Построим математическую модель расписания в вузе в терминах линейного программирования [ 4 ]. Введем обозначения и определим переменные и ограничения [ 13 ].

2.1.1 Обозначения

ГРУППЫ

В вузе имеется N учебных групп, объединенных в R потоков; r - номер потока, r = 1, ..., R, k_r - номер учебной группы в потоке r, k_r = 1, …, G_r.

Разбиение на групп на потоки осуществляется исходя из принципов:

1. Использование двумя группами одного и того же аудиторного фонда для своих лекций автоматически предполагает помещение их в 1 поток (предполагается, что все лекции учебных групп проходят вместе).

2. Группа(или ее часть), как единица учебного процесса в вузе, может входить в разные потоки, но только по одному разу в каждый из них.

3. Количество потоков не лимитируется.

ЗАНЯТИЯ

Занятия проводятся в рабочие дни в полуторочасовые интервалы, которые будем называть парами.

Обозначим:

t - номер рабочего дня недели, t Є T_kr, где

T_kr - множество номеров рабочих дней для группы k_r;

j - номер пары, j = 1 ,…, J;

J - общее количество пар.

С каждой учебной группой k_r потока r в течение недели, согласно учебному плану, проводится W_kr занятий, из которых S_r лекционных и Q_kr семинарских (лабораторных или практических). Обозначим:

s_r - номер дисциплины в списке лекционных занятий для потока r, s_r = 1 ,…,S_r;

q_kr - номер дисциплины в списке практических занятий для группы k_r, q_kr = 1 ,…, Q_kr.

Предполагается, что лекции проводятся у всех групп потока одновременно и в одной аудитории. Тогда, если по какой-то дисциплине в течение недели проводится более одного занятия, эта дисциплина упоминается в списке лекций или практических занятий столько раз, сколько их предусматривается учебным планом для каждого потока или группы.

ПРЕПОДАВАТЕЛИ

Пусть p - номер (имя) преподавателя, p = 1 ,…, P. Введем в рассмотрение булевы значения и :

=

Учебная нагрузка преподавателей планируется до составления расписания занятий, вследствие чего на данном этапе величины и можно считать заданными. Для каждого преподавателя p, p = 1 ,…,P, задана также его аудиторная нагрузка - N_p часов в неделю.

АУДИТОРНЫЙ ФОНД

Занятия каждого потока могут проводиться только в определенных аудиториях (например, практические занятия по информатике могут проводится только в дисплейных классах). Пусть:

{A_1r} - множество аудиторий для лекций на потоке r;

{A_2r} - множество аудиторий для практических занятий на потоке r;

A_1r - число элементов множества {A_1r};

A_2r - число элементов множества {A_2r};

A_1r + A_2r - число аудиторий объединения множеств {A_1r}?{A_2r}.

Аудиторный фонд определяется до начала составления расписания, поэтому множества можно считать заданными.

2.1.2 Переменные

Задача составления расписания заключается в определении для каждой лекции (на потоке) и практического занятия (в группе) дня недели и пары в этот день с учетом выполнения конструируемых ниже ограничений и минимизации некоторой целевой функции.

Введем следующие искомые булевы переменные:

=

=

В случае составления расписания для групп вечерней формы обучения J=2. Обобщение модели на все формы обучения см. [1], стр. 669.

2.1.3 Ограничения

Для каждой группы k_r должны выполняться все виды аудиторной работы в течение недели:

В любой день t на каждой паре j для каждой группы k_r может проводиться не более одного занятия:

Каждые лекция s_r и практическое занятие q_kr соответственно для всех потоков r и всех групп k_r могут проводиться не более одного раза в любой день t:

Если переменные и увязывают все виды занятий с временем их проведения, то произведения и связывают время проведения с именем преподавателя.

В каждый день t и в каждой паре j преподаватель p может вести не более одного занятия по одной дисциплине на одном потоке или в одной группе:

Каждый преподаватель p в течение недели должен провести аудиторные занятия:

Наконец, в каждый день на каждой паре число лекций и практических занятий не должно превышать имеющийся в вузе аудиторный фонд:

Кроме того, для всех совокупностей пересекающихся множеств {A_1r} и {A_2r} должны выполняться условия:

Представленными соотношениями исчерпываются безусловные ограничения, с которыми всегда считаются при составлении расписания. Могут, однако быть и специфические условия, прежде всего проведение отдельных видов работы по “верхней” или по “нижней” неделе (т.е. один академический час в неделю). Не исключены и другие специальные условия, но для упрощения модели они не рассматривались.

