Многокритериальный синтез позиционного управления с моделью 6-го порядка на основе метода формирования "притягивающих многообразий"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российский университет дружбы народов

Инженерный факультет

Кафедра Кибернетики и мехатроники

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

на тему: Многокритериальный синтез позиционного управления с моделью 6-го порядка на основе метода формирования “притягивающих многообразий”

550200-Управление в технических системах

Степень бакалавра техники и технологий

Москва 2013г.

Оглавление

Введение

1. Метод многокритериальной оптимизации

2. Пример стационарной линейной системы с применением многопрограммного управления

3. Формирование динамической системы

4. Постановка задачи

5. Математическая модель продольного движения ЛА

6. Синтез многопрограммного позиционного управления

7. Получение программно-оптимальных решений многокритериальной задачи управления

8. Получение многопрограммного позиционного управления

Выводы

Список литературы

Введение

В данной работе рассматривается методика многокритериального синтеза позиционного управления, как функции состояния системы, на основе метода многопрограммной стабилизации, развитого до многопрограммного позиционного управления. При этом заданное многопрограммное множество траекторий, порожденных многокритериально-оптимальными управлениями (как функциями времени) на множестве начальных условий, приобретает при многопрограммной стабилизации асимптотические свойства для траектории многокритериального позиционного управления и выполняет роль практического расширения класса «притягивающих» многообразий - аттракторов. Развиваются методы многопрограммной стабилизации. Рассматривается иллюстрированный пример.

В работе используются известные приемы формирования стабилизирующих асимптотических свойств для линейных и линеаризуемых систем с билинейными моделями и моделями в форме Лотки-Вольтерры, а также формируются новые синергетические приемы стабилизации для линейных и нелинейных систем, обеспечивающие многокритериальный синтез позиционного управления на множестве начальных условий на основе полученной структуры многопрограммного позиционного управления.

стационарный управление математический программный

1. Метод многокритериальной оптимизации

Метод многокритериальной оптимизации позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации со стабилизацией нулевого (порядка) решения динамической системы в отклонениях на конечном интервале времени.

В данной работе рассматривается методика многокритериального синтеза позиционного управления, как функции состояния системы, на основе метода многопрограммной стабилизации, развитого до многопрограммного позиционного управления. При этом заданное многопрограммное множество траекторий, порожденных многокритериально-оптимальными управлениями (как функциями времени) на множестве начальных условий, приобретает при многопрограммной стабилизации асимптотические свойства для траектории многокритериального позиционного управления и выполняет роль практического расширения класса «притягивающих» многообразий - аттракторов. Развиваются методы многопрограммной стабилизации. Рассматривается иллюстрированный пример.

В работе используются известные приемы формирования стабилизирующих асимптотических свойств для линейных и линеаризуемых систем с билинейными моделями и моделями в форме Лотки-Вольтерры, а также формируются новые синергетические приемы стабилизации для линейных и нелинейных систем, обеспечивающие многокритериальный синтез позиционного управления на множестве начальных условий на основе полученной структуры многопрограммного позиционного управления. Приводятся: иллюстративный пример многокритериального синтеза в классе линейных систем на основе многопрограммного управления по В.Н.Зубову и алгоритм решения задачи многокритериального синтеза в классе нестационарных линейных систем на основе синергетического метода получения многопрограммного позиционного управления.

В настоящее время методы теории управления в области многокритериальной оптимизации программного управления и, тем более, параметризованного управления, а также параметрических задач принятия решений, достаточно хорошо изучены и реализованы.

Можно выделить три типовых подхода в которых сгруппирован ряд известных методов. Это, так называемые, прямые интерактивные методы, например, на основе конусов доминирования и генетического программирования; методы скаляризации, такие как, свертка показателей, пороговая и лексикографическая оптимизация; методы на основе компромиссов, например, на основе «идеальной» точки, точки Шепли и арбитражной схемы Нэша. Методы реализуются на основе известных технологий оптимального управления таких, как принцип максимума, динамическое программирование, численные методы нелинейного программирования, в частности, в форме генетических алгоритмов при приближенной аппроксимации управления вектором распределенных по времени параметров, см., например .

В последнее десятилетие развивается ряд направлений приближенного многокритериального синтеза позиционных управлений. Среди них, метод синтеза программно-корректируемого управления (ПКУ), метод синтеза на основе комбинации генетического алгоритма и «сетевого оператора» а также генетического алгоритма и структур порождаемых теорией автоматов, например для задач со скаляризованными векторными показателями.

