Алгебра логики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Курская государственная сельскохозяйственная академия имени профессора И.И. Иванова"

Факультет среднего профессионального образования

Реферат

по информатике

Алгебра логики

Выполнил:

ст. гр. СЗИ-135

Калугин Н.Ю.

Проверил преподаватель:

Домышева М.

Курск, 2013

Целью данной работы было выяснение сути алгебры логики, основных методов работы с логическими операторами, роли логики в вычислительной технике и информатике. Для выполнения этой работы потребовалось найти методические материалы по теме, решить некоторые опытные задачи и сделать выводы. Предмет исследования - операции над логическими функциями.

Возникновение логики

Логика очень древняя наука. Ещё в античные времена была известна формальная логика, позволяющая делать заключения о правильности какого-либо суждения не по его фактическому содержанию, а только по форме его построения. Например, уже в древности был известен закон исключения третьего. Его содержательная трактовка была такова: «Во время своих странствований Платон был в Египте или не был Платон в Египте». В такой форме это или любое другое выражение будут правильны (тогда говорили: истинно). Ничего другого быть не может: Платон либо был, либо не был в Египте - третьего не дано.

Другой закон логики - закон непротиворечивости. Если сказать: «Во время своих странствий Платон был в Египте, И не был Платон в Египте», то очевидно, любое высказывание, имеющее такую форму, всегда будет ложно. Если из теории следуют два противоречащих друг другу вывода, то такая теория безусловно неправильная (ложная) и должна быть отвергнута.

Ещё один закон, известный в древности - закон отрицания: «Если НЕ верно, что Платон НЕ был в Египте, то значит, Платон был в Египте».

Формальная логика основана на “высказываниях”. “Высказывание” - это основной элемент логики, определяемый как повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинное или ложное утверждение оно содержит.

Например: Листва на деревьях опадает осенью. Земля прямоугольная.

Первое высказывание содержит истинную информацию, а второе - ложную. Вопросительное, побудительное и восклицательное предложения не являются высказываниями, так как в них ничего не утверждается и не отрицается.

Пример предложений, не являющихся высказываниями: Не пейте сырую воду! Кто не хочет быть счастливым?

Высказывания могут быть и такими: 2>1, Н2О+SO3=H2SO4. Здесь используются языки математических символов и химических формул.

Приведённые выше примеры высказываний являются простыми. Но из простых высказываний можно получить сложные, объединив их с помощью логических связок. Логические связки - это слова, которые подразумевают определённые логические связи между высказываниями. Основные логические связки издавна употребляются не только в научном языке, но и в обыденном, - это “и”, “или”, “не”, “если ... то”, “либо ... либо” и другие известные нам из русского языка связки. В рассмотренных нами трёх законах формальной логики использовались связки “и”, “или”, “не”, “если ... то” для связи простых высказываний в сложные.

Высказывания бывают общими, частными и единичными. Общее высказывание начинается со слов: всё, все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается со слов: некоторые, большинство и т.п. Во всех других случаях высказывание является единичным.

Формальная логика была известна в средневековой Европе, она развивалась и обогащалась новыми законами и правилами, но при этом вплоть до 19 века она оставалась обобщением конкретных содержательных данных и её законы сохраняли форму высказываний на разговорном языке.

В 1847 году английский математик Джордж Буль, преподаватель провинциального университета в маленьком городке Корке на юге Англии разработал алгебру логики.

Алгебра логики очень проста, так как каждая переменная может принимать только два значения: истинно или ложно. Трудность изучения алгебры логики возникает из-за того, что для обозначения переменных принимают символы 0 и 1, которые по написанию совпадают с обычными арифметическими единицей и нулём. Но совпадение это только внешнее, так как смысл они имеют совсем иной.

Логическая 1 означает, что какое-то событие истинно, в противоположность этому логический 0 означает, что высказывание не соответствует истине, т.е. ложно. Высказывание заменилось на логическое выражение, которое строится из логических переменных (А, В, Х, …) и логических операций (связок).

В алгебре логики знаки операций обозначают лишь три логические связки ИЛИ, И, НЕ.

1. Логическая операция ИЛИ. Логическую функцию принято задавать в виде таблицы. В левой части этой таблицы перечисляются все возможные значения аргументов функции, т.е. входные величины, а в правой указывается соответствующее им значение логической функции. Для элементарных функций получается таблица истинности данной логической операции. Для операции ИЛИ таблица истинности имеет вид:

Операцию ИЛИ называют также логическим сложением, и потому её можно обозначать знаком «+».

