Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В.И. Ульянова (Ленина)”

(СПбГЭТУ)

Факультет электротехники и автоматики

Кафедра электротехнологической и преобразовательной техники

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «ИНФОРМАТИКА»

Номер варианта №3

Персональный компьютер и математические пакеты прикладных программ в инженерной деятельности

Студент

Я.И. Андреев

Группа №2402

Преподаватель

А.И. Максимов

Санкт-Петербург 2012



Содержание

Задание на курсовую работу

Введение

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Вывод

Список используемых источников



Задание на курсовую работу

Тема курсовой работы: уметь применять персональный компьютер и математические пакеты прикладных программ в инженерной деятельности.

Цель: решение математических задач с использованием математического пакета "MathCAD".

1. Даны функции:

Решить уравнение f(x) = g(x).

Исследовать функцию h(x) = f(x) - g(x) на промежутке [0;(5•р)/6].

2. Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy.

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

3. Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов:

Постановка задачи А. Для изготовления n видов изделий И₁, И₂ ,... , И_n необходимы ресурсы m видов: трудовые, материальные, финансовые и др. Известно требуемое количество отдельного i-гo ресурса для изготовления каждого j-го изделия.

Назовем эту величину нормой расхода с_ij. Пусть определено количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в данный момент, - а_i.

Известна прибыль П_j, получаемая предприятием от изготовления каждого j-го изделия. Требуется определить, какие изделия, и в каком количестве должны производиться предприятием, чтобы прибыль была максимальной.

оптимальное распределение функция уравнение вектор



Введение

Интерполяция (интерполирование) - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.[1]

В основе сплайн-интерполяции лежит следующий принцип. Интервал интерполяции разбивается на небольшие отрезки, на каждом из которых функция задается полиномом третьей степени. Коэффициенты полинома подбираются таким образом, чтобы выполнялись определенные условия (какие именно, зависит от способа интерполяции). Общие для всех типов сплайнов третьего порядка требования - непрерывность функции и, разумеется, прохождение через предписанные ей точки. Дополнительными требованиями могут быть линейность функции между узлами, непрерывность высших производных и т.д.

Основными достоинствами сплайн-интерполяции являются её устойчивость и малая трудоемкость. Системы линейных уравнений, которые требуется решать для построения сплайнов, очень хорошо обусловлены, что позволяет получать коэффициенты полиномов с высокой точностью.[2]

MathCAD - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.[3]

Как было описано выше, интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. В MathCAD можно соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция). Функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую через заданные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошибкам данных.[4]



Задача №1

Задание: Решить уравнение f(x) = g(x) и исследовать функцию h(x) = f(x) - g(x) на промежутке [0; (5?р)/6].

a) Задаются функции f(x) и g(x):

Задаётся уравнение , решается с помощью функции «solve»:

На интервале [-10;10] решение функции имеет вид:

Рисунок 1 - Решение функции f(x)=g(x)

b) Задаётся функция ):



График имеет вид:

Рисунок 2 - Графический вид функций f(x); g(x) и h(x)

Выбирается нужный для задания промежуток :

Рисунок 3 - Графический вид функции h(x)=f(x) - g(x) на промежутке

Вычисляется первая производная функции h(x) для нахождения экстремумов функции:



С помощью функции «solve» подсчитываются значения, при которых график производной пересекается с осью x:

Построение графика на промежутке :

Рисунок 4 - Построение графика производной от h(x) и графика h(x)

Данному промежутку удовлетворяет только значение . Функция имеет только один экстремум на этом участке, что и показывает график производной. Вычисляется этот экстремум:



Максимумом функции является точка (1.047; 4)

Проверка функции на четность: (если h(x) = h(-x) , тогда функция h(x) четная, в противном случае нечетная)

Данная функция не является четной, т.к. h(x) ? h(-x)

Находятся перегибы функции. Для этого нужно найти вторую производную функции h(x):

Вычисляется вторая производная h(x):



Рисунок 5 - Вычисление второй производной функции h(x)

График второй производной имеет вид:



Рисунок 7 - Графический вид второй производной от h(x)

Таким образом, получилось четыре значения, в которых график второй производной пересекает ось x, но только два из них входят в промежуток (0;5р/6). Эти значения являются началом и концом перегиба, т.е.:

Начало перегиба в точке x=0.111

Конец перегиба в точке x=1.983

Задача №2

Задание: Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy (смотри приложение 1).