Как известно, например первый метод заключается в последовательном пересчете оптимального программного управления на программных тактах времени [tj-1, tk], j = 1, 2, 3…, где tj-1 и tk - соответственно начальное для j-того программного такта и общее для тактов конечное значение времени, с применением полученного оптимального программного управления на отрезке [tj-1, tj], потактовом измерении значения вектора состояния x(tj), следующем пересчете оптимальной программы на [tj, tk], применением ее на отрезке [tj, t j+1] и так далее. Сходимость к предельному точному синтезу позиционного управления очевидна с уменьшением длин отрезков [tj-1, tj] и с соответствующим учащением потактовых измерений состояния.

Комбинированный метод многокритериального синтеза позиционного управления формирует аналитический вид управления, как набор параметров и известных функций состояния из состава «сетевого оператора» конечной сети этих функций и операций над ними. Данный метод теоретически обоснован, применим в широком классе нелинейных систем и успешно апробирован в ряде прикладных задач, но обладает некоторыми недостатками. Сходимость метода на конечном числе функций состояния заданных в сетевом операторе проблемна, хотя проблема частично компенсируется за счет сходимости по параметрической компоненте управления. Кроме того, аналитическая структура управления является «негрубой» и чувствительна к незначительным изменениям начальных условий по времени и состоянию.

В работе предлагается метод многокритериального синтеза позиционного управления на основе достижений в области многопрограммной позиционной стабилизации в классе линейных и нелинейных систем с обобщением методов получения стабилизирующих позиционных управлений. Метод не содержит проблемы сходимости, формирует универсальное аналитическое решение u(x, t), единообразное по структуре на множестве начальных условий.

Метод базируется на способах практического расширения класса «притягивающих» многообразий - аттракторов в форме асимптотически устойчивого множества траекторий xk(t), порожденных многокритериально оптимальными программными управлениями uk(t) , к которым «тяготеет» траектория системы под воздействием синтезированного управления u(x, t) при любых начальных условиях из заданного множества, причем по свойствам многопрограммного управления : u(xk, t) = uk(t).

В соответствии с задачами многопрограммного управления пусть объект описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений

(1)

где x = (x, …, xn)T - n - мерный вектор состояния системы, u = (u1, …, ur)T - r - мерный вектор управления, вектор-функция f(t, x, u) є C(R1xRnxRr) за исключением, в некоторых случаях, конечного множества точек меры ноль.

Пусть для системы (1) заранее решены некоторые специальные задачи программного управления, то есть построены N программных движений x1(t),… , xN(t) на множестве начальных условий, которые обеспечиваются программными управлениями u1(t), …, uN(t).

Управления принадлежат к классу ограниченных функций при t?t0. Число программных управлений не связано с размерностью системы (1), а с размерностью вектора управлений.

В специальных задачах программного управления на основе многокритериальной оптимизации формируется вектор показателей - критериев

(2)

Применяя один из вышеперечисленных подходов многокритериальной программной оптимизации, можно получить множество из N-решений на множестве начальных условий.

Для этого могут быть применены прямые методы, методы скаляризации, методы на основе компромиссов.

Пусть, без ограничения выбора подходов, это будет один из методов получения компромиссов на основе «идеальной» точки, который позволяет выбрать на Парето-области точку самую близкую к «идеальной» точке и потому обходит неопределенность выбора на Парето-области.

Рис. 1 Парето-область с точкой компромисса с учетом вариации постановки при l=2

На рис. 1 т.1 (1') - идеальные точки, а точка 2 (2') - искомое решение (точки компромисса) по вектору показателей на области Парето, которому при заданных начальных условиях xk(t0), соответствует оптимальное программное управление uk,opt при решении задачи на основе функции Салуквадзе.

min [(J1-J1*)2 + (J2-J2*)2] > u = uk,opt (3)

Окончательно получаем множество заданных uk,opt(t), и соответствующих траекторий xk(t), .