2.1.4 Целевая функция

Поставленная в предыдущем пункте задача максимизации линейной целевой функции при заданной системе ограничений является задачей линейного целочисленного булева программирования, поскольку все коэффициенты ограничений целочисленные в силу дискретности исходных данных задачи; кроме этого искомые переменные математической модели могут принимать только два значения [ 16 ]. На данный момент времени существует несколько возможных методов решения такого рода задач.

В [4] - [8] описаны методы упорядоченной индексации и модифицированных пометок, основанные на лагранжевой декомпозиции исходной модели на ряд однострочных задач, решаемых соответственно методами упорядочивающей индексации или модифицированных пометок. К сожалению количество операций каждого из методов не допускает полиномиальной оценки; кроме того, размерность таблицы наборов (промежуточных значений) методов резко возрастает при увеличении размерности решаемой задачи, что недопустимо в нашем случае. Возможно, изменение алгоритма декомпозиции под конкретную математическую модель позволит уменьшить размерность таблиц, но пока такого алгоритма не существует.

В связи с этим в качестве методов решения были выбраны описанные в [9] модификации симплекс-метода для случая задачи целочисленного линейного программирования. В общем случае количество операций симплекс-метода не допускает полиномиальной оценки (был даже показан класс задач, для которых количество операций составляет O(eⁿ)), но для случая нашей задачи среднее число операций допускает полиномиальную оценку: O(n³m^1/(n-1)) (n - количество переменных; m - количество ограничений).

2.2.1 Полностью целочисленный алгоритм

Этот алгоритм назван полностью целочисленным, потому что если исходная таблица состоит из целочисленных элементов, то все таблицы, получающиеся в процессе работы алгоритма, содержат только целочисленные элементы. Подобно двойственному симплекс-методу, алгоритм начинает работать с двойственно допустимой таблицы. Если a_i0 (i = 1 ,…, n+m; a_i0 - коэффициенты целевой функции) - неотрицательные целые, то задача решена. Если для какой-нибудь строки a_i0<0, то составляется новое уравнение и записывается внизу таблицы. После этого используется двойственный симплекс-метод. Все элементы дополнительной строки должны быть целыми числами, а ведущий элемент равен -1. Введенная таким образом ведущая строка сохранит таблицу целочисленной.

Пусть задана задача целочисленного линейного программирования:

максимизировать

при условиях

Условия (12) могут быть записаны как

Предположим, что для t=0 (т.е. для исходной таблицы) все a_ij - целые и столбцы (j = 1 ,…, n) - лексикографически положительны. Тогда все столбцы на протяжении вычислений остаются лексикографически положительными.

Прежде чем изложить способ получения дополнительного ограничения из производящей строки, введем новое представление чисел. Пусть [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x.

Для любого числа y (положительного или отрицательного) и положительного можно записать:

где (r_y - неотрицательный остаток от деления нацело y на ). В частности, . Поэтому если , то и r = 1. Если , то и r = 0.

Вводимое дополнительное неравенство должно выполняться при любом целом решении задачи (12). Рассмотрим некоторое уравнение в t - таблице (опуская индекс строки) с a₀<0:

где x - соответствующая компонента вектора , а - текущие небазисные переменные. Можно выразить x, a_{0 и} a_j, используя введенное выше представление (14):

Подставив выражения (16) и (17) в (15) и переставив члены, получим:

Поскольку , и на переменные x и наложено требование неотрицательности, левая часть уравнения (18) всегда неотрицательна. Рассмотрим выражение в правой части, заключенное в фигурные скобки. Коэффициенты в этом выражении представляют собой целые числа, а переменные подчинены требованию целочисленности. Поэтому все выражение в скобках должно быть целым. Обозначим его через s, т.е.:

.

Целочисленная слабая переменная s является неотрицательной. Действительно, если бы s было отрицательным, т.е. принимало бы значения -1, -2, …, то умножение на сделало бы всю правую часть уравнения (18) отрицательной, в то время как левая часть неотрицательна.

Рассмотрим два случая и . Для

и .

