Главная Коллекция "Revolution" Программирование, компьютеры и кибернетика Разработка математической модели второго порядка методом планирования эксперимента

Разработка математической модели второго порядка методом планирования эксперимента

Основные ограничения для применения методов планирования эксперимента. Проведение экспериментов с моделями объектов исследования методами моделирования с помощью ЭВМ. Выбор переменных, области экспериментирования. Выполнение задания в среде Mathcad.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 30.10.2013
Размер файла 120,8 K
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

  • Введение
  • 1. Теоретические сведения
  • Выбор входных и выходных переменных
  • Выбор области экспериментирования
  • Выбор математической модели объекта исследования
  • Составление плана эксперимента
  • Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка
  • Обработка результатов эксперимента
  • Выполнение задания в среде Mathcad
  • Заключение

Введение

Специалисты в области автоматизации технологических процессов и производств должны иметь представление о принципах планирования и организации эксперимента и освоить математический аппарат планирования и организации опыта при поиске оптимальных условий протекания научного и промышленного эксперимента.

Планирование эксперимента состоит в выборе числа и условий проведения опытов, позволяющие получить необходимые значения об объекте исследования с требуемой точностью. Важнейшим условием научно поставленного эксперимента является минимизация общего числа опытов, а следовательно, и затрат материальных, трудовых и временных ресурсов, что, конечно, не должно существенно отражаться на качестве полученной информации.

Применение методов планирования эксперимента ограничивается сложностью или невозможностью постановки экспериментов в реальных условиях. Однако методы моделирования позволяют проводить с помощью ЭВМ различные эксперименты с моделями объектов исследования. Принципиальных различий в планировании натуральных экспериментов и исследований на ЭВМ нет, но в последнем случае возможностей изменять и стабилизировать любые переменные, которые учтены в модели, больше. Функционирование реальной системы, связанное со случайным проявлением действия некоторых факторов, легко имитируется в машинных экспериментах с помощью специально разработанных программ.

эксперимент моделирование объект метод

1. Теоретические сведения

Выбор входных и выходных переменных

Входные переменные Хi, i=, которые определяют состояние объекта исследования называется влияющими факторами. Выходная переменная Y - реакция объекта исследования на влияющие факторы - функция отклика.

Выбор области экспериментирования

Область эксперимента - область факторного пространства, изучение которой представляет интерес для исследования. Границы этой области по каждому фактору Хi, обусловлены его min и max значением, то есть Xi min < Xi < Xi max, как показано на рисунке 1.

Рис. 1. Схема определения области эксперимента для 2-х факторного эксперимента

Выбор математической модели объекта исследования

Если аналитическую зависимость, связывающую функцию отклика (Y) с влияющими факторами (Xi), найти невозможно, и вид функции априори неизвестен, то есть Y=f (X1, X2, …., Xi), то целесообразно использовать степенной ряд:

(1),

где k - число влияющих факторов.

Для определения коэффициента аппроксимирующего полинома, применяется наиболее универсальный метод - метод наименьших квадратов.

Как отмечалось выше, при его использовании необходимым условием является выполнение неравенства (N>S), где N - число опытов, S - количество коэффициентов аппроксимирующего полинома, то есть количество проведённых опытов должно быть больше чем число коэффициентов аппроксимирующего полинома. Увеличить количество опытов N возможно повторением опытов в исходных точках либо увеличением количества этих точек. Для удобства обработки результатов экспериментов целесообразно все факторы представить в безмерной форме для чего проводится операция кодирования переменных. Её сущность заключается в том, что начало координатного факторного пространства переносится в точку с координатой - эта точка центр эксперимента:

(2).

Кроме того интервал варьирования факторов разбивается на ряд уровней симметрично относительно центра эксперимента. В случае составления симметричных двухуровневых планов все k - факторов изменяются на 2-х уровнях. При этом Xi min ставится в соответствии с кодированием переменных - 1, а Xi max - +1.

Для количественных факторов связь между физическими (Xi) и кодированными (хi) значениями факторов определяется следующим соотношением:

(3), (4),

где Ii - интервал варьирования.

Составление плана эксперимента

Выбрав математическую модель объекта исследования, определяем какое значение должен принимать каждый из факторов в каждом из опытов. Таблица, составленная из значений факторов для каждого опыта - матрица планирования. Она включает как независимые факторы, так и зависимые. Та её часть, которая включает независимые факторы, называется планом эксперимента.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов - полный факторный эксперимент (ПФЭ).

В общем случае ПФЭ типа 2к обладает следующими свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента. При этом алгебраическая сумма элементов вектора столбца для каждого фактора равна 0:

2. Соответствие условиям нормировки. При этом сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

3. Соответствие условиям ортогональности.

При этом сумма почленных произведений любых 2-х вектор-столбцов матрицы планирования равно 0:

.

Планы второго порядка позволяют сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный полином, сформированный по планам первого порядка, и поэтому требуют большего числа выполняемых опытов.

Полный квадратичный полином при n =2 содержит 6 членов:

(5)

Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка

План называется центральным, если все точки расположены симметрично относительно центра плана.

В ОЦКП входят: ядро плана - ПФЭ, центральная точка плана и по две "звездные” точки для каждого фактора.