3. В настоящее время в теории многопрограммного позиционного управления (МПУ) в работах В.Н. Зубова и Н.В. Смирнова [] [] [] решена задача многопрограммной стабилизации для линейных стационарных и нестационарных систем, а также для некоторых нелинейных систем:

а) билинейной системы

(4)

где A(t) и Bi(t) матрицы [nxn], [nx1]

б) системы типа Лотки-Вольтерры

(5)

где P = diag(P1, … Pk), Q(x) = diag (q1x, … , qnx), q1, … , qn - строки матрицы Q0 = {qij, i=1,n, j=1,n}

Универсальная форма многопрограммного управления в виде интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра имеет вид

при этом u(xk, t) = uk(t)

Стабилизирующие свойства (6) обеспечиваются введением дополнительной обратной связи u0=Ck(t)(x(t) - xk(t)) по каждой заданной траектории xk(t), что обеспечивает асимптотические свойства каждой заданной траектории, причем асимптотическая устойчивость реализуется на бесконечном интервале 0 ? t < ?.

В работе показано, что в классе линейных стационарных систем u0=C(t)(x(t) - xk(t)) для всех xk(t) . В нелинейных системах (4) (5) структура (6) применяется для линеаризованных вариантов их описания. В работах Н.В. Смирнова и И.В. Соловьевой результат (6) обобщен в форме многопрограммного позиционного управления (МПУ) на конечном интервале [t0, tk]

(7)

(8)

- оператор системы в отклонениях относительно одной из заданных траекторий xk(t);

- v(yk(t)) - стабилизирующая компонента МПУ, обеспечивающая устойчивость нулевого решения (8) (управление стабилизирующее траекторию МПУ x(t) относительно xk(t) или, другими словами, обеспечивающее асимптотические свойства заданной траектории xk(t));

, um(xk,t) = uk(t) (9)

- многопрограммное управление без свойств стабилизации

Очевидно, что получение v(yk(t)) для каждого k=1,N формирует векторную асимптотику xk(t), k=1,N на [t0, tk], как «притягивающего» многообразия для траектории x(t) соответствующей МПУ (7).

В работе для получения стабилизирующей части (7) используется метод позиционной оптимизации Габасова Р.Ф., разработанный для линейных нестационарных управляемых систем, поэтому процедура использования метода для решения задачи стабилизации нулевого решения (8) на t0 ? t ? tk требует линейной аппроксимации нелинейной правой части (8).

В данный работе (часть 2) рассматривается обобщение процедуры получения стабилизирующей компоненты v(yk(t)) МПУ нелинейной системы (1) на отрезке t0 ? t ? tk для любого k=1,N без линеаризации правых частей (1) (8) на основе синергетического подхода формирования «притягивающих» многообразий в форме метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР).В методе АКАР вводится и используются устойчивые макропеременные.

,

(10)

Для получения v(yk(t)) обеспечивающих устойчивость нулевого решения (8) на основе экспоненциальной сходимости шi(t) к нулю. Данный подход дополняет методику получения стабилизирующего управления v в (7).

Краткий анализ применения синергетического метода АКАР для линейной нестационарной системы дан в Приложении приложении. Полное использование по применению подходов в классе нелинейных систем будет дано во второй части работы с практическими полезными примерами расчета.

Таким образом, рассмотрено три подхода получения многокритериального синтеза позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации с последовательным обобщением метода, обеспечения асимптотических свойств множества траекторий xk(t) , программно-оптимальных по вектору показателей. Это подход Зубова-Смирнова на основе многопрограммного управления (6), подход Смирнова-Соловьевой на основе многопрограммного позиционного управления (7) и подход на основе синергетических алгоритмов АКАР по Колесникову.

4. Для иллюстрации метода многокритериального синтеза позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации рассматривается простейший пример стационарной линейной системы с применением многопрограммного управления (6).

2. Пример стационарной линейной системы с применением многопрограммного управления

Пусть движение объекта во времени t описывается системой уравнений

(11)

|u| ? 1, t0 = 0, tk = T, T - нефиксированно.

Матричная форма записи (11) имеет вид

(12)

Требуется перевести объект из начального положения

x'(0) = 1, x'' (0) = 0 (13)

в конечное состояние (на ось ординат x'')

x'(T) = 0 (14)

Вектор критериев имеет вид J = (J1, J2)

J1 (x, u) = 0?T dt = T > min u (15)

J2 (x, u) = x'' (T) > max u (16)

Физически (15) (16) трактуются как простейшая задача обеспечения максимальной скорости за минимальное время (задача «разгона» объекта).