Подставляя в уравнение (19) выражение для x из (15), получим:

Полученное уравнение есть не что иное как отсечение Гомори. Для имеем и уравнение (19) приобретает вид:

Уравнение (21) должно выполняться для любого целочисленного решения задачи (12). Заметим, что если a₀<0, то в уравнении (21). Потому уравнение (21) может использоваться в качестве ведущей строки в симплекс-методе. В частности, всегда можно выбрать достаточно большим, так чтобы ведущий элемент в строке (21) стал равным -1, что позволит сохранить целочисленность таблицы. Выбор соответствующего будет влиять на скорость сходимости алгоритма. Прежде всего опишем сам алгоритм. В качестве начального необходимо взять двойственно допустимое решение, которое можно получить добавлением ограничения x_n+m+1=M - x₁ - - … - x_n 0, где M - достаточно большая константа, и проведением одной итерации с добавленной строкой и с лексикографически минимальным столбцом, взятыми в качестве ведущих. Алгоритм состоит из следующих шагов:

Шаг 0. Начать с двойственно допустимой матрицы A⁰ в уравнении (13), элементы которой - целые числа (матрица A⁰ может содержать и нецелые элементы, об этом см. [2], стр. 306).

Шаг 1. Среди строк с a_i0<0 (i=1, …, n+m) выбрать строку с наименьшим значением i; эта строка станет производящей. (Если a_i00 (i=1, …, n+m), то задача решена.)

Шаг 2. Выбрать (правило выбора будет описано дальше) и написать внизу таблицы дополнительную строку

Эта строка выбирается в качестве ведущей.

Шаг 3. Провести шаг двойственного симплекс-метода, вычеркнуть дополнительную строку и вернуться к шагу 1.

Доказательство конечности алгоритма [9, стр. 303-304].

Правило выбора формулируется следующим образом.

Шаг 0. Пусть строка с номером v является производящей.

Шаг 1. Пусть - лексикографически минимальный столбец среди столбцов с a_vj<0.

Шаг 2. Для каждого a_vj<0 пусть - наибольшее целое, такое, что (лексикографически меньше).

Шаг 3. Пусть , а (строка v - производящая). Тогда

.

Шаг 4. Положить для a_vj<0.

Правило выбора , описанное выше, позволяет сделать ведущий элемент равным -1, при этом сохраняется двойственная допустимость таблицы и в то же время нулевой столбец будет максимально лексикографически уменьшаться.

Подробнее об алгоритме можно прочитать в [9, стр. 300].

2.2.2 Прямой алгоритм целочисленного программирования

Термин “прямой”, примененный к алгоритму целочисленного программирования, обозначает метод, который приводит к оптимальному решению посредством получения последовательно “улучшаемых” решений. Каждой из этих решений допустимо в том смысле, что оно удовлетворяет как линейным ограничениям, так и условию целочисленности. Одним из вероятных достоинств алгоритма является возможность прервать вычисления, до того как получено оптимальное решение, и использовать наилучшее из полученных решений как приближенное. Кроме того, можно использовать прямой алгоритм в соединении с двойственными алгоритмами, чтобы получать различные составные алгоритмы, которые могут переходить от фазы, дающей двойственно допустимые решения, к фазе, дающей прямо допустимые решения.

Естественным прецедентом для прямого алгоритма является полностью целочисленный алгоритм Гомори, поскольку в процессе этого алгоритма получается последовательность двойственно допустимых целочисленных решений. Следует напомнить, что полностью целочисленный алгоритм Гомори представляет собой модификацию двойственного симплекс-метода. Основное отличие этого алгоритма состоит в том, что в качестве ведущей строки используется отсечение Гомори с ведущим элементом, равным -1. Это отсечение получается из производящей строки, которая определяется как одна из возможных ведущих строк в двойственном симплекс-методе. Использование такого отсечения в качестве ведущей строки сохранит после итерации двойственную допустимость и целочисленность таблицы.

Оказывается, можно аналогично модифицировать симплекс-метод таким образом, чтобы получить алгоритм, который сохраняет прямую допустимость и целочисленность таблиц. Для описания вычислительной процедуры рассмотрим следующую задачу целочисленного программирования:

максимизировать

при условиях

,

(целые) (k=1,…,n),

где a_0j, a_ij и a_i0 - целые числа и a_i00.

Предположим, что столбец выбран в качестве ведущего и строка v - ведущая строка в итерации симплекс-метода, т.е. для всех строк I, в которых a_is>0. Прежде чем провести процедуру исключения Гаусса в симплекс-методе, добавим к таблице отсечение Гомори, полученное из строки v:

где J - множество индексов небазисных переменных в (22), s_k - новая (базисная) слабая переменная и - неопределенная (временно) положительная константа.

Заметим, что если положить = a_vs, отсечение (23) будет обладать двумя важными свойствами. Во-первых,

Это означает, что прямая допустимость таблицы сохраниться, если использовать отсечение (23) в качестве ведущей строки. Во-вторых, , т.е. ведущий элемент равен 1 (если отсечение используется как ведущая строка). Легко удостовериться (путем исследования формул изменения базисных переменных), что преобразование симплексной таблицы с единичным ведущим элементом сохраняет целочисленность элементов симплексной таблицы.

Эти идеи послужили основанием прямого алгоритма в целочисленном программировании:

Шаг 0. Начать со столбцовой таблицы, в которой a_i00 (i1) и все элементы a_0j, a_ij и a_i0 - целые.

Шаг 1. Проверить выполнение условий a_0j0 (j1); если они выполнены, то конец, текущее базисное решение оптимально; если нет - перейти к шагу 2.

Шаг 2. Выбрать ведущий столбец s с a_0s< 0. Выбрать строку v по правилу проверки отношения a_i0/a_is среди строк с a_is> 0. Эта строка служит производящей для отсечения Гомори.

Шаг 3. Получить отсечение Гомори из производящей строки и дописать ее внизу таблицы, т.е. добавить к ограничениям задачи уравнение (23), где .

Шаг 4. Произвести преобразование таблицы, используя отсечение (23) как ведущую строку. Слабая переменная s_k в (23) станет небазисной. Вернуться к шагу 1.

Доказательство конечности алгоритма [9, стр. 346-353].

Поскольку выбор производящей строки является задачей нетривиальной, по-видимому, должно существовать несколько строк, которые могут служить в качестве производящих. В предварительных рассуждениях в качестве производящей строки использовалась ведущая строка симплекс-метода. Эта строка всегда дает отсечение, которое является ведущей строкой с ведущим элементом, равным единице. По-видимому, в таблице существуют и другие строки, из которых могут быть получены отсечения с такими же свойствами. Допустим, что отсечение получается по формуле:

Строка v может стать производящей тогда и только тогда, когда

где определяется из условия

Определим множество V(s) как совокупность строк, удовлетворяющих условию (25).

Следующие два правила представляют собой примеры допустимых правил выбора производящей строки:

Правило 1.

1. Составить последовательный конечный список индексов строк таким образом, чтобы индекс каждой строки вошел в него по меньшей мере один раз. Перейти к 2.

2. Если список пуст или не содержит ни одного индекса из V(s), вернуться к 1.; в противном случае найти в списке первый индекс vV(s). Выбрать строку v как производящую. Вывести из списка индекс v и все предшествующие ему индексы. Перейти к 3.

3. Последовательно выбирать строку v, взятую в 2., как производящую, до тех пор, пока vV(s). Как только vV(s), вернуться к 2.

Правило 2.

1. Пусть V_t(s) - множество V(s), соответствующее t-й таблице. Если V_t(s) содержит более одного элемента: V_t(s) = {v₁, v₂, …, v_k+2}, то в качестве производящей выбрать такую строку , что в последовательности множеств V₁(s₁), V₂(s₂), …, V_t(s) строка появилась раньше (не позднее) остальных и затем сохранялась вплоть до V_t(s); перейти к 2.

2. Последовательно выбирать строку v, взятую в 1., до тех пор, пока . Как только , вернуться к 1.

Подробнее об алгоритме можно прочитать в [2], стр. 344.

2.2.3 Техника получения начального допустимого базиса

Решение каждым из приведенных выше методов может производиться только в том случае, если задача линейного программирования является или прямо, или двойственно допустимой. Такая допустимость означает наличие начального допустимого базиса в исходной задаче. Если задача допустима и прямо, и двойственно, то полученное решение - оптимально. В большинстве случаев после постановки задачи оказывается, что она не допустима ни прямо, ни двойственно. Поэтому приведем алгоритм получения начального допустимого базиса.

