Применение системы MathCAD для исследования электрической цепи с переменным сопротивлением, заданным графически

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого

Факультет энергетический

Кафедра «Информационные технологии»

Курсовая работа

по дисциплине «Информатика»

Применение системы MathCAD для исследования электрической цепи с переменным сопротивлением, заданным графически

Исполнитель:

студент гр. ЭС-21

Лапко И.М.

Руководитель:

Рубин О.Л.

Гомель 2013

Содержание

математический моделирование алгоритм

Введение

1. Математическое моделирование технического объекта

1.1 Понятие математической модели, свойства и классификация

1.2 Численные методы в математическом моделировании

1.3 Система Mathcad, основные функции

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.3 Исходные данные

2.4 Графическая схема алгоритма

3. Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

3.2 Описание исследований

3.3 Вывод по результатам исследований

Заключение

Список используемых источников

Введение

Современный этап развития техники характеризуется чрезвычайно быстрой сменой моделей выпускаемой продукции, возрастающим количеством разработок, выполненных на новых, неизвестных ранее принципах, обеспечивающих изделиям более высокие потребительские качества и создающих жесткую конкуренцию на рынке их сбыта. Это приводит к необходимости интенсификации процессов создания новой техники, повышения качества проектов, разработки и организации производства конкурентоспособных изделий в короткие сроки. При этом достигается снижение затрат финансовых и трудовых ресурсов, рентабельность производства и планируемая прибыль.

Проектирование -- сложный иерархический процесс, включающий множество взаимосвязанных стадий и этапов. Математическое моделирование технический объектов занимает центральное место в построении эффективной технологии автоматизированного проектирования. Инженер-проектировщик должен иметь четкое представление о видах математических моделей и способах их построения, режимах функционирования технических объектов и методах их моделирования, разработке алгоритмических моделей и их эффективной реализации с использованием современных средств вычислительной техники.

При создании машин, технических комплексов и других объектов широко используется моделирование.

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирование, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.

Математическая модель -- это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т. п.

Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.

Алгоритм -- это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм автоматизированного проектирования представляет собой совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение операций и процедур проектирования, необходимых для получения проектного решения. Для наглядности алгоритмы чаще всего представляют в виде схем или графов, иногда дают их словесное описание. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием.

MathCAD одна из распространенных программ позволяющих решить поставленную задачу. Её функциональные возможности позволят быстро и легко проделать все операции исследования, для решения которых обычным «письменным» методом потребовалось бы много времени и труда.

1. Математическое моделирование технического объекта

1.1 Понятие математической модели, свойства и классификация

Под моделированием понимается процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.

Модель - это физический или абстрактный образ объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Различают предметное и абстрактное моделирование.

При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу по сравнению с объектом. Если физическая природа модели и объекта совпадают, то модели называются физическими.

При абстрактном моделировании строится абстрактная модель. Наиболее мощным средством построения абстрактных моделей является математическое моделирование. Оно позволяет посредством известных математических функций, символов и зависимостей описать функционирование технического объекта во внешней среде.

Под математической моделью понимается совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающих физические свойства объекта. Математическое моделирование - это процесс формирования модели и использования ее для анализа и синтеза.

На каждом уровне иерархии различают математические модели элементов и систем. Математические модели классифицируются:

по форме представления: инвариантные (представляют собой систему уравнений вне связи с методом решения), алгоритмические (модели связаны с выбранным численным методом решения и его реализацией в виде алгоритма), аналитические (отображаются явными зависимостями переменных), графические (схемные);

по характеру отображаемых свойств: функциональные (описывают процессы функционирования объектов), структурные (отображают только структуру и используются при решении задач структурного синтеза);

по степени абстрагирования: модели микроуровня с распределенными параметрами, модели макроуровня с сосредоточенными параметрами, модели метауровня;

по способу получения: теоретические, экспериментальные;

по учету физических свойств: динамические, статические, непрерывные, дискретные, линейные, нелинейные;

по способности прогнозировать результаты: детерминированные, вероятностные.

Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, которая оценивается степенью совпадения предсказанного в процессе эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными значениями.

Погрешность о по совокупности m выходных параметров оценивается одной из норм вектора

(1.1)

(1.2)

где о_j - относительная погрешность модели по j-тому выходному параметру:

(1.3)

где - значение j-того выходного параметра, полученное в результате эксперимента на принятой для проектирования математической модели;

y_j - значение того же параметра, полученное при испытаниях технического объекта в тестовых условиях.

Классификация математических моделей.

При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования.

На любом уровне иерархии объект проектирования представляют в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают математические модели элементов и систем.

В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Такими величинами являются: скорости и силы -- в механических системах; расходы и давления -- в гидравлических и пневматических системах; температуры и тепловые потоки -- в тепловых системах; токи и напряжения -- в электрических системах.

Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. Фазовое пространство, в отличие от геометрического, многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат.

Обычно в уравнениях математической модели фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель.

Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. Они должны отображать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза.

Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа дерева. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов. Такие модели наиболее широко используют на мета уровне при выборе технического решения.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные -- на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик". Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели). При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным.

1.2 Численные методы в математическом моделировании

Дифференциальные уравнения, которые можно проинтегрировать известными методами, встречаются сравнительно редко. В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы делятся на две группы. Применение аналитических методов дает приближенное решение в виде аналитического выражения, численных- в виде таблицы численных значений.

Наиболее распространенными из численных методов, применяемых в математическом моделировании, являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле. По методу Эйлера в формуле Тейлора не учитываются члены, содержащие производные второго и более высокого порядка. Метод Эйлера имеет первый порядок точности, откуда следует, что для достижения высокой точности требуется мелкий шаг, что экономически не выгодно. Достоинством метода является его простота. Метод Эйлера используют для более точных многошаговых методов.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

у'=(х, у), (1.4)

удовлетворяющее условию

у=у₀ при х=х₀, т. е. у(х_а) =у₀. (1.5)

При численном решении уравнения (1) задача ставится так: точках х₀, x1, х₂, ..., х_п найти приближения у_п для значений точного решения у(х_п). Разность x=x_n+1--x_n = h называется шагом сетки. Во многих случаях принимают величину h постоянной, тогда

Хn=Х0=nh(n=0,1,2,…). (1.6)

Приближенно можно считать, что правая часть уравнения (1) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления

Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле

В силу сделанных предположений на первом отрезке искомое решение приближенно представляется линейной функцией

(1.7)

в частности, при x=x1 получаем y1=y0+ht(x0, y0). Равенство (4) означает, что на отрезке [х₀, xo+h] искомую интегральную кривую у=у(х) приближенно заменяют прямолинейным отрезком, выходящим из начальной точки М0(х_0, у0) с угловым коэффициентом f(x_Q, у₀). Аналогично находим приближенное значение y2: y2 = y1+hf(x1,y1).

Для точки x_n = xo+nh получаем

 (1.8)

Таким образом, в качестве приближения искомой интегральной кривой получаем линию с вершинами в точках М₀(х₀, уо), M1(y1, y2), .... М_п(х_п, у_п) (Рисунок 1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вычисление приближений у_п искомого решения у(х) по формуле (4) представляет собой

обыкновенный метод Эйлера. Этот метод дает весьма грубое приближение решения задачи Коши. Он обычно используется в случае, когда необходимо получить примерное представление о решении на небольшом промежутке. Если функция f(x, у) в уравнении (1) на некотором отрезке в рассматриваемой области непрерывна по х и удовлетворяет условию Липшица по у

Размещено на http://www.allbest.ru/

погрешность обыкновенного метода Эйлера оценивается формулой



Размещено на http://www.allbest.ru/

(1.9)

Метод Рунге-Кутта является одним из наиболее употребительных численных методов повышенной точности. Низкая точность метода Эйлера связана в первую очередь с тем, что остаточный член формулы Эйлера велик. Очевидно, что для уменьшения погрешности вычисления необходимо увеличить количество учитываемых членов в формуле Тейлора. Наиболее распространенным является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, в котором учтены производные до 4-го порядка включительно. Метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге-Кутта 1-го порядка. Метод Рунге-Кутта требует большого объёма вычислений, однако расчёт оказывается более точным, чем расчёт по методу Эйлера с тем же шагом.

