Применение системы MathCAD для анализа электрических процессов в цепях второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. О. СУХОГО

Энергетический факультет

Кафедра «Информатика»

РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине «Информатика»

на тему: «Применение системы MathCAD для анализа электрических процессов в цепях второго порядка»

Исполнитель: студент гр. ЭН-21

Адаменко П.А.

Руководитель: Андреева Д.П.

Гомель 2013



Содержание

1. Математическое моделирование технического объекта

1.1 Обзор методов компьютерного моделирования

1.2 Основные концепции компьютерного моделирования

1.3 Решение ОДУ систем ОДУ в MathCad

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

2.4 Графическая схема алгоритма

3. Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

3.2 Описание опытной задачи

3.3 Выводы по работе

моделирование компьютерный мathсad



1. Теоретические сведения

1.1 Основное положение теории моделирования

Математические списания объектов проектирования усложняются и видоизменяются от одного этапа проектирования к другому. Более того даже на одном этапе может быть использовано несколько разных математических описаний (моделей). Множество математических моделей, используемых за время всего процесса проектирования, включает модели различных типов и по форме и по содержанию. На этапе структурно-параметрического проектирования, как правило, используются достаточно простые модели невысокой точности в виде конечных уравнений, отражающих связи технико-экономических показателей со структурными параметрами. При составлении таких моделей делается много допущений из-за укрупненного представления объекта проектирования. Поэтому такие модели называются макромоделями. На этапах функционально-конструкторского и конструкторско-технологического проектирования применяются более сложные модели, учитывающие детализацию объекта проектирования. Такие модели нередко строятся в форме систем дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) и называются микромоделями, если достаточно полно описывают интересующие на данном этапе свойства объекта проектирования.

Если выходные величины в явной аналитической форме зависят от входных, то модель аналитическая. Если же выходные величины определяются численно путем расчета системы уравнений, образующих функциональный преобразователь, то модель алгоритмическая. В зависимости от формы уравнений и характера входных величин различают также модели линейные и нелинейные, непрерывные и дискретные.

Для составления моделей объектов проектирования теоретическим путем используются два основных подхода: физический и формальный. Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов, например, законов Фарадея, Даламбера, Кирхгофа и др., для описания объекта проектирования. При этом вывод уравнений производится путем тщательного анализа тех или иных свойств объекта проектирования, а сами уравнения получают явный физический смысл. Физический подход хорош для математического описания достаточно простых объектов, когда необходимые физические закономерности наглядны и легко используются.

Наконец, физический подход требует четкого представления объекта проектирования и более приспособлен для решения задач анализа.

Формальный подход, наоборот, опирается на общие математические принципы и довольствуется общими представлениями об объекте проектирования, что значительно расширяет возможность решения задач синтеза. Однако степень общности результатов, полученных формальным путем, может быть различной. Если с помощью математических принципов модель получается путем аналитических выкладок, то степень ее общности не ограничена в силу теоретического характера формирования модели. Если же для получения модели используются результаты физического или математического эксперимента, то степень общности уменьшается по мере удаления от точек измерений.

Для составления моделей объектов проектирования экспериментальным путем используются методы статистической обработки данных испытаний. Среди статистических методов моделирования в последние годы широкое распространение получил аппарат факторного анализа. В соответствии с этим методом выходные величины математической модели объекта проектирования представляются уравнениями регрессии.

Различные формальные и неформальные подходы к теоретическому и экспериментальному моделированию хорошо сочетаются в методе структурного моделирования. Во всех случаях структурные элементы рассматриваются автономно, и для каждого из них может быть получена соответствующая математическая модель наиболее подходящим методом. Для получения математической модели объекта проектирования в целом модели элементов объединяются с помощью установления логико-математических связей между ними. Структурное моделирование позволяет легко получать модели объектов при наличии стандартных моделей элементов и широко применяется при математическом описании технических систем и сложных технических устройств.

Рассмотренные методы не охватывают всех возможностей физического и формального подходов к моделированию, и приведены в качестве примеров, получивших хорошую апробацию в теории и практике проектирования, например, в электротехнике.