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

Оценить погрешность интерполяции в точке x = 3,1. Вычислить значение функции в точке x = 2,1.

x	y
0	4,0
0,25	3,6
1,25	4,575
2,125	4,017
3,25	3,833

Таблица 1 - Данные векторов Vx и Vy

Находятся коэффициенты кубического сплайна с помощью функций cspline(вектор значений коэффициентов кубического сплайна), pspline(вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна), lspline(вектор значений коэффициентов линейного сплайна):



Интерполяция исходных данных:

(interp(V, Vx, Vy, x) - возвращает значение f(х) для заданных векторов Vs, Vx, Vy и заданного значения x)

Построение графика интерполяции исходных данных:

Рисунок 8 - График интерполяции исходных данных



Можно предположить, что множество полученных значений является достаточным для описания функции, которая будет иметь вид:

Для нахождения коэффициентов A, B, C, D, E составляются матрицы:

Для получения коэффициентов необходимо решить матричное уравнение:

Таким образом, получилась функция:

Построение на графике функций: и f(x)



Рисунок 9 - Графический вид функций f(x) и g(x)

Расчёт значения функции g(x) в точке 1.2:

Оценка значения погрешности функций в точке 2.2:



Из этого можно сделать вывод, что наибольшую погрешность даёт функция «lspline».

Задача №3

Задание: Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов.

На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Постановка задачи: Пусть в распоряжении завода железобетонных изделий (ЖБИ) имеется m видов сырья (песок, щебень, цемент) в объемах а_i. Требуется произвести продукцию n видов. Дана технологическая норма с_ij потребления отдельного i-го вида сырья для изготовления единицы продукции каждого j-гo вида. Известна прибыль П_j, получаемая от выпуска единицы продукции j-гo вида. Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве должен производить завод ЖБИ, чтобы получить максимальную прибыль.

Используемые ресурсы, аi	Изготавливаемые изделия	Наличие ресурсов, a
	И1	И2	И3	И4
Песок	3	5	5	3	11
Щебень	4	5	8	5	8
Цемент	5	6	4	8	26
Прибыль, Пj	40	50	25	25

Таблица 2 -Изделия, ресурсы, их наличие и получаемая прибыль

Задаются начальные значения:

Также задаются дополнительные изделия при изготовлении которых используются оставшиеся ресурсы:

Критерии функции прибыли:

Ограничение на количество производимых изделий:

Вычисление наибольшей прибыли:



Вычисление наибольшей прибыли:

Наибольшая прибыль получается по формуле:

Для получения максимальной прибыли заводу железобетонных изделий необходимо изготавливать изделия первого вида (И₁) в количестве 2 штуки и изделия третьего вида (И₃) в количестве 1 штука. Тогда максимальная прибыль составит 81. Остатков на производство дополнительных изделий не наблюдается.



Вывод

Студент группы 2402 Андреев Ярослав научился применять персональный компьютер и математические пакеты прикладных программ в инженерной деятельности на примере вышеизложенных задач, а также сделал следующий вывод: «MathCAD» - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Пакет обладает широкими графическими возможностями. С помощью этой программы можно решать физические, математические, аналитические и другие задачи. «MathCAD» значительно облегчает работу с числами и функциями, и может пригодиться во многих сферах научной деятельности.



Список использованных источников

1.www.wikipedia.ru

2.www.alglib.sources.ru

3.www.www.km.ru

4.www.exponenta.ru

5.Симонович С.В. и др./Информатика. Базовый курс- СПб: Издательство ?Питер?, 2000

Размещено на Allbest.ru

...