Расчет балки на изгиб методом начальных параметров. Вычисление прогиба, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы оси балки на персональном компьютере. Построение эпюр средствами электронных таблиц Microsoft Excel

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: Информатика

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема: «Расчет балки на изгиб методом начальных параметров. Вычисление прогиба, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы оси балки на персональном компьютере. Построение эпюр средствами электронных таблиц Microsoft Excel»

Автор: студент гр. НБ-12-1

Лырчиков А.А

ПРОВЕРИЛ

Руководитель: Доцент

Чиргин А.В/

Санкт-Петербург

2013

Аннотация

В работе выполнен расчет балки, нагруженной гидростатической нагрузкой. Использованы выражения для вычисления прогиба оси, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы оси балки. Для получения численных значений искомых величин по этим выражениям проведен расчет и построены эпюры исследуемых величин средствами табличного процессора Microsoft Excel, пакета математических расчетов MathCAD, а также составлена программа в среде Pascal ABC. Работа содержит 22 стр., 20 рис., 1 табл.

The Summary

In this work there is a calculation of beam. The method of initial parameters receives expressions for calculation of deflection of the axle, corner of turn, bending moment and cutting force of an axis of the beam. For reception of numerical values of required sizes on these expressions the account is carried out and is constructed graphics dependences of researches sizes by means of spreadsheets of Microsoft Excel, MathCAD and also the program on the programming language Pascal is made. The work contains 22 pages, 20 drawings, 1 table.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Метод начальных параметров при расчете балок на изгиб

2. Применение метода начальных параметров к поставленной задаче

3. Построение эпюр средствами электронных таблиц Microsoft Excel

4. Решение средствами пакета математических расчетов MathCAD

5. Постановка вычислений на компьютере

Выводы

Использованные источники

Введение

балка excel эпюра

Повсеместное внедрение компьютеров в инженерную практику предопределяет проведение разных расчетов, в частности, балок на изгиб с использованием компьютерных технологий. Это значительно уменьшает время, расходуемое на выполнение вычислений, помогает избежать вычислительных ошибок и может использоваться при повторных расчетах. Широкое применение программ обработки электронных таблиц во многом объясняется универсальными возможностями их применения, поскольку без вычислений в широком смысле этого слова, не обойтись в самых разных сферах нашей жизни. Благодаря мощным математическим и инженерным функциям с помощью Excel можно решить множество задач в области естественных и технических наук. Применение электронных таблиц Microsoft Excel позволяет автоматизировать как расчет определяемых характеристик, так и построение их эпюр. Этот программный пакет достаточно широко распространен в инженерной среде, благодаря большим вычислительным возможностям, наличию вспомогательных приемов наряду с простотой использования [3]. В литературе встречаются указания на применение электронных таблиц Microsoft Excel для решения задач маркшейдерии [4], гидрогеологии [6] и строительной механики [6].

Совокупность методов, служащих для определения внутренних сил и выбора по ним прочных размеров частей сооружений и машин, составляет сущность инженерной дисциплины «Сопротивление материалов». Ясно, что они являются одной из главных составляющих в образовании инженеров любой строительной или механической специальности. Изучение изгиба представляет собой большую и сложную задачу, в которой немалую роль занимает этап исследования изогнутой оси балки и определение прогибов в наиболее характерных точках. Напряжения, возникающие в различных сечениях балки, зависят от величины изгибающего момента (M) и перерезывающей силы (Q) в соответствующих сечениях. При исследовании балок нужно знать величины М и Q в любом сечении. Изменение этих величин по всей длине балки удобнее всего представить графически. Линию, параллельную оси балки, принимают за ось абсцисс (х) и строят два графика, ординаты которых изображают для каждого сечения балки соответствующие значения М и Q. Эти графики называют эпюрами изгибающих моментов и перерезывающих сил. Для построения эпюр используют разные методы: по определенным опорным реакциям, способ сложения действия сил, непосредственное интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки, метод начальных параметров [4 - 6]. Целью выполняемой работы является расчет методом начальных параметров балки с жестко заделанным левым концом и свободно опертым правым длины L=2,5 м, выполненной из одного материала, нагруженной гидростатической нагрузкой q=20 кН.

