Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут проблем моделювання в енергетиці НАН України

УДК 681.3

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ В ОПЕРАЦІЙНІЙ ОБЛАСТІ НА ОСНОВІ РЕКУРЕНТНИХ СПІВВІДНОШЕНЬ (З ПРОГРАМАМИ В СИСТЕМІ "MATHEMATICA")

Спеціальність 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

ПИЛИПЕНКО НАТАЛІЯ МИКОЛАЇВНА

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Відділенні гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України.

Науковий керівник:

ВАСИЛЬЄВ Всеволод Вікторович, член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, професор, керівник Відділення гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України.

Офіційні опоненти:

МОХОР Володимир Володимирович, доктор технічних наук, старший науковий співробітник, заступник директора Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України;

ВИШНЕВЕЦЬКИЙ Володимир Іванович, кандидат технічних наук, доцент, заступник завідуючого кафедрою електроніки та обчислювальної техніки Українського Транспортного Університету.

Провідна установа: Інститут проблем математичних машин та систем НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 28 грудня 1999 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01 Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України за адресою м. Київ, вул. Генерала Наумова, 15.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України за адресою м. Київ, вул. Генерала Наумова, 15.

Автореферат розісланий "26" листопада 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат технічних наук Семагіна Е.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Бурхливий розвиток науки наприкінці двадцятого сторіччя, створення нових високих технологій, автоматизація усіх сфер людської діяльності призводять до все більш інтенсивного використання різноманітних методів математичного моделювання. Досліджувані системи, як правило, описуються інтегро-диференціальними рівняннями, методи вивчення яких потребують потужного математичного апарату. Реалізація таких методів вимагає значних обчислювальних витрат. Обробка результатів масштабних експериментів та автоматизація наукових досліджень спричиняють необхідність створення нових ефективних засобів цифрової обробки сигналів.

В дослідженні динамічних систем широке розповсюдження здобули операторні методи, такі як перетворення Фур'є, Лапласа, Уолша, Хаара та ін. Так, Пуховим Г.Є. та Береговенко Г.Я. розроблялися операторні методи на основі східчастих зображень. Серед диференціальних операторних методів широкого розповсюдження здобули ДТ-перетворення, запропоновані та розвинуті Пуховим Г.Є. В останні роки активно розвиваються вейвлет-системи. В роботах Сімак Л.О. розроблені деякі методи представлення сигналів узагальненими поліномами, що приводять до апроксимуючих поліноміальних спектрів (АПС), на основі яких можуть бути побудовані різні операційні числення. Серед АПС особливе місце займають апроксимуючі імпульсні спектри (АІС), в основі яких лежать ортогональні базисні системи локально-імпульсного типу. Використання специфічних властивостей матриць операторних рівнянь дозволяє розробити методи, які значно спрощують дослідження сигналів, зберігають обчислювальні ресурси, зменшують час розв'язання рівнянь.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню та розробці методів математичного моделювання динамічних систем на основі АПС, призначених для використання при розв'язанні широкого класу інженерних та технічних задач. Актуальність роботи полягає в орієнтації на використання сучасних ПЕОМ та математичного моделювання.

Потужним засобом математичного моделювання є програмна реалізація методів. Система MathematicaТ (Wolfram Research Inc.) є однією з найбільш універсальних серед існуючих математичних програм. Дружній інтерфейс, чудова графіка, анімаційні можливості, потужна мова програмування та широкий спектр представлених математичних розділів роблять її прекрасною основою для математичного моделювання. Ці особливості зумовили використання системи MathematicaТ як основи для моделювання, дослідження та проведення експериментів в дисертаційній роботі.

Вибраний науковий напрямок є ведучим в науково-дослідних роботах Відділення моделюючих та керуючих систем в енергетиці ІПМЕ НАН України, де виконувалася дисертаційна робота.

Мета і задачі дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є розробка методів дослідження динамічних систем в операційній області на основі АПС, орієнтованих на реалізацію засобами ПЕОМ та електронного моделювання.

Вказана мета визначила необхідність розв'язання таких задач:

вивчення АПС та виявлення їх особливостей шляхом проведення порівняльного аналізу апроксимаційних методів;

розробка методів рекурсивного аналізу операційних моделей динамічних систем на основі апроксимуючих імпульсних спектрів;

розробка методу оцінювання втрати інформації при апроксимації;

розробка методу вибора підсистеми з заданого базису для оптимальної апроксимації довільної функції;

алгоритмізація розроблених методів;

розробка ефективних у використанні програм, що реалізують алгоритми дослідження динамічних систем за допомогою АПС в системі MathematicaТ.

