Размещено на http://www.allbest.ru/

39

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Тема: «Разработка алгоритма преобразования матрицы к форме Хессенберга для исследования динамики полета летательного аппарата на основе использования программного комплекса созданного на языке программирования Delphi»

Введение

С развитием авиации, ростом числа и сложности задач, выполняемых ЛА, существенно повысились требования к информационному обеспечению полета. Эксплуатационные характеристики современного ЛА определяются не только техническим уровнем его планера и двигательной установки, но и в большой степени совершенством бортового оборудования самолета, его приборного комплекса. Это оборудование должно обеспечивать высокоточную четырехмерную навигацию, посадку ЛА в сложных метеоусловиях, всесторонний контроль, диагностику и локализацию отказов бортовой аппаратуры, информационную разгрузку экипажа.

Поэтому современное развитие производства характеризуется возрастающими критериями качества, предъявляемыми к выпускаемой продукции, снижением затрат на эксплуатацию и ремонт, а так же увеличением роли наукоемких технологий в проектировании систем автоматического управления. В настоящее время структура большинства технологических процессов такова, что точное математическое описание объектов (параметры которых могут изменяться в широких пределах) получить весьма затруднительно, а в некоторых случаях невозможно. . При этом большими возможностями обладают системы управления, созданные по принципу автоматического управления интервально-заданными объектами управления с запаздыванием.

Происходит непрерывный процесс совершенствования авиационного оборудования летательных аппаратов в соответствии с постоянно усложняющимися задачами, решаемыми современными авиационными комплексами. Приборное оборудование является важной составной частью бортового авиационного оборудования летательного аппарата. Оно выполняет задачу получения информации о параметрах, характеризующих пространственное положение и движение летательного аппарата в воздушной среде, работу авиационных двигателей и других систем. Эта информация используется для ручного или автоматического управления полетом, для контроля режимов работы силовых установок (СУ), для выполнения задач полета и обеспечения его безопасности. В понятие «авиационные приборы» включают различные группы приборов, важнейшими из которых являются пилотажно-навигационные, а также приборы контроля работы силовой установки и других систем самолета. Пилотажно-навигационные приборы, в свою очередь, включают в себя аэрометрические приборы, пилотажные гироскопические приборы, навигационные устройства и системы. В процессе своего развития и совершенствования курсовые и навигационные системы выделились в отдельный класс авиационных приборов и измерительных систем. На работу аэрометрических, пилотажных гироскопических приборов, приборов контроля работы силовых установок, автопилотов, непосредственно влияют многочисленные процессы, связанные с передачей массы, энергии, информации и т.п. которые сопровождаются наличием запаздывания. Это запаздывание может быть обусловлено самыми различными причинами -- ограниченностью скорости распространения взаимодействия (например, электрического сигнала), наличием инерционности некоторых элементов (например, индуктивности в электрических цепях электрических цепях) ограниченностью скорости протекания технологических процессов (например, горения в камере двигателя, отклонения рулей направления и высоты, закрылков) и т.д. Возникновение запаздывания или последействия в реакции системы управления на возникшее отклонение от рабочего режима приводит, как правило, к возникновению автоколебаний в замкнутой системе, а нередко - к потере устойчивости.

С развитием авиации, ростом числа и сложности задач, выполняемых ЛА, существенно повысились требования к информационному обеспечению полета. Эксплуатационные характеристики современного ЛА определяются не только техническим уровнем его планера и двигательной установки, но и в большой степени совершенством бортового оборудования самолета, его приборного комплекса. Это оборудование должно обеспечивать высокоточную четырехмерную навигацию, посадку ЛА в сложных метеоусловиях, всесторонний контроль, диагностику и локализацию отказов бортовой аппаратуры, информационную разгрузку экипажа.

В середине 70-х годов завершился процесс формирования предпосылок перехода бортового оборудования ЛА на цифровые средства передачи и обработки информации, что потребовало нового принципа организации его структуры. Широкое применение в бортовом оборудовании ЛА цифровой вычислительной техники породило и новые проблемы проектирования этого оборудования на базе различных способов объединения вычислительных средств в единую систему. В этих условиях особенно актуальными стали выбор функционально-структурного облика бортового оборудования, а также разработка эффективного математического и программного обеспечения, необходимого для его функционирования.

Возросшая сложность бортовых приборных комплексов привела к необходимости автоматизации их проектирования, без которой принципиально невозможно разработать сложную техническую систему на уровне современных требований. Создаваемые в настоящее время образцы новой техники настолько сложны и требуют таких затрат труда и времени, что если представить себе проект сложной системы или комплекса, разрабатываемый без применения средств вычислительной техники, то можно с уверенностью сказать, что на момент окончания работ такой проект морально устареет. Единственный выход состоит в кардинальном сокращении сроков проектирования, которое может быть достигнуто при создании и использовании систем автоматизированного проектирования (САПР), позволяющих осуществить сквозную автоматизацию всех этапов проектирования сложных систем и комплексов при условии эффективного сочетания на каждом из этапов творческого потенциала, опыта разработчиков авиационной техники и возможностей ЭВМ. Отличительными особенностями задач, решаемых современными ЛА, являются все увеличивающиеся скорости, дальности и высоты полета в условиях действия разнообразных и многочисленных внешних факторов. При этом требования к точности и надежности решения полетных задач возрастают. Выполнить эти задачи возможно путем внедрения теории автоматического управления и динамических систем в рамках которой решаются задачи исследования и построения систем управления параметрически недоопределенными объектами с запаздыванием. Математические модели объектов, параметрическая недоопределенность которых характеризуется принадлежностью истинных значений параметров объекта некоторым интервалам с известными границами, могут быть представлены с использованием правил и терминологии аппарата интервального анализа. терминологии аппарата интервального анализа.