Величина погрешности метода оценивается с помощью правила Рунге. Значение оценки Рунге состоит в том, что погрешность оценивается через величины, получаемые непосредственно в процессе счёта. На этой формуле основан метод автоматического выбора шага в процессе счёта в стандартных программах.

Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

1 Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти у_m+1 нужна информация о предыдущей точке xm ym

2 Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода

3 Они не требуют вычисления производных от f (xy) а требуют вычисления самой функции

Наиболее точный метод решения - метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений

- этот метод является одноступенчатым и одношаговым.

- требует информацию только об одной точке.

- имеет небольшую погрешность.

- значение функции рассчитывается при каждом шаге.

Формулы описывающие классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка, состоят из следующих пяти соотношений:

y_m+1=y_m+h/6(R₁+2R₂+2R₃+R₄) (1.10)

где:

R₁=f(x_my_m) (1.11)

R₂=f(x_m+h/2y_m+hR₁/2) (1.12)

R₃=f(x_m+h/2y_m+hR₂/2) (1.13)

R₄=f(x_m+h/2y_m+hR₃/2) (1.14)

Ошибка ограничения для этого метода равна e_t=kh5

Значит формулы 11-1.5 описывают метод Рунге-Кутта четвертого порядка Однако при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза

Поэтому, делаем вывод о том, что этот метод является:1. одноступенчатым и одношаговым ; 2. требует информацию только об одной точке; 3. имеет небольшую погрешность;4.значение функции в нём рассчитывается при каждом шаге.

1.3 Система Mathcad, основные функции

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением.

Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения c помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно базовых навыков пользователя. С другой стороны, профессиональные программисты могут извлечь из MathCAD намного больше, создавая различные программные решения, существенно расширяющие возможности, непосредственно заложенные в MathCAD.

Свойства MathCAD являются:

- математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора MathCAD, который по возможностям и простоте использования не уступает, к примеру, редактору формул, встроенному в Microsoft Word;

- математические расчеты производятся немедленно, в соответствии с введенными формулами;

- графики различных типов (по выбору пользователя) с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

- возможен ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

- документы могут быть распечатаны непосредственно в MathCAD в том виде, который пользователь видит на экране компьютера, или сохранены в формате RTF для последующего редактирования в более мощных текстовых редакторах (например, Microsoft Word);

- возможно сохранение документов в формате Web-страницы, причем создание файлов с рисунками происходит автоматически;

- символьные вычисления позволяют мгновенно получить разнообразную справочную математическую информацию, а система помощи, Центр Ресурсов и встроенные электронные книги помогают быстро отыскать нужную справку или пример тех или иных расчетов.

Функции являются решение алгебраических уравнений и систем (линейных и нелинейных); решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем; работа с векторами и матрицами (линейная алгебра и др.); поиск минимумов и максимумов функциональных зависимостей; статистическая обработка данных (интерполяция, экстраполяция, аппроксимация и многое другое) и др.

Например, зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

Применение системы MathCAD для исследования электрической цепи с переменным сопротивлением, заданным графически

Постановка задачи

С использованием системы MathCAD рассчитать аналитическую зависимость для заданной графически функции переменного сопротивления.

С использованием системы MathCAD рассчитать значения функции напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить график функции напряжения.

Исследовать влияние значений изменяемого параметра на максимальное значение напряжения на конденсаторе.

Построить сводный график всех полученных функций напряжения на одном поле.

Подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

2.2 Описание математической модели

Электрическая цепь, приведенная на рисунке 1, описывается дифференциальным уравнением вида:

(2.1)

Здесь R(t) задается графически рис 2.