Точность модели оценивается рассогласованием между вычислительными и истинными характеристиками объекта проектирования. Однако истинные характеристики, как правило, неизвестны. Обычно за истинные характеристики принимаются результаты экспериментальных измерений, которые, в свою очередь, содержат погрешности постановки и реализации эксперимента.

Экономичность моделей оценивается затратами машиносчетного времени и объемом необходимой памяти ЭВМ. Экономичность непосредственно зависит от точности и универсальности модели, а также от характеристик ЭВМ, в которой она реализуется.

Поэтому выбор формы модели в конечном счете определяется конкретным содержанием объекта проектирования и имеющейся в наличии вычислительной техникой.

Компьютерной моделирование какой-либо задачи осуществляется через математическую модель, которая должна наиболее полно отображать цель и условия задачи. Таким образом, для создания успешной компьютерной модели необходима математическая модель.

Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:

Определение цели, т.е. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.

Определение параметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.

Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.

Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.

Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.

Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.е. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

После создание математической модели следует ее компьютерное описание с помощью прикладных программ, после чего исследуют описанную математическую модель с целью получения результата. Если полученные результаты не удовлетворяют исследователя, то следует либо вернуться на этап создания математической модели, т.е. предложить для решения задачи другую математическую модель; либо вернуться на этап постановки собственно задачи.

Математическая модель -- это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

1.2 Обзор численных методов решения ОДУ

Дифференциальные уравнения, которые можно проинтегрировать известными методами, встречаются сравнительно редко. В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы делятся на две группы. Применение аналитических методов дает приближенное решение в виде аналитического выражения, численных - в виде таблицы численных значений.

Наиболее распространенными из численных методов, применяемых в математическом моделировании, являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле. По методу Эйлера в формуле Тейлора не учитываются члены, содержащие производные второго и более высокого порядка. Метод Эйлера имеет первый порядок точности, откуда следует, что для достижения высокой точности требуется мелкий шаг, что экономически не выгодно. Достоинством метода является его простота. Метод Эйлера используют для более точных многошаговых методов.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

у'=(х, у), 1.1

удовлетворяющее условию

у=у0 при х=х0, т. е. у(ха) =у0. 1.2

При численном решении уравнения 1.1 задача ставится так: в точках х0, x1, х2, ..., хп найти приближения уп для значений точного решения у(хп). Разность x=xn+1--xn = h называется шагом сетки. Во многих случаях принимают величину h постоянной, тогда

Хn=Х0=nh(n=0,1,2,…). 1.3

Приближенно можно считать, что правая часть уравнения 1.1 остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле:

1.4

В силу сделанных предположений на первом отрезке искомое решение приближенно представляется линейной функцией:

1.5

в частности, при x=x1 получаем y1=y0+ht(x0, y0). Равенство 1.5 означает, что на отрезке [х0, xo+h] искомую интегральную кривую у=у(х) приближенно заменяют прямолинейным отрезком, выходящим из начальной точки М0(х0, у0) с угловым коэффициентом f(xQ, у0). Аналогично находим приближенное значение y2: y2 = y1+hf(x1,y1).

Для точки xn = xo+nh получаем:

1.6

Вычисление приближений уп искомого решения у(х) по формуле 1.5 представляет собой обыкновенный метод Эйлера. Этот метод дает весьма грубое приближение решения задачи Коши. Он обычно используется в случае, когда необходимо получить примерное представление о решении на небольшом промежутке. Если функция f(x, у) в уравнении 1.1 на некотором отрезке в рассматриваемой области непрерывна по х и удовлетворяет условию Липшица по у:



t 1.7

погрешность обыкновенного метода Эйлера оценивается формулой:

1.8

Метод Рунге - Кутта является одним из наиболее употребительных численных методов повышенной точности. Низкая точность метода Эйлера связана в первую очередь с тем, что остаточный член формулы Эйлера велик. Очевидно, что для уменьшения погрешности вычисления необходимо увеличить количество учитываемых членов в формуле Тейлора. Наиболее распространенным является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, в котором учтены производные до 4-го порядка включительно.

Метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге-Кутта 1-го порядка. Метод Рунге-Кутта требует большого объёма вычислений, однако расчёт оказывается более точным, чем расчёт по методу Эйлера с тем же шагом.

Величина погрешности метода оценивается с помощью правила Рунге. Значение оценки Рунге состоит в том, что погрешность оценивается через величины, получаемые непосредственно в процессе счёта. На этой формуле основан метод автоматического выбора шага в процессе счёта в стандартных программах.

Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

1 Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти уm+1 нужна информация о предыдущей точке xm ym

2 Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода

3 Они не требуют вычисления производных от f (xy) а требуют вычисления самой функции

Наиболее точный метод решения - метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений этот метод является одноступенчатым и одношаговым.

требует информацию только об одной точке.

имеет небольшую погрешность.

значение функции рассчитывается при каждом шаге.

Формулы описывающие классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка, состоят из следующих пяти соотношений :

ym+1=ym+h/6(R1+2R2+2R3+R4) 1.9

R1=f(xmym) 1.10

R2=f(xm+h/2ym+hR1/2) 1.11

R3=f(xm+h/2ym+hR2/2) 1.12

R4=f(xm+h/2ym+hR3/2) 1.13

Ошибка ограничения для этого метода равна et=kh5

Значит формулы 9 - 13 описывают метод Рунге-Кутта четвертого порядка Однако при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза

Поэтому, делаем вывод о том, что этот метод является:

одноступенчатым и одношаговым ;

требует информацию только об одной точке;

имеет небольшую погрешность;

значение функции в нём рассчитывается при каждом значении аргумента.

1.3 Основные элементы в системе MathCad, их применение в моделировании

MathCAD - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов - MATHematika (математика) и CAD (Computer Aided Design-системы автоматического проектирования, или САПР). Система MathCAD является одной из самых мощных и эффективных систем математического направления. Она ориентирована на широкий круг пользователей и позволяет выполнять математические расчеты, как в численном, так и в символьном аналитическом виде. Система имеет очень удобный математико-ориентированный интерфейс и обладает обширными графическими возможностями.

Все функции системы можно классифицировать следующим образом:

Вычислительные функции;

Графические функции;

Программирование;

Сервисные функции;

Вычислительные возможности системы применяются для решения множества задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчётов, научных исследований. К основным вычислительным функциям можно отнести следующие:

a) Вычисление арифметических выражений с различной точностью.

b) Вычисление производных (обычных и частных), интегралов (обычных, многомерных и контурных).

c) Вычисление сумм и произведения.

d) Выполнение операций с размерными величинами и переменными.

e) Решение уравнений, неравенств и их систем.

f) Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

g) Обработка матриц, векторов и ранжированных переменных.

h) Использование встроенных математических функций.

i) Создание пользовательских функций.

j) Использование символьных преобразований и вычислений.

Графические возможности системы применяются для визуализации результатов вычислений и включают построение двумерных графиков в различных системах координат, создание графиков поверхностей, карт линий уровня, трехмерных гистограмм, точечных графиков и графиков векторных полей. Система позволяет продемонстрировать процесс движения или изменения каких-либо результатов в виде анимационного клипа.

Система позволяет создавать программы, представляющие собой выражения, состоящие из программных конструкций, подобных конструкциям языков программирования. Программные выражения позволяют успешно решать в системе те задачи, которые невозможно вычислить с помощью имеющихся встроенных функций.

Простейшие действия демонстрируют использование MathCAD в качестве обычного калькулятора с расширенным набором функций. Для математика же интерес представляет, как минимум, возможность задания переменных и операций с функциями пользователя. Нет ничего проще - в MathCAD действия, как и большинство других, реализованы по принципу "как принято в математике, так и вводится".



2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

Применение системы MathCAD для анализа электрических процессов в цепях второго порядка с построением амплитудно-частотной характеристики.

Постановка задачи

С использованием системы MathCAD рассчитать аналитическую зависимость для заданного графически внешнего воздействия E(t)

С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка при гармоническом воздействии E(t). Построить графики этих функций.