Математические модели интервально-заданных систем управления с запаздыванием представляются в пространстве состояний интервальными дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом. Как известно, интервальное пространство характеризуется такими математическими особенностями, как отсутствие полноценной дистрибутивности, неполнота алгебраической и порядковой структур. Зачастую задачи интервального анализа являются NP-полными.

Указанные особенности интервального пространства вызывают необходимость развития интервальных методов исследования динамических свойств и построения систем управления с заданным качеством на класс интервально-заданных объектов с запаздыванием. Каждое устройство, воспринимающее информацию об определенном параметре, может быть связано с одним или несколькими микропроцессорами. Порядок подключения микропроцессоров и выполняемые ими операции определяются алгоритмами вычислений, задаваемыми решаемыми измерительными задачами. Устройства, воспринимающие информацию о параметрах, подключаются к микро-ЭВМ, которая производит их первичную обработку по различным алгоритмам в соответствии с решаемыми задачами.

Выходные сигналы устройств обработки информации могут поступать как потребителям (экипажу через устройства индикации и другим системам и комплексам через устройства сопряжения), так и в бортовую вычислительную систему для дальнейшей обработки.

Таким образом, задача построения относительно простых законов управления объектами с запаздыванием, у которых измерению доступны только входные и выходные координаты, по-прежнему является актуальной и востребованной.

Основные задачи, определяемые поставленной целью, состоят в разработке:

разработка процедур и вычислительных алгоритмов решения интервально матричных уравнений на основе алгебраического подхода;

процедур и вычислительных алгоритмов решения интервальных матричных уравнений типа Риккати на основе соотношения Басса, QR-алгоритма, алгебраического подхода;

алгоритмов получения интервальных оценок допустимых множеств решений интервального матричного уравнения типа Риккати;

пакета прикладных программ, предназначенного для решения задач исследования интервальных динамических свойств;

Первая глава Содержит сведения по электобезопасности, а также включает аналитический обзор состояния проблемы автоматического управления интервально-заданными объектами управления с запаздыванием на основе алгебраического подхода.

Во второй главе представлены результаты анализа динамических свойств систем, заключающиеся в разработке элементов анализа интервальных динамических свойств и построения оптимальной системы управления многомерными интервально - заданными объектами с запаздыванием.

Раздел посвящен построению матричного уравнения типа Риккати для интервально - заданного объекта с запаздыванием на основе интервального аналога прямого метода Ляпунова и подхода Разумихина. Построены интервальные матричные уравнение типа Риккати для различных вариантов вхождения интервальных неопределенностей в математическую модель объекта управления с запаздыванием, введены понятия допустимых множеств. При исследовании непустоты этих множеств использованы алгебраический и центровой подходы. Разработана процедура решения матричного уравнения типа Риккати для интервально - заданного объекта с запаздыванием на основе соотношения Басса и QR - разложения. Разработаны вычислительные алгоритмы решения матричных уравнений типа Риккати.

Третяя глава посвящена развитию интервального метода оптимального управления для интервально - заданного объекта с запаздыванием. Доказаны теоремы о непустоте допустимого множества решений интервальных матричных уравнений типа Риккати.

Четвертая глава посвящена исследованию интервальной асимптотической устойчивости стационарных состояний интервально-заданного объекта с запаздыванием и построению вычислительных алгоритмов решения интервальных матричных уравнений.

Пятая глава содержит экономическое обоснование.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ C ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1.1 Анализ существующих методов исследования объектов управления с запаздыванием

Возникновение запаздывания или последействия в реакции системы управления на возникшее отклонение от рабочего режима приводит, как правило, к возникновению автоколебаний в замкнутой системе, а нередко - к потере устойчивости. В связи с этим возникает необходимость рассматривать дифференциальные уравнения с запаздыванием. Систематическое изучение дифференциальных уравнений с запаздыванием началось в конце 1-й половины 20 века вместе с развитием таких областей науки и техники, в которых учет запаздывания является настоятельно необходимым. Работа А. Коллендера и А. Стивенсона/1/ вышедшая в свет в 1936 году и посвященная системам с запаздыванием в которой рассматривается линейная система автоматического регулирования, применяемая в химической промышленности, считается первой работой в теории автоматических систем. Главная идея этой работы заключается в том, что запаздывание во времени может привести к неустойчивости системы. Но в то же время запаздывание часто может оказывать стабилизирующее влияние на систему автоматического регулирования.

Для стационарных линейных систем с постоянным запаздыванием необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости является условие расположение всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости /2/. Для системы с запаздыванием характеристический определитель является уже не обычным полиномом, а целой трансцендентной функцией (квазиполиномом). Квазиполиномы сохраняют ряд свойств, имеющихся у полиномов, использование же этих свойств лежит в основе обобщений на квазиполиномы известных теорем о расположении корней квазиполинома. В настоящее время такие обобщения известны для всех существующих аналитических и частотных критериев: критерий Рауса-Гурвица, частотные критерии Попова, Михайлова, Найквиста, метод Д-разбиений пространства параметров системы и т.д.

Алгебраический критерий устойчивости. Устойчивость системы автоматического управления, способность системы автоматического управления (САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение от него остаётся сколь угодно малым при любых достаточно малых изменениях входных сигналов. Устойчивость САУ разного типа определяется различными методами. Точная и строгая теория устойчивости систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А. М. Ляпуновым в 1892.

Критерии устойчивости для систем с запаздыванием, аналогичные критерию Рауса-Гурвица , основаны на результатах работ Л.С. Понтрягина,/3/ Н.Г. Чеботарева, Н.Н. Неймана/4/ и В.Н. Капырина/5/.

