициентом передачи звена.

Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи в этом случае соответствует размерность [с].

Инерционное звено первого порядка

Звено описывается дифференциальным уравнением:

.

Передаточная функция звена:

.

Примеры апериодических звеньев первого порядка изображены на рис. 4.10.

В качестве первого примера (рис. 4.10, а) рассматривается двигатель любого типа (электрический, гидравлический, пневматический и т. д.), механические характеристики которого (зависимость вращающего момента от скорости) могут быть представлены в виде параллельных прямых (рис. 4.11). Входной величиной х\ здесь является управляющее воздействие в двигателе, например подводимое напряжение в электрическом двигателе, расход жидкости в гидравлическом двигателе и т. п.

Постоянная времени характеризует "инерционность" или "инерционное запаздывание" апериодического звена. Выходное значение х^-Нх^ъ апериодическом звене устанавливается только спустя некоторое время (?п) после подачи входного воздействия.

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи k. Величина постоянной времени звена определяет распределение отметок частоты вдоль кривой. уравнение инерционное звено частотная

Из амплитудной характеристики видно, что колебания малых частот (? < 1/Т) "пропускаются" данным звеном с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к статическому коэффициенту передачи звена k. Колебания больших частот (? > 1/Т) проходят с сильным ослаблением амплитуды, т. е. "плохо пропускаются" или практически совсем "не пропускаются" звеном. Чем меньше постоянная времени T, т. е. чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика A(?) вдоль оси частот, или, как говорят, тем шире полоса пропускания частот у данного звена.

Логарифмические частотные характеристики строится по выражению:

.

Безынерционное звено

Это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением:

х2 = kх1.

Передаточная функция звена равна постоянной величине:

W(р) = W(j?) = k.

Примером такого звена являются механический редуктор (без учета явления скручивания и люфта), безынерционной (широкополосный) усилитель, делитель напряжения и т. п. Многие датчики сигналов, как, например, потенциометрические датчики, индукционные датчики, вращающиеся трансформаторы и т. п., также могут рассматриваться как безынерционные звенья.

Переходная функция такого звена представляет собой ступенчатую функцию, т. е. при:

х1{t) = 1(t), х2(t) = h(t) = k * 1(t).

А. ф. х. вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии Н от начала координат. Модуль частотной передаточной функции А(?) = k постоянен на всех частотах, а фазовые сдвиги равны нулю (\|/ = 0).

Безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до °°. Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассматриваемых ниже, например апериодическое или колебательное, если можно пренебречь влиянием динамических (переходных) процессов в этом звене.

Апериодическое звено второго порядка

Дифференциальное уравнение звена имеет вид:

.

При этом корни характеристического уравнения

должны быть вещественными, что будет выполняться при условии T1 ?2T2. В операторной записи равнение (4.25) приобретает вид

,

,

Передаточная функция звена:

Апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеним первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Tз и Т4.

Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис.

Колебательное и консервативное звенья второго порядка

Колебательное Звено описывается тем же дифференциальным уравнением, что и апериодическое звено второго порядка. Однако корни характеристического уравнения

должны быть комплексными, что будет выполняться при T1 <2T2. Левая часть дифференциального уравнения обычно представляется в виде:

,

q = 1/T - угловая частота свободных колебаний (при отсутствии затухания), - параметр затухания, лежащий в пределах 0 < ? <1. Передаточная функция колебательного звена:

Примеры колебательных звеньев приведены на рис.

Консервативное звено является частным случаем колебательного при ? = 0. Тогда передаточная функция будет иметь вид:

Консервативное звено представляет собой идеализированный случай, когда можно пренебречь влиянием рассеяния энергии в звене.

Размещено на Allbest.ru