При получении «идеальной» точки на первом этапе данного метода «компромиссов» раздельным решением задач (15) (16) (рис. 1), решение задачи (16) дает вырожденный результат max u J = ?, поэтому вносится фазовое ограничение

| x'(t)| ? 3 (17)

как условие получения результата на участке «разгона» ограниченной длины.

Для решения задач (15) (16) используется принцип максимума Понтрягина.

В результате решения, получены значения показателей в «идеальной» точке (рис. 1, подобная т. 1').

J1* = min u [J1(x,u)]=1,414 J2* = min u [-J2(x,u)] = max u J2(x, u) = 2,449

На втором этапе метода многокритериальной оптимизации с использованием компромисса на основе «идеальной» точки, оптимальной функции Салуквадзе (3) определяется точка Парето-области многокритериальных решений, которая находится на минимальном расстоянии от «идеальной» точки (рис. 1, т. 2').

Задача по критерию (3) с использованием (18) также решается на основе принципа максимума Понтрягина.

В результате получаем:

J10 = 2,678, J20 = 0,54, tn = 1,069 (19)

где tn - точка переключения управления

В соответствии с постановкой задачи многопрограммного управления без ограничения ее общности будем считать, что N = 2. Поэтому повторяем решение задачи с измененными начальными условиями (13).

x'(0) = 1,5 x'' (0) = 0 (20)

В результате получаем

J10 = 2,858, J20 = 0,358, tn = 1,25 (21)

Введем преобразование обозначений полученных оптимальных управлений и траекторий

uk0 > xk = (x'k, x''k) = (xk1, xk2) k=1,N, N = 2 (22)

при чем

k=1, x11(0) = 1, x12(0) = 0; k=2, x21(0) = 1,5, x22(0) = 0 (23)

Управления u01 и u02 имеют вид:

(24)

Аналитический вид траекторий х1 и х2

(25)

(26)

Для получения u(x, t) в форме (6) вводится дополнительная обратная связь

uдоп = C(x - xk) = C(Дx) (27)

которая обеспечивает устойчивость (асимптотику) для всех k=1,N (Дx(t)>0).

В соответствии с (11) (12) имеем

(28)

Где

(29)

Для устойчивости системы (28) необходимо найти коэффициенты бi уравнения



Откуда следует условие для выбора б1 и б2

б2 < 0 , б1 < 0, бi = -qi, qi > 0, i=1,2 (30)

Первый участок u(x,t) на 0 ? t ? 1,069 имеет вид выражения

(31)

Второй участок u(x,t) на 1,069 ? t ? 1,25 принимает вид

(32)

Третий участок u(x,t) на 1,25 ? t имеет вид

 (33)

Выражения x11±, x12±; x21±, x22± в аналитической форме даны формулами (25) (26). Данные выражения могут быть получены и использованы в численном виде. Выражение для u(x,t) является нелинейными функциями от х' и x". Величины параметров q1 > 0 и q2 > 0 уточняются в процессе моделирования. Универсальная структура u(x, t) не изменяется и не критична к области начальных условий, например:

1 ? x'(0) ? 1,5; x”(0) = 0 (34)

при терминальном условии x'(T) = 0 в ограничении |x'(T)| ? 3

В результате, решена задача многокритериального синтеза на основе многопрограммного притягивающего вектора (x1(t), x2(t)) оптимальных траекторий, полученных на основе идеальной точки на множестве начальных условий.



Рис. 2 Структура системы управления с обратной связью

На рис. 2 дана структура системы управления полученной на основе синтезированного многокритериального позиционного управления.

Моделирование в программной среде MATLAB выполнено по схеме на рис. 3.

Рис. 3 Схема моделирования системы

Временная реализация u(x, t) при x'(0) = 1,25 дана на рис. 4.



Рис. 4 Временная реализация u(x, t) при q1=q2 от 1 до 10

Как следует из рис. 4 многокритериальное позиционное управление достаточно хорошо «ориентировано» на усредняющие свойства оптимальных программных управлений. Кроме того, асимптотические свойства обладают полезной грубостью.

Рис. 5 Фазовые траектории x”(x'), q1=5, q2=5

На рис. 5 показано, что траектория соответствующая полученному позиционному управлению обеспечивает высокий уровень свойств многокритериальной оптимальности на множестве начальных условий.