Так как квазиполином зависит от конечного числа параметров коэффициентов полиномов, являющихся постоянными, и показателей, то естественно ожидать, что для него существует алгебраический критерий, аналогичный критерию Рауса-Гурвица, т.е. отражаемый конечным числом алгебраических соотношений или алгоритмом, состоящего из конечного числа шагов/3/.

При определении области устойчивости в пространстве параметров можно использовать неравенства для коэффициентов и показателей квазиполинома, которые эквивалентны условиям Чеботарева-Неймана. Эти неравенства являются более сложными, чем неравенства критерия Рауса-Гурвица, так как включают в себя трансцендентные выражения/14/ .

Среди частотных методов можно выделить два основных: 1) метод амплитудно-фазовых характеристик (АФХ); 2) метод Д-разбиения.

Для систем с запаздыванием/6-18/ частотные методы были развиты в работах .

Метод амплитудно-фазовых характеристик является как известно, аналогом критериев Михайлова и Найквиста для систем без запаздывания. В работах Сетча/11/и Цыпкина/12/ метод АФХ получил наибольшее развитие. Таким образом, критерии Сетча и Цыпкина являются аналогами критериев Михайлова и Найквиста. Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Это один из самых рабочих (инженерных) критериев. Когда, однако, рассматривается многоконтурная система, критерий Найквиста преимущества не имеет и лучше пользоваться критерием Михайлова. В критерии Михайлова для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до +? годограф Михайлова прошёл столько квадрантов, каков порядок характеристического уравнения, причем начинался бы с положительной действительной оси и не нарушал порядок пересечений вещественной и мнимой осей комплексной плоскости. Идея этих методов основана на принципе аргумента теории функций комплексного переменного .

Метод Д-разбиений/15/ - это другой метод определения условий, при которых все корни характеристического квазиполинома лежат в левой полуплоскости. Этот частотный метод, позволяет определить для исследуемой системы значения параметров, соответствующих устойчивой работе системы. Метод Д-разбиений заключается в том, что нули квазиполинома являются непрерывными функциями его параметров, причем точкам каждой области Д-разбиения соответствуют квазиполиномы с одинаковым числом нулей (с учетом кратности) с положительной действительной частью. Т.к. частотные характеристики симметричны относительно вещественной оси, кривую Д-разбиения можно строить в пределах, 0?щ?+? а затем дополнить её зеркальным отображением относительно вещественной оси. После этого надо наметить предполагаемую область устойчивости. Для этого применяется правило штриховки, основанное на том, что границей в плоскости корней является мнимая ось комплексной плоскости корней характеристического уравнения, и при движении по ней от щ= -? до щ=+? область корней устойчивой системы располагается слева. Аналогично на Д-кривой заштриховывается левая часть кривой по направлению от ?? до +?.

Аналитический способ определения того, как изменяется число нулей с положительной действительной частью при переходе через которую границу Д-разбиения заключается в нахождении знака дифференциала действительной части корня при изменении лишь одного параметра гарантирующего переход через рассматриваемую границу.

Вопросы исследования нелинейных систем автоматического управления с запаздыванием представляют большой интерес и актуальность.

Наиболее общими методами анализа рассматриваемых систем является метод В.М. Попова/19/, метод описывающей функции, первый метод Ляпунова, прямой метод Ляпунова, развитый Н.Н. Красовским , Б.С. Разумихиным/20-22/ и другие.

Представленные результаты по алгебраическому подходу в исследовании робастной устойчивости ограничены в своих возможностях, частотные же подходы позволяют преодолеть эти трудности, о чем свидетельствует ряд работ// .

Позже метод В.М. Попова был применен в более сложной ситуации - для гиперустойчивых систем и блоков. Теория гиперустойчивости изложена в монографии В.М. Попова .

Им же разработан новый метод исследования устойчивости нелинейных систем. А. Халанай и В.М. Попов установили первый частотный критерий абсолютной устойчивости для систем с запаздывающим аргументом. В. Резван, К. Кордуняну и др. получили аналогичные результаты для систем, описываемых интегральными уравнениями. В.М. Попов/23-26/ предложил новый метод изучения абсолютной устойчивости, - так называемый «метод насыщения». Этот метод позволяет получать совершенно новые частотные условия абсолютной устойчивости, которые в некоторых случаях расширяют области устойчивости в пространстве параметров. Этот метод В.П. Попова сочетает преимущества частотного метода в его первоначальной форме (метода априорных интегральных оценок) с теорией гиперустойчивости.

Известны теоремы об абсолютной устойчивости, являющиеся обобщением теоремы В.М. Попова на стационарные нелинейные системы с запаздыванием и одной нелинейностью.

Для систем с запаздыванием и со многими нелинейностями известны результаты по данной проблематике А. Халаная/26/ и Б. Андерсона./27 / Существует большое количество работ, посвященных абсолютной устойчивости систем, описываемых интегральными уравнениями с нелинейностью, наиболее интересны работы К. Кордуняну, Гелига, Сандберга.

В 1959 году работой В.М. Попова было положено начало новому направлению в исследованиях - направлению, которое использовало так называемые частотные методы. Число работ, использующих эти методы, очень велико, например работы Р.Брокетта/22/и Е.С. Пятницкого/23/. Частотный метод в том виде, в каком он появился в работе В.М. Попова , может применяться к системам, описываемым уравнениями с запаздыванием или интегральными уравнениями.

Хорошо известны результаты, достигнутые в теории устойчивости линейных систем. Их отличительной чертой является универсальность: они справедливы не для отдельной системы, а для класса систем. К сожалению, нельзя сказать того же о результатах изучения устойчивости нелинейных систем. Как правило, известные до недавнего времени результаты либо относились к отдельным нелинейным системам, либо являлись скорее указаниями на путь исследования, чем окончательными критериями. С другой стороны, в рамках теории абсолютной устойчивости оказалось возможным получить окончательные результаты для некоторых классов систем. Возможно, именно поэтому проблема абсолютной устойчивости уже столько лет находится в центре внимания многих исследователей, причем интерес к различным ее аспектам и сейчас очень значителен. Начиная с первой работы А.И. Лурье и В.Н. Постникова/22/ , были опубликованы десятки работ, относящихся к этой проблеме.

Представленные результаты по алгебраическому подходу в исследовании робастной устойчивости ограничены в своих возможностях, частотные же подходы позволяют преодолеть эти трудности, о чем свидетельствует ряд работ .

Позже метод В.М. Попова был применен в более сложной ситуации - для гиперустойчивых систем и блоков. Теория гиперустойчивости изложена в монографии В.М. Попова.

Им же разработан новый метод исследования устойчивости нелинейных систем. А. Халанай и В.М. Попов установили первый частотный критерий абсолютной устойчивости для систем с запаздывающим аргументом. В. Резван, К. Кордуняну и др. получили аналогичные результаты для систем, описываемых интегральными уравнениями.

В.М. Попов предложил новый метод изучения абсолютной устойчивости, - так называемый «метод насыщения». Этот метод позволяет получать совершенно новые частотные условия абсолютной устойчивости, которые в некоторых случаях расширяют области устойчивости в пространстве параметров. Этот метод В.П. Попова сочетает преимущества частотного метода в его первоначальной форме (метода априорных интегральных оценок) с теорией гиперустойчивости.

Метод Попова считается наиболее эффективным среди точных методов анализа нелинейных систем управления .

Известны теоремы об абсолютной устойчивости, являющиеся обобщением теоремы В.М. Попова на стационарные нелинейные системы с запаздыванием и одной нелинейностью.

Для систем с запаздыванием и со многими нелинейностями известны результаты по данной проблематике А. Халаная и Б. Андерсона.

Системы с запаздыванием и несколькими нелинейностями также изучались методом функционалов Ляпунова (М. Нишимура, С. Ки-гамура, К. Хираи), хотя построение таких функционалов связано с довольно серьезными трудностями.

Начиная с сороковых годов опубликованы сотни статей, посвященных задачам абсолютной устойчивости, при этом первыми были работы М.А. Айзермана, Н.Н. Красовского, Н.П. Еругина, А.И. Лурье, А.М. Летова, В.А. Плисса и других. В шестидесятые годы получены частотные критерии абсолютной устойчивости, т.е. условия, выраженные через частотные характеристики линейной части системы. Тем самым теория абсолютной устойчивости превратилась в непосредственное продолжение линейной теории регулирования. Для достаточно широких классов нелинейных элементов частотные критерии абсолютной устойчивости оказались не только достаточными, но и необходимыми условиями. Это связано с тем, что большой спектр результатов теории абсолютной устойчивости, относящихся к неустойчивости, диссипативности, колебательности и др., был получен в основном для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями без запаздывания.

Общеизвестно, что первоначальные результаты в теории абсолютной устойчивости были получены при помощи построения функций Ляпунова специального вида.

Позже стали использовать частотные методы. Способ доказательства частотных критериев устойчивости позволяет обосновать эти методы и для систем, описываемых интегральными уравнениями (а не только дифференциальными, как это было в первых постановках задачи). Этот способ доказательства получил название «метода априорных интегральных оценок». Метод, использующий частотные условия для установления существования подходящей функции Ляпунова, называется в литературе «методом матричных неравенств» и тесно связан с методом теории гиперустойчивости.

Начиная с 1974 года, в работах В.А. Якубовича, А. Л. Лихтарникова, а гакже В.А. Брусина и Л. О. Барсука, А. А. Нудельмана и П. А. Шварцмана и др. метод матричных неравенств распространен на системы общего вида, описываемые дифференциальными уравнениями в гильбертовых пространствах.

Известные методы исследования динамических свойств различных классов систем с запаздыванием, например, алгебраический критерий Рауса-Гурвица, метод Д-разбиения, частотные критерии и т.д., в большинстве своем неэффективны или неприемлемы, в особенности для класса систем с запаздыванием.

Как известно, наиболее общим и эффективным методом исследования динамических свойств широкого класса объектов управления является прямой метод Ляпунова.

Проблеме распространения прямого метода Ляпунова на задачи исследования динамических свойств систем с запаздыванием посвящено значительное количество публикаций. Истоками указанных исследований являются статьи, в которых сформулированы два подхода к решению этой проблемы.

Один из подходов основан на идее обобщения метода Ляпунова путем использования знакоопределенных функционалов со значениями на отрезках интегральных линий. Этот подход приводит к весьма существенному усложнению теории: очевидно, насколько труднее иметь дело с функционалами, чем с функциями конечного числа переменных.

Соответствующие теоремы метода приведены в работе. Как и в случае систем без запаздывания, основной идеей прямого метода Ляпунова является отыскание функции Ляпунова, играющей роль обобщенного расстояния от начала координат, такой, чтобы ее производная вдоль траектории движения системы с запаздыванием была отрицательна.

Формулировка теорем Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости аналогичны известным теоремам для систем без запаздывания. Но здесь существенный вклад внес Н.Н. Красовский , который предложил вместо функции Ляпунова рассматривать функционалы. Определенное развитие данный вопрос получил в работах/28-32/.

Теория робастной устойчивости и робастных систем управления берет свое начало в работе Хьюбера/33/, а так же нашла применение в методах идентификации объектов в условиях неопределенности, методах адаптивного управления/34/, в исследовании робастной устойчивости непрерывных систем , отражена в одной из многих в этом направлении работ Харитонова/35/ (теорема Харитонова).

