Вычисление производных интегралов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вычисление производных интегралов

1. Определение первой производной

В Mathcad существует численное и символьное дифференцирование. Выбор метода дифференцирования должен зависеть от типа решаемой задачи. Символьное дифференцирование имеет преимущество в том плане, что результат можно получить в виде функции, которую можно будет использовать в дальнейших расчетах. Численное же дифференцирование имеет преимущество в некоторых специфических задачах.

Mathcad позволяет вычислять как обычную производную, так и производные более высоких порядков, а так же частные производные.

Оператор первой производной (Derivative) расположен на панели Сalculus и, помимо того, вводится сочетанием клавиш Shift+/. Он имеет два маркера. Принцип их заполнения очевиден: в верхний маркер вводится функция, в нижний - переменная, по которой проводится дифференцирование.

Если выражение, подлежащее дифференцированию, представляет собой сумму, разность, отношение и произведение нескольких отношений, то его необходимо поместить в скобки. Иначе система "посчитает", что к оператору дифференцированию относится лишь крайняя левая часть сложного выражения. Можно сделать и по другому: набрать выражение отдельно от оператора дифференцирования, а за тем скопировать в нужный маркер.

Если в результате дифференцирования должна быть получена функция производная, следует обратится к возможностям символьного процессора. Для этого просто в качестве оператора вывода следует использовать оператор символьного вывода (">"). При символьном дифференцировании можно оперировать функциями нескольких переменных и функциями с параметрами. Также оператор дифференцирования может сочетаться с любым вычислительным или символьным оператором. Особенно полезен оператор simplify, который позволяет упростить выражение после дифференцирования.

Пример:

Чтобы получить численное значение производной в нужной точке, имея результат символьного расчета, можно поступить двояко:

Во-первых, можно присвоить переменной (выше оператора дифференцирования) соответствующее численное значение.

Во-вторых, можно первоначально определить производную как некоторую функцию пользователя и в дальнейшем получать численные значения, просто вводя нужные величины переменной в скобки.

Для получения значения производной конкретной точки можно использовать также численный алгоритм. Для этого после оператора дифференцирования следует ввести оператор численного вывода "=". Естественно, при этом выше самой производной следует определить соответствующее значение переменной.

Пример: Численное дифференцирование

При численном дифференцировании нельзя задавать величину переменной в самом операторе дифференцирования: при этом сначала будет найдено значение функции в данной точке, а затем будет вычисляться производная от некоторой постоянной величины. Естественно, что в любом случае будет получен ноль. Это замечание, кстати, относится и к символьному дифференцированию.

Пример: Ошибка при расчете производной

2. Определение производных высших порядков

Для того, чтобы определить производную выше первого порядка, следует использовать специальный оператор Nth Derivative панели Calculus. Помимо кнопки панели, его можно ввести сочетанием клавиш Ctrl+Shift+/. Оператор содержит четыре маркера. Они заполняются полностью в соответствии с принятыми в математике правилами.

Порядок производной должен быть обязательно числом.

Пример: Вычисление производных высших порядков

Численное определение значения производной второго порядка:

Аналогично обычным производным, производные высших порядков можно вычислить как аналитически, так и численно. Однако, при численном дифференцировании порядок производной не может превышать 5. При попытке задать больший порядок программа выдает соответствующее сообщение об ошибке. Причина данного ограничения связана с тем, что в ходе вычисления производной высокого порядка происходит накопление ошибок. Чем выше порядок производной, тем меньше точность результата.

Производные высоких порядков целесообразно вычислять символьно. Правда, при это приходится работать иногда с весьма громоздкими выражениями. Для их упрощения можно использовать оператор simplify, collect, Factor и Expand.

3. Определение частных производных

Никаких принципиальных отличий между заданием простой и частной производных нет. Единственно важным моментом является то, каким образом можно преобразовать оператор простого дифференцирования к виду частной производной. Для того, чтобы это сделать нужно выполнить щелчок правой клавишей мыши по производной. При этом откроется контекстное меню, в котором следует выбрать список View Derivative As (Видеть производную как). В появившемся подменю нужно поставить флажок в строку Partial Derivative (Частная производная). Если нужно будет вернуться к стандартному виду оператора дифференцирования, в том же меню следует выбрать пункт Derivative.

Можно задать в Mathcad и четные производные высших порядков. Правда, определенные сложности могут возникнуть со смешанными производными. Дело в том, что традиционную форму их представления Mathcad не поддерживает. Однако задать смешанные все же можно, поместив в маркер выражения одного оператора дифференцирования другого оператора. В большинстве случаев порядок взятия производных при вычислении смешанных производных не влияет на результат, поэтому объединять их можно в любой последовательности.

Пример: Найти все частные производные второго порядка для функции

Находим несмешанные частные производные второго порядка:

Определяем смешанные производные.

4. Нахождение неопределенного интеграла

Аналогично дифференцированию, интегрирование в Mathcad может быть как численным, так и символьным. Если вычисляется неопределенный интеграл, то интегрирование только символьное.

