Багатокрокові алгоритми прогнозування і оцінювання нестаціонарних параметрів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Багатокрокові алгоритми прогнозування і оцінювання нестаціонарних параметрів

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Досягнення науково-технічного прогресу обумовили бурний розвиток нових інформаційних технологій і, як наслідок цього, виникнення складних технічних комплексів керування об'єктами різних типів. Необхідність вирішення задач керування в реальному масштабі часу пред'являє певні вимоги як до алгоритмів керування, так і до математичних моделей досліджуваних об'єктів.

Слід відзначити, що математичні моделі, які створюються, використовуються не тільки з метою безпосереднього керування, а й з метою прогнозування майбутньої поведінки об'єкту. Це дозволяє підвищити ефективність керування шляхом завчасної корекції керуючих сигналів. Крім того, задача прогнозування є досить важливою і сама являє собою безумовний інтерес. Таким чином, вибір та обгрунтування математичної моделі є центральними питаннями математичного прогнозування.

У зв'язку з тим, що в реальних процесах є елемент випадковості, при вирішенні задач прогнозування та ідентифікації використовують алгоритми, в основі яких, як правило, лежать теорія найменших квадратів (регресійний аналіз), теорія марківських процесів, теорія умовних гаусівських процесів і які потребують різного об'єму знань вірогідносних характеристик досліджуваного об'єкту. В умовах відсутності або неповноти апріорної інформації найбільш ефективним є використання теорії найменших квадратів. Слід відзначити, що метод найменших квадратів (МНК) та його рекурентний аналог - рекурентний МНК (РМНК) на цей час достатньо добре вивчено та апробовано на практиці.

Однак якщо параметри досліджуваних об'єктів змінюються, то застосовують деякі модифікації РМНК. Зокрема гарних результатів можна досягти, якщо одержати рекурентні алгоритми метода поточного регресійного аналізу (ПРА), в якому використовується кінцева кількість вимірювань. В літературі такі алгоритми називають багатокроковими.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до координаційного плану науково-дослідних робіт Харківського державного технічного університету радіоелектроніки в рамках госпдоговірної роботи №94-33-1 «Розробка принципів побудови, методів та алгоритмів математичного моделювання складних динамічних об'єктів» та в рамках держбюджетної теми «Розробити нові принципи ідентифікації багатовимірних технологічних комплексів в умовах дії кольорових завад».

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає в розробці та дослідженні багатокрокових алгоритмів прогнозування та оцінювання нестаціонарних параметрів в умовах апріорної невизначеності та створення необхідного програмного забезпечення.

Поставлена мета обґрунтувала такі задачі дослідження:

вивчення та аналіз існуючих підходів до прогнозування та оцінювання нестаціонарних параметрів об'єктів керування;

розробка та дослідження багатокрокових алгоритмів прогнозування та оцінювання нестаціонарних параметрів об'єктів, що функціонують в умовах суттєвої апріорної невизначеності;

розробка рекомендацій щодо вибору параметрів багатокрокових алгоритмів прогнозування та оцінювання;

програмна реалізація розроблених алгоритмів та проведення машинного експерименту з метою доведення їх ефективності;

застосування розроблених алгоритмів при вирішенні конкретних практичних задач.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що

розроблено багатокрокові адаптивні алгоритми прогнозування та оцінювання нестаціонарних параметрів, які поєднують в собі властивості алгоритмів ПРА та МНК з експоненційним зважуванням інформації;

проведено дослідження питань збіжності запропонованих алгоритмів;

досліджено питання обчислювальної стійкості багатокрокових алгоритмів прогнозування та оцінювання, розроблено регуляризовані багатокрокові алгоритми, досліджено їх збіжність та запропоновано рекомендації щодо вибору їх параметрів;

запропоновано алгоритм d-крокового прогнозування, який має зону нечтливості, та досліджено його збіжність;

розроблено систему імітаційного моделювання рекурентних алгоритмів прогнозування та оцінювання, яка дозволяє проводити всебічні дослідження та порівняльний аналіз алгоритмів.