Для иллюстрации применения синергетического метода АКАР при получении многопрограммного позиционного управления (7), которое является основой многокритериального синтеза позиционного управления на отрезке [t0, tk], рассмотрим линейную нестационарную систему

(35)

При этом без ограничения общности результатов будем считать, что число заданных многокритериально оптимальных программных управлений и соответствующих траекторий N=2.

Тогда в соответствии с (7)

(36)

Пусть определяется v(yk) для k=1. В соответствии с выражениями (7)

x(t) = y1(t)+x1(t) (37)

Следовательно, (36) можно представить в виде

(38)

Система в отклонениях (8) принимает вид

(39)

где

(40)

Тогда система в отклонениях преобразуется к виду

(41)

Далее без ограничения общности вывода принимается n=2 r=2. Тогда

y1T = (y11, y12); vT=(v1,v2); uT1=(u11,u12), u2T=(u21,u22)

y12=(y112+y122); B(t)=diag {в11,в22} (42)

Пусть

A(t)={aij}; C(t)={cij}; A'={бij}={aij+cij} ij=1,2 (43)

C=2B(t)u1(x1-x2)l1; E'={(k1+k3)y12; (k2+k4)y12}T ,

k1= в11u11l1; k2= в22u12l1; k3= в11u21l1; k4= в22u12l1 (44)

Система (41) в форме Коши с учетом (43) и (44) принимает вид

(45)

По методу АКАР вводятся макро переменные

 (46)

с условием асимптотической устойчивости по каждой из них соответственно на основе экспоненциальной сходимости

(47)

где , см [19] (48)

Тогда при t > tk , ш1(t) > 0, ш2(t) > 0

ш1(tk) = 0, ш2(tk) = 0 - «притягивающие» многообразия. Пересечение многообразий дает систему

(49)

Решение системы имеет место в точке

(50)

Таким образом, к моменту времени tk «обеспечивается» асимптотически устойчивое «обнуление» отклонения y1(t). Далее нужно найти vT(y1) = (v1(y1), v2(y2)), которое переводит систему (45) из точки y(t0)?0 на «притягивающие» многообразия ш1 = 0, ш2=0, т.е. найти стабилизирующее управление v1(y1) для получения асимптотических свойств x1(t).

В соответствии с методикой АКАР [19] для этого подставляем выражения макропеременных (46) в уравнения (47)

 (51)

(52)

Подставляя в (51) (52) соответственно уравнения системы (45) окончательно получаем

(53)

(54)

Решая систему (53) относительно v1 и v 2 получаем

(55)

Таким образом, методом АКАР получено уравнение

vT(y1) = (v1(y1), v2(y2))

стабилизирующее траекторию x(t) многопрограммного позиционного управления u(x,t) (7), относительно многокритериальной программно-оптимальной траектории x1(t) с заменой в (54) (55) y1(t) = x(t) - x1(t).

Вектор vT(y2) = (v1(y2), v2(y2)) будет иметь вид подобный системе (55) с заменой u1(t), x1(t) в ее структурах, как функциях от (u1(t), x1(t), x(t)) на подобные функции от (u2(t), x2(t), x(t)).

В заключение анализ при N=2, n=2, r=2 без ограничения общности результата иллюстрирует возможность многокритериального синтеза позиционного управления в форме (7) на основе синергетического метода получения «притягивающих» многообразий с обобщением методики

3. Формирование динамической системы

Формирование динамической системы в отношениях для нелинейных динамических объектов описания (Летательного Аппарата) 6го порядка .Получение U(x) оптимально-позиционного управления. Решение прикладной задачи. Получение синтеза системы управления летательного аппарата.

4. Постановка задачи

Для малоразмерного беспилотного летательного аппарата (ЛА) получить на базе многопрограммной стабилизации многопрограммное позиционное управление (МПУ) для осуществления короткопериодического движения объекта за определенный интервал времени на заданную высоту и достижения значения скорости .

Параметры летательного аппарата

Масса:

Момент инерции относительно поперечной оси z:

Площадь характерного сечения самолёта:

Изменение силы тяги самолета:

Изменение суммарного момента сил:

Аэродинамический коэффициент :

где

Аэродинамический коэффициент :

Где



Прочие значения параметров

Заданное значение высоты:

Заданное значение скорости:

Ускорение свободного падения:

Плотность воздуха:

Интервал времени:

,

где

Начальные условия

Таблица 1

Вариант
1	5	0,14	0,17	0	1,1	0
2	4	0,14	0,17	0	2,1	0
3	4,5	0,14	0,17	0	1,6	0

Для варианта 1,2 начальных условий таблицы 1требуется получить два программно-оптимальных решения поставленной задачи. Для варианта 3 начальных условий, требуется получить МПУ.