В случае интегрирования численный подход имеет куда большее значение, чем в случае дифференцирование. На это есть две причины: во-первых, далеко не все функции имеют первообразную; во-вторых, определение первообразной - это куда более сложная задача, чем нахождение производной, поэтому Mathcad с этим не всегда справляется.

При интегрировании сначала нужно попытаться вычислить интеграл символьно. И лишь в случае неудачи- провести численное интегрирование.

Помимо обычных интегралов, в Mathcad можно подсчитать двойные, тройные интегралы, а также несобственные интегралы.

Панель Сalculus (Вычисления) содержит два оператора интегрирования: неопределенный интеграл (Indefinite Integral) и определенный интеграл (Definite Integral) (рис.1)

Рис. 1

Неопределенный интеграл позволяет определить вид первообразной, т.е. вычислить интеграл символьно. Можно ввести данный оператор сочетанием клавиш Ctrl+I.

У оператора неопределенного интеграла два маркера. Они заполняются точно также, как принято в математике: в левый маркер вводится функция или ее имя, в правый маркер - переменная интегрирования. Использовать с оператором неопределенного интеграла можно только оператор символьного вывода ">".

Пример: Вычисление первообразных

Зачастую результат интегрирования представляет собой громоздкое выражение. В этом случае его нужно упрощать. Для этого могут быть использованы операторы:

simplify - упростить (наиболее универсальный оператор);

collest - приведение подобных слагаемых;

expand - разложение степени;

factor - приведение дроби к общему знаменателю.

Применять к результату интегрирования можно и сразу несколько символьных операторов.

Как известно, результат вычисления неопределенного интеграла содержит некоторую постоянную С. Однако, Mathcad ее не даст. Если ее нужно учитывать (например, если решается дифференциальное уравнение прямым интегрированием), то постоянную С следует добавлять в выражение ответа самостоятельно.

производная неопределенный интеграл mathcad

5. Аналитическое вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла следует использовать специальный оператор Definite Integral панели Calculus (клавиши Shift+7).

Оператор содержит четыре маркера, которые заполняются в полном соответствии с принятой в математике формой. В отличие от неопределенного интеграла, определенный может быть вычислен как аналитически, так и численно. Сначала нужно вычислить определенный интеграл аналитически и если это не удается - численно.

Чтобы вычислить определенный интеграл аналитически, необходимо заполнить все маркеры соответствующего оператора, а затем ввести оператор символьного вывода ">" . В случае аналитического интегрирования пределы могут быть как числовыми, так и буквенными.

Можно даже использовать символ бесконечности (Ctrl+Shift+z).

Пример:

6. Численное вычисление определенного интеграла

Численное интегрирование в Mathcad - это куда более тонкая операция, чем интегрирование аналитическое. Зачастую, чтобы получить правильный ответ, нужно верно задать точность, выбрать наиболее эффективный алгоритм, проанализировать поведение функции и, при наличии точек разрыва, представить интеграл в виде суммы интегралов. Неплохо также иметь общее представление об алгоритмах численного интегрирования, чтобы понимать, в каких случаях они могут быть использованы, а в каких нет. Если возникло желание использовать численный метод при интегрировании, то прежде всего нужно присвоить всем параметрам, входящим в интегрируемую функцию, конкретные значения. Пределы интегрирования, естественно, также должны быть числами. В качестве оператора вывода следует использовать оператор численного вывода "=". Пример: Численный расчет неберущихся интегралов.

В систему Mathcad разработчиками было встроено несколько численных методов интегрирования: метод трапеций, метод средних прямоугольников, метод Симпсона и др. Каждый из методов подходит для определенной группы функций или типа интеграла.

Чтобы произвести смену численного метода, нужно щелкнуть правой мышью по оператору интегрирования и откроется его контекстное меню. Оно содержит список вариантов возможных алгоритмов интегрирования

  Auto Select (Автоматический выбор).

Метод интегрирования выбирается системой автоматически. Лучше, если по умолчанию будет отмечен именно этот пункт.

  Romberg (Ромберга)

Весьма эффективный метод, применяемый для вычисления интегралов от функций, не имеющих особенностей. Является основным методом в Mathcad.

  Adaptive (Адаптивный)

Метод, предназначенный для вычисления интегралов от функций, быстро изменяющихся на промежутке. При этом ширина интервала разбиения не постоянна, как в случае метода Ромберга, а изменяется в зависимости от скорости изменения функции. В большинстве случаев данный алгоритм дает более точный результат, чем метод Ромберга. Поэтому этот метод используется по умолчанию. Адаптивный метод дает возможность интегрировать функции с разрывами, чего не может метод Ромберга. Если при интегрировании возникла проблема вычисления интеграла методом по умолчанию, следует сменить алгоритм и попытаться вычислить этот интеграл другим методом. Методы Infinite Limit (Бесконечный предел) и Singular Endpoint (Сингулярный предел), содержащиеся в контекстном меню, используются при вычислении несобственных интегралов.

Размещено на Allbest.ru