Метод итераций

Размещено на http://www.allbest.ru/

14

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Контрольная работа

на тему:

«Метод итераций»

алгоритм итерация интервал алгебраическое уравнение

Содержание

Введение

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Метод итераций

Алгоритм метода итераций

Блок-схема метода итераций

Пример

Выполнение задания

Листинг программы

Использованная литература

Введение

Идеи и достижения математики используются в практической деятельности человека. До недавнего времени главные усилия математиков были направлены на разработку теорий. Строгое математическое обновление ранее выработанных методов - расширение объектов, к которым эти методы можно применить.

В практической же деятельности важно довести расчеты до числа. Но часто приходится иметь дело с такими задачами, в которых или очень велик объем вычислений (решение систем с большим числом неизвестных), или традиционными методами задачи вообще не решаются (например, первообразную вообще не имеет). Не все дифференциальные уравнения решаются в квадратурах. Особенно много таких задач появилось в последнее время. Необходимость их решения и появление мощных вычислительных систем привело к бурному развитию методов, позволяющих решать эти задачи численно. Вычислительная математика занимается разработкой методов доведения до численных результатов основных задач математики и способов использования в этих целях ЭВМ. Как правило, результаты вычислений не всегда бывают точными. Источниками ошибок могут быть следующие факторы:

неполное соответствие математической модели реальному физическому процессу;

погрешность исходных данных;

погрешность округления;

погрешность метода.

Методы, используемые в высшей математике, бывают точными (например, метод Гаусса) и приближенными (например, итерационные методы, вычисления функций через ряды и т. д.). Но любой метод должен иметь возможность вычисления с наперед заданной точностью.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Часто возникает необходимость решить уравнение вида (1), но при этом нет возможности определить точное решение, то прибегают к численным методам решения данного уравнения.

Если в левой части уравнения стоит функция вида: , то уравнение (1) называется алгебраическим уравнением n - ной степени, и оно имеет n корней. Коэффициенты а_к (к = 0, 1, 2, …, n) могут быть любыми числами.

Если левая часть уравнения включает степенные алгебраические, тригонометрические и другие функции от аргумента х, то уравнение (1), называется трансцендентным. Такие уравнения нередко имеют бесконечное число корней.

Рассмотрим метода итераций решения уравнения (1), который определяет решение с заданной точностью е. В методе предполагается, что на заданном интервале существует только один корень. Если на некотором интервале корней несколько, то необходимо разбить интервал так, чтобы на каждом вновь полученном интервале был только один корень.

Метод итераций

(метод последовательных приближений)

Рассмотрим уравнение (1), где функция непрерывна и дифференцируема на некотором отрезке [а, в]. Перепишем уравнение в виде (2) , т.е. . Пусть каким-либо образом найдено грубое значение корня х₀. Подставив его в правую часть уравнения (2) получим число , подставив х₁ в (2) найдем и т.д. (3). Допустим, что получившаяся числовая последовательность имеет предел, т.е. . Переходя к пределу выражения (3) . Получаем , т.е. с - корень уравнения (2).

Вопрос о сходимости последовательности решает теорема.

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на некотором отрезке [а, в] и пусть:

все ее значения тоже € [а, в], € [а, в];

на [а, в], q - некоторое число.

Тогда последовательность, задаваемая соотношением (3) сходится при любых х₀ € [а, в].

Доказательство:

Рассмотрим два последовательных приближения и , тогда по теореме Лагранжа, которая звучит: , где с € (х_п, х_п-1).

Допустим, , т.е. . Подставляя вместо п последовательно значения п = 1, 2, 3, …, п получим:

………………….

перемножая неравенства получим (4).

Рассмотрим два ряда:

(5) (6)

Ряд В сходится как геометрическая прогрессия, если 0 < q < 1, тогда и ряд А сходится, причем абсолютно исходя из условия (4) и признака сравнения сходимости рядов.

Рассмотрим частичную сумму ряда А: S_n = Х_п. Из сходимости ряда А следует что . Теорема доказана.