1. Метод начальных параметров при расчете балок на изгиб

В качестве исходного в методе начальных параметров принимается дифференциальное уравнение изгиба оси балки 4го порядка

EIvIV=q(x), (1.1)

где EI - жесткость балки, v - прогиб, q - нагрузка.

Это уравнение устанавливает зависимость между прогибом балки v и внешней нагрузкой q. И оказывается возможным найти изогнутую ось балки непосредственно по виду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному ее статическому расчету и не составляя выражения изгибающего момента по участкам. Решение уравнения (1.1) имеет вид:

(1.2)

где С1, C2, Сз, С4 - произвольные постоянные интегрирования; 3!, 2! - это математическая функция - факториал. Согласно определению, n! - это произведение всех натуральных числе от единицы до n включительно. Т.е. выражение (1.2) можно записать и без использования функции факториала:

(1.3)

- частное решение неоднородного уравнения (1.1), имеющее вид для данной задачи:

(1.4)

Суть метода начальных параметров заключается в том, что произвольным постоянным интегрирования в решении (1.2) или (1.3) С1, C2, Сз, С4 определен физический смысл, заключающийся в том, что прогиб в начале координат (x=0) есть постоянная С4, уменьшенная в EI раз, т.е. угол наклона оси балки в начале координат есть постоянная С3, уменьшенная в EI раз, т.е. изгибающий момент в начале координат есть постоянная C2 с противоположным знаком M(0)= -C2 перерезывающая сила Q(0) - постоянная C1, с противоположным знаком Q(0) = - C1. Вводя обозначения v0 = v(0), M0 = M(0), Q0 = Q(0),

приходим к выражению для определения прогиба в любой точке оси изогнутой балки:

(1.5)

Данное решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки вместо постоянных интегрирования С1, С2, С3, С4, содержит начальные параметры v0, v'0, М0, Q0 , которые также играют роль постоянных интегрирования, но в отличии от Ct, С2, С3, С4 наделены ясным физическим смыслом: представляют собой прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу в начале координат. Если начало координат выбрано на левом конце балки, что обычно имеет место при проведении практических расчетов, то указанные величины представляют прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу на левом конце балки. Последнее слагаемое в формуле (1.5) выражает влияние внешней нагрузки, приложенной к балке. Выражения для разного вида нагружения балки приведены в [7]. Подставляя соответствующее приложенной нагрузке выражение , приходим к уравнению, определяющему прогиб в любой точке оси балки с точностью до четырех начальных параметров. Для определения четырех постоянных служат граничные условия, имеющие вид для типичных случаев (табл. 1).

Таблица 1

Граничные условия

Два из четырех параметров определяются сразу же из граничных условий, поставленных на левом конце балки. Для двух других начальных параметров необходимо сформулировать два граничных условия на другом ее конце. После определения всех четырех неизвестных постоянных, полностью найден прогиб балки. Первая производная по х позволяет получить выражение для угла поворота оси балки. Для вычисления изгибающего момента и перерезывающей силы используются известные соотношения сопромата [6]:

(1.6)

т.е. нужно продифференцировать выражение для прогиба (1.5) по х.

Если к балке приложены несколько нагрузок разного типа одновременно, то нужно суммировать все члены, отражающие эти нагрузки в выражении (1.5).

2. Применение метода начальных параметров к поставленной задаче

Задана балка, выполненная из одного материала, закрепленная на левом конце, свободно опертая на правом и нагруженная гидростатической нагрузкой. Решение в общем виде имеет вид (1.5). Для рассматриваемого случая внешней нагрузки балки vнеодн (х) имеет вид:

(2.1)

Выражение (1.5) для определения прогиба запишется

(2.2)

Для определения величин начальных параметров служат граничные условия - условия закрепления концов балки. В решаемой задаче, согласно табл.1, (2.3)

Приравниваем нулю выражение (2.2) при х=0 и х=l:

(2.4)

Приравняем нулю выражение dv(x) при x=0:

(2.5)

Из выражения 2.5 следует что =0.

Приравняем к нулю выражение для изгибающего момента M(x) при x=l:

(2.6)

Выражение для определения перерезывающей силы:

(2.7)

Таким образом, получены формулы для вычисления всех характеристик изогнутой балки: прогиба, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы (2.2), (2.5), (2.6), (2.7).

Получим систему линейных уравнений для вычисления Q(0) и M(0):