Практичне значення одержаних результатів роботи полягає в тому, що розроблені багатокрокові адаптивні алгоритми дозволяють успішно вирішувати широкий клас задач прогнозування, оцінювання та керування за умов апріорної невизначеності і при цьому є інваріантними до конкретного типу досліджуваного об'єкту.

Отримані в ході виконання дисертаційної роботи результати знайшли застосування в Державному науково-дослідному та проектному інституті основної хімії «Ніохім» м. Харків при розробці АСУ технологічними процесами виробництва кальцинованої соди на Кунградському содовому заводі, а також в навчальному процесі на кафедрі ЕОМ Харківського державного технічного університету радіоелектроніки.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати одержано особисто здобувачем. В роботах [1, 2, 7, 8] автору належать модифікації багатокрокових алгоритмів, в роботі [3] - процедура корекції зони нечутливості; в роботі [4] - доведення збіжності алгоритму; в роботах [5, 6] - алгоритми оцінювання; в роботах [9, 12] - імітаційне моделювання; в роботах [10, 13] - розробка методики моделювання.

Апробація результатів роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на Українських конференціях по автоматичному керуванню «Автоматика 96» (Севастополь, 1996), «Автоматика 99» (Харків, 1999), 1-й - 5-й Міжнародних конференціях «Теорія і техніка передачі, прийому та обробки інформації» (Харків, Туапсе (РФ), 1995-1999), 1-му Міжнародному молодіжному форумі «Електроніка і молодь в ХХI сторіччі» (Харків, 1997), 42-му Міжнародному науковому колоквіумі (Ільменау, Німеччина, 1997).

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 13 друкованих праць, з них 6 у наукових фахових виданнях, 7 доповідей та тез.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновку і додатків і має загальний обсяг - сторінок. Містить - малюнків, - таблиць, список використаних літературних джерел з - найменувань.

Основний зміст роботи

алгоритм прогнозування нестаціонарний багатокроковий

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, її наукову та практичну цінність, сформульовано мету роботи, подано її загальну характеристику.

Перший розділ дисертації присвячено огляду стану проблеми та постановці задачі дослідження.

Описано технологічну схему виробництва кальцинованої соди (ВКС) та розглянуто питання оптимізації процесів ВКС. Труднощі вирішення задачі оптимізації обумовлені складністю фізико-хімічних процесів переробки сировини, відсутністю достатньо повних математичних моделей цих процесів, нестаціонарністю їх характеристик, суттєвим впливом збурень технологічних режимів, які виникають внаслідок зміни параметрів потоків газів та теплових режимів холодильників і т.д. У зв'язку з тим, що найбільшим циклом ВКС є аміачний, а ефективність роботи відділення цього циклу суттєво впливає як на ефективність роботи суміжних відділень, так і на якість готового продукту, розглянуто проблему створення адаптивної системи керування цим циклом. Показано, що така система повинна містити в контурі зворотного зв'язку ідентифікатор, який не тільки оцінює та уточнює параметри математичної моделі з метою корегування у реальному часі керуючих сигналів, а й прогнозує значення вихідних змінних. Розглянуто існуючі алгоритми однокрокового та особливості d-крокового прогнозування за допомогою відповідних модифікацій РМНК.

Сформульовано задачу прогнозування як задачу синтезу математичної моделі, вирішення якої включає вибір структури моделі (структурна ідентифікація) та оцінювання її параметрів (параметрична ідентифікація). Розглянуто існуючі методи структурної ідентифікації та види математичних моделей, що використовуються з метою прогнозування. Показано, що ці моделі можна звести до рівняння псевдолінійної регресії із змінними коефіцієнтами

, (1)

де - вектор вихідних сигналів;

- матриця вхідних сигналів;

- вектор параметрів моделі;

- вектор завад; - дискретний час.