Наряду с робастной устойчивостью непрерывных систем большое внимание уделялось рассмотрению робастной устойчивости непрерывных систем с запаздыванием/36-41/ где первый результат по исследованию робастной устойчивости рассматриваемых систем принадлежит В.Л. Харитонову, дальнейшее исследование и развитие в этой области можно найти в работах.

Особый интерес представляют научные результаты в указанной области получены в/41-45/, где исследуется устойчивость неопределенной системы линейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа.

Рассматривая задачи о устойчивости для нелинейной системы, необходимо обращать внимание на устойчивость определенного решения. Однако, всегда можно заменить задачу об устойчивости произвольного решения аналогичной задачей для нулевого решения другой системы - системы в возмущениях.

Обобщение сформулированной выше проблемы - переход к рассмотрению систем со многими нелинейностями. Подобная постановка задачи встречается, например, у А.М. Летова ( случай т =2 ). Используя эти соотношения, В. А. Якубович/46,47/ заменил условия сектора так называемыми "квадратичными связями", которым должны удовлетворять управление и выход линейного блока, причем компоненты нелинейной векторно-значной функции управления могут быть функциями нескольких аргументов.

1.2 Исследование динамических свойств интервальных квазиполиномов

Одной из исторически первых задач является задача исследования устойчивости интервального полинома, которая состоит в нахождении условий, при которых всевозможные полиномы, получаемые при любых сочетаниях значений коэффициентов, являются устойчивыми (гурвицевыми, т.е. корни характеристических полиномов лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости). Интервальный полином, который есть не что иное, как семейство точечных полиномов, в этом случае называется устойчивым.

Используя классические методы к интервально-заданным объектам приходиться иметь дело с большим объемом вычислений, которые нередко оказываются безуспешными. Поэтому необходимость разработки эффективных методов анализа и синтеза интервальных систем управления порождает постоянный рост числа публикаций в этом направлении. Таким образом возникает задача исследования устойчивости интервального полинома, которая состоит в определении условий, при которых всевозможные полиномы, получаемые при любых сочетаниях значений коэффициентов, являются устойчивыми (гурвицевыми, т.е. корни характеристических полиномов лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости). В этом случае интервальный полином, представляющий собой семейство точечных полиномов, называется устойчивым.

Фаэдо /48/ применяя к интервальному полиному критерий Рауса и выполняя все операции интервальной арифметики, получил результаты близкие к таблицам Рауса (нижняя и верхняя). Таким образом, Фаэдо установил что положительность нижних границ для первого столбца является достаточными условиями устойчивости семейства полиномов.

Харитоновым/49/ были установлены необходимые и достаточные условия необходимые для асимптотической устойчивости интервального характеристического полинома. Эти результаты приведены в двух теоремах, названных в последствии слабой и сильной теоремами Харитонова. Их доказательство строилось автором на основе индукции по . Необходимо отметить, что в дальнейшем было предложено более простое и наглядное доказательство сильной теоремы, использующее анализ свойств интервальных полиномов в частотной области/50/.

Главная заслуга Харитонова заключается и в том, что он распространил предложенный им подход к исследованию устойчивости на случай интервальных полиномов с комплексными коэффициентами . Полученный результат играет важную роль при решении задач о распределении полюсов интервального характеристического полинома с действительными коэффициентами в заданной области, если эта область представляет собой сектор в левой половине комплексной плоскости.

Однако, следует отметить, что дальнейшие исследования показали, что для интервальных характеристических полиномов низкого порядка условия устойчивости, заданные в сильной теореме Харитонова, несколько избыточны. Результаты, приводящие к таким выводам, изложены в/4/ . В данной работе отмечено, что для устойчивости интервального характеристического полинома 2-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты полинома были одного знака, а для полинома 3-го порядка необходимо и достаточно, чтобы был устойчив только один полином из перечисленных в сильной теореме. В общем случае при какое-либо упрощение условий, содержащихся в формулировке сильной теоремы Харитонова, невозможно.

В работах /52-60/ приведены результаты, относящиеся к решению проблемы устойчивости интервального характеристического полинома линейных непрерывных систем, а также определение запасов их устойчивости. Они, как показывают дальнейшие исследования /8/ могут послужить отправной точкой для интервальной формулировки критерия устойчивости Михайлова т. е. частотного критерия. Предложенная методика в указанных работах основывается на переходе к анализу частотных характеристик интервальных систем и применении принципа аргумента.

Тем не менее, существует другая задача, тесно связанная с данным вопросом: как оценить запасы устойчивости интервальной системы с точки зрения определения допустимых пределов варьирования ее параметров. Указанное направление развивается в работах . При этом в предложены достаточные условия устойчивости интервального характеристического полинома, которые сводятся к проверке наличия этого свойства у вспомогательного полинома порядка 2n. Возникает возможность сопоставления параметров с «граничными» для устойчивости такого полинома что, впрочем, не позволяет судить о границах фактической области устойчивости в пространстве параметров вследствие достаточности применяемого критерия. В следующих работах предполагается, что наибольшие значения относительных приращений параметров априорно известны. В этом случае задача сводится к поиску максимума одного эквивалентного параметра, косвенно характеризующего допустимые пределы коэффициентов интервального характеристического полинома, при которых еще не нарушаются условия сильной теоремы Харитонова.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИНТЕРВАЛЬНО-ЗАДАННОГО ОБЪЕКТА

2.1 Исследование интервальной асимптотической устойчивости интервально-заданного объекта с запаздыванием на основе алгебраического подхода

В дипломном проекте приведены достаточные условия интервальной асимптотической устойчивости интервальнo-заданного объекта с запаздыванием, полученные с помощью интервального аналога прямого метода Ляпунова с использованием интервальной скалярно -оптимизационной функции и принципа Разумихина.