Пусть задача линейного программирования записана в канонической форме:

минимизировать

при условиях

Все b_i можно сделать неотрицательными, умножив, если надо, соответствующее уравнение на -1. Тогда можно добавить в каждое уравнение искусственную переменную (искусственные переменные должны быть неотрицательными) таким образом, чтобы из искусственных переменных образовать начальный базис:

Искусственные переменные можно получить из слабых переменных, используемых для превращения неравенств в уравнения. Действительно, если исходные ограничения задачи линейного программирования заданы в виде неравенств:

то, добавив слабую переменную в каждое неравенство, получим:

Если b_i0, то s_i можно использовать в качестве начальных базисных переменных.

Различие между искусственными переменными и слабыми переменными s_i состоит в следующем. В оптимальном решении задачи все искусственные переменные должны быть равными нулю, поскольку в исходной задаче таких переменных нет. С другой стороны, вполне возможно, что в оптимальном решении слабые переменные будут иметь положительные значения. Для того, чтобы искусственные переменные стали равными нулю, можно представить целевую функцию следующим образом:

где M_i - достаточно большие положительные числа. Идея метода соответствует тому, что искусственным переменным придаются заведомо большие цены. Такой способ приводит к нулевым значениям искусственных переменных в оптимальном решении.

Существует и другой способ получения начального допустимого базиса. В этом способе, как и в первом, в качестве начальных базисных переменных используются искусственные переменные. Рассматривается новая целевая функция , представляющая собой сумму искусственных переменных. Требуется минимизировать , используя z - уравнение как одно из ограничений. Если исходная система уравнений имеет допустимое решение, то все искусственные переменные должны стать равными нулю. Следовательно, минимальное значение должно стать равным нулю. Если , то исходная система уравнений не имеет допустимых решений. Если , то можно опустить целевую функцию и использовать оптимальный базис -формы в качестве начального допустимого базиса для минимизации z. В литературе такой способ называется двухфазовым симплекс-методом. На первой фазе метода находится допустимый базис путем минимизации , на второй - минимизируется z и получается оптимальный базис.

Рассмотри в качестве примера следующую задачу линейного программирования:

минимизировать

при условиях

где все b_i неотрицательны.

Если ввести искусственные переменные и новую целевую функцию , то получим задачу:

минимизировать

,

при условиях

-z

Если вычесть все уравнения, содержащие b_i, из -формы, получим:

-z

где

Система (26) является диагональной относительно Первая фаза симплекс-метода состоит в минимизации при условиях (26). На знак z ограничений не накладывается. В процессе вычислений, как только искусственная переменная становится небазисной и ее коэффициент в -форме положителен, сама переменная и соответствующий ей вектор-столбец из дальнейших вычислений исключаются.

2.3 Особенности практической реализации системы

На практике не очень удобно работать с информацией в том виде, в котором она определяется в математической модели. Поэтому прежде всего определимся со способом организации данных или моделью данных.

2.3.1 Выбор модели

Модель данных - это совокупность соглашений о способах и средствах формализованного описания объектов и их связей, имеющих отношение к автоматизации процессов системы. Вид модели и используемые в ней типы структур данных отражают концепцию организации и обработки данных, используемую в СУБД, поддерживающей модель, или в языке системы программирования, на котором создается прикладная программа обработки данных [ 8 ].

В рамках решения поставленной задачи необходимо создание такой модели данных, при которой объем вспомогательной информации был бы минимальным, существовала принципиальная возможность многопользовательского доступа к данным и был бы обеспечен высокий уровень защиты данных.

В настоящее время существует три основных подхода к формированию модели данных: иерархический, сетевой и реляционный.

Иерархическая база.

Иерархическая база данных состоит из упорядоченного набора деревьев; более точно, из упорядоченного набора нескольких экземпляров одного типа дерева. Тип дерева состоит из одного "корневого" типа записи и упорядоченного набора из нуля или более типов поддеревьев (каждое из которых является некоторым типом дерева). Тип дерева в целом представляет собой иерархически организованный набор типов записи.

Автоматически поддерживается целостность ссылок между предками и потомками. Основное правило: никакой потомок не может существовать без своего родителя. Заметим, что аналогичное поддержание целостности по ссылкам между записями, не входящими в одну иерархию, не поддерживается.

Сетевой способ организации.

Сетевой подход к организации данных является расширением иерархического. В иерархических структурах запись-потомок должна иметь в точности одного предка; в сетевой структуре данных потомок может иметь любое число предков.

Сетевая база данных состоит из набора записей и набора связей между этими записями, а если говорить более точно, из набора экземпляров каждого типа из заданного в схеме базы данных набора типов записи и набора экземпляров каждого типа из заданного набора типов связи.