Нестаціонарність N-вимірного вектора параметрів обумовлює використання для їх оцінювання рекурентних алгоритмів, ефективність застосування яких суттєво залежить від апріорної інформації про характер дрейфу параметрів. У зв'язку з тим, що така інформація найчастіше відсутня, основна увага приділяється саме алгоритмам, що дозволяють оцінювати параметри в умовах апріорної невизначеності. Існуючі алгоритми базуються на МНК і являють собою різні модифікації РМНК, найбільш відомим серед яких є РМНК з експоненційним зважуванням інформації. Якщо в цих алгоритмах використовуються всі вимірювання, що надійшли, то інший підхід до оцінювання нестаціонарних параметрів полягає в використанні обмеженої кількості вимірювань або так званого змінного вікна.

Основна мета дослідження полягає в побудові рекурентних алгоритмів оцінювання, що потребують обмежену кількість інформації, та вивченню їх властивостей.

Другий розділ дисертації присвячено розробці рекурентних алгоритмів оцінювання нестаціонарних параметрів, що базуються на методі ПРА.

Як відомо, накопичення інформації дозволяє фільтрувати заваду, що неможливо при використанні обмеженої кількості вимірювань. Тому з метою надання алгоритму додаткових фільтруючих властивостей при його побудові використовується ідея експоненційного зважування інформації. Відповідна оцінка має вигляд:

, (2)

де - матриця;

- вектор;

- матриця;

- коефіцієнт зважування; - оцінка вектора параметрів , яку одержано на (n+1) - у такті по L останнім вимірюванням; - кількість вимірювань (змінне вікно), що використовується в алгоритмі.

Особливістю алгоритмів з є те, що при побудові оцінок матриці та вектори вимірювань на кожному такті процесу оцінювання формуються наступним чином: до них включається інформація про вимірювання, які щойно надійшли, та виключається стара інформація. Залежно від того, як формуються ці матриці та вектори (додається спочатку нова інформація - «накопичення», а потім виключається стара - «скидання» або навпаки, спочатку виключається застаріла, а потім додається нова), можливі дві рекурентні форми оцінки (2), які реалізують правила «накопичення-скидання» та «скидання-накопичення». Обидві ці формули можна одержати, враховуючи блокову структуру векторів та матриць, що входять в (2), та використовуючи лему про обернення матриць. Так оцінка, що реалізує правило «накопичення-скидання», має вигляд:

накопичення інформації:

; (3)

; (4)

скидання інформації:

; (5)

. (6)

Як видно із співвідношень (3) - (6), для корекції оцінки с_n|L при надходженні нової інформації обчислюються допоміжна оцінка c_n+1|L+1 та допоміжна коваріаційна матриця P_n+1|L+1. В роботі одержано також формули перерахування оцінки c_n+1|L безпосередньо з оцінки с_n|L, які не використовують ці допоміжні обчислення (ці формули достатньо громіздкі і тому не наводяться). Відповідні рекурентні співвідношення одержано і для оцінки, яка корегується за правилом «cкидання-накопичення».

Для дослідження питань збіжності запропонованих алгоритмів вводиться функція Ляпунова

, (7)

де - вектор похибки оцінювання на (n+1) - y такті, при використанні L останніх вимірювань.

Доведено, що присутня в (7) матриця , яка має вигляд

, (8)

є визначеною, якщо початкова матриця P_0|L вибрана невід'ємно визначеною (наприклад, як в РМНК). Встановлено умови, які повинні виконуватись, щоб функція Ляпунова була невід'ємною та обмеженою. Доведено, що в разі, коли ці умови виконуються, похибка оцінювання з часом зменшується.

Аналіз усталеного режиму показав, що у випадку , оцінка (3) - (6) незміщена. Розглянуто окремий випадок , який відповідає рекурентному алгоритму ПРА без зважування інформації і нерекурентна форма якого досить часто використовується на практиці.