В задачах исследования устойчивости иметь дело с функционалами значительно труднее, чем с функциями конечного числа переменных /12-13/. Это определило их значение в направлении развития теории устойчивости систем с запаздыванием, когда в качестве меры возмущения используется определенно-положительная функция Ляпунова.

Рассмотрим интервально-заданный объект с запаздыванием, математическая модель, которого описывается системой интервальных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

(2.1)

, ,

где ; - вектор состояний объекта; - вектор состояний объекта, запаздывающий на время , , - величина запаздывания; - непрерывная, ограниченная начальная векторная функция; - пространство непрерывных функций на отрезке с нормой ; -евклидова норма вектора , ,, - некоторое число;

- постоянные интервальные матрицы, , - множество всех вещественных интервалов, , , - нижние и верхние границы значений элементов матрицы , , - нижние и верхние границы значений элементов матрицы .

Всюду в дальнейшем математическую модель вида (1) будем понимать как семейство математических моделей стационарных объектов управления с запаздыванием, т.е.

.

Дадим определение асимптотической устойчивости положения равновесия (2.1).

Определение 1 /114/. Положение равновесия интервально-заданного объекта с запаздыванием (2.1) обладает свойством асимптотической устойчивости, если этим свойством обладает любой объект с матрицами,.

Пусть существует интервальная, положительно-определенная функция , причем для всех выполняются следующие условия

, ,

для всех , .(2.2)

Пусть - некоторая функция, , непрерывная, монотонно возрастающая функция, удовлетворяющая условию . Если является строго монотонно возрастающей функцией, то она принадлежит к классу , выделяемым Ханом /15/.

Пусть существуют функции , такие, что для любых выполнены условия

а) ,

б) , причем при . (2.3)

Ниже будут использованы следующие определения:

Определение 2. Интервальную квадратную матрицу , будем называть положительно определенной и записывать , если положительно определена любая матрица , т.е. квадратичная форма .

Определение 3. / 116/. Множество матриц вида

где знак неравенства понимается в поэлементном смысле, будем называть симметрической интервальной матрицей и записывать

.

В качестве кандидата на функцию Ляпунова возьмем интервально-значную функцию

 (2.4)

являющуюся естественным расширением квадратичной формы

,(2.5)

где , (2.6)

. (2.7)

Здесь - вещественная симметрическая, положительно-определенная интервальная матрица , т.е. выполняется .

Аналогом производной функции Ляпунова (2.4), взятой в силу (2.1) является интервальная скалярно -оптимизационная функция /117/

(2.8)

То есть, скалярно-оптимизационная функция определяется наибольшим значением интервального функционала на ограниченном множестве интегральных кривых, вдоль которых интервальная функция убывает.

В правой части выражения для присутствует фундаментальное условие V(x())ЈV(x), t-ЈЈt, (принцип Разумихина) существенно упрощающее нахождение производной функции Ляпунова для дифференциальных матричных уравнений и играющее определяющее значение в вопросах исследования устойчивости систем с запаздыванием.

При выбранной функции Ляпунова (2.4) интервально - заданный объект с запаздыванием (2.1) является асимптотически устойчивым, если выполняется условие



Вычислим полную производную от интервальной функции Ляпунова (2.4) в силу системы (2.1).

Тогда выражение для интервальной скалярно - оптимизационной функции примет следующий вид

. (2.9)

или , (2.10)

где - знаковая диагональная матрица размерности (nxn), .

Оценим второе слагаемое в выражении (2.10) согласно /18/

, (2.11)

где Е - единичная матрица, тогда

. (2.12)

Задача исследования свойства асимптотической устойчивости интервально - заданного объекта управления с запаздыванием (2.1) сводится к решению интервального матричного уравнения вида /19/

, (2.13)

где интервальная, положительно - определенная матрица, т.е. для всех

2.2 Процедура исследования динамических свойств интервально-заданного объекта с запаздыванием

Как было отмечено выше, задача исследования свойства асимптотической устойчивости свелась к решению интервального матричного уравнения вида (2.13)

Ниже будут рассмотрены случаи, когда входящие в уравнение (2.13) матрицы будут либо точечными, либо интервальными.

Случай 1. Матрицы - точечные.

Для рассмотренного случая математическая модель на основе (2.1) будет иметь вид:

, (2.14)

Решение поставленной задачи состоит в построение точечной симметрической положительно-определенной матрицы , как решение точечного матричного уравнения Риккати (2.14).

Для определения точечной матрицы рассмотрим алгоритм, который состоит из следующих шагов:

Шаг 1. Для уравнения (2.14) по известным матрицам А, , Q на основе аналога соотношения Басса /20/ построим блочную матрицу Эйлера размерности .

Шаг 2. Преобразуем матрицу к верхней треугольной форме Хессенберга .

Используем определение:

Определение 4 /21/: Матрица размерности имеет форму Хессенберга (верхнюю или нижнюю), если при .

Шаг 3. Преобразуем матрицу , которая имеет верхнюю форму Хессенберга в треугольную форму Шура.

Определение 5 /121/: Матрица называется вещественной формой Шура матрицы , имеющей верхнюю или нижнюю форму Хессенберга, если она обладает тем дополнительным свойством, что , которое позволяет представить матрицу в блочно-треугольном виде, где - квадратные блоки порядка 1 либо 2, собственные значения которых являются собственными значениями матрицы.

Приведем матрицу в форму Шура. Приведение осуществляется с использованием QR-алгоритма. Рассмотрим применение данного разложения для случая, прямоугольной матрицы размерности . Первый столбец матрицы рассмотрим в качестве вектора . Строится отражение , которое переводит этот вектор в вектор , у которого все компоненты, кроме первой равны нулю. Рассмотрим матрицу размерности .