Докажем, что решение уравнения (2) найденное методом итераций единственно. Допустим, что существует два корня с и с и возьмем их разность:

с - с = ц(с) - ц(с) = ц^!(е)(с - с)

где е € (х_п, х_п-1) (по теореме Лагранжа). (с - с)^! (1 - ц^!(е)) =0.

Так как 1 - ц^!(е)?0 (ц^!(е)<1), тогда с = с.

Если удовлетворить условия (1) и (2) теоремы не удается, то можно провести следующие преобразования: умножим обе части (1) на некоторое действительное число б и прибавим по х. Запишем (1) в виде: (т.е. ).

Для удовлетворения требования (2) теоремы, т.е. подбираем б. Для получения приближенного корня с заданной точностью е необходимо соблюсти условия, чтобы .

Алгоритм метода итераций

Шаг 1. Задаются концы отрезка а и b , точность метода е.

Шаг 2. Выбирается начальное приближение из условия . Если условие верно, то начальной точкой выбирают точку а, в противном случае - точку b.

Шаг 3. Вычисляется новое приближение по формуле .

Шаг 4. Проверяется условие . Если условие верно, то управление передается шагу 5, в противном случае управление передается шагу 3, используя только что полученное приближение.

Шаг 5. Вывод х_п и .

Шаг 6. Конец.

Блок - схема метода итераций

Пример:

Решить уравнение с точностью е = 0,01, уточняя корень методом итераций.

Решение:

отделение корня. Перепишем уравнение в виде или и . Построив графики, увидим, что х₁ € [-1, 0], х₂ € [0, 1].

Кроме того, ц(0) = -1 <0; ц(1) >0, т.е. за отрезок отделения берем [0, 1].

уточним корень. Запишем уравнение в виде (*).

Проверим условие теоремы: 1) все значения € [0, 1]: , условие выполняется. 2).

, отсюда получим , т.е. , поэтому за начальную точку берем х₀ = 0, подставим это значение в (*) и найдем , и т.д. Заполним в виде таблицы:

, т.е. за корень х можно взять 0,82.

Проверка: подставим в уравнение х, получим: 0,82² - cos 0,82 ? -0,0098.

Задание:

Решить уравнение методом итераций с точностью е = 0,0001. Решение:

Преобразуем уравнение к равносильному уравнению , т.е. .

т.е.

Найдем производную от функции .

Определим интервал, где существует один корень. Для этого построим графики функций и

Заполним в виде таблицы значения х и у отдельно для каждого уравнения.

Итак, корень существует в интервале (2, 3).

Для того, что метод сходился, необходимо выполнение для любых х из интервала (2, 3) условия . Проверим это.

, следовательно за начальную точку берем х₀ = 2. Подставим это значение в уравнение и найдем х₁.

Ответ:

За корень возьмем х = 2,257757.

До того, как написать программу, составим блок - схему.

Листинг программы

program met_iterasii;

label 1;

var a, b, s, x, y, e: real;

function f(x:real): real;

begin

f := x - sqrt(9 + x) + sqr(x) - 4;

end;

function g(x:real):real;

begin

g := sqrt(sqrt(9 + x) - x + 4);

end;

function g1(x:real):real;

begin

g1:= (1 - 2 * sqrt(9 + x)) / 4 * sqrt(9 + x) * (sqrt(9 + x) - x + 4);

end;

begin

read (a, b, E);

if abs(g1(a)) < abs(g1(b)) then x := a else x := b;

1: y := g(x);

if abs(y - x) <= E then

begin

writeln ('y=', y:8:5);

writeln ('f(y)=', f(y):12:9);

end

else begin

x := y;

goto 1;

end; end.

Использованная литература

1.Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. Издательство «Высшая школа» Москва. 1990.

2.Иванов А. Ф. Информатика. Раздел: Численные методы. Типография Альметьевского нефтяного института, 2002.

3.Иванов А. Ф., Садриева Л. М. Алгоритмический язык PASCAL. Отдел оперативной полиграфии управления «ТатАСУнефть» АО «Татнефть». 1998.

4. Марченко А. И., Марченко Л. А. Программирование в среде Турбо Паскаль 7.0. Киев. «Век +». 1999.

Размещено на Allbest.ru