Запропоновані алгоритми використовують обмежену кількість вимірювань (змінне вікно) L та коефіцієнт зважування інформації . Очевидно, що якість прогнозування та оцінювання суттєво залежить від вибору цих параметрів. Слід відзначити, що на властивості цих алгоритмів також впливає вибір початкових значень коваріаційних матрицьP_0|L. Однак це питання досить добре вивчено для РМНК, а так як в основі алгоритмів, що пропонуються, і лежить РМНК, то при їх використанні слід брати до уваги існуючі рекомендації. Тому в роботі більш докладно розглядаються особливості вибору параметрів L і .

Показано, що з точки зору боротьби з завадами параметр L слід вибирати якомога більшим (в РМНК L =n, тобто використовуються всі вимірювання), а з точки зору кращих динамічних властивостей - не дуже великим. Так в разі лінійного дрейфу параметрів, зміщення оцінок, які одержано за допомогою алгоритму ПРА, визначається як

, (9)

а середньоквадратичне відхилення -

, (10)

де - символ математичного сподівання;

;

- дисперсії корисного сигналу та завади відповідно.

З (9) видно, що із зростанням L зміщення оцінок також зростає. З другого боку, із збільшенням L зменшується частина середньоквадратичного відхилення, яка обумовлена наявністю завади (другий доданок у правій частині (10)). Таким чином, оптимальне значення L залежить від швидкості дрейфу параметрів, що оцінюються, та статистичних властивостей корисних сигналів та завад. А так як ця інформація найчастіше є невідомою, то використати на практиці це оптимальне значення L вивляється неможливим.

Якісний аналіз одержаних співвідношень дозволив зробити висновок про те, що при оцінці нестаціонарних параметрів при малому рівні завад слід брати , а при зростанні рівня завад збільшувати до 2N, коли внесок завад стає порівнянним з внеском нестаціонарності.

Розглянуто методи вибору коефіцієнта з використанням процедур його, які враховують перевірку додатної визначеності коваріаційної матриці Р.

Алгоритми типу (3) - (6) служать для оцінювання нестаціонарних параметрів та однокрокового прогнозування. В роботі розглянута задача d-крокового прогнозування за допомогою модифікованих рекурентних алгоритмів ПРА з експоненційним зважуванням інформації.

У третьому розділі розглядаються питання підвищення обчислювальної стійкості процесів прогнозування та оцінювання.

Для обернення матриці , що використовується при обчисленні оцінок, потрібне виконання припущення щодо лінійної незалежності між L останніми векторами спостережень. Якщо це припущення порушується, то в цьому випадку задача оцінювання пов'язана з вирішенням погано обумовлених систем рівнянь. Для уникнення цього можна здійснювати фільтрацію вхідних сигналів, коли на вхід блока обчислень поступають не всі вхідні сигнали, а тільки ті, що пройшли крізь фільтр з параметрами , та , тобто задовольняють умовам

,

.

Перша умова накладає обмеженість на довжину вектора, а друга - на напрямок між та підпростіром, який натягнуто на попередній вектор. Однак такий підхід незручно використовувати при оцінюванні в реальному часі. У зв'язку з тим, що погана обумовленість матриці спостережень веде до зростання довжини оцінок, доцільним уявляється перехід до скорочених оцінок і насамперед до регуляризованих.

По аналогії з регуляризованим МНК в роботі пропонується регуляризований ПРА, оцінка якого має вигляд

, (11)

де - параметр регуляризації, I - (NxN) - одинична матриця.

Введення критерію дозволяє знайти такі значення , для яких , тобто такі значення параметра регуляризації, при яких середня сума квадратів похибок регуляризованої оцінки буде меншою, ніж нерегуляризованої. Це питання докладно вивчається в роботі.

Якщо оцінку записати у вигляді

, (12)

то рівняння (12) описує багатовимірний фільтр із випадковими параметрами, вхідними сигналами якого є та . Випадковість параметрів фільтра обумовлена випадковістю і . В роботі доведено, що при виборі фільтр є абсолютно асимптотично стійким. Крім того, показано, що введення в алгоритм регуляризуючої добавки зменшує вплив шуму на точність оцінювання.

