Моделирование вероятностных сетей на основе систем массового обслуживания

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВС НА ОСНОВЕ СИСТЕМ И СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

сеть массовый обслуживание вероятностный

Система массового обслуживания (СМО) - это объект, в котором выполняется последовательность операций. Система может осуществлять конечное число операций различного типа. Элемент системы, в котором происходят операции, называется обслуживающим прибором. Физическая и алгоритмическая сущность операций игнорируется.

Операции выполняются на приборах по заявкам. Заявки могут быть внешними(входящими в систему извне) и внутренними (возникающими в момент окончания операции). В СМО могут возникать очереди заявок. Очередь - это совокупность заявок, ожидающих обслуживания в момент, когда прибор занят.

По количеству обслуживающих приборов СМО делятся на одноканальные и многоканальные (рис. 1.).

Рис. 1. а - одноканальная СМО; б - многоканальная СМО

В многоканальных СМО каждый прибор может обслужить заявку. Каналы могут иметь одинаковые или разные параметры обслуживания. Правила определения длительности обслуживания, возможности прерывания обслуживания, дообслуживания заявок после завершения прерывания или после восстановления отказавшего прибора принято называть дисциплиной обслуживания.

Во многих случаях модели ВС могут быть представлены в виде совокупности взаимосвязанных обслуживающих устройств с очередями (систем массового обслуживания), в которой запросы с определенной вероятностью переходят от одного устройства к другому. Такая совокупность систем массового обслуживания (СМО называется сетью массового обслуживания. Аппарат теории массового обслуживания широко используется для построения моделей производительности ВС. Наиболее характерный момент функционирования сети массового обслуживания - наличие очередей, в которых поступившие заявки ждут момента освобождения ресурсов, занятых обслуживанием других, например, ранее поступивших заявок. Поэтому сети систем массового обслуживания часто именуются сетями очередей.

Сеть массового обслуживания задается следующим набором параметров:

- параметрами источника заявок;

- структурой, определяющей конфигурацию связей и вероятности передачи заявок между узлами сети;

- параметрами узлов сети (систем массового обслуживания): дисциплиной обслуживания, числом одинаковых обслуживающих аппаратов (каналов) в каждом узле, распределением длительности обслуживания заявок в каждом узле сети.

Функционирование сети массового обслуживания определяется совокупностью узловых и сетевых характеристик. Узловые характеристики оценивают функционирование каждой СМО и включают в себя характеристики потока заявок, поступающего на вход узла, и весь набор характеристик, присущих СМО. Сетевые характеристики оценивают функционирование сети в целом и включают в себя:

- загрузку - среднее по времени число заявок, обслуживаемых сетью, и одновременно среднее число каналов, занятых обслуживанием;

- число заявок, ожидающих обслуживания в сети;

- число заявок, находящихся в сети (в состоянии ожидания и обслуживания);

- суммарное время ожидания заявки в сети;

- суммарное время пребывания заявки в сети.

Сети массового обслуживания часто дополняют специальными узлами, расширяющими возможности воспроизведения различных способов организации функционирования ВС. Например, в сетевые модели включают узлы памяти, моделирующие работу запоминающих устройств. Обслуживание заявки, поступившей на вход узла памяти, сводится к выделению затребованной емкости памяти. Если в памяти отсутствует область требуемого размера, заявка ставится в очередь и ожидает момента освобождения памяти, предоставленной ранее поступившим заявкам. Возможности сети могут расширяться за счет введения узлов, управляющих маршрутами заявок: направляющих заявку одновременно по нескольким маршрутам; синхронизирующих движение заявок; изменяющих атрибуты заявок. Сети массового обслуживания с дополнительными узлами получили название стохастических сетей.

Стохастические сети воспроизводят процессы многоэтапного обслуживания, когда обслуживание заявки производится за счет последовательного обращения к ресурсам, в том числе и многократного. Достоинством сети является ее структурное подобие реальной системе. Состав узлов и конфигурация связей между ними соответствует составу устройств и порядку их взаимодействия в реальной системе. За счет этого значительно упрощается процесс построения сетевых моделей и обеспечивается адекватность процессов функционирования сетей и моделируемых ими систем.