Методи дослідження носили теоретичний та експериментальний характер. При проведенні досліджень та розробок по дисертаційній роботі використовувались методи теорії математичного моделювання, теорії цифрової обробки сигналів та апроксимації, прикладної та обчислювальної математики, теорії диференціальних рівнянь, застосовувався апарат лінійної алгебри, зокрема, теорії матриць. Отримані результати перевірялися шляхом проведення обчислювальних експериментів на ПЕОМ.

Наукова новизна дисертації полягає в наступному:

Розроблено програми в системі MathematicaТ, що реалізують апроксимаційні методи та дозволяють проводити обчислювальні експерименти;

Розроблено та досліджено методи рекурсивного аналізу операційних моделей динамічних систем на основі апроксимуючих імпульсних спектрів;

Запропоновано, теоретично обґрунтовано та досліджено метод оцінювання втрати інформації при апроксимації функції з одного скінченновимірного підпростору L₂ ([a,b]) функціями з іншого скінченновимірного підпростору;

Запропоновано, теоретично обґрунтовано та алгоритмізовано метод вибору підсистеми функцій з заданого базису для оптимальної апроксимації довільної функції. Розроблено алгоритм, що дозволяє здійснити цей вибір за скінченний час;

Точність роботи створених програм підтверджена численними прикладами розрахунку задач тепломасообміну, теоретичної механіки та теорії електричних ланцюгів.

Практична цінність. Розроблені в роботі алгоритми були реалізовані в системі символічної математики MathematicaТ в наступних програмах:

програми пошуку одно- та двовимірних АПС;

програми апроксимації функцій однієї та двох змінних на основі АІС та ДТ-перетворень;

програми розв'язання диференціальних рівнянь з початковими умовами та їх систем операційними методами з використанням рекурентних алгоритмів розв'язання операторних рівнянь;

програма оцінювання втрати інформації при апроксимації;

програма вибору підсистеми з заданого базису для оптимальної апроксимації довільної функції.

Практична цінність отриманих результатів продемонстрована на прикладі розв'язання задач теплофізики, механіки та теорії електричних ланцюгів. моделювання динамічна апроксимуючий електронне

Запропоновані в роботі методи використовувалися в процесі виконання науково-дослідних робіт ВГМКСЕ ІПМЕ НАН України за темою "Моделювання енергетичних об'єктів та оцінка їх технічного стану в стаціонарних умовах експлуатації" (Шифр теми "Зонд". Виконувалася в 1995-1997 рр. Згідно постанови Відділення фізико-технічних проблем енергетики НАН України), та в проекті № 602 Українського Науково-Технологічного Центру "Дослідження та розробка комплексу апаратно-програмних засобів моніторингу процесу дугового зварювання для попередньої діагностики процесу, підготовки та допускного контролю зварювачів в атомній енергетиці".

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати роботи доповідалися, обговорювалися і отримали позитивну оцінку на 3-ій українській конференції з автоматичного керування ("Автоматика-96"), м. Севастополь, 9-15 вересня 1996 р. та наукових семінарах у ВГМКСЕ ІПМЕ НАН України.

Автор дисертаційної роботи був одним з авторів проекту № 602 УНТЦ "Дослідження та розробка комплексу апаратно-програмних засобів моніторингу процесу дугового зварювання для попередньої діагностики процесу, підготовки та допускного контролю зварювачів в атомній енергетиці". Запропоновані в дисертаційній роботі методи використовувалися при розробці програмного комплексу моніторингу.

Публікації. По матеріалам дисертаційної роботи опубліковано 8 друкованих робіт, з яких 2 виконані самостійно, 6 - у співавторстві.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота обсягом 183 машинописних сторінок складається з вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 131 найменування, та п'яти додатків. Основний текст містить 116 сторінок машинописного тексту, ілюстрований 44 рисунками та 3 таблицями.

Автор висловлює щиру подяку Інституту математичного моделювання "Фраксім" за надання апаратних та програмних засобів для роботи над дисертацією.

ЗМІСТ РОБОТИ

В першому розділі дисертаційної роботи проведено порівняльний аналіз та розроблені програмні реалізації деяких існуючих методів апроксимації неперервних одно- та двовимірних сигналів та сигналів, заданих таблично.