Функция для аппроксимации R(t) имеет вид:

 (2.2)

Рис. 3. Графики функций переменного сопротивления

2.3 Исходные данные

Исходными данными для работы являются:

J - сила тока в источнике;

R(t) - функция исходного сопротивления, заданная графически;

C - исходная емкость конденсатора;

Uс₀ - начальное значение напряжения на конденсаторе;

ф - время, равное полупериоду изменения R(t);

Т - время исследования;

Таблица 1. Исходные данные

N варианта	C	J	Ф, мс	Uс0	T мс	График функции переменного сопротивления	Варьируемый параметр
1	0.05	10,2	3	0	2* ф	Рисунок А6.1	C

Значения варьируемого параметра приведены в таблице 2.

Таблица 2. Значение варьируемого параметра

C	0.05	0.12	0.19	0.26	0.33	0.40	0.47	0.55

2.4 Графическая схема алгоритма

Размещено на http://www.allbest.ru/



Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

Так как эта функция R(t) задана графически сначала нужно задать зависимость. Из рис. 3 берем координаты функции R(t) и задаем их в Mathcad.

Зная изменение последней функции мы можем построить зависимость u(t).Это делается для начальных данных. Затем решаем данное дифференциальное уравнение используя функцию rkfixed , которая решает уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Изменяя варьируемый параметр C строим недостающие графики. Получившиеся графики в пункте строим на одном поле.иПо полученным данным производим аппроксимацию.

3.2 Описание исследований

Исследуем влияние значений изменяемого параметра на максимальное значение напряжения на конденсаторе. Далее решаем дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed. Строим графики зависимостей напряжения от времени исследования. После этого строим сводный график. Находим значения времени, при котором функции напряжения для разных значений варьируемого параметра достигают максимума.

3.3 Вывод по результатам исследований

В результате выполнения работы исследовал применение системы MathCAD для исследования реакции электрической цепи на внешнее воздействие. Построил графики этих функций.

Исследовал влияние значений изменяемого параметра на вид функции напряжения в схеме. Построил сводный график всех полученных функций напряжения на одном поле.

Вычислил аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований. Анализ полученных результатов показал, что напряжение напрямую зависит от изменения ёмкости конденсатора. Это видно на полученных графиках.

В данном курсовом проекте для расчетов в среде Mathcad были использованы следующие элементы:

- genfit - функция проводящая аппроксимацию с минимальной среднеквадратической ошибкой;

- rkfixed - функция предназначенная для решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка;

- := - это оператор присваивания, он необходим для задания значений параметров;

Х-У - предназначена для построения графиков, для этого необходимо задать по осям х и у значения, на основания которых необходимо строить график;

- pspline - функция возвращающая вектор 2-х производных при приближении в опорной точке к параболической кривой

Заключение

Выполняя данную курсовую работу, я провёл исследование электрической цепи с переменным сопротивлением. При расчете была использована математическая система MathCAD 2001 PRO. В ходе выполнения данной работы мной был сделан вывод о том, что математическое моделирование при помощи системы MathCAD существенно сокращает объем сложных математических вычислений. Данная система может значительно облегчить работу студентов, инженеров, конструкторов, ученых и всех тех, кто имеет дело со сложными и трудоемкими математическими вычислениями. Факт этого заключается в том, что на сегодняшний день новейшие разработки компьютерного математического моделирования находят широкое применение в самых разных сферах человеческой деятельности.

Цель выполнения данной курсовой работы заключается в закреплении навыков работы при помощи математической системы MathCAD. Я думаю, что эта цель мной достигнута.

Список используемых источников

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учебник для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов.- 7-е изд., перераб. И доп.- М.: Высш. школа, 1978. -528с, ил.

2. Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем, - Мн.: ДизайнПРО, 1997.- 640 с.

3. Дьяконов А.А. Справочник по MathCAD 2000. М.: Ск - пресс, 2000.-352 с.

4. Трохова Т.А. Практическое пособие по теме “Основные приёмы работы в системе MathCAD, версии 6.0” курса “ВТ и программирование” для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений.- Гомель: ГГТУ, 1998.- 42 с.

5. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.- 320 с.

6. www.exponenta.ru 20.10.2009 17:38.

Размещено на Allbest.ru

...