Для описания ВС используются разомкнутые и замкнутые стохастические сети. В разомкнутой (открытой) сети интенсивность входного потока заявок задается внешней средой без учета состояния сети (рис. 2, а). После завершения обслуживания заявки покидают сеть.

сеть массовый обслуживание вероятностный

Рис. 2. Разомкнутая (а) и замкнутая (б) стохастические сети

Разновидностью разомкнутой сети является последовательная цепочка одноканальных или многоканальных СМО. Такую систему, в которой заявки обслуживаются последовательно несколькими СМО, называют многофазной.

В замкнутой сети интенсивность поступления заявок зависит от состояния сети: очередная заявка поступает в сеть только после завершения полного обслуживания одной из предыдущих заявок. Поэтому в замкнутой сети количество заявок постоянно и равно тому числу, которое может одновременно обслуживаться сетью. В данном случае можно говорить о фиктивном источнике заявок и считать, что в сеть не поступают заявки извне и сеть не покидают заявки, а в ней циркулирует постоянное число заявок.

Если в стохастической сети есть СМО с двумя и более выходами, т.е. такие СМО, после обслуживания которыми поток заявок разветвляется, то задаются правила разветвления потока. В этом случае обычно указывают вероятности передачи заявки по тому или иному пути.

Рассмотрим ряд частных типов сетевых моделей, используемых для воспроизведения различных сторон функционирования ВС.

1.1 Детерминированные сети очередей

Рассмотрим систему, которая характеризуется наличием каналов прямого доступа в память со стороны накопителей на лентах (НМЛ) и дисках (НМД), а также со стороны терминалов объекта управления. Процессор может запустить операции в каналах, освободившись для выполнения других задач. Каналы обеспечивают отработку операций управления в НМЛ и НМД, а также пересылку данных между ними и основной памятью. Запросы от терминалов объекта управления и обращения к ним со стороны системы обслуживаются каналом 4. Коэффициент мультипрограммирования в системе равен количеству терминалов объекта. Внутреннее управление системой реализуется аппаратными средствами (каналами, контроллерами дисков и т.п.) и программными средствами ОС. Одной из функций ОС является организация и отработка очередей к ресурсам системы. Очереди формируются к , каналам, каждому из НМД и НМЛ. Современные мультипрограммные ОС поддерживают одновременную обработку заданий путем разделения между ними системных ресурсов. При этом достигается максимальное совмещение прикладных задач пользователей при чередовании обработки на центральном процессоре и периферийных средствах.

Для рассматриваемой мультипрограммной системы построим модель взаимодействия системных и прикладных программ при выполнении заданий. Система моделируется сетью обслуживающих узлов, каждый из которых соответствует определенной функции ресурсов системы. Процесс решения задачи можно представить маршрутом его прохождения через различные узлы сети. Если все задачи мультипрограммной смеси одинаковы и не взаимодействуют между собой, то таким процессам соответствуют одинаковые маршруты. Структура маршрута прикладной программы определяется составом выполняемых операций и используемых при этом ресурсов.

На рис. 2 (б) изображена схема действия процесса, рассматриваемая с позиций проблемного программиста. Операции прикладной программы расположены в порядке их выполнения и включают: 1 - работа прикладной программы (счет 1); 2 - печать данных; 3 - обмен с НМД; 4 - работа прикладной программы (счет 2); 5 - выдача информации на объект управления. Макрокоманды запроса к печати, обмена с НМД и объектом управления интерпретируются управляющими программами ОС и инициируют работу соответствующих каналов. Эти операции пронумерованы следующими цифрами: 6 - выполнение программы управления печатью; 7 - выполнение программы управления НМД; 8 - управляющие действия на терминале объекта. Из рис. 2.3.(б) видно, что выполнение операций прикладной программы и ОС чередуется и в очереди к процессору размещаются запросы на обслуживание различного типа.

Рис. 2. (а) - функциональная схема системы; (б) - схема выполнения операций прикладной программы (процесса); (в) - сетевая модель процесса

Графическое представление путей движения процесса по узлам сети (очереди и ресурсы) рассмотрим на примере сети (рис. 2.(в)), построенной для отображения процесса (рис. 2. (б)). Сеть включает узлы ( - процессор, - печать. - НМД. - терминал объекта), используемые процессом и очереди к ним за исключением узла , у которого очередь не возникает, так как число терминалов равно числу процессов в системе. Совокупность узлов и очередей соединена дугами, каждая из которых указывает возможные пути движения процессов. Процесс может занимать ресурс узла или находиться в очереди к нему. Если при переходе процесса между узлами сети происходит переход от операции к операции , то у соответствующей дуги делается запись в виде . Поскольку рассматриваемый процесс создается по запросу от таймера, в модель введен нулевой узел , являющийся источником заявок. На дуге, соединяющей узлы и изображена запись , которая указывает на формирование начального значения атрибута-операции, которая становится равной 1. Обслужившись в узле (этап счета 1), процесс создает запрос на печать, обращаясь к операции 6. Эта операция выполняется узлом , поэтому у дуги, соединяющей выход узла и вход в очередь к нему, сделана запись . Эта запись указывает как дальнейший путь процесса после операции 1, так и новое значение его атрибута-операции. Если процесс по операции 6 обслужился в узле , то согласно схеме действий процесса (рис. 2. (б)) он должен уйти в узел . Формирование этой части маршрута процесса производится с помощью записи у дуги между узлами и . Аналогично делаются записи и у других дуг сети. Весь маршрут процесса можно представить последовательностью пар (узел, операция), указывающих на его состояния в динамике: (0, ), (, 1), (, 6), (, 2), (, 7), (, 3), (, 4), (, 8), (, 5), (,5), (, ). Первое и последнее состояние соответствует источнику и стоку модели.

Для выполнения операций процесса в узлах сети требуются различные значения времени обслуживания. В связи с этим временная спецификация модели представляется матрицей , элементы которой указывают время выполнения -ой операции в -м узле.

1.2 Стохастические сети очередей

К таким моделям относятся сети с очередями, сети в которых содержат элементы случайности. В естественном виде такие сети возникают, если только часть маршрута процесса предопределена, то есть когда элементы случайности присутствуют в алгоритмах управления или обработки либо, когда задается вероятность отказа какого-либо ресурса системы, вероятность некоторого состояния объекта управления или управляющей системы, определяющей порядок использования ресурса. Графическая часть модели строится также как и для детерминированного случая. Дополнительно указываются вектора времен обслуживания, типы обслуживающих приборов, а также матрица , описывающая вероятности межузловых переходов процесса.

Сетевая модель с элементами случайности представлена на рис. 2.4. Модель процессора представлена узлом . Модели ввода-вывода данных с НМД описаны двумя последовательными этапами: подвод головки дисковода и поиск информации представлены узлами и , а обмен через канал узлом . В моделях НМЛ и учтено время подвода головок, которое значительно больше времени обмена. Канал НМЛ представлен узлом , а объект управления узлом .

В отличие от сети на рис. 3., рассматриваемая модель замкнута относительно множества процессов. Пусть в результате действий объекта сформирован запрос. Дождавшись обслуживания в канале и затратив на него время , запрос направляется в очередь к (переход 77), где после его обслуживания в течение времени создается процесс. Создание процесса (операция7) завершается его запуском, что отражается переходом 71 и возвратом процесса в конец очереди к . Если при выполнении программы (операция 1) возникает запрос к базе данных, то процесс переходит к операции 2 (переход 12), и после получения может быть направлен к одному из накопителей информации. Поэтому на путях от узла к узлам , , , необходимо указать вероятности перехода для заявок к операции 2. Это и есть тот элемент случайности в сети, который складывается в результате динамики процессов взаимодействия проблемной задачи с базой данных.

Рассмотрим отработку запроса к супервизору ввода-вывода, обслуживающему диски. Когда запрос достигнет начала очереди к диску (узел ), он получит обслуживание, связанное с позиционированием головок чтения-записи на необходимые цилиндр и сектор. После выполнения этих действий процесс перейдет к операции 3 (переход 23), выполнение которой в узле обеспечивает создание данных, передаваемых канальной программе. Время выполнения операции 3 в узле включает время диспетчеризации процессора, а также время создания канальной программы чтения-записи. После выполнения этих подготовительных функций операции 3, она выполняется в канале (узел ) за время, необходимое для полного ввода данных с диска в основную память. Далее задание переходит к операции 4 и возвращается в , где получает обслуживание, необходимое для выхода из прерывания по обращению к канальной программе и планирования возврата к проблемной программе. Завершив выполнение системных функций операции 4, задание возвращается в к выполнению операции 1 (переход 41). Таким образом, завершается цикл выполнения системных операций по организации обмена данными между основной памятью и диском.



Рис. 3. Сетевая модель с элементами случайности:

1 - выполнение счета проблемной задачи; 2 - работа супервизора ввода-вывода, подготовка накопителя информации к вводу-выводу; 3 - подготовка и передача данных через канал; 4 - действия диспетчера процессора; 5 - прочие системные операции; 6 - действия супервизора памяти; 7 - создание процесса; 8 - вывод информации на объект, действие объекта управления.

Дуги, связывающие узлы и , содержат еще один элемент неопределенности трассы процесса, который должен задаваться вероятностной характеристикой. Если в результате ввода установлено, что необходимый массив данных введен полностью, то реализуется переход 34, иначе следует переход 36 и вызов супервизора памяти. Элемент случайности присутствует также в циклическом пути, охватывающем узел , где наряду с рассмотренным выше переходом 12 указаны переходы 14 и 15. Заметим, что в рассматриваемом примере потребовалось использовать вероятностные условия, приписываемые не только к паре узлов, но и к операциям заявок на межузловых связях.

1.3 Анализ сетей с очередями как моделей ВС

Наиболее эффективным и качественно ясным способом расчёта таких сетей является метод анализа средних (МАС). Метод применим также для сетей массового обслуживания, стохастических сетей. Сеть состоит из узлов или систем массового обслуживания, пронумерованных числами i = 0, 1, 2, …. Объект, который обслуживают в узлах, называют заявкой (запросом, сообщением, процессом).

Маршрут заявок описывает последовательность проходимых узлов и может характеризовать как детерминированные, так и случайные процессы.

Рассмотрим сети с активными ресурсами (узлами), трудоёмкость которых характеризуется временем v_ir, где r = 1,R - тип заявки и её цепь. Если r-заявки поступают в сеть из внешнего источника и после обслуживания покидают её, сеть называется открытой (разомкнутой) по отношению к цепи r. Сеть не имеющая внешних источников, называется замкнутой. В смешенных сетях существуют как открытые, так и замкнутые цепи заявок.

В зависимости от области приложений сети с несколькими типами заявок называют либо многоцепными, либо многопродуктовыми. В замкнутых цепях назначают узел, возможно даже фиктивный, который принимают за начало и конец маршрута. Некоторые из узлов могут повторятся в маршрутной цепи несколько раз. Число б_ir, характеризующее число визитов в узел i заявок маршрута r, называют коэффициентом посещения (передачи).

Коэффициент посещения в стационарном режиме обслуживания можно определить из отношения:

б_ir = л_ir / л_0r

где л_0r - интенсивность потока r-заявок из начального узла маршрутной цепи заявок.

л_ir - интенсивность потока заявок в узел i.

Для разомкнутой цепи величину л_0r задают. Для замкнутой цепи величина л_0r определяется как множество параметров сети и характеризует её производительность (пропускную способность).

В стохастической сети движение r-заявок описывают маршрутной матрицей вероятностей переходов P_r = | p_ij^r |, где p_ij^r - вероятность того, что r-заявка после обслуживания в узле i переходит к узлу j.

В стационарном режиме обслуживания для каждого из узлов записывают следующее условие баланса потоков:

Поскольку p_ij^r характеризует долю r-заявок, переходящих из узла i в узел j, то:

л_ji^r = л_jr p_ji^r

Поскольку для разомкнутой цепи задают поток из внешнего источника л_0r, то из уравнений можно найти л_ir и б_ir.

Для замкнутой цепи уравнение балансов потоков представляются однородной системой с бесконечным множеством решений. Поэтому для расчёта прочесов в замкнутых цепях в качестве исходных данных берут величины л_ir. Поскольку за полный цикл заявка посещает начальный узел трассы один раз, коэффициент посещения нулевого узла равен единице. Учитывая, что л_0r=1 и подставляя л_ir = б_ir л_0r в систему уравнений получаем уравнения для расчёта коэффициентов посещения замкнутой цепи:

б_ir = ?p_ji^rб_jr /(л_0r=1)

Для спецификации (описания) маршрута процесса в сетевой модели необходимо задать либо вектор коэффициентов посещения, либо матрицу вероятностей перехода. Если маршрут заявки детерминирован, он сразу описывается коэффициентами посещения, поскольку число визитов в каждый из узлов определено. Стохастический маршрут представляется матрицей Р.

Внутри каждой цепи переходы заявок могут задаваться не на множестве устройств i = l,N, а на множестве пар (i,l), где l = 1, 2, …, L. Если l?0, то сеть называется много- или мультиклассовой. Каждый из маршрутов многоцепной мультиклассовой сети характеризуется матрицей вероятностей передач: P_r = | P_il,js^r |. Элементы матрицы P_r задают вероятности переходов заявок к обслуживанию классом s в узле сети j, после обслуживания их в узле i классом l.

Состояние заявки внутри каждой цепи характеризуется парой (i,l), что позволяет с помощью P_il,js^r отражать сложные траектории движения заявок и строить модели реальных систем, которые обладают большей достоверностью по сравнению с одноклассовыми.

Интенсивность потока заявок в классе s системы i из других систем сети обозначим л_is. Уравнения баланса потоков стационарного режима сети имеют вид:

Для замкнутой сети из выражения можно определить лишь коэффициенты передачи по отношению к некоторой начальной точке маршрута, которая представляется парой (i, l) = (0, 1).

Коэффициент посещения б_is = л_is / л₀₁ характеризует число запросов на обслуживание s-го типа в узле i за полный цикл заявки. Поскольку (0, 1) - начальная точка маршрута, то б₀₁= 1. С учётом этого факта, а также того, что л_is = б_is л₀₁, из выражения получаем систему уравнений для вычисления коэффициентов посещения:

б_is = ?? б_jl p_jl,is

Разработаны эффективные способы расчёта сетей, реализующих в узлах следующие способы обслуживания:

· обслуживание в порядке поступления (FiFo);

· разделение времени (PS), предполагающее, что если в узле находится n запросов, то в единицу времени каждому из них будет представлен квант обслуживания длиною 1/n;

· прерывание на основе абсолютных приоритетов с дообслуживанием в обратном порядке;

· обслуживание без ожидания (Д)

Первые три способа представляют узлы, обслуживающие с ожиданием (узлы типа 1). Узлы второго типа, представляют индивидуальные ресурсы, закреплённые за процессом.

Введём обозначения:

n_il - среднее число заявок класса l в узле i;

n_i = ?_l n_il- среднее число заявок в узле i;

K_r = ?_i n_i - среднее число заявок цепи r;

K = ?_r K_r - число заявок в сети.

Состояние сети описывается вектором n = (n₁ n₂ … n_i … n_N), где n_i - состояние узла i.

В случае многопотоковой одноклассовой сети состояние узла представляется набором n_i = (n_i1 … n_ir … n_iR) Если p(n) - вероятность состояния сети, то их сумма по всем состояниям сети ?_n p(n) = 1.

Основной подход к расчёту сетей состоит в том, что делается группа предположений, используемых в теории стохастических процессов:

· система работает в стационарном режиме;

· процессы движения заявок стохастически независимы;

· задания переходят от узла к узлу по Марковской цепи в соответствии с матрицей вероятностей передач P = | P_ij |;

· распределение времени обслуживания в узлах экспоненциально и т. д.

Характеристики сетей находят через вероятности её состояний.

1.4 Базовые сети очередей

Такие сети - это подмножество общего класса сетевых моделей, для которых распределение вероятностей состояний представляется в особо простой аналитической форме. По времени анализа модели делят на быстрые, медленные и приближённые методы анализа основанные на базовых моделях.

К медленным моделям относятся многие Марковские модели сложных систем. Так решение систем с несколькими тысячами состояний упирается в проблему времени. В других случаях может потребоваться большой объём памяти. К медленным также часто относятся имитационные модели, но они обладают высоким правдоподобием в отображении процессов.

Для расчёта сетей, которые здесь названы базовыми, используется возможность представления вероятностей их состояний в форме произведения

P(S₁, S₂, … , S_N) = (P₁(S₁) P₂(S₂) … P_N(S_N))/G

где P_i(S_i) - вероятность того, что i-я система сети находится в состоянии S_i = 0, 1, 2, …, K; К - число заявок, циркулирующих в сети; G - нормализующая константа, выбираемая такой, чтобы сумма вероятностей всех состояний сети была единичной.

Выражение вероятности состояния сложной системы в виде произведения вероятностей состояния более простых систем (элементов сети) связано с поиском "независимости" между различными узлами сети, или, что тоже самое, с использованием декомпозиции (структурирования). Основой классических алгоритмов вычисления G(K) является операция свертки нескольких векторов, которая представима в виде рекуррентных выражений по многомерной схеме Горнера.

При расчёте замкнутых сетей используют также рекуррентные процедуры над такими характеристиками как средняя длина очереди, среднее время ожидания. Этот подход называют методом анализа средних (МАС). Алгоритмы свертки плохо интерпретируют содержательный (прикладной) смысл. МАС основан на ясных содержательных трактовках и разработан для решения численных проблем, возникающих в алгоритмах свертки.

Разомкнутые сети. представим математическое обеспечение для расчёта однородных экспоненциальных сетей с несколькими потоками заявок.

Математические модели названного класса описывают следующими исходными данными:

· интенсивность внешних источников пуассоновских потоков - л_0r;

· экспоненциально распределённой трудоёмкостью обслуживания в узле i - v_i = 1/м, где м - интенсивность обслуживания;

· коэффициентами посещения узлов i - б_ir.

Доказано, что в этих условиях сеть математически декомпозируется на множество несвязанных узлов. Характеристики сети рассчитывают следующим образом. Загрузка узла i со стороны потока заявок типа r

P_ir =л_irv_i = б_irл_0rv_i p_i = л_i/м_i v_i = 1/м_i

Тогда суммарная загрузка узла p_i =?_r p_ir.

Среднее время ожидания до начала обслуживания в узле i вычисляют по формуле:

W_ir = W_i = p_iv_i/(1-p_i)

Время пребывания:

v_ir = V_i = W_i + v_i = v_i/(1-p_i)

Воспользовавшись формулой Литма ( n_i = л_iV_i), найдём число заявок каждого типа в узле i:

n_ir = л_ir v_ir = p_ir + л_ir W_ir

Полное время пребывания заявки r в сети:

V_r = ?_i б_ir v_ir

1.5 Замкнутые сети. Алгоритм расчёта сети через вероятности состояний

Для замкнутых Марковских сетей вероятности состояний определяются из решений, представимых в форме произведения.

Если сеть состоит из FiFo-узлов, то вероятности состояний:

где p_i = л_i/м_i - загрузка i-ой системы, равная отношению интенсивности потока к интенсивности обслуживания в i-й системе;



Здесь А - множество векторов состояний системы (n₁ n₂ …n_N), для которых K ? n_i ? 0, при условии

?_i n_i = K

Загрузка i-й системы с учётом коэффициентов посещения б_i = л_i/л₀

p_i = x_i / л₀

где x_i = б_i v_i.

Из соотношений можно найти, что :

таким образом, первый шаг алгоритма предлагает вычисление по формулам (34) вероятностей всех возможных состояний сети.

На втором шаге эти значения используются для расчёта характеристик сети. Например, p_i=1- ?_ni=0 P(n₁…n_N), где суммирование ведётся по всем состояниям множества А, для которых число заявок в системе равно нулю,

n_i = ?_j jP(ni=j); j=1,…K,

где P(n_i = j) - суммарная вероятность всех состояний из множества А, для которых n_i = j.

Из выражения (33) следует, что пропускная способность сети л₀=p_i/б_iv_i, а время пребывания, определяемое по формуле Литла, V_i = n_i/л_i = n_i/б_iл₀.

Недостаток алгоритма заключается в необходимости хранения возможных состояний сети. Однако отвергать этот алгоритм не следует, так как он позволяет рассчитать любые тонкие свойства сети.

1.6 Алгоритм свертки

Алгоритм предусматривает последовательное нахождение нормализующих констант G₁ G₂ … и на их основе - необходимых характеристик сети. Для двухпотоковой сети

Рекуррентные вычисления дают в конце каждого двумерного цикла нормализующие константы G(K1,K2) = G_N(K1,K2). Значение G(K1,K2) используют для вычисления характеристик узлов сети.

Загрузка узла i со стороны каждого из потоков и их сумма:

Пропускная способность цепей:

л₀₁ = G(K1-1,K2)/G(K1,K2);

л₀₂ = G(K1,K2-1)/G(K1,K2).

Число заявок каждого из двух типов в узле i:

n_i1(K1,K2) = p_i1 (K1,K2) [1+n_i(K1-1,K2)];

n_i2(K1,K2) = p_i2 (K1,K2) [1+n_i(K1,K2-1)].

Время пребывания в узлах i заявок каждой из цепей:

V_i1(K1,K2) = v_i1[1+n_i(K1-1,K2)];

V_i2(K1,K2) = v_i2[1+n_i(K1,K2-1)]. (35)

Приведённые зависимости верны, если в FIFO-узлах время обслуживания не зависит от цепи, т. е. v_i1 =v_i2. В PS-узлах оно может различаться. При необходимости через G можно найти вероятности состояний и другие характеристики.

Основной недостаток алгоритма - большой диапазон изменения величины G, приводящий к переполнению, потери значности, погрешностям округления.

1.7 Метод анализа средних (МАС)

МАС может быть легко получен из алгоритма свертки и формул (n_i = л_iV_i) Литла для цепи и узлов сети. Так, в случае одноцепной сети при K1 = K из выражения (35) имеем:

(36)

tобсл. tожид. v_i

Исходя из формулы Литла для цепи и учитывая, что время полного цикла заявки в сети:

C(K) = ?_i б_iV_i(K) (37)

получаем

л₀(K) = K/C

а из формулы Литла для узла находим

n_i(K) = б_iл₀(K)V_i(K)

Заметим, что n_i(O) =0. Рекуррентные вычисления сразу дают искомые характеристики процессов и узлов сети. Загрузку находят из соотношения:

p_i(K) = б_iл₀(K)v_i .

Рассмотрим уравнение. Время пребывания заявки в узле i слагается из времени обслуживания v_i и времени ожидания, равного

W_i(K) = v_in_i(K-1)

Отсюда следует, что если число заявок сети равно К, то в момент прихода в узел i очередной заявки их среднее число в узле равно n_i(K-1), а поскольку каждая из заявок требует времени обслуживания v_i, необходимо подождать v_in_i(K-1) единиц времени до начала обслуживания пришедшей в узел заявки.

Содержательная трактовка формулы Литла

n_i(K) = л_i(K) V_i(K)

может быть следующей: В единицу времени в узел i приходит л_i заявок. За время от момента прихода заявки в узел до момента ухода из узла, равное V_i, в узле накапливается л_iV_i заявок. В стационарном режиме обслуживания их число в узле сохраняется.