Исследовать реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие E(t). Построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при различных значениях частоты гармонического воздействия, изменяющейся в заданных пределах.

Построить график амплитудно-частотной характеристики по результатам расчетов п.3.

2.2 Анализ исходных и результирующих данных

Исходными данными для работы являются:

С - значение емкости конденсатора

R - исходное сопротивление

L - значение индуктивности;

E(t) - исходная функция гармонического воздействия

Т - время исследования

	R	L	C	U0	T	E(t)
1	50	0.064	10-7	0	10-2	Рисунок А15.1

Значения варьируемого параметра щ выбирать самостоятельно.

2.3 Описание математической модели

Работу цепи, приведенной на рисунке, описывает дифференциальное уравнение второго порядка вида:

2.1

Гармоническое воздействие E(t) описывается следующей функциональной зависимостью:

E(t)=Em•sin(щ•t),

где Em - амплитуда гармонического напряжения;

щ - круговая частота гармонического напряжения.

Собственная частота колебательного контура определяется по формуле:



3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации базовой модели

При присоединении к последовательной RLC - цепи источник, генерирующий переменный ток E(t) с некоторой частотой щ, в цепи наблюдаются электромагнитные колебания. Так как функция внешнего воздействия E(t) имеет вид E(t)=Em•sin(щ•t), то внешнее воздействие является гармоническим. Следовательно, функция U(t) также является гармонической.

С изменением частоты внешних колебаний щ меняется реактивное сопротивление схемы. Так как напряжение зависит от сопротивления схемы, то напряжение U(t) является функцией частоты внешних колебаний щ.

Наиболее интересным случаем является равенство частоты внешних колебаний щ с собственной частотой колебательного контура щс. При достижении данного равенства в последовательной RLC - цепи достигается явление, называемое резонансом напряжений. При этом напряжения на реактивных элементах схемы равны по модулю и противоположны по направлению, следовательно, результирующее напряжение в схеме равно напряжению на сопротивлении и функция U(щ) достигает своего максимума.

3.2 Описание исследований

С помощью экранной линейки mySize по рисунку А15.1 определяем вектора точек VX и VY. Зная, что функция внешнего воздействия имеет вид E(t)=Em•sin(щ•t), проведем аппроксимацию с помощью метода genfit. Построим график исходной и аппроксимирующей функции на рисунке A.1.

Находим зависимость U(t), решая уравнение 2.1 с помощью функции rkfixed. Изобразим график зависимости U(t) на рисунке B.1.

Проведем исследование дифференциального уравнения. Определяем собственную частоту колебаний щс и задаем вектор значений варьируемого параметра щ в окрестностях данного значения. В каждом опыте решаем уравнение 2.1 с помощью функции rkfixed, строим график зависимости U(t).

Зададим вектор AR состоящий из амплитудных значений напряжения в каждом опыте. Строим амплитудно-частотную характеристику на рисунке D.1.

3.3 Выводы по результатам исследований

В данной курсовой работе проводились исследования электрических процессов в цепях второго порядка.

В результате исследования были найдены зависимости напряжения в цепи от времени, построены соответствующие графики.

Исследовано влияние значение изменяемого параметра на вид функции напряжения в цепи. По результатам опытов построена амплитудно-частотная характеристика.

Если судить по результатам проделанной работы, то из полученных данных видно, что с приближением частоты внешних колебаний к частоте собственных колебаний контура амплитудное значение напряжения в цепи увеличивается.

В данном курсовом проекте для расчетов в среде Mathcad были использованы следующие элементы:

:= - это оператор присваивания, он необходим для задания значений параметров;

= - это оператор глобального присваивания, он необходим для задания значений параметров;

Х-У - предназначена для построения графиков, для этого необходимо задать по осям х и у значения, на основания которых необходимо строить график;

linfit - эта функция проводит аппроксимацию по методу наименьших квадратов;

odesolve - эта функция решает дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом.

Размещено на Allbest.ru

...