Общее количество точек в плане ОЦКП составляет

,

где для ОЦКП n0=1.

В общем случае ОЦКП обладает следующими свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента. При этом алгебраическая сумма элементов вектора столбца для каждого фактора равна 0:

2. Соответствие условиям ортогональности. При этом сумма почленных произведений любых 2-х вектор-столбцов матрицы планирования равно 0:

.

Обработка результатов эксперимента

Обработка результатов проведённого эксперимента осуществляется по следующей схеме:

1. На основании данных параллельных наблюдений оценивается дисперсия воспроизводимости (отклонение) для каждой строки плана:

(8).

Затем определяется критерий Кохрена - критерий равноточности погрешности опыта:

(9).

При этом расчётное значение критерия Кохрена сравнивают с табличным. В случае, если Gрасч < Gтабл. приходят к выводу, что все опыты выполнены с равной погрешностью. Если Gрасч > Gтабл. делают вывод, что опыты выполнены не с равной погрешностью и эксперимент нужно переделать. Также осуществляется расчёт погрешности опыта и проверка однородности дисперсии опыта:

(10),

где m - число повторений опытов.

2. Определяются коэффициенты аппроксимирующего полинома (формула ). Найденные коэффициенты подставляем в аппроксимирующий полином.

3. Производится проверка адекватности модели по критерию Фишера:

(11),

где Dy адекв - дисперсия адекватности

(12),

где N - число опытов,

S - число коэффициентов полинома,

YPi - расчётное значение,

Yi - экспериментальное,

Dy опыт - дисперсия опыта.

Полученное значение критерия Фишера сравнивается с табличным. Если F< Fтабл., то модель считается адекватной. Если F > Fтабл., то модель считается неадекватной.

4. Проверка значимости коэффициентов аппроксимирующего полинома по критерию Стьюдента:

(13),

(14),

(15).

Где дai - среднеквадратическое отклонение коэффициента аппроксимирующего полинома,

tai - коэффициент Стьюдента,

Dai - дисперсия коэффициента аппроксимирующего полинома.

Для оценки значимости коэффициента аппроксимирующего полинома расчётные значения критерия Стьюдента необходимо сравнить с табличным. Если tр > tт приходят к выводу, что коэффициент оказывает существенное влияние и из рассмотрения не исключается. Если tр < tт, то следует, что коэффициент не оказывает существенное влияние и этот коэффициент исключают из полинома.

5. Интерпретация модели в терминах:

Анализ результатов эксперимента завершается интерпретацией модели в терминах объекта исследования. Прежде всего выясняется в какой мере каждый из факторов влияет на функцию отклика, то есть X на Y. Чем больше коэффициент bi, тем сильнее влияние. Знак коэффициента позволяет судить о характере зависимости функций отклика от соответствующих факторов. Если положительный коэффициент, то связь прямо пропорциональная, если отрицательный, то обратно пропорциональная. Затем следует проанализировать эффекты парных и нелинейных взаимодействий.

Выполнение задания в среде Mathcad

Найдем среднее значение ycp:

Найдем коэффициенты аппроксимирующего полинома в виде полной квадрики:

Подставим коэффициенты в аппроксимирующий полином:

В виде полной квадрики:

Проверим адекватность модели исследуемому объекту по критерию Фишера.

Рассчитываем дисперсию воспроизводимости:

Рассчитываем дисперсию опыта:

Рассчитываем дисперсию адекватности:

Имеем Fт = 2,906 > F = 0,94. Следовательно, гипотеза об адекватности выбранной модели не отвергается.

Для проверки значимости коэффициентов необходимо определить коэффициент Стьюдента.

,

Табличное значение критерия Стьюдента tт = 2,1314.

Для оценки значимости коэффициентов аппроксимирующего полинома расчётное значение критерия Стьюдента сравниваем с табличным.

Если ti<tт следует, что коэффициент существенного влияния на функцию отклика не оказывает, и этот коэффициент исключают из полинома.

Рассматриваемая проверка показала, что из рассмотренного уравнения следует исключить b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7 и b9, тогда аппроксимирующий полином примет вид:

Проверим адекватность модели исследуемому объекту по критерию Фишера.

Имеем Fт = 2,906 > F = 0,504. Следовательно, гипотеза об адекватности выбранной модели не отвергается.

Интерпретация результатов эксперимента:

Из трех факторов линейно влияющих на функцию отклика не выделяется ни один.

Так и при эффекте парного взаимодействия ни один фактор не оказывает влияния на функцию отклика.

Среди факторов нелинейного взаимодействия выделился только один: X2.

С увеличением X2 - функция отклика увеличивается (т.к. перед 0,277 ( (x2) 2-d) стоит "+").

Заключение

В данной курсовой работе был рассмотрен метод обработки данных - планирование эксперимента, его особенности и этапы его реализации.

С помощью данного метода был составлен план эксперимента типа 23.

Мной был составлен план эксперимента, найдены коэффициенты аппроксимирующего полинома в виде полной квадрики. Я оценил значимость коэффициентов аппроксимирующего полинома с помощью критерия Стьюдента, поверил адекватность найденного уравнения регрессии с помощью критерия Фишера, дал интерпретацию полученных результатов.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены