Математичні моделі та алгоритми комп'ютерної діагностики фізичних полів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти України

Херсонський державний технічний університет

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

05.13.06 - Автоматизовані системи управління і прогресивні інформаційні технології

Математичні моделі та алгоритми комп'ютерної діагностики фізичних полів

Литвиненко Олена Іванівна

Херсон-1999



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Херсонському державному технічному університеті.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Хомченко Анатолій Никифорович, Херсонський державний технічний університет, завідувач кафедри прикладної математики і математичного моделювання.

Офіційні опоненти:

- доктор технічних наук, професор Петров Едуард Георгійович, Харківський державний технічний університет радіоелектроніки, завідувач кафедри системотехніки.

- кандидат фізико-математичних наук, доцент Міщенко Віктор Олегович, Харківський державний університет, доцент кафедри моделювання та математичного забезпечення ЕОМ.

Провідна установа: Київський державний технічний університет будівництва і архітектури, кафедра прикладної математики, кафедра автоматизації будівельного виробництва, м. Київ.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Костін В.О.



Анотація

комп'ютерний інтерполяційний поліном

Литвиненко О.І. Математичні моделі та алгоритми комп'ютерної діагностики фізичних полів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.06 - Автоматизовані системи управління та прогресивні інформаційні технології. Херсонський державний технічний університет, Херсон, 1999.

Дисертація присвячена питанням розробки інформаційної технології комп'ютерної діагностики фізичних полів на основі ймовірнісно-геометричного підходу до моделювання дискретних елементів. Запропоновані нові моделі елементів сирендипової сім'ї, розроблені алгоритми та програмний комплекс, що дозволяє відновлювати фізичні поля за заданими граничними значеннями польової функції, досліджувати інтерполяційні якості дискретних моделей.

Основні результати роботи впроваджені в системи автоматизованого проектування для розрахунків скалярних полів.

Ключові слова: інформаційна технологія, відновлення функцій, дискретна модель, інтерполяція, ймовірнісно-геометричне моделювання, комп'ютерна діагностика, алгоритм, програмний комплекс.



Аннотация

Литвиненко Е.И. Математические модели и алгоритмы компьютерной диагностики физических полей. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности: 05.13.06 - Автоматизированные системы управления и прогрессивные информационные технологии. Херсонский государственный технический университет, Херсон, 1999.

Диссертация посвящена вопросам разработки информационной технологии компьютерной диагностики физических полей на основе вероятностно-геометрического подхода к моделированию дискретных элементов. Предложены новые модели элементов сирендипова семейства, разработаны алгоритмы и программный комплекс, позволяющий восстанавливать физические поля по заданным граничным значениям полевой функции, исследовать интерполяционные качества дискретных моделей.

Актуальность работы состоит в необходимости создания новых подходов к конструированию интерполяционных полиномов для решения задач восстановления функций многих аргументов. В диссертационной работе предложен новый оригинальный вероятностно-геометрический метод конструирования финитных функций, которые получили распространение в задачах восстановления. Использование традиционного алгебраического подхода для построения интерполяционного полинома требует составления и решения больших систем линейных алгебраических уравнений. Кроме того, существуют случаи, когда матрица системы является вырожденной (например, элемента в форме шестиугольника). Вероятностно-геометрический подход к моделированию позволяет освободить процедуру построения интерполяционных полиномов от этих недостатков. В соответствии с новым подходом функции формы конечных элементов строятся при помощи определения геометрической вероятности, как отношение мер (длин, площадей, объемов) в одно-, двух- и трехмерных случаях.

В работе показано, что с точки зрения теории вероятностей интерполянт в каждой фиксированной точке моделирует значение полевой функции, равное математическому ожиданию этой функции на элементе. Известный критерий сходимости метода конечных элементов отражает содержание теоремы о сумме вероятностей полной группы событий.

При помощи вероятностно-геометрического подхода показано, что задача восстановления функции по ее значениям на границе дискретного элемента высшего порядка имеет бесконечное множество решений. Доказательство существования альтернативных интерполяционных полиномов на одном элементе проведено конструктивно - путем построения этих полиномов. На 12-ти узловом элементе сирендипова семейства автором получено семь альтернативных моделей. Ключевую роль при геометрическом моделировании получили прямые и кривые второго порядка (окружность, гипербола, парабола, эллипс).

Впервые поставлена и решена задача построения полиномиального базиса гексагонального элемента. Используя геометрический подход, автору удалось построить на 12-ти узловом гексагональном элементе 5 моделей базисов, функции формы которых являются полиномами. В диссертации построены специальные формулы численного интегрирования, которые учитывают специфику базисных функций элемента, максимальные значения которых локализованы в приграничной зоне элемента.

Решена задача построения сглаженных аппроксимаций при помощи метода наименьших квадратов в интегральной форме на 8-ми и 12-ти узловых элементах сирендипова семейства с целью устранения паразитных эффектов. На элементе с биквадратичной интерполяцией предложена геометрическая процедура построения субститут-базиса элемента. Установлено, что каждая субститут-функция является линейной комбинацией плоскости и поверхности второго порядка.

В диссертации исследована возможность распространения вероятностно-геометрического подхода на трехмерные элементы. В работе построено три альтернативные модели элемента с трикубической интерполяцией. Геометрическое моделирование впервые позволило поставить и решить задачу построения полиномиального базиса трехмерных призм с сечением в форме правильного шестиугольника.

Разработаны алгоритмы и программный комплекс “Диагностика” для изучения интерполяционных и вычислительных качеств дискретных моделей, который позволяет решать такие задачи:

- визуализация функций формы;

- исследование стационарного распределения температуры в пластинчатых элементах;

- тестирование альтернативных моделей на межэлементную непрерывность;

- восстановление функций двух и трех аргументов;

- оптимизация интерполяционных качеств дискретных моделей при помощи процедуры взвешивания альтернативных базисов.

Результаты диссертационной работы внедрены в автоматизированные системы управления (г. Каменец-Подольский, г. Херсон), в лабораторию ОАО “Никонд” (г. Николаев). Построенные в диссертационной работе модели можно рекомендовать для решения задач автоматизации измерений, при планировании машинных экспериментов с моделями систем, а также для расчетов в проектно-конструкторских бюро строительной и судостроительной промышленности, в экологических исследованиях.

Ключевые слова: информационная технология, восстановление функций, дискретная модель, интерполяция, вероятностно-геометрическое моделирование, компьютерная диагностика, алгоритм, программный комплекс.



Annotation

Litvinenko E.I. Mathematical models and algorithms for computer diagnostics of physical fields. - Manuscript.

The dissertation for acquiring Scientific Degree of Candidate of Technical Sciences in the speciality: 05.13.0 6 - automated control systems and progressive informative technologies. -Kherson State Technical University, Kherson, 1999.

The dissertation is devoted to the questions of development of information technology of computer diagnostics of physical fields based on the probability-geometrical modelling of discrete elements. The new models of element Serendip Family are offered, the algorithms and program complex allowing to restore a physical fields according to given specific boundary values of field function, as well as to investigate interpolation qualities of discrete models are developed.

The basic results of the dissertation are introduced into the systems of automatic designing for calculating scalar fields.

Key words: informative technology, restoration function, discrete model, interpolation, probability-geometrical modelling, computer diagnostics, algorithm, program complex.



1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Сучасний етап науково-технічного прогресу характеризується інтенсивним розвитком процесів комп'ютеризації суспільства. Особливість процесу комп'ютеризації полягає в тому, що електронно-обчислювальна техніка сьогодні є не тільки потужним інструментом підвищення продуктивності праці, але й основою створення якісно нової техніки та розробки принципово нових перспективних інформаційних технологій, які на відміну від традиційних технологічних форм базуються на системному підході, використанні математичних методів моделювання процесів, опрацюванні величезних масивів даних.

Актуальність роботи полягає в необхідності створення нових прогресивних інформаційних технологій та підходів до конструювання інтерполяційних поліномів для розв'язання задач відновлення функцій багатьох змінних. Проблеми інтерполяції виникають при розв'язанні задач автоматизації вимірювань, в автоматизованих системах управління технологічними процесами, при плануванні машинних експериментів з моделями систем. В системах автоматизованого проектування задачі інтерполяції виникають при реалізації дискретних методів: скінчених різниць, скінченних елементів, контрольних об'ємів. В дисертаційній роботі запропоновано інформаційну технологію та новий імовірнісно-геометричний метод конструювання фінітних функцій, які дістали поширення в задачах відновлення. Задача побудови двовимірних і тривимірних дискретних моделей є принципово складнішою за задачу побудови одновимірних моделей. Це зумовлено тим, що багатовимірна задача викликає серйозні труднощі, особливо у випадках, коли кількість вузлів інтерполяції довільна, а також при довільному розташуванні вузлів на елементі. Використання традиційного алгебраїчного підходу до побудови інтерполяційного полінома вимагає побудови та розв'язання великих систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). До того ж існують випадки, коли матриця системи стає виродженою. Імовірнісно-геометричний підхід моделювання дозволяє звільнити процедуру побудови інтерполяційних поліномів від цих недоліків.

Значна увага приділяється елементам сирендипової сім'ї, які у порівнянні з елементами лагранжового типу дозволяють за рахунок відсутності внутрішніх вузлів значно скоротити обсяг обчислень. Як слушно зазначив О. Зенкевич, сирендипові елементи погано піддаються формалізації. Ймовірнісно-геометричні прийоми моделювання тут виявили себе з кращого боку. Вони дозволяють легко та швидко одержувати не тільки відомі моделі сирендипових елементів, але й будувати нові. Добре відомо, що наявність альтернативних базисів полегшує розв'язання актуальної проблеми оптимізації інтерполяційних якостей моделі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках науково-дослідної програми кафедри прикладної математики та математичного моделювання ХДТУ.

Мета і задачі дослідження. Метою даного дослідження є розробка методу ймовірнісно-геометричного моделювання інтерполяційних поліномів для функцій двох і трьох змінних на дискретних елементах, побудова нових моделей сирендипових елементів для комп'ютерної діагностики фізичних полів, створення програмного комплексу для дослідження та оптимізації інтерполяційних властивостей дискретних моделей. Для досягнення цієї мети в дисертації поставлено такі основні задачі:

створити інформаційну технологію для комп'ютерної діагностики фізичних полів;

розробити спосіб імовірнісно-геометричного моделювання інтерполяційних поліномів сирендипових прямокутних та гексагональних елементів для двовимірних та тривимірних задач;

поширити ймовірнісно-геометричний підхід на елементи з нерегулярним розташуванням вузлів інтерполяції;

побудувати кубатурні формули для машинних обчислень подвійних інтегралів на елементах у формі правильного шестикутника;

створити програмний інструментарій для дослідження та корекції інтерполяційних властивостей дискретних моделей;

перевірити вірогідність отриманих дискретних моделей шляхом розв'язання тестових задач;

виконати серію обчислювальних експериментів за допомогою ЕОМ з метою оптимізації інтерполяційних і обчислювальних властивостей моделей, запропонованих у дисертаційній роботі.

Методи досліджень. Для розв'язання поставлених задач використовувались: математичний апарат теорії ймовірностей, методи обчислювальної математики, прикладного програмування і комп'ютерної графіки.

Наукова новизна одержаних результатів:

Розроблена концепція інформаційної технології побудови дискретних моделей для розв'язання задач відновлення функцій, яка містить:

розроблені алгоритми і програмне забезпечення системи комп'ютерної діагностики стаціонарних фізичних полів;

новий метод геометричного моделювання алгебраїчних поліномів фінітних функцій двох і трьох змінних;

вперше одержані нові моделі сирендипового елемента з бікубічною інтерполяцією; побудовані згладжені апроксимації на 12-ти вузловому сирендиповому елементі; розроблену геометричну процедуру побудови субститут-базису для квадратичного елементу;

вперше сконструйовані поліноміальні базиси на 12-ти вузлових гексагональних скінченних елементах, на призматичних елементах з перетином у формі правильного шестикутника з 12-ма і 24-ма вузлами;

запропоновані кубатурні формули для обчислення подвійних інтегралів на шестикутних скінченних елементах.

Вірогідність та обґрунтованість одержаних результатів підтверджується коректним використанням математичних підходів в порівнянні з результатами, одержаними іншими методами та іншими авторами, серією обчислювальних експериментів, а також фізичних експериментів, що свідчать про збіжність наближених результатів до точних.

Практичне значення одержаних результатів. Практичну цінність роботи становить комп'ютерна технологія дослідження температурних полів, ефективність якої підтверджена обчислювальними і фізичними експериментами, новий метод імовірнісно-геометричного моделювання інтерполяційних поліномів фінітних функцій.

У метрологічній лабораторії АТ “Ніконд ” проведені фізичні експерименти на платах печатного монтажу радіоелектронної апаратури з метою порівняння результатів комп'ютерної діагностики, запропонованої в дисертаційній роботі з результатами фізичних вимірювань.

Нові моделі для розрахунку полів фізичної природи на прямокутних тонкостінних елементах впроваджено в системі автоматизованого проектування в ПКБ АСУ м. Кам'янець-Подільський.

Методика комп'ютерної діагностики полів плоских елементів використовується при розрахунках конструктивних елементів радіоелектронної апаратури у відділі КБ “Пріор” ВАТ компанії “Дніпро” м. Херсон.

Новий підхід використовується в навчальному процесі ХДТУ (лабораторні і практичні заняття, курсові роботи) при вивченні курсів “Обчислювальної математики” та “Прикладної математики”.

Особистий внесок здобувача. Особисто автором отримані наступні результати: запропонована технологія збору, збереження та комп'ютерної обробки інформації про стан скалярного поля фізичної природи; побудовані нові моделі на бікубічному елементі сирендипової сім'ї; запропонована і обґрунтована процедура вибору композиції ліній при побудові базисної функції для проміжного вузла; виконане згладжування інтерполяційного полінома на бікубічному елементі та запропонована геометрична процедура побудови субститут-базису на 8-ми вузловому елементі; ймовірнісно-геометричний підхід узагальнений на випадок трьох змінних для призм з шестикутним перетином; запропоновані кубатурні формули для обчислення кратних інтегралів на гексагональних елементах, розроблені ефективні алгоритми та програма комп'ютерного дослідження інтерполяційних та обчислювальних якостей дискретних моделей на базовій мові Turbo Pascal 7.0, виконано значний обсяг обчислювальних експериментів з метою підтвердження точності розрахунків з використанням нових дискретних моделей.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на засіданні наукового методичного семінару кафедри вищої математики Українського морського державного технічного університету (м. Миколаїв, 1995), Всеукраїнській науково-практичній конференції “Проблеми пожежної безпеки” (м. Київ, 1995), засіданні наукового методичного семінару кафедри вищої математики Українського державного університету харчових технологій (м. Київ, 1995), V, VI, VII Міжнародних наукових конференціях ім. академіка М.Кравчука (м. Київ, 1996, 1997, 1998), III,IV Міжнародних науково-практичних конференціях з геометричного моделювання (м. Мелітополь, 1996, 1997), Всеукраїнському семінарі з математичного моделювання (м. Херсон, 1996), Всеукраїнському семінарі “Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування” (м. Кам'янець-Подільський, 1996), VII Міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (м. Феодосія, 1997), Міжнародній конференції “Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань”. Треті Боголюбовські читання (м. Київ, 1997), Міжнародній науково-практичній конференції, присвяченій 200-річчю створення нарисної геометрії “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків,1998).

В цілому робота доповідалась на об'єднаному засіданні наукового семінару з “Прикладної механіки та математики” кафедр комп'ютерно-інтегрованих технологій, інформатики та математичного моделювання вищої математики ТДТУ (м. Тернопіль, 1997), на об'єднаному міжкафедральному науковому семінарі кафедр прикладної математики і математичного моделювання, вищої математики, програмного забезпечення ЕОМ, інформатики та обчислювальної техніки, механіки ХДТУ (м. Херсон, 1998), засіданні семінару “Чисельне моделювання методами дискретних особливостей в задачах математичної фізики” відділення кібернетики Північно-східного наукового центру НАН України (м. Харків, 1998).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 14 друкованих праць: 6 статей у збірниках наукових праць, 6 публікацій у матеріалах наукових конференцій та семінарів, 2 тези доповідей.

Структура і обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, які викладені на 145 сторінках, списку літературних джерел із 138 найменувань, додатків. Робота проілюстрована 67 малюнками та 11 таблицями.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність, сформульована мета та задачі дослідження, відбиті наукова новизна та практична цінність роботи, поданий перелік основних результатів, що виносяться на захист.

У першому розділі розглядається початковий етап побудови інформаційної технології діагностики фізичного поля: створення математичних моделей та розробка математичних методів. Для дослідження скалярного поля будується інтерполяційний поліном по дискретних значеннях польової функції. За об'єкт дослідження вибрані сирендипові скінченні елементи (СЕ). Сирендиповий елемент - це чотирикутник з вузлами інтерполяції тільки на границі елемента і базис, який відповідає цим вузлам. Елементи сирендипової сім'ї дозволяють за рахунок відсутності внутрішніх вузлів значно скоротити обсяг обчислень у порівнянні з елементами лагранжового типу, усунути нефізичні осциляції поля. Сирендипові елементи були відкриті в 60-ті роки і з того часу інтерес до них невпинно зростає, що супроводжується поширенням їх практичного застосування. У першому розділі поданий огляд традиційних алгебраїчних способів побудови інтерполяційного полінома, які приводять до побудови та розв'язання СЛАР відносно параметрів, що визначають поліном. Чим вищий степінь полінома, тим складнішим стає метод визначення базисних функцій. Якщо матриця одержаної системи не вироджена, система має єдиний розв'язок. З точки зору існування розв'язку цей факт відіграє позитивну роль, але інтерполяційний поліном, що задається a priori, не дозволяє виявити існування альтернативних моделей на тому ж самому скінченному елементі.

На відміну від традиційного способу побудови базису скінченного елемента в дисертаційній роботі запропоновано новий імовірнісно-геометричний підхід. Спочатку розглянемо білінійний елемент (рис. 1). Припустимо, що () - поточна точка всередині елемента: , . Прямі, що проходять через точку паралельно координатним осям, поділяють елемент на чотири підобласті. Кожному вузлу ставиться у відповідність протилежний піделемент. Поставимо задачу: знайти імовірність того, що точка навмання кинута в область дискретного елементу влучить у підобласть , де - прямокутник, протилежний вузлу. Базисна функція будується як імовірність влучення навмання кинутої точки у відповідний піделемент.

Рис. 1. До геометричної побудови Рис. 2 Бікубічний сирендипів базису білінійного елемента елемент



Використовуючи означення геометричної імовірності для вузла 1, отримаємо (див. рис. 1):

(1)

Взагалі,

(2)

Імовірнісно-геометричний спосіб моделювання базису придатний і для елементів більш високого порядку. У загальному випадку інтерполяційний поліном має вигляд:

, причому , (3)

де - базисна функція, що відповідає вузлу на елементі (), - вузлове значення шуканої функції у вузлі , - число вузлів на елементі. Відзначимо, що побудова базисної функції спирається на відомі теореми теорії ймовірностей. При цьому завжди виконуються основні властивості базисних функцій, що можуть бути обґрунтовані у рамках імовірнісних уявлень. З точки зору теорії ймовірностей перша формула у (3) означає, що інтерполянт для елемента в кожній фіксованій точці моделює значення , яке дорівнює математичному сподіванню цієї функції на елементі. Як бачимо, інтерполяційний поліном у задачах відновлення функцій відбиває функціональну залежність математичного сподівання величини від розташування точки на елементі. Відомий критерій збіжності в методі скінченних елементів (друга формула у (3)) відбиває зміст теореми про суму ймовірностей повної групи подій.