Нехай заданий деякий сигнал x(t), tО [a,b]. Його апроксимація по системі базисних функцій , tО [a,b] має вигляд:

, (1)

де - апроксимуючий поліноміальний спектр (АПС) сигналу x(t).

Вектор знаходиться шляхом мінімізації норми функції помилки і може бути визначений за формулою:

. (2)

Одним з різновидів апроксимуючих поліноміальних спектрів є апроксимуючі імпульсні спектри (АІС), що будуються на основі систем блочно-імпульсних функцій, запропонованих Сімак Л.О.

Система БІФ нульового та першого порядку вводиться наступним чином. Нехай відрізок [0,T] розбито на m рівних частин.

Сукупність називається АІС.

Проведено порівняльний аналіз апроксимаційних методів для функції однієї змінної та методу ДТ-перетворень, запропонованого академіком Пуховим Г.Є., за точністю апроксимації, стійкістю щодо перешкод, залежністю від вигляду та потужності системи базисних функцій та систем підінтервалів розбиття інтервалу [a,b] на m частин. Визначено, що в більшості випадків використання АІС дає найкраще наближення при фіксованій кількості функцій у базисі.

На основі експериментальних досліджень показано, що АПС та, зокрема, АІС можуть використовуватися для фільтрації сигналу, що містить шумові складові. Метод ДТ-перетворень не можна застосовувати для апроксимації збуреного сигналу.

Розглянуто апроксимацію сигналів, заданих таблично. Проведено ілюстративні експерименти. Показано, що АДС можна ефективно застосовувати для апроксимації сигналів, заданих масивом.

Освітлено питання апроксимації двовимірних функцій на основі двовимірних БІФ.

У другому розділі розробляється та досліджується рекурсивний метод розв'язання операторних рівнянь, які виникають при застосуванні методу апроксимуючих імпульсних спектрів до динамічних систем, що описуються диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами та їх системами.

Застосування АІС до моделювання динамічних систем дозволяє алгебраїзувати інтегро-диференціальні рівняння системи. Для розв'язання отриманих алгебраїчних задач необхідне обернення матриць, що визначають АІС системи. Порядок матриць визначається добутком порядку диференціального рівняння, числа змінних системи та кількості частин розбиття інтервалу розв'язку в степені розмірності простору. Це зумовлює необхідність обернення матриць високого порядку та істотно обмежує можливості застосування методу.

Логічний вихід з цієї ситуації підказує структура матриць операційних моделей. Такі матриці розріджені, складаються з трикутних тьопліцевих клітин. Далі будемо називати матриці такого типу квазітьопліцевими. Порядок побудови операційної моделі динамічної системи розглянемо на прикладі системи диференціальних рівнянь першого порядку, розглянутих у параграфі 2.1.

Нехай математичну модель динамічної системи можна представити у вигляді системи диференціальних рівнянь першого порядку з початковими умовами.

Матриця L - квазітьопліцева, її блоками є 4m² верхньо-трикутних підматриць розмірності nґn. Отже, схематично рівняння (14) можна записати у вигляді:

Після дослідження рівняння (14) отримано формулу рекурентного метода розв'язання операторного рівняння системи звичайних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку/

Таким чином, якщо прямий метод розв'язання операторного рівняння для системи n лінійних диференціальних рівнянь першого порядку операторним методом при m базисних функціях потребує порядку 4m²n² дій, то для рекурентного методу досить лише 4n²m дій.

В параграфі 2.2 розглядається динамічна система, що описується диференціальним рівнянням n-го порядку з початковими умовами, накладеними на функцію та похідні до (n -1) порядку.

Отже, як і для системи n диференціальних рівнянь першого порядку, прямий метод розв'язання лінійного диференціального рівняння n-го порядку операторним методом при m базисних функціях вимагає порядку 4m²n² дій, а для рекурентного методу - лише 4n²m дій.

В параграфі 2.3 досліджується динамічна система, яка описується лінійним диференціальним рівнянням в частинних похідних першого порядку.

Операторне рівняння має вигляд:

. (19)

В системі (19) матриця L розміру 3mnґ3mn є блочно-діагональною. Її блоками є 9 верхньо-трикутних підматриць розмірності mnґmn, де m, n - кількість частин розбиття інтервалів розв'язку по х та у відповідно. Зобразимо рівняння (19) схематично:

Отримано формулу рекурентного метода розв'язання диференціального рівняння в частинних похідних першого порядку (20).

В розробленому методі mn раз обертається матриця 3ґ3. Отже, в той час, коли прямий метод розв'язання операторного рівняння вимагає порядку 9m²n² дій, для рекурентного методу достатньо порядку 9mn дій.