Запропоновано регуляризований алгоритм ПРА з експоненційним зважуванням інформації і одержано його рекурентні форми, які реалізують правила «накопичення-скидання» та «скидання-накопичення». Так для працюючого за правилом «накопичення-скинення» регуляризованого алгоритму ТРА співвідношення (3), (4) набувають вигляду

; (13)

, (14)

, а формули (5), (6) не змінюються.

Досліджено питання збіжності регуляризованих алгоритмів і доведено, що при виконанні умов збіжності для нерегуляризованих алгоритмів ПРА будуть виконуватися і умови збіжності для регуляризованих при виборі .

Аналіз отриманих результатів свідчить про те, що для найбільш ефективної роботи алгоритмів параметр регуляризації повинен бути змінним. Показано, що вибір оптимального значення залежить від апріорної інформації про дрейф параметрів, що оцінюються і прогнозуються, та статистичні властивості корисних сигналів та завад. Одне з рішень можна одержати, якщо апроксимувати в окіллі точки і скористатися методом Ньютона-Рафсона. Але і такий підхід вимагає забагато інформації. Тому на практиці слід виходити з конкретної ситуації, задаючи параметр досить малим, але таким, що дозволяє одержати оцінки, коли матриця спостережень погано обумовлена.

Якщо відносно завади відомо тільки те, що вона є обмеженою по амплітуді

, (15)

то значного спрощування процесів оцінювання та прогнозування, а разом з тим і підвищення їх стійкості можна досягти, якщо використати в алгоритмах зону нечутливості. Введення зони нечутливості полягає в застосуванні в алгоритмах замість відхилення функції

(16)

де параметр.

Це є доцільним ще й тому, що навіть коли параметри моделі (1) визначено точно, значення вихідних сигналів об'єкта та моделі будуть відрізнятися на величину завади (15). Такий підхід використано при вирішенні задачі d-крокового прогнозування нестаціонарного процесу за допомогою регуляризованого алгоритму типа Качмажа, який має вигляд

, (17)

де - функція, яка визначається (17); - нормалізована похибка прогнозування; m_n+1 - параметр нормалізації, який обчислюється на кожному такті як

, (18)

де ; р - параметр, який впливає на швидкість збіжності.

Дослідження питань збіжності алгоритму (17) показало, що для того, щоб функція Ляпунова була невід'ємною та обмеженою, повинна задовольняти умовам

, (19)

де ;

;

; , .

Як випливає з (19), розмір зони нечуйності залежить від часу, параметрів алгоритму p і , параметра нормалізації m_n+1 та нестаціонарності об`єкта, що досліджується, . Перевірити одержану нерівність на практиці неможливо, але це можна зробити при імітаційному моделюванні. Проведено аналіз (19) з використанням спрощень, коли невідомі величини замінюються їх оцінками, а модель дрейфу лінійна. Аналіз одержаних результатів свідчить про можливість корекції зони нечутливості на кожному такті. Відповідне правило корекції для алгоритму (19) має вигляд

(20)

Четвертий розділ присвячено експериментальним дослідженням синтезованих алгоритмів та їх практичному застосуванню.

З метою проведення всебічного аналізу алгоритмів та перевірки одержаних теоретичних результатів було розроблено моделюючий комплекс побудований за модульним принципом, який дозволяє об'єднувати програмні коди, що згенировано компіляторами різних мов. Описано головні блоки комплексу, за допомогою яких можна провести моделювання будь якого рекурентного алгоритму оцінювання та прогнозування. В дисертації приведено структуру програми, інтерфейс користувача, освітлено основні принципи моделювання та наведено результати статистичних досліджень.

Рисунок. Вікно графічного блоку

Моделювання дозволило провести порівняльний аналіз алгоритмів і розробити рекомендації щодо їх практичного використання.