Дальше отражения подбираются так, чтобы получаемые с их помощью матрицы имели структуры, в которых последовательно увеличивается число нулевых элементов.

Процесс заканчивается в том случае, когда оказываются нулевыми все элементы некоторой матрицы , лежащие ниже диагонали, выходящей из верхнего левого угла. Обозначим матрицу через (если матрица квадратная, то будет верхней треугольной):

(2.15)

Поскольку , то выражение (2.16) можно переписать в виде:

.

Обозначим через матрицу вида:

.

В результате придем к представлению: , которое называется QR - разложением.

Далее матрицы иперемножаются в обратном порядке: . Матрица ортогонально - подобна матрице :

.

Матрицу можно построить как произведение вращений.

Определение 6 /121/: Матрицей вращения называется ортогональная матрица вида:

где

Название «вращение» связано с тем, что матрица вращения задает поворот координатной плоскости i, j на угол , однозначно определяемый соотношениями . То есть матрица представляется в виде:

.

По условию теоремы Шура /22/ , любая необязательно квадратная матрица унитарно эквивалентна треугольной матрице в которой собственные значения диагональных блоков представляют собой собственные значения для этой квадратной матрицы.

Шаг 4. Строится унитарная матрица /21/, которая обеспечивает вещественную треугольную форму Шура для матрицы . Матрица равна и ее можно представить в блочном виде:

.

где * - знак, обозначающий операцию транспонирования для случая, когда элементы матрицы вещественны. В случае комплексных элементов знак * обозначает транспонирование и замену этих элементов на комплексно-сопряженные.

Шаг 5. Согласно методам решения матричных уравнений /21/ точечную матрицу можно определить из выражения вида:

.(2.17)

Шаг 6. Матрица Н проверяется на условие положительной определенности.

В случае, если Н будет удовлетворять условиям положительной определенности, то система (2.1) будет асимптотически устойчивой.

Пример 1. Процедуру исследования свойства асимптотической устойчивости интервально заданного объекта, математическая модель которого представлена в виде:

,

для случая, когда все матрицы являются точечными.

Продемонстрируем процедуру для точечной матрицы объекта , размерности .

Матрица - нулевая матрица, той же размерности.

Точечная матрица имеет вид:

В соответствии с (2.15) построим матрицу Эйлера , размерности :

.

Построим для матрицы правую форму Шура в виде матрицы и определим унитарную матрицу , при помощи которой исходная матрица преобразуется в форму Шура. Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1 Результаты приведения в форму Шура

Форма Шура
-0,09	-0,05	8,75	5,78
-0,35	-0,41	-2,08	-1,83
0	0	-22,8	-14,99
0	0	-0,01	-2,2

Представляя матрицу в блочном виде, определим по выражению (2.17) точечную матрицу как:

.

Матрица обладает свойством положительной определенности, что означает интервальную асимптотическую устойчивость рассматриваемого интервально заданного объекта управления.

2.3 Процедура исследования динамических свойств интервально-заданного объекта с запаздыванием на основе центрового подхода

Случай 2. В данном разделе будет рассматриваться случай, когда в уравнении (2.13) матрицы А, Q - интервальные. Матрица - точечная.

Рассмотрим два вида интервальных матричных уравнений (2.13): матрица Q является симметрической и матрица Qне является симметрической.

Введем в рассмотрение допустимое множество решений. Для интервального матричного уравнения (2.13) введем в рассмотрение допустимое множество решений

, (2.18)

когда Q - интервальная симметрическая матрица.

В том случае, если матрица Q не является симметрической множество

. (2.19)

является допустимым множеством решения уравнения (2.13).

Ниже представлено решение задачи распознавания непустоты допустимого множества решений (2.18) интервального матричного уравнения типа Риккати (2.13) с интервальной симметрической матрицей .

Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательное интервальное матричное уравнение типа Риккати, которое получается при следующем рассматриваемом случае.

Рассмотрим случай, когда в уравнении (2.13) матрицы А, Q - интервальные. Матрица - точечная.

Тогда уравнение Риккати (2.13) будет иметь вид:

, (2.20)

где интервальная матрица Q обладает свойством положительной определенности и симметричности, согласно определениям 2,3.

Пусть Q - симметрическая, тогда множество

=

. (2.21)

является допустимым множеством решений интервального матричного уравнения (2.20).

Аналогично, если Q - не является симметрической, множество

=

. (2.22)

является допустимым множеством решений интервального матричного уравнения (2.20).

Воспользуемся представлением интервальных матриц и в виде /123-125/:

; (2.23)

; (2.24)

где - середина интервальной матрицы ;

;

- ширина интервальной матрицы ;

.

С учетом (2.23, 2.24) интервальное матричное уравнение Риккати (2.13) может быть представлено /127-128/:

 (2.25)

Решение поставленной задачи состоит из двух этапов:

Построение точечной симметрической положительно-определенной матрицы , как решение точечного матричного уравнения Риккати , полученного из (2.13).

(2.26)

Вывод условий принадлежности построенной матрицы допустимому множеству решений (2.22).

Ниже опишем эти этапы.

1-ый этап. Для определения точечной матрицы воспользуемся описанным выше алгоритмом, который состоит из следующих шагов:

Шаг 1. Выберем матрицы , , следующим образом , , и на основе аналога соотношения Басса построим блочную матрицу Эйлера размерности в виде:

(2.27)

Шаг 2. Преобразуем матрицу к верхней треугольной форме Хессенберга .

Шаг 3. Преобразуем матрицу , которая имеет верхнюю форму Хессенберга в треугольную форму Шура .