Просуммировав n_i по всем узлам сети

К = ?_i n_i(K) = л₀ ?_i б_iV_i(K),

получим формулу:

K = л₀ C л₀ = K / C

Рассмотрим более общий случай обслуживания в узлах. Введём величину b_i(j), характеризующую ёмкость узла i, когда в нём находится j заявок. Для одноканальных обслуживающих приборов с постоянной скоростью обслуживания b_i(j) =1. Для Д-узлов b_i(j) =j. Для узлов, скорость обслуживания в которых зависит от нагрузки, имеем 0 < b_i(j)<?. Обычно b_i(j) - монотонная неубывающая функция j, т. е.

b_i(j) > b_i(j-1) и b_i(j+1) - b_i(j) ? b_i(j) - b_i(j-1)

Например, если в узле находится двухканальный обслуживающий прибор, то b_i(1) =1, b_i(j) =2 для всех j ?2.

Ёмкость узла (нагрузочная способность) определяется отношением:

b_i(j) = м_i(j)/м_i(1) (41)

где м_i(j) - интенсивность обслуживания в узле i, если в нём находится j заявок, а м_i(1) - если одна заявка.

Если скорость обслуживания в узле зависит от нагрузки, как это описано формулой, то время пребывания можно вычислить по формуле:



где b_m - максимальная нагрузочная способность узла i, b_m?K;

вероятность того, что в i-м узле находится j из всех К заявок, циркулирующих в сети;

вероятность того, что узел j пуст.

Для одноканального FIFO-узла из формулы (42) получается выражение (36), а для Д-узла

V_i(K) =v_i

1.8 Алгоритм расчёта характеристик методом анализа средних

1. Вводят начальные условия: n_i(0) = 0.

2. Вычисляют V_i(K) по формулам (36), (42) - (44) или (45), если узел, соответственно, является одноканальным FIFO или PS прибором, прибором с переменной скоростью обслуживания, или Д-прибором, обслуживающим без ожидания.

3. Находят л₀(K) по формулам (37) или (38).

4. Вычисляют распределение заявок по узлам по выражению (39).

5. Если не достигнуто заданное К, то К = К + 1, перейти к шагу 2, иначе конец.

Приведём один из алгоритмов расчёта многоканальных цепей с одноканальными FIFO-, PS- и Д-узлами. Обозначим: К = ( К1 К2 … К_R) - вектор числа заявок сети; E_r - единичный r-вектор; К - E_r -вектор содержащий в цепи r на одну заявку меньше, чем вектор К: K-Er = (K₁ K₂ …K_r-1…K_R).

1. Вводят начальные условия: n_ir(0) = n_i(0) = 0.

5. Возврат к шагу 2, если не достигнута точка с заданным значением вектора К, иначе конец.

Порядок обхода узлов для двухцепного случая показан на рисунке, где K = (K1, K2) = (2,2), т. е. в каждой из цепей движется по две заявки.

Приведённый фронт волны вычислений позволяет соответствующим образом организовать цикл прохода от точки (0 0) к точке (K1, K2).

Изображённый на рисунке граф - это не диаграмма состояний сети, а диаграмма возможных объёмов заявок в сети, содержащая несравнимо меньшее число вершин, чем диаграмма состояний. Число вершин в графе не зависит от числа узлов в сети.

Вычислительная сложность алгоритмов свертки, МАС и алгоритмов локального баланса имеет один и тот же порядок. Однако в зависимости от особенностей исходных данных тот или иной из алгоритмов может давать меньше погрешности, которых невозможно избежать в силу рекуррентного характера счёта. По существу здесь реализуются различные схемы вычислительных процессов, но предпочесть какую-либо по соображениям численной устойчивости трудно. При инженерных исследованиях и расчётах предпочтительнее содержательно ясные алгоритмы МАС. Для численного контроля результатов можно использовать одновременные расчёты по нескольким различным алгоритмам.

Размещено на Allbest.ru

...