Тип связи определяется для двух типов записи: предка и потомка. Экземпляр типа связи состоит из одного экземпляра типа записи предка и упорядоченного набора экземпляров типа записи потомка. Для данного типа связи L с типом записи предка P и типом записи потомка C должны выполняться следующие два условия:

1. Каждый экземпляр типа P является предком только в одном экземпляре L;

2. Каждый экземпляр C является потомком не более, чем в одном экземпляре L.

Реляционный способ организации

Основными недостатками иерархичекого и сетевого типов моделей данных являются:

Слишком сложно пользоваться;

Фактически необходимы знания о физической организации;

Прикладные системы зависят от этой организации;

Их логика перегружена деталями организации доступа к БД.

Наиболее распространенная трактовка реляционной модели данных, по-видимому, принадлежит Дейту, который воспроизводит ее (с различными уточнениями) практически во всех своих книгах. Согласно Дейту [15] реляционная модель состоит из трех частей, описывающих разные аспекты реляционного подхода: структурной части, манипуляционной части и целостной части.

В структурной части модели фиксируется, что единственной структурой данных, используемой в реляционных БД, является нормализованное n-арное отношение.

В манипуляционной части модели утверждаются два фундаментальных механизма манипулирования реляционными БД - реляционная алгебра и реляционное исчисление. Первый механизм базируется в основном на классической теории множеств (с некоторыми уточнениями), а второй - на классическом логическом аппарате исчисления предикатов первого порядка. Основной функцией манипуляционной части реляционной модели является обеспечение меры реляционности любого конкретного языка реляционных БД: язык называется реляционным, если он обладает не меньшей выразительностью и мощностью, чем реляционная алгебра или реляционное исчисление.

Наконец, в целостной части реляционной модели данных фиксируются два базовых требования целостности, которые должны поддерживаться в любой реляционной СУБД. Первое требование называется требованием целостности сущностей. Второе требование называется требованием целостности по ссылкам.

2.3.2 Описание входной информации

Вся необходимая для решения поставленной задачи информация задается до начала итераций методов решения задачи составления расписания. Для упрощения считается, что заданная информация является постоянной на всем протяжении периода, для которого составляется расписание.

Не теряя определенной степени общности поставленной задачи, можно определить некую совокупность входных данных, необходимых для формирования ограничений и решения задачи, и в то же время общих для всех разновидностей практических реализаций системы. В силу специфики поставленной задачи (возможность сравнительно легкой адаптации математической модели для случая практической реализации в рамках конкретного вуза) формы документов входной информации не разрабатывались. Реквизиты входной информации описаны в табл.2.

Таблица 2. Описание реквизитов входной информации

Кроме этих данных для математической модели необходимо наличие еще некоторых дополнительных данных, которые могут быть получены после анализа входной информации программным путем.

2.3.3 Разработка информационного обеспечения задачи

В ходе работы был проведен сравнительный анализ существующего программного обеспечения по составлению расписания занятий. Изучены требований, которые предъявляются к программного обеспечения как к специализированному продукту, ориентированному на работу в компьютерной сети. Построена математическая модель расписания в 161 военной школе техников для случая очной формы обучения без переходов между корпусами, выбраны методы решения поставленной задачи и разработана модель хранения исходных данных задачи. Модель хранения исходных данных, алгоритм математической формализации модели и методы решения были реализованы в виде программных модулей. Работа алгоритмов была протестирована на разнородных наборах исходных данных, в результате чего были определены возможности и области применения алгоритмов.

На основе результатов тестирования было установлено, что по работе алгоритмов решения задачи сильно зависят от объема входной информации и начального допустимого базисного решения, и поэтому значительно уступают эвристическим и декмпозиционным. Но в случае эвристического решения его (решения) оптимальность (или достижение глобального максимума) может быть доказана только полным перебором всех возможных вариантов (ясно, что в этом случае время работы алгоритма будет очень большим), поэтому итерации эвристических алгоритмов прекращаются по достижении некоего максимального (нельзя сказать, локального или глобального) значения. Решение такого алгоритма может быть близким к оптимальному, но не оптимальным. В этом случае для достижения глобального максимума можно использовать рассмотренный в работе способ решения, поскольку оптимум может быть достигнут за несколько итераций описанных методов решения.