Результати проведених досліджень були використані в Державному науково-дослідному та проектному інституті основної хімії «Ніохім», м. Харків при створенні автоматизованої системи керування технологічними процесами ВКС на Куградському содовому заводі (Узбекістан).

У висновках стисло сформульовано основні наукові та практичні результати дисертаційної роботи.

Основні результати та висновки

Проведено аналіз сучасного стану проблеми прогнозування та оцінювання нестаціонарних параметрів в умовах апріорної невизначеності. Розглянуто задачу прогнозування як задачу синтезу математичної моделі і висвітлено основні етапи її вирішення. Проаналізовано існуючі моделі та алгоритми оцінювання нестаціонарних параметрів при відсутності інформації про характер їх дрейфа. Обгрунтовано використання багатокрокових рекурентних алгоритмів, які поєднують в собі властивості алгоритмів ПРА та РМНК з експоненційним зважуванням інформації.

Запропоновано модифіковану оцінку ПРА та одержано кілька її рекурентних форм, які відрізняються між собою послідовністю використання інформації, що надходить, і реалізують правила «накопичення-скидання» та «скидання-накопичення». Досліджена збіжність алгоритмів і встановлено умови невід'ємності та обмеженості введених функцій Ляпунова. Доведено, що в разі виконання цих умов похибка оцінювання з часом зменшується. Аналіз усталеного режиму оцінювання стаціонарних параметрів показав, що в цьому випадку запропоновані рекурентні оцінки є незміщеними. Розроблені рекурентні співвідношення модифіковано з метою використання їх для вирішення задачі d-крокового прогнозування.

Розглянуто питання щодо вибору параметрів багатокрокових алгоритмів: кількості вимірювань L, які використовуються в алгоритмах, та коефіцієнта зважування інформації . Показано, що їх оптимальні значення залежать від характеру нестаціонарності об'єкта та статистичних властивостей корисних сигналів та завад. Так збільшення L приводить, з одного боку, до зростання зміщення оцінок нестаціонарних параметрів, а з другого - до зменшування частини середньоквадратичного відхилення, яка обумовлена наявністю завад. Вибір фіксованого значення може привести до званого «вибуху параметрів» коваріаційної матриці. Якісний аналіз одержаних співвідношень дозволив розробити рекомендації щодо вибору L і при практичному застосуванні запропонованих алгоритмів.

Проаналізовано методи підвищення обчислювальної стійкості багатокрокових алгоритмів прогнозування та оцінювання. Показано, що одним з найбільш ефективних методів є попередня фільтрація вхідних сигналів, застосування якої незручно, однак, в реальному часі. Використання ідеї регуляризації дозволило одержати стійкі модифікації ПРА - регуляризовані оцінки ПРА. Вивчено вплив параметра регуляризації на властивості алгоритму ПРА, який являє собою багатовимірний фільтр. Доведено, що цей фільтр є абсолютно асимптотично стійким. Досліджено питання збіжності регуляризованих багатокрокових алгоритмів та ефективного вибору параметра регуляризації.

Розглянуто практичні передумови використання спрощених алгоритмів прогнозування та оцінювання. Показано, що при наявності інформації тільки про обмеженість завад доцільно використовувати в алгоритмах зону нечутливості. Синтезовано алгоритм d-крокового прогнозування та досліджена його збіжність. Запропоновано правило адаптивної корекції зони нечутливості.

За результатами теоретичних досліджень розроблено комплекс програм моделювання, що реалізують синтезовані алгоритми. Проведено імітаційні експерименти, які підтвердили працездатність розроблених процедур. Дано порівняльну характеристику розроблених алгоритмів з відомими та розроблено рекомендації щодо їх практичного застосування.