В параграфі 2.4 досліджується динамічна система, яка описується диференціальним рівнянням в частинних похідних дробового порядку з початковими умовами: 0Ј х Ј tx, 0Ј y Ј ty; u(x,y) - невідий сигнал двох незалежних змінних x,y; f(x,y) - збурення, що діє на систему, g(y), q(x) - початкові значення; a,b,c - деякі дійсні параметри. Символом позначена частинна похідна по х порядку a, символом - частинна похідна по у порядку b, a,bОC.

В системі матриця L є блочно-діагональною, її блоками є 9m² верхньо-трикутних підматриць розмірності nґn. Система схематично зображаться наступним чином:

Як і для диференціального рівняння в частинних похідних першого порядку, для прямого методу розв'язання необхідно порядку 9m²n² дій, а для рекурентного методу - лише порядку 9mn дій.

Розроблена програмна реалізація цих методів в системі MathematicaТ. Розвязано ряд задач математичної фізики, в тому числі тепломасообміну та теорії електричних ланцюгів.

Третій розділ присвячений дослідженню деяких питань точності апроксимації сигналу.

В параграфі 3.1 запропоновано і розроблено алгоритм оцінювання втрати інформації при апроксимації функції з одного скінченновимірного підпростору L₂ ([a,b]) функціями з іншого скінченновимірного підпростору.

З математичної точки зору знаходження АПС функції є не що інше як знаходження проекції цієї функції на скінченновимірний підпростір L₂ ([a,b]). Дію апроксимації можна розглядати як оператор проектування з одного підпростору в інший. Тоді втрату інформації можна оцінити як норму різниці між функцією та її наближенням в просторі L₂ ([a,b]).

Постановка задачі.

Нехай Н ₁ =L(e₁ (t), e₂ (t), ..., e_n (t)), Н ₂ = L(h₁ (t), h₂ (t), ..., h_n (t)), де {e_i },{h_j } - дві лінійно незалежні системи функцій з L₂ ([a,b]), L - лінійна оболонка.

Нехай fОH₁, P₁f - ортогональна проекція f на H₂, тобто P₁f - така функція з H₂, що ||P₁f-f ||=min|| g-f ||, gОH₂, або P₁f - найкраща апроксимація f функціями з H₂. Тут - норма в просторі L₂ ([a,b]), тобто:

.

Потрібно оцінити мінімум і максимум по всім fОH₁, || f ||=1 величини ||P₁f - f ||. Таким чином, ми будемо знати мінімальну та максимальну відносну втрату інформації при проектуванні.

Розв'язкою цієї задачі є наступний алгоритм.

Алгоритм.

Знайти матриці. скалярних добутків S, G, R:

S=(s_{i j}), i,j=1,...,n, s_{i j}=(e_k, e_j),

R=(r_{i j}), i,j=1,...,n, r_{i j} =(h_i, h_j),

G=(g_{i j}), i,j=1,...,n, g_{i j} =(h_i, e_j).

Знайти матрицю А= S^-1 G^TR^-1 G.

Знайти власні числа l_i, і=1,..., n матриці А.

Обчислити:

a=,

b=.

Тоді для всіх функцій f з H₁, таких що || f ||=1, виконується:

||P₁ f - f||О [a,b]М [0,1].

Чим менше b, тим менше інформації втрачається при апроксимації.

На основі програмної реалізації цього алгоритму побудовану таблицю інтервалів точності взаємного наближення ряду систем функцій.

У параграфі 3.2 запропоновано, теоретично обґрунтовано і досліджено метод вибору підсистеми з заданого базису для оптимальної апроксимації функції, якщо кількість функцій в підсистемі фіксована і задана зарані користувачем.

Постановка задачі. Нехай:

- ортонормований базис простору L₂ ([a,b]), x(t)ОL₂ ([a,b]) - деяка функція, mОN - фіксоване число.

Необхідно визначити функції з базису та числа ОR. . Таку апроксимацію функції x(t) на інтервалі [a,b]при заданій кількості базисних функцій m будемо вважати найкращою.

Розроблено алгоритм, який дозволяє за скінченний час вибрати з нескінченного базису підсистему найбільш значимих базисних функцій фіксованої, заданої користувачем потужності.

На основі алгоритму досліджена апроксимація ряду функцій. Показано, що апроксимація на основі підсистеми функцій, вибраної за алгоритмом, є більш точною, ніж апроксимація на основі довільної іншої підсистеми.

