Нечеткие множества и лингвистические переменные

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛЕКЦИЯ

ТА ТЕМУ: Нечеткие множества и лингвистические переменные

1. Операции с нечеткими множествами

Определение операций, выполняемых с нечеткими множествами, во многом аналогично операциям с обычными (четкими) множествами.

Эквивалентность. Два нечетких множества А и В эквивалентны (это обозначается как А=В) тогда и только тогда когда для всех имеет место .

Рис. 1:

Включение.

Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В , тогда и только тогда когда:

(1)

Объединение или дизъюнкция двух нечетких множеств А и В соответствует логической операции «ИЛИ» и определяется как наименьшее нечеткое множество, содержащее оба множества А и В. Функция принадлежности для этого находиться с помощью операции взятия максимума (рис. 1 б).

(2)

Пересечение или конъюнкция соответствует логической операции «И» и определяется как наибольшее нечеткое множество являющееся одновременно подмножеством обоих множеств. Функция принадлежности множества выражается с помощью операции нахождения минимума (рис. 2 в):

(3).

Дополнение нечеткого множества А, обозначаемое через , соответствует логическому отрицанию «НЕ» и определяется формулой:

(4)

Легко увидеть, что применительно к классическим четким множествам, для которых функции принадлежности принимают только 2 значения 0 и 1, формулы 2-4 определяют известные операции логического «ИЛИ», «И», «НЕ». Приведем определения еще двух достаточно распространенных операций над нечеткими множествами - алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств. Алгебраическое произведение АВ нечетких множеств А и В определяются следующим образом:

 (5)

(6)

Кроме этих операций существуют еще несколько более специфических операций для лингвистических переменных.

Операция концентрации определяется как алгебраическое произведение нечеткого множества А на самого себя:

В результате применения этой операции к множеству А уменьшаются степени принадлежности элементов к этому множеству. Причем если , то это уменьшение мало. А для элементов с малой степенью принадлежности - относительно велико. В естественном языке применение этой операции к тому или иному значению лингвистической переменной А соответствует использование усиливающего терма «очень» (например, «очень высокий», «очень старый» и т. д.).

Операция растяжения определяется как:

Действие этой операции противоположно действию операции концентрации и соответствует неопределенному терму «довольно», выполняющему функцию ослабления следующего за ним (основного) терма А: «довольно высокий», «довольно старый» и т. п.

Можно ввести и другие аналогичные по смыслу операции, позволяющие модифицировать значения лингвистической переменной увеличивая, таким образом, их количество. Так, терм «более чем» можно определить следующим образом:

Рассмотрим применение указанных операций на следующем наглядном примере. Пусть переменная x характеризует возраст человека, x - интервал. Тогда нечеткие подмножества, описываемые термами «молодой» и «старый» можно представить с помощью функций принадлежности (рис. 2).

Рис. 2:

Тогда в соответствии с (7) находим:

Из чего:

Например, если конкретному человеку 55 лет (т. е., x=55), то в соответствии с данными функциями принадлежности имеем:

До сих пор предполагалось, что речь идет об единственной переменной x, принимающей значения на вещественной оси. Для случая двух вещественных переменных x, y можно говорить о нечетком отношении, которое определяет некоторое соответствие между элементами множества X и множества Y с помощью двухмерной функции принадлежности :

Пример: Допустим, что имеются два набора чисел Х, Y, и пусть субъективные мнения экспертов о сравнительной величине этих числе представлены в виде следующих нечетких отношений:

Зададим отношение R₁ с помощью табл. 1., а отношение R₂ с помощью табл. 2.

Табл. 1:

Табл. 2:

Здесь (i,j) -ый элемент таблицы равен значению соответствующей функции принадлежности для i-го значения x и j-го значения y. Тогда операции объединения и пересечения указанных отношений могут быть интерпретированы как больше и в то же время приблизительно равно y.

Функции принадлежности, определяются как и в (8), (9) с помощью операций нахождения максимума и минимума (2), (3) и принимают вид табл. 3 и 4.

Табл. 3:

Табл. 4:

2. Нечеткие алгоритмы

Понятие нечеткого алгоритма, впервые введенное Л. Заде, является важным инструментом для приближенного анализа сложных систем и процессов принятия решения.

Под нечетким алгоритмом понимается упорядоченное множество нечетких инструкций (правил), в формулировке которых содержатся нечеткие указания (термы).

Например, нечеткие алгоритмы могут включать в себя инструкции типа:

А) x - очень малое;

Б) x - приблизительно равно 5;

В) слегка увеличить;

Г) если x - в интервале;

Д) если x - малая, ТО y - большое, ИНАЧК - y - небольшое.

Использованные здесь термы «очень малое», «приблизительно равно», «слегка увеличить», «выбрать в интервале» и т. п. отражают неточность представления исходных данных и неопределенность, присущую самому процессу принятия решения.

Две последние инструкции (г и д) представляют собой (или нечеткие высказывания), построенные по схеме логической импликации ЕСЛИ - ТО, где условие ЕСЛИ соответствует принятию лингвистической переменной x некоторого значения А, а вывод (действие) ТО означает необходимость выбора значения В для лингвистической переменной х, y.