За допомогою синтезованих алгоритмів побудовано математичні моделі технологічних процесів аміачного циклу виробництва кальцинованої соди, які були використані в Державному науково-дослідному та проектному інституті основної хімії «Ніохім» м. Харків при створенні АСУ ТП на Кунградському содовому заводі.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Руденко О.Г., Агаджанов С.Г., Теренковский И.Д. Модификация алгоритмов рекуррентного МНК для идентификации нестационарных параметров при наличии ограниченных помех // АСУ и приборы автоматики: Сб.науч. трудов. - Вып.105. - Харьков: ХТУРЭ. -1997. - С. 16-21.

Агаджанов С.Г., Панасенко Ю.А., Теренковский И.Д. Об одной модификации многошагового алгоритма идентификации // АСУ и приборы автоматики: Сб.науч. трудов. - Вып.106. - Харьков: ХТУРЭ. -1997. - С. 30-33.

Агаджанов С.Г., Роговенко В.В., Теренковский И.Д., Тимофеев В.А. Алгоритмы идентификации с адаптивно настраиваемой зоной нечувствительности // АСУ и приборы автоматики: Сб.науч. трудов. - Вып.107. - Харьков: ХТУРЭ. -1998. - С. 86-95.

Руденко О.Г., Теренковский И.Д., Штефан А., Ода Г.А. Модифицированный алгоритм текущего регрессионного анализа в задачах идентификации и прогнозирования // Радиоэлектроника и информатика. -1998. - №4. - С. 58-61.

Аксак Н.Г., Агаджанов С.Г., Теренковский И.Д. Об одном регуляризованном алгоритме идентификации // Радиоэлектроника и информатика. -1999. - №1. - С29-31.

Аксак Н.Г., Руденко О.Г., Теренковский И.Д. Адаптивное оценивание нелинейной модели Гаммерштейна // Вестник ХГПУ. Системный анализ, управление и информационные технологии. - Харьков. -1999. - Вып.70. - С. 104-107.

Модифицированные алгоритмы МНК в задаче идентификации линейного нестационарного объекта / Агаджанов С.Г., Руденко О.Г., Теренковский И.Д.; ХТУРЭ. - Харьков, 1996. -6 с. - Библиогр.: 8 назв. - Рус. Деп. В ГНТБ Украины 29.04.96, №1092-Ук96.

Агаджанов С.Г., Панасенко Ю.А., Теренковский И.Д. Идентификация нестационарных параметров с помощью модифицированных алгоритмов МНК // Праці 3-ї укр. конф. з автоматичного керування «Автоматика-96». - Том 1. - Севастополь: СевГТУ. -1996. - С. 130.

Агаджанов С.Г., Руденко О.Г., Теренковский И.Д. Об одном подходе к задаче оценивания нестационарных параметров при наличии ограниченных помех // Труды 2-й Междунар. конф. «Теория и техника передачи, приёма и обработки информации». - Харьков-Туапсе. -1997. - С. 268.

Aкcaк H.Г., Панасенко Ю.А., Теренковский И.Д. О численном построении модифицированных алгоритмов со скользящим окном при наличии коррелированных помех // 3-я Международная конференция «Теория и техника передачи, приема и обработки информации». Тез.докл. - Туапсе, -1997. - С. 156.

Теренковский И.Д. Влияние ошибок априорных статистических характеристик на точность оценок // 1-й Международный молодежный форум «Электроника и молодежь в XXI веке». Тез.докл. /ХТУРЕ. - Харьков: ХТУРЭ, -1997. - С. 265

Аксак Н.Г., Агаджанов С.Г., Теренковский И.Д. Использование экспертных оценок при исследовании алгоритмов параметрического оценивания // 4-я Межд. конф. «Теория и техника передачи, приема и обработки информации». - Научные труды. ХТУРЭ, - Харьков, -1998. - С. 198.

Aкcaк H.Г., Теренковский И.Д. Численное исследование параметров нелинейной нестационарной модели Гаммерштейна // 5-я Международная конференция «Теория и техника передачи, приема и обработки информации». Научные труды. ХТУРЭ, - Харьков, -1999. - С. 406-408.

Размещено на Allbest.ru

...