Рассмотрим сложное единичное высказывание: «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку». Обозначим через А простое высказывание «Летом я поеду в деревню», а через В - простое высказывание «Летом я поеду в туристическую поездку». Тогда логическое выражение сложного высказывания имеет вид А+В, и оно будет ложным только, если ни одно из простых высказываний не будет истинным.

2. Логическая операция И. Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Из таблицы истинности следует, что операция И - это логическое умножение, которое ничем не отличается от традиционно известного умножения в обычной алгебре. Операцию И можно обозначить знаком по-разному:

В формальной логике операции логического умножения соответствуют связки и, а, но, хотя.

3. Логическая операция НЕ. Эта операция является специфичной для алгебры логики и не имеет аналога в обычной алгебре. Она обозначается чертой над значением переменной, либо знаком приставки перед значением переменной:

Читается в обоих случаях одинаково «Не А». Таблица истинности для этой функции имеет вид:

В вычислительной технике операцию НЕ называют отрицанием или инверсией, операцию ИЛИ - дизъюнкцией, операцию И - конъюнкцией. Набор логических функций “И”, “ИЛИ”, “НЕ” является функционально полным набором или базисом алгебры логики. С помощью него можно выразить любые другие логические функции, например операции “строгой дизъюнкции”, “импликации” и “эквивалентности” и др. Рассмотрим некоторые из них.

Логическая операция “строгая дизъюнкция”. Этой логической операции соответствует логическая связка “либо ... либо”. Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Операция “строгая дизъюнкция” выражается через логические функции “И”, “ИЛИ”, “НЕ” любой из двух логических формул:

и иначе называется операцией неравнозначности или “сложения по модулю 2”, так как при сложении чётного количества единиц, результатом будет “0”, а при сложении нечётного числа единиц, результат станет равен “1”.

Логическая операция “импликация”. Выражение, начинающееся со слов если, когда, коль скоро и продолжающееся словами то, тогда, называется условным высказыванием или операцией «импликация». Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Операцию “импликация” можно обозначить по-разному:

Эти выражения эквивалентны и читаются одинаково: «Игрек равен импликации от А и В». Операция “импликация” выражается через логические функции “ИЛИ”, “НЕ” в виде логической формулы

Логическая операция “эквивалентность” (равнозначность). Этой логической операции соответствуют логические связки “если и только если”, «тогда и только тогда, когда». Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Операция “эквивалентность” обозначается по-разному. Выражения

обозначают одно и тоже, и можно сказать, что А эквивалентна В, если и только если они равнозначны. Логическая операция “эквивалентность” выражается через логические функции “И”, “ИЛИ”, “НЕ” в виде логической формулы

С помощью алгебры логики можно очень кратко записать законы формальной логики и дать им математически строгое доказательство.

В алгебре логики, как в элементарной, справедливы переместительный (закон коммутативности), сочетательный (закон ассоциативности) и распределительный (закон дистрибутивности) законы, а также аксиома идемпотентности (отсутствие степеней и коэффициэнтов) и др., в записях которых используются логические переменные, принимающие только два значения - логический ноль и логическая единица. Применение этих законов позволяет производить упрощение логических функций, т.е. находить для них выражения, имеющие наиболее простую форму. Основные аксиомы и законы алгебры логики приведены в таблице:

Примеры использования основных аксиом и законов:

Применение в вычислительной технике и информатике

После изготовления первого компьютера стало ясно, что при его производстве возможно использование только цифровых технологий - ограничение сигналов связи единицей и нулём для большей надёжности и простоты архитектуры ПК. Благодаря своей бинарной природе, математическая логика получила широкое распространение в ВТ и информатике. Были созданы электронные эквиваленты логических функций, что позволило применять методы упрощения булевых выражений к упрощению электрической схемы. Кроме того, благодаря возможности нахождения исходной функции по таблице позволило сократить время поиска необходимой логической схемы.

В программировании логика незаменима как строгий язык и служит для описания сложных утверждений, значение которых может определить компьютер.

Итак, логика возникла задолго до появления компьютеров и возникла она в результате необходимости в строгом формальном языке. Были построены функции - удобное средство для построения сложных утверждений и проверки их истинности. Оказалось, что такие функции обладают аналогичными свойствами с алгебраическими операторами. Это дало возможность упрощать исходные выражения. Особое свойство логических выражений - возможность их нахождения по значениям. Это получило широкое распространение в цифровой электронике, где используются логические элементы, и программировании.

Список литературы

алгебра логика информатика оператор идемпотентность

1. «Компьютер» Ю.Л. Кетков, изд. «Дрофа» 1997 г., с. 34.

2. «Математика» Ю. Владимиров, изд. «Аванта+» 1998 г. с. 86-88.

Размещено на Allbest.ru