5. Математическая модель продольного движения ЛА

Будем рассматривать упрощенную нелинейную математической модель продольного движения аэродинамического ЛА с учетом динамики поступательного движения центра масс ЛА в плоскости угла наклона траектории и(t) и, совмещенной с данной плоскостью, динамики вращательного движения по углу тангажа ?(t), а также кинематических уравнений относительно координат высоты h(t) и горизонтальной дальности d(t) (рис. 1)

Рисунок 1 Координаты продольного движения ЛА

Система уравнений, описывающий данный тип движения имеет следующий вид:

 (1)

где x,y - системы координат, связанные с центром масс (переобозначения x=d y=h связаны со спецификой обозначений в многопрограмной задаче управления); P - сила тяги; L - подъемная сила; D - сила лобового сопротивления; m - масса летательного аппарата; g - ускорение свободного падения; б = ? - и - угол атаки; V - величина скорости; и - угол наклона траектории; Iz - момент инерции; Mz - суммарный момент сил; щz - угловая скорость. Cx Cy - аэродинамические коэффициенты; M - число Маха; с - плотность воздуха; S - площадь крыла ЛА.

6. Синтез многопрограммного позиционного управления

Рассматривается короткопериодическое движение ЛА, где задействована динамика поступательного движения центра масс ЛА и вращательного движения вокруг центра масс ЛА. Вектор управления определяется соответственно управляющей силой P - тягой двигателя и вращающим моментом Mz - суммарным моментом сил.

В данной работе рассматривается обобщение задачи поставленной в [1, п.5.5.2], где исследуется задача обеспечения взлета с минимизацией «невязок» выхода на заданные величины скорости и высоты. В данной работе в общем случае предполагается предварительное решение N задач оптимизации на множестве из N начальных условий на данном или расширенном векторе показателей, которые обеспечивают N полученных результатов по управлениям и траекториям движения вида

(2)

где функции D и L равны Dk*(t), Lk*(t) соответственно.

В соответствии с это, например, будет N решений программно-оптимальных (uk = uk(t)) многокритериальных задач управления системой (1), при различных начальных условиях xk(t0), k=1, 6.

В соответствии с теорией многопрограммного позиционного управления (ТМПУ) универсальная структура МПУ имеет вид

(3)

где

(4)

- оператор системы в отклонениях относительно одной из многопрограммных траекторий xk(t):

v(yk(t)) - стабилизирующая компонента МПУ, обеспечивающая устойчивость нулевого решения (4) (управление стабилизирующее траекторию МПУ x(t) относительно xk(t) или, другими словами, обеспечивающее асимптотические свойства заданной траектории xk(t));

 (5)

- многопрограммное управление без свойств стабилизации [2] [3].

Очевидно, что получение v(yk(t)) для каждого формирует векторную асимптотику xk(t), , как «притягивающего» многообразия для траектории x(t) соответствующей МПУ (3).

В работах В.И. Зубова, Н.В. Смирнова решена задача многопрограммной стабилизации для линейных стационарных и нестационарных систем, а также некоторых видов нелинейных систем в случае полной и неполной обратной связи на .

Универсальная форма многопрограммного управления в виде интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра имеет вид

(6)

Стабилизирующее свойства в (6) обеспечиваются введением дополнительной обратной связи с , которая формирует асимптотическую устойчивость всех xk(t), причем асимптотическая устойчивость реализуется на интервале .

В работах Н.В. Смирнова и И.В. Соловьевой данной результат обобщен в форме (3) на конечном интервале в форме МПУ (3) на основе метода позиционной оптимизации Р.Ф. Габасова , разработанного для линейных нестационарных управляемых систем. В работе описана процедура использования метода для решения задачи стабилизации нулевого решения нелинейной системы в отклонениях (4) на с кусочно-линейной аппроксимацией нелинейных правых частей системы (4). Задача получения стабилизирующей компоненты (3) для одной из заданных траекторий xk(t) и всего МПУ вида

(7)

решена с линеаризацией (4) для линейных , билинейных управляемых систем, а также управляемых систем типа Лотки-Вольтерры

,

- строки матрицы }

В данной работе будем рассматривать процедуру получения стабилизирующей компоненты v(yk(t)) МПУ нелинейной системы (1) на отрезке без линеаризации правых частей (1) и (4) на основе синергетического подхода формирования «притягивающих» многообразий в форме метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР). Пусть без ограничения общности результата N=2. Также отметим, что достаточно получить v(y1(t)), так как функция v(y2(t)), как будет показано ниже, имеет вид подобий v(y1(t)).

 (8)

(9)

Из соотношения (8) следует, что

(10)

Тогда МПУ в соответствии с (3) (5) со стабилизацией относительно x1(t) после замены переменной x(t) принимает вид

так как u, u1, u2 в соответствии с (2) (10) являются двумерными векторами, то vT(y1(t)) = (v1(y1(t)), v2(y1(t))).

(12)

Для обеспечения устойчивости нулевого решения системы (12) в соответствии с синергетической методикой системного синтеза и применением метода АКАР вводятся макропеременные

(13)

и уравнения

(14)

где величины Ti выбираются из условия .

После подстановки (13) в (14) получаем

(15)

Уравнения (15) с учетом (12.1) (12.3) (12.4) в соответствии с (3) (4) формирует управления v1(y1(t)) и v2(y1(t)), приводящие при y11(t) , y13(t) и, следовательно, y14(t) (как будет показано ниже) на «притягивающие» многообразия

(16)

Действительно, подставляя (12.1) в первое уравнение (15) имеем

 (17)

Второе уравнение (15) приводится к виду

(18)

Но из уравнения (12.3) следует замена

(19)

Как следствие, из второго уравнения (15) получили уравнение (19) сходимости к нулю переменной y14.

Подставляя (12.4) в уравнение (19) получаем стабилизирующее управление v2(y1(t)), которое при , приводит к притягивающему многообразию

(20)

С учетом уравнения (12.3) и (15)

(21)

управление v2(y1(t)) также обеспечивает при в соответствии с (21)

(22)

Стабилизирующее управление

(23)

После определения

v1(y1(t)) и v2(y1(t)) обеспечивающих при

(24)

динамическая декомпозиция системы (12) оставляет три уравнения (12.2), (12.5) и (12.6) с учетом (24). Уравнения (12.5) и (12.6) с учетом декомпозиции (y11=0) приобретают вид

(25)

(26)

Вводим макропеременные

(27)

(28)

и уравнения

(29)

обеспечивающее стабилизирующий переход к «притягивающим» многообразиям

ш3 = 0 ш4 = 0 (30)

Подставляя (27) и (28) в (29) получаем систему

(31)

В результате получаем, что функции

ш3 = ш4 =

автоматически стремятся к нулю при при условии .

Таким образом, конечная декомпозиция принимает вид

(32)

Отсюда следует, что переменные в «звеньях» (32) с постоянной времени стремятся к нулю при , если . Но при из (32) следует, что .

Тогда из уравнений (25) (26) имеем

при

при (33)

Из (33) после преобразования разностей в произведения следует, что , откуда , или

Из механики полета известно, что угол и(t) может изменяться лишь в пределах , поэтому . Поэтому n = 0 и .

Данный результат является также следствием того, что при , , отклонение . Это следует из уравнения (1.5) (1.6). Исследуем уравнение (12.2) как результат динамической декомпозиции. После подстановки в (12.2) управления v1(y1(t)) и учета , , (как следствие ), , , (как следствие того, что , , уравнение (12.2) принимает вид

(34)

Но так как разность скоростей при то D=D(V) и L=L(V) стремятся к , , поэтому в (34) при . Это подтверждает стабилизирующее свойства управления vT(y1(t)) =( v1(y1(t)) , v2(y1(t))) то есть, как если бы по отклонению y12 была бы введена макропеременная ш5 = y12 для которой, как следствие, выполняются условия

 , (35)

в которых при .

Таким образом, показано, что управление vT(y1(t)) =( v1(y1(t)) , v2(y1(t))), в форме (17) (23) соответственно обеспечивает устойчивость нулевого решения системы в отклонениях (4) и поэтому является стабилизирующим относительно x1(t). Поэтому управление u(x,t) (7), (11) c учетом (10) (y1=x-x1) формирует траекторию x(t) при любых начальных условиях x(t0) в окрестности заданной точки x1(t0) для которой x1(t) обладает асимптотическими свойствами.