Указанные правила получили широкое распространение в технике. Механизм построения правил принятия решений в конкретной задаче выгладит при этом следующим образом. На основе заданной цели (рис. 6) с помощью механизма упрощения, позволяющего выделить наиболее существенные и отсечь второстепенные факторы, определяются начальное состояние системы, желаемое конечное состояние и правила действия, приводящих систему в желаемое конечное состояние.

Набор таких правил, обеспечивающих получение «хорошего» (как правило), приближенного решения поставленной задачи, реализуется с помощью механизма вывода.

Рис. 3:

Рассмотрим особенности выполнения нечетких правил на следующем примере.

Допустим, что необходимо регулировать открытие охлаждающего вентиля в зависимости от измеренного значения температуры Т_вх.

Воспользуемся для этих целей двумя правилами, записанными в лингвистической форме 1-е из которых имеет следующий вид:

Правило 1. ЕСЛИ температура низкая, ТО охлаждающий вентиль полуоткрыт.

Будем полагать, что нечеткие подмножества А₁ (температура низкая) и В₁ (вентиль полуоткрыт) определяются функциями принадлежности, приведенными на рис. 4.

Рис. 4:

Если измеренное значение температуры Т_вх равна, например, 18^оС, то степень принадлежности этого значения подмножеству А₁. Полагая, что меньшее значение степени выполнения условия ЕСЛИ должно сопровождаться уменьшением значения функции принадлежности вывода ТО ограничим возможные значения функции на уровне 0.2, т. е., получим:

(13)

Соответствующая функция выделена в правой половине рис. 4.

Сформулируем 2-е лингвистическое правило следующим образом:

Правило 2. ЕСЛИ температура средняя, ТО охлаждающий вентиль почти открыт.

Функции принадлежности и где А₂ и В₂ обозначают соответственно нечеткие подмножества, содержащиеся в условии и выводе правила 2, показаны на рис. 5.

Степень принадлежности измеренного значения Т_вх = 18^оС подмножеству А₂ здесь уже равна 0.5.

Следуя тому же приему, для функции принадлежности получаем:

Рис. 5:

Заметим, что приведенные выше правила 1 и 2 действуют совместно и связаны друг с другом с помощью союза ИЛИ, т. е., можно записать.

Правило 1. ЕСЛИ температура низкая, ТО охлаждающий вентиль полуоткрыт.

Правило 2. ЕСЛИ температура средняя, ТО охлаждающий вентиль полуоткрыт.

Результирующая функция принадлежности:

- находится по формуле:

(15)

На практике часто используется еще один метод построения функции принадлежности выходного нечеткого множества, получивший название метода Максимума - Произведения.

Рис. 6:

Суть данного метода заключается в следующем. При вычислении функции принадлежности вывода (заключения) «ТО» для каждого из правил осуществляется не ограничение их на уровне выполнения соответствующего условия «ЕСЛИ» (как это делалось в методе Максимума - Минимума), а пропорциональное уменьшение их значений в соответствии с уровнем выполнения указанного условия с последующим использованием операций «ИЛИ».

Важно отметить, что при использовании любого из указанных выше методов вывода, результатом выполнения правил 1-2 является не конкретное число , а некоторое нечеткое множество, описываемое функцией принадлежности . В то же время данное решение не может считаться окончательным, поскольку сохраняется неопределенность выбора искомой переменной внутри рассматриваемого интервала - носителя нечеткого множества В₁ и В₂. Переход от полученного нечеткого множества к единственному четкому значению (), которое и признается затем в качестве решения поставленной задачи, называется дефаззификацией.

Перечислим некоторые из наиболее известных методом дефаззификацией.

Рис. 7:

1. Метод максимума - выбирается тот элемент нечеткого множества, который имеет наивысшую степень принадлежности к этому множеству. Если такой элемент не является единственным, т. е., функция принадлежности имеет несколько локальных максимумов или, если имеется максимальное «плато» между у₁ и у_m, то выбор среди элементов, имеющих наивысшую степень принадлежности множеству.

2. Метод левого (правого) максимума - выбирается наименьшее (наибольшее) из чисел , имеющих наивысшую степень принадлежности нечеткому множеству.

3. Метод среднего из максимумов - в качестве искомого «четкого» значения у_о принимается среднее арифметическое значение координат локальных максимумов:

 (14)

4. Метод центра тяжести - в качестве выходного значения у_о выбирается абсцисса центра тяжести площади, расположенной под функцией принадлежности:

(15)

Обычно при реализации этого метода на ЭВМ, используют численные методы интегрирования.

Существует простая возможность использования для этих целей взвешенного среднего значения:

(16)

Где:

- центральные значения нечетких множеств выходной переменной у;

- веса, учитывающие уровень выполнения условия ЕСЛИ i-го правила, называемые также уровнями активности соответствующих правил; n - число правил выхода.

5. Модифицированный метод центра тяжести. Здесь интегрирование (16) производится только в тех областях, где . Параметр используется здесь для подавления шумов, отсеивания влияния малосущественных для процедуры вывода факторов (на практике обычно ). Незначительные различия полученных значений указывают на то, что механизм вывода в методах дефаззификацией может быть, вообще говоря, достаточно произвольным и во многом определяется соображениями простоты их вычислительной реализации. множество алгебраический число

В тех случаях, когда имеется несколько измеряемых входных переменных, механизм вычисления управляющих воздействий в принципе остается неизменным.

Размещено на Allbest.ru