Переваги ймовірнісно-геометричного моделювання особливо помітні при побудові базисів елементів вищих порядків. До цього часу в літературі відома єдина модель з бікубічною інтерполяцією, базисні функції якої наведені О. Зенкевичем:

(4)

(5)

Сирендипові елементи, як відомо, погано піддаються формалізації. Використовуючи геометричний підхід, можна побудувати безліч моделей на одному елементі високого порядку. Систему функцій (4)-(5) можна побудувати як алгебраїчним методом, так і геометричним. Для вузлів в вершинах квадрата при геометричному конструюванні функції форми використане коло, яке проходить через усі проміжні вузли, тому дана модель названа “модель з колом”. На 12-ти вузловому елементі (див. рис. 2) сирендипової сім'ї автором отримано сім альтернативних моделей. Ключову роль при геометричному моделюванні мають прямі та криві другого порядку. Існування альтернативних базисів на одному елементі відкриває нові можливості для розв'язання актуальної задачі оптимізації інтерполяційних якостей дискретної моделі. Оптимізація досягається “зважуванням” альтернативних базисів за формулою:

, (6)

де - різноманітні базиси елемента, - ваговий коефіцієнт . Наприклад, якщо використати - базис з колом; - базис з двома паралельними прямими (наприклад, для вузла 1 прямі 2-12 і 3-11), 1/2, отримаємо третю модель сирендипова елемента з бікубічною інтерполяцією:

, (7)

(8)

Цей “середньоарифметичний” базис має чітку геометричну інтерпретацію. Наприклад, при побудові використана композиція з прямих та еліпса, що проходить через вузли 2-3-11-12.

Більшість СЕ-пакетів для машинних обчислень температурних полів чи плоско-напружених станів мають сирендипові елементи у бібліотеках стандартних програм. Проте вони викликають паразитні зсувні ефекти у певному класі задач, наприклад, при аналізі консольної балки під дією рівномірного навантаження. Є підстави вважати, що ці недоліки викликані присутністю “зайвих” членів вищого порядку в поліномі. Для усунення цього недоліку в роботі використовується процедура згладжування інтерполяційного полінома, основана на МНК (методі найменших квадратів) в інтегральній формі і отримані нові субститут-базиси (рис. 2).

Рис. 2. Графік функції



Інтегральне квадратичне апроксимування дозволяє усунути “зайві” члени у поліномі та отримати новий субститут-базис для елементу. Згладжена апроксимація, наприклад, для 8-ми вузлового елементу має таку властивість: у будь-якому довільному напрямку поле змінюється за квадратичним законом. Помітимо, що для стандартного 8-ми вузлового елементу квадратична зміна поля відповідає тільки двом взаємно перпендикулярним напрямкам, паралельним координатним осям. У першому розділі також побудовані два субститут-базиси на бікубічному елементі сирендипової сім'ї.

Для 8-ми вузлового елементу запропонована геометрична процедура побудови субститут-базису. Кожна субституційна функція є лінійною комбінацією площини і поверхні другого порядку.

У другому розділі розглядаються питання побудови поліноміальних базисів на шестикутних елементах. Для елементів гексагональної форми при розв'язанні СЛАР виникають непереборні труднощі: матриця побудованої системи є виродженою. Сингулярність має місце внаслідок “надлишкової” симетрії правильного шестикутника. Сингулярність матриці стала поштовхом до пошуку нових неалгебраїчних методів побудови базисів скінченних елементів. Спроба побудувати поліноміальний базис на гексагональному елементі за допомогою геометричної процедури Коксетера-Уачспресса у 80-ті роки виявилася невдалою (М. Ішигуро). Дробово-раціональний базис має суттєвий недолік: обчислення подвійних інтегралів від таких функцій приводить до похибок, що дуже важко контролюються.

У дисертаційній роботі запропоновано геометричний метод побудови поліноміального базису на шестикутнику. Показано, що при новому підході до побудови базису гексагонального елементу з 6-ма вузлами, вдало вибрана геометрична композиція ліній, що проходять через вузли елемента, дозволяє отримати базисну функцію, що є поліномом.

Використовуючи геометричний підхід, автору вдалося побудувати на 12-ти вузловому елементі шестикутної форми 5 моделей базисів, функції форми яких є поліномами і задовольняють властивостям, які притаманні базисам скінченних елементів.

З метою вивчення інтерполяційних та обчислювальних властивостей проводилося тестування базисів шестикутного елемента за допомогою програмного комплексу, що пропонується у роботі. Найбільший інтерес набуває візуалізація базисних функцій за допомогою ЕОМ. Наочні зображення базисних функцій дозволяють виявити аномалії базисних функцій. Використовуючи дані моделі, в роботі побудовані ізолінії температурних полів. Функції дробово-раціонального базису (ДРБ) при побудові температурного поля дають прямі ізолінії, які не відбивають фізики явища і геометрії шестикутника, а поліноміальний базис (ПБ) має викривлені ізолінії, що добре узгоджуються з фізичними експериментами.

Задачі розрахунку конструкцій з гексагональною структурою, приводять до необхідності обчислення кратних інтегралів на шестикутнику. В залежності від характеру підінтегральної функції точно обчислити такий інтеграл у більшості випадків дуже важко, а інколи і неможливо. Створення простого, зручного та економічного алгоритму повинно опиратися на єдину кубатурну формулу для шестикутника у цілому. У дисертаційній роботі запропоноване і виконане тестування двох формул наближеного інтегрування на правильному шестикутнику у порівнянні з точним розв'язком у тих випадках, коли точне інтегрування можна виконати.

У третьому розділі досліджується можливість розповсюдження ймовірнісно-геометричного підходу на тривимірні елементи. Задача побудови базису традиційними алгебраїчними засобами, наприклад, для 32-х вузлового сирендипового елемента, вимагає побудови і розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь 32 порядку. Розв'язання цієї системи приводить тільки до єдиного розв'язку і можливості отримати одну систему базисних функцій. Імовірнісно-геометричне моделювання дозволяє будувати безліч базисів на одному тривимірному елементі. При конструюванні моделей тривимірних сирендипових елементів використовуються композиції площин і поверхонь другого порядку. У дисертації побудовано три альтернативні моделі елемента з трикубічною інтерполяцією. Проведені розрахунки повузлового розподілу рівномірної масової сили для цих моделей. Показана можливість розробки безлічі альтернативних базисів за допомогою процедури зважування на тривимірних елементах.

Геометричне моделювання вперше дозволило поставити і розв'язати задачу побудови базису тривимірних призм з перетином у формі правильного шестикутника. Наприклад, для тривимірного 24-х вузлового гексагонального елемента (рис. 6) базисні функції для 1-го і 2-го вузлів мають вигляд:

(9)

(10)

Інші базисні функції одержуються обертанням на кут і циклічною перестановкою координат. Такі елементи знаходять застосування у просторових задачах з лінійною зміною градієнта вздовж осі при проектуванні двошарових конструкцій з наповнювачем гексагональної форми (наприклад, в авіабудуванні та суднобудуванні).

Рис. 3. Просторовий гексагональний елемент з 24-ма вузлами



У четвертому розділі наведено розроблені в дисертаційній роботі алгоритми програмного комплексу “Діагностика”, який реалізує дослідження інтерполяційних властивостей дискретних моделей на елементах сирендипової сім'ї, гексагональних елементах і виконує комп'ютерну діагностику стаціонарних фізичних полів. Для створення інтерактивного програмного забезпечення в підсистемі застосовуються об'єктно-орієнтовані методи, які останнім часом набули широкого розвитку в нових інформаційних технологіях. За базову мову програмування для комп'ютерної підсистеми “Діагностика” обрано Turbo Pascal.

В основу програмного комплексу покладено:

- уніфіковану форму задання моделей (у вигляді поліноміальних функцій);

- зберігання в єдиному модулі “Бібліотека моделей”;

- відображення за допомогою засобів комп'ютерної графіки;

- інтерактивний режим розв'язання задачі з широкими можливостями дослідження моделі за допомогою процедур візуалізації, суперпозиції, ансамблювання, розрахунку скалярних полів;

- можливість адаптивної перебудови (конструювання) функцій форм.

Розробка власного програмного комплексу дала змогу в одній системі вирішувати основні задачі дослідження дискретних моделей, а також одержувати нові моделі шляхом усереднення існуючих моделей.

У п'ятому розділі за допомогою розробленого комплексу “Діагностика” виконане дослідження відомих і побудованих дискретних моделей, проведено обчислювальний експеримент, який є складовою частиною процесу побудови інформаційної технології, виконане тестування скалярних полів фізичної природи.

У режимі “Візуалізація” виконується побудова на моніторі тривимірних зображень функцій форми плоских елементів, що дозволяє виявити аномалії побудованих моделей (наявність глибоких мінімумів і високих максимумів функцій).

Якщо окрема функція нового базису задовольняє основним властивостям, які притаманні базисним функціям, виконується перевірка базису в цілому на виконання критерію збіжності методу скінченних елементів (друга формула у (3)) (рис. 4). Додавання функцій виконується послідовно в режимі “Суперпозиція”.

Рис. 4. Суперпозиція функцій ПБ гексагонального елемента з 6-ма вузлами

Побудовані альтернативні моделі на одному сирендиповому елементі можна перевірити на міжелементну неперервність за допомогою процедури ансамблювання моделей. Підсистема в режимі “Ансамблювання моделей” дозволяє проводити водночас перевірку 4-х моделей (рис. 8). За допомогою ансамблювання функцій різних моделей доведено, що всі побудовані моделі на 12-ти вузловому елементі співпадають на границі елемента, таким чином зберігається - гладкість апроксимації. Це означає, що альтернативні моделі, побудовані на одному елементі, можна об'єднувати в єдиний ансамбль у залежності від особливостей фізичного поля.

У режимі “Відновлення функцій” здійснюється побудова інтерполяційного полінома і конструювання поверхні на дискретному елементі згідно з відомими вузловими значеннями функції.



Рис. 5. Перевірка на міжелементну неперервність

Для порівняння інтерполяційних якостей альтернативних моделей сирендипових елементів в комп'ютерній підсистемі використовується задача Діріхлє для рівняння Лапласа у квадраті. Цей приклад добре ілюструє сильні і слабкі сторони цілого ряду чисельних методів, що застосовуються для розв'язання задачі Діріхлє. У роботі показано, що температурне поле пластини можна побудувати за допомогою лише одного елементу сирендипової сім'ї (експрес-методика), що буває дуже важливо при визначені нульового наближення розв'язку задачі, що досліджується. Розрахунки виконувалися за формулою:

(11)

де - значення температури у граничних вузлах, - базисні функції вибраної моделі. При використанні скінченно-різницевих методів температура визначається в результаті розв'язання великих СЛАР тільки в вузлах нанесеної сітки. Обчислення температури у будь-якій точці міжвузлового простору вимагає застосування додатково процедури інтерполяції. Обчислення за формулою (11) виключають необхідність застосування перерахованих вище процедур і дають температуру у довільній точці області. За допомогою розрахунків на семи моделях з бікубічною інтерполяцією, виконаних в режимі “Розрахунок скалярних полів”, встановлено, що деякі моделі занижують (або завищують) температурне поле пластини, для інших характерні нефізичні осциляції. Підсистема “Діагностика” дозволяє у кожному випадку робити обгрунтований вибір моделей в залежності від граничних умов. Серія фізичних експериментів, яка виконана в заводській метрологічній лабораторії АТ “Ніконд”, підтвердила досить високу точність моделей з бікубічною інтерполяцією. Максимальне відхилення результатів комп'ютерної ідентифікації від результатів фізичних вимірювань не перевищує 4,2 %.

В ти випадках, коли виявлені аномалії, дискретні моделі можна виправити, скористувавшись підпрограмою “Побудова моделей”. Даний режим на базі процедури зваженого усереднення дозволяє будувати нові скінченно-елементні моделі з необхідними інтерполяційними характеристиками. При побудові нових моделей використовуються створені раніше дискретні елементні моделі з носіями у формі квадрата, шестикутника, що зберігаються в бібліотеці програми. При створенні нових базисів ефективно використовується геометричний критерій якості моделі, що дозволяє за допомогою ізоліній нульового рівня виявляти аномалії побудованих моделей. При порушенні встановленого геометричного критерію відповідна модель підлягає корекції.



Висновки

1. Створена інформаційна технологія діагностики фізичних полів в основу якої покладено новий оригінальний підхід геометричного моделювання фінітних функцій. Запропонований підхід дозволяє виключити громіздкі процедури складання і розв'язання великих СЛАР, що незмінно має місце при традиційному алгебраїчному підході до побудови інтерполяційного полінома на дискретному елементі. Будуються функції форми за допомогою визначення геометричної імовірності, як відношення мір (довжин, площ, об'ємів) в одно-, двох- та тривимірних випадках.

У роботі показано, що з точки зору теорії імовірностей інтерполянт елемента в кожній фіксованій точці моделює значення польової функції, що дорівнює математичному сподіванню цієї функції на елементі. Відомий критерій збіжності методу скінченних елементів відбиває зміст теореми про суму імовірностей повної групи подій.

За допомогою ймовірнісно-геометричного підходу показано, що задача відновлення функції за її значеннями на границі дискретного елемента вищого порядку має нескінченну кількість розв'язків. Доведення існування різних інтерполяційних поліномів на сирендипових і гексагональних елементах на площині та у просторі проведене конструктивно - шляхом побудови цих поліномів.

3. Сформульована і розв'язана задача побудови математичних моделей гексагональних елементів на площині і просторових призматичних елементів з шестикутним перетином. У дисертації побудовані спеціальні формули чисельного інтегрування, що враховують специфіку базисних функцій елемента.

4. Розв'язана задача побудови згладжених апроксимацій за допомогою методу найменших квадратів в інтегральній формі на біквадратичному і бікубічному елементах сирендипової сім'ї з метою усунення паразитних ефектів. На сирендиповому елементі з біквадратичною інтерполяцією запропонована геометрична процедура побудови субститут-базису скінченного елемента.

5. За допомогою тесту повузлового розподілу рівномірної масової сили підтверджена неоднозначність спектрального розподілу фізичних характеристик поля для відомих і побудованих у дисертації моделей елементів сирендипової сім'ї вищих порядків. Встановлено, що побудовані у роботі моделі двох- та тривимірних сирендипових елементів мають кращі обчислювальні характеристики у порівнянні з уже відомими моделями.

6. Розроблені алгоритми і програмний комплекс для вивчення інтерполяційних і обчислювальних характеристик дискретних моделей, що дозволяє вирішувати такі питання:

- розв'язувати задачу візуалізації функцій форми;

- досліджувати стаціонарний розподіл температури у пластинчатих елементах;

- виконувати тестування одночасно 4-х альтернативних моделей на міжелементну неперервність;

- відновлювати функції двох і трьох змінних;

- актуальну проблему оптимізації інтерполяційних якостей дискретних моделей за допомогою процедури зважування альтернативних базисів.

7. Нові моделі, алгоритми і програми передані для впровадження у ПКБ АСУ (м. Кам'янець-Подільський), у відділ КБ ВАТ компанії “Дніпро” (м. Херсон), у лабораторію ВАТ “Ніконд” (м. Миколаїв). Отримані у дисертації результати використовуються у навчальному процесі в ХДТУ.

8. Побудовані у дисертаційній роботі моделі можна рекомендувати при вирішенні задач автоматизації вимірювань, при плануванні машинних експериментів з моделями систем, а також для розрахунків у проектно-конструкторських бюро будівельної і суднобудівної промисловості, в екологічних дослідженнях.



Основні публікації

1. Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Цуркан Ф.В. Компьютерные тесты на шестиугольном конечном элементе // Математич. моделирование. - К.: Ин-т математики НАНУ. - 1996. - С. 88-91.

2. Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко А.Н. Геометрическое моделирование полиномиальных базисов гексагональных конечных элементов // Матем. моделирование.- К.: Ин-т математики НАНУ. - 1996. -С. 84-87.

3. Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И., Гучек П.И. Геометрия сирендиповых аппроксимаций // Прикл. геом. и инж. графика. - К.: Будівельник. - 1996. - Вып. 59. - С. 40-42.

4. Литвиненко Е.И., Хомченко А.Н. Геометрическое моделирование трехмерных сирендиповых КЭ // Прикл. геом. и инж. графика. - Мелитополь: ТГАТА. - 1997. - Вып. 4. -Т. 1. - С. 40-42.

5. Хомченко А.Н., Литвиненко Е.И., Цуркан Ф.В. Способы кратного интегрирования в правильном шестиугольнике // Нелин. краев. задачи матем. физ. и их прилож. - К.: Ин-т математики НАНУ. - 1996. - С. 268-270.

6. Гучек П.Й., Литвиненко Е.И., Буба М.С., Хомченко А.Н. Моделирование элементов сирендипова семейства для исследования температурных полей //Проблеми пожежної безпеки. - К.: МВС України. - 1995. - С. 75-77.

7. Литвиненко Е.И. Геометрия интерполяционных полиномов на шестиугольнике // Сб. тр. ІV Междунар. науч.-практ. конф. “Совр. пробл. геом. моделирования”. - Ч. 1. - Мелитополь: ТГАТА. - 1997. - С. 99-102.

8. Литвиненко Е.И., Цуркан Ф.В. Программное обеспечение анализа гексагональных конечных элементов // Матеріали VI Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. - К.: КПІ. - 1997. - С. 254.

9. Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко А.Н. Геометрическое моделирование полиномиальных базисов шестиугольного элемента //Сб. тр. ІІІ Межд. конф. “Совр. пробл. геом. модел.”- Мелитополь: ТГАТА. - 1996.- С. 43.

10. Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко Б.А. Сглаженные аппроксимации на сирендиповых элементах //Cб. тр. VII Межд. симп. “Методы дискр. особен. в задачах матем. физики”.- Феодосия. - 1997. - С. 62-64.

11. Хомченко А.Н., Гучек П.И., Литвиненко О.І. Моделювання гексагональних скінченних елементів // Тези V Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. - К.: КПІ. - 1996. - С. 465.

12. Литвиненко Е.И., Гучек П.И., Хомченко А.Н. Сирендиповы конечные элементы для решения дифференциальных уравнений с частными производными // Тези Міжн. наук. конф. “Асимптотичні та якісні методи в теорії нелін. коливань”. - К.: Ін-т математики НАН України. - 1997. - С. 103.

Литвиненко Е.И., Ляхович Т.П., Лурье И.А., Цуркан Ф.В. Дискретные методы и геометрическая вероятность // Матеріали VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. - К.: КПІ. - 1998. - С. 285.

Литвиненко Е.И., Цуркан Ф.В., Буба М.С. Сглаживание бикубических аппроксимаций на прямоугольнике. // Зб. праць Міжнарод. наук.-прак. конф. “Сучасні пробл. геом. моделювання” - Харків: ХІПБ МВС України. - 1998. - С. 162-164.

Размещено на Allbest.ru

...