Шаг 4. Строится унитарная матрица .

Шаг 5. Согласно методам решения матричных уравнений точечную матрица определяется из выражения вида:

.(2.28)

Шаг 6. Матрица Н проверяется на условие положительной определенности. В случае, если Н будет удовлетворять условиям положительной определенности, система (2.1) будет асимптотически устойчивой. 2-й этап.

Вывод условий принадлежности построенной матрицы допустимому множеству решений (2.22).

Теорема 1. Пусть допустимое множество решений (2.22) вспомогательного интервального матричного уравнения типа Риккати (2.20) непусто, и некоторая матрица принадлежит данному множеству, т.е.

(2.29)

тогда

(2.30)

Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены, т.е. некоторая симметрическая матрица , тогда

, . (2.31)

Из выражения (2.31) следует, что матрица

является симметрической для любой .

Учитывая (2.30) и (2.31) , можно заключить, что существует симметрическая матрица

, что

.

Учитывая выражение (2.31) можно записать

. (2.32)

В силу произвольности выбора симметрической матрицы включение (2.32) является справедливым.

Теорема 2. Для заданных интервальных матриц , и матриц следующие утверждения являются эквивалентными

; (2.33)

. (2.34)

Доказательство. Пусть , тогда в силу определения будет справедливо следующее включение относительно

искомой матрицы



которое можно переписать в виде

(2.35)

Включение (2.35) эквивалентно следующим неравенствам

или

(2.36)

Неравенства (2.36) можно представить в следующем эквивалентном виде

Теорема доказана.

Из соотношения (2.34) видно, что если матрица является решением «среднего» уравнения типа Риккати

и удовлетворяет условию

,

то .

Пример 2. Процедуру исследования свойства асимптотической устойчивости интервально заданного объекта, математическая модель которого представлена в виде:

.

Продемонстрируем процедуру для интервальной матрицы объекта , размерности .

.

Матрица - нулевая матрица, той же размерности.

Интервальная матрица имеет вид:

.

Вычислим

В соответствии с (2.27) построим матрицу Эйлера , размерности :

 .

Построим для матрицы правую форму Шура в виде матрицы и определим унитарную матрицу , при помощи которой исходная матрица преобразуется в форму Шура. Результаты приведены в таблице 2.

Таблица 2 Результаты приведения в форму Шура

Форма Шура
-0,09	-0,05	8,75	5,78
-0,35	-0,41	-2,08	-1,83
0	0	-22,8	-14,99
0	0	-0,01	-2,2

Представляя матрицу в блочном виде, определим по выражению (2.17) точечную матрицу как:

.

Матрица обладает свойством положительной определенности, что означает интервальную асимптотическую устойчивость рассматриваемого интервально заданного объекта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломном проекте получены следующие теоретические и практические результаты:

1. С использованием интервального аналога прямого метода Ляпунова и подхода Разумихина разработана процедура исследования асимптотической устойчивости ЛА на основе допустимого множества решений интервального матричного уравнения типа Эйлера. Использован алгебраический подход, соотношение Басса, QR- алгоритм, подход Рона для решения интервального матричного уравнения Эйлера. Решена задача определения непустоты допустимого множества решений интервального матричного уравнения типа Эйлера.

2. Разработаны вычислительные алгоритмы решения матричного уравнения типа Эйлера для исследования интервальной асимптотической устойчивости летательного аппарата с использованием алгебраического подхода

3. Приведено экономическое обоснование дипломного проекта

4. Описана электробезопасность

5. Разработано прикладное программное обеспечение для исследования матричных уравнений и интервальной асимптотической устойчивости летательного аппарата

система управления интервал многомерный объект

Литература

1. Callender А., Stevenson A.G. Time lag in a control system. - Proc. Soc. Chem. Ind. 1936, - Vol. 18, № 1. - P. 108-117.

2. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. -М.: Наука, 1986.- 616 с.

3. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендент¬ных функций // Докл. АН СССР, 1953. - T. 91, №6, - C. I279-I280.

4. Чеботарев Н. Г., Нейман Н. Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т.XXVI. Изд. АН СССР.-М., 1949. - C 56.

5. Капырин В. Н. К проблеме Гурвица для трансцендентных функций. Диссертация, Казань, 1944. - 257 c.

6. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. -М.: Наука, 1983. - 360 с.

7. Satche М. Disccusslon of a previous paper.Journ. Appl. Mech. (ASME), 1949. - P. 419-420

8. Цыпкин Я. 3. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика, 1946. - T. 7, № 2, - C. I07-I28.

9. Брин М. А. Об устойчивости некоторых систем с распределенными и сосредоточенными параметрами // Автоматика и телемеханика, 1962. - T. 23, № 7, - C. 863-871.

10. Волков В. Я., Куприянов Н. С. Критерий устойчивости линейных систем со многими запаздываниями // Техническая кибернетика, 1968. № 5, - C. I70-I75.

11. Цыпкин Я.З. Степень устойчивости систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика, 1947. - Т .8, №3, - C. I45-I55.

12. Цыпкин Я.З. Устойчивость одного класса систем автоматического управления с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика, 1948, - Т. 9, ЖЗ, - C. I76-I89.

13. Гноенский Л.С.. Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем.-М.: Наука, 1969. - 512 с.

14. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М.: Физматгиз, 1958. - 678 с

15. Зайцев Г.Ф., Костюк В.И., Чинаев П.И. Основы автоматического управления и регулирования. -Кие в: Техника, 1975. - 495 с.

16. Меличева Т.Л., Харитонов В.Л. К устойчивости систем с запаздывающим аргументом // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: Изд-во Горьковск. ун-та, 1988. - С. 55-59.

17. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием.- М.: Наука, 1981.- 448 с.

...