По аналогии может быть получено стабилизирующее управление vT(y2(t)) =( v1(y2(t)) , v2(y2(t))) для N=2

y2=x-x2 (36)

в соответствии с заданной из (8) (9) парой и x2(t)

(37)

Тогда в соответствии с (33) (11) система (12) с учетом (37) в квадратных скобках принимает подобный вид с заменой в соответствии с (8) k=1 на k=2.

Выражения для стабилизирующих управлений v1(y2(t)) , v2(y2(t)) принимают вид

 (38)

(39)

Многопрограммное позиционное управление (МПУ) u(x,t) (5) (7) в окончательной векторной форме принимает вид выражения

(40)

(41)

Вектора v1(y2(t)) и v2(y2(t)) описываются выражениями (17) (23) и (38) (39) соответственно. Начальные условия x(t0) любые в окрестностях векторных точек x1(t0) и x2(t0). Например, x(t0) принадлежит диапазону между точками x1(t0) и x2(t0).

Траектории x1(t) и x2(t) составляют притягивающие многообразия для траектории x(t) порожденной МПУ u(x,t).

7. Получение программно-оптимальных решений многокритериальной задачи управления

Для варианта 1,2 начальных условий таблицы 1, получим два программно-оптимальных решения поставленной задачи.

В соответствии с постановкой задачи, требуется осуществить перелет за определенный интервал времени на заданную высоту и достижения значения скорости .

Критерии оптимизации зададим следующим образом:

где ограничения на значения переменных:

8. Получение многопрограммного позиционного управления

Для варианта 3 начальных условий таблицы 1получим МПУ.

На базе теоретической части и полученных программно-оптимальных решений (ПОР) была составлена программа в Matlab, результаты моделирования которой приведены ниже на рисунках 2-10.



Рисунок 2 График изменения скорости от времени

Рисунок 3 График изменения угла наклона траектории от времени



Рисунок 4 График изменения угла тангажа от времени

Рисунок 5 График изменения угловой скорости от времени



Рисунок 6 График изменения высоты от времени

Рисунок 7 График изменения дальности полета от времени



Рисунок 8 График изменения силы тяги от времени

Рисунок 9 График изменения суммарного момента сил от времени



Рисунок 10 Траектория полета ЛА

Выводы

В рамках задачи многокритериального синтеза позиционного управления было рассмотрено применение синергетического метода АКАР для получения стабилизирующих компонент, используемого в процедуре синтеза многопрограммного позиционного управления нелинейной динамической системой на примере практически полезной модели движения летательного аппарата.

Как видно из полученного результата, многокритериальное позиционное управление достаточно хорошо ориентировано на усредняющие свойства оптимальных программных управлений, а полученное множество многокритериально-оптимальных траекторий обладают свойствами «притягивающего» многообразия - аттрактора.

Список литературы

1. Колесников А.А., Веселов Г.Е., Попов А.Н. и др. Синергетические методы управления сложными системами: Механические и электромеханические системы | Под. редакцией А.А. Колесникова. М.:Ком. Книга, 2008 - 304 с.

2. Воронов Е.М. Многокритериальный синтез позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации. Часть 1.|| Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение -2012.-N2-c.

3. Соловьева И.В. Синтез многопрограммных систем управления на основе метода позиционной оптимизации. - Автореферат дисс. на соиск. уч. cт. канд. физ.-мат. наук, С-Петербург, Гос. университет, 2010, 15 с

4. Зубов В.И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений. || Докл. АН СССР, 1991, Т.318.N2, С. 274-277

5. Смирнов Н.В. Задачи многопрограммной стабилизации в различных классах динамических систем. || Труды Средневолжского мат. общ., 2005, Т.7.N1, C. 192-201

6. Смирнов Н.В. Многопрограммная стабилизация линейных и билинейных систем в случае неполной обратной связи. || Известия РАН. Теория и системы управления, 2001, N3, C. 40-44

7. Смирнов Н.В. Соловьева И.В. Применение метода позиционной оптимизации для многопрограммной стабилизации билинейных систем. || Вестник С.-Петербург. ун-та. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления, 2009, Вып. 3, С. 253-261

8. Балашевич Н.В., Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем управления || Журн.вычисл. математика и мат. физика. 2000. Т.40, N6.-С838-859

9. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза-М.:КомКнига, 2006 - 240с.

Размещено на Allbest.ru

...