Розроблений алгоритм є сенс використовувати для дослідження функцій при обмежених обчислювальних ресурсах.

В додатках до роботи наведені: елементи алгебри АІС; аналітичні означення та графічні зображення базисних систем функцій різних типів; деякі означення та формули дробового інтегро-диференціального числення; лістинги програм на мові системи Mathematica ®; результати обчислювальних експериментів по апроксимації сигналів, заданих масивом, з використанням АДС.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Основним результатом дисертаційної роботи є розробка ефективних методів моделювання динамічних систем, в основі яких лежить представлення сигналів апроксимуючими поліноміальними спектрами. Зокрема, отримані наступні результати:

На основі розроблених програм в системі MathematicaТ проведений порівняльний аналіз точності апроксимації для АПС, АІС та ДТ-перетворень. Досліджено апроксимації функцій по базисним системам різного типу. Побудовано таблицю похибок апроксимації для ряду функцій. Досліджено апроксимаційні методи на стійкість щодо шуму, який супроводжує сигнал. Показано, що АПС та, зокрема, АІС можуть використовуватися для фільтрації сигналу, який супроводжується шумом, а метод ДТ-перетворень в таких випадках не спрацьовує. Досліджено роботу методу рівних площ для різних систем підінтервалів.

Розроблена методика апроксимації функцій, заданих масивом, на основі АПС. На основі розробленого алгоритму отримана апроксимація зовнішніх вольт-амперних характеристик деяких джерел живлення для ручного зварювання.

Розроблені, реалізовані та досліджені рекурентні алгоритми розв'язання операторних рівнянь для динамічних систем, які описуються системами лінійних диференціальних рівнянь першого та вищих порядків та лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних першого і вищих порядків.

На основі розроблених алгоритмів досліджено ряд задач тепломасообміну, теоретичної механіки, теорії електричних ланцюгів.

Запропоновано і розроблено метод оцінки втрати інформації при апроксимації функції з одного скінченновимірного підпростору L₂ ([a,b]) функціями з іншого скінченновимірного підпростору.

Запропоновано та розвинуто метод вибору підсистеми з заданого базису для оптимальної апроксимації довільної функції. Розроблено алгоритм, який дозволяє за скінченний час вибрати з заданого нескінченного базису підсистему, що забезпечує найбільш точне наближення заданої функції, якщо кількість функцій в підсистемі фіксована і задана зарані користувачем.

Запропоновані та розвинуті в роботі методи моделювання на основі АПС можна застосовувати для дослідження динамічних систем, передачі, стиснення та збереження інформації в таких галузях науки і техніки як робототехніка, обчислювальна техніка, радіоелектроніка, приладобудування, тощо.

ПУБЛІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Васильев В.В., Симак Л.А., Пилипенко Н.Н. Реализация аппроксимационных методов математического моделирования сигналов в программной среде системы Mathematica Т// Электронное моделирование. - 1997. - т.19. - №3. - с. 3-13.

2. Симак Л.А., Пилипенко Н.Н., Косова А.М. Некоторые вопросы реализации аппроксимационных методов обработки сигналов динамических систем в программной среде пакета MathematicaТ // Проблемы управления и информатики. - 1997. - №4. - с. 123-132.

3. Пилипенко Н.Н. Выбор подсистемы из заданного базиса для оптимизации аппроксимации функции одной переменной // Электронное моделирование. - 1998. - т.19. - №6. - с. 3-13.

4. Васильев В.В., Симак Л.А., Пилипенко Н.Н. Рекурсивный анализ операционных моделей динамических систем на основе аппроксимирующих импульсных спектров. - Киев, 1999. - 76 c. - (Национальная Академия наук Украины. Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ). - ISBN 966-02-0956-8.

5. Vasilyev V.V., Simak L.A., Pilipenko N.N. Realization of Approximation Methods for Signal Simulation Using the "Mathematica" Software // Engineering Simulation. - 1998. - т.15. - pp.255-268.

6. Пилипенко Н.Н. Программная реализация аппроксимационных методов математического моделирования непрерывных сигналов в среде пакета MathematicaТ. - Киев, 1997. - 35 с. (Препринт/ НАН Украины Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ; №01/97).

7. Васильев В. В, Симак Л.А., Чечь В.В., Воронова О.С., Косова А.М., Пилипенко Н.Н. Методы аппроксимации и цифровой обработки сигналов мониторинга - Киев, 1998. - 72 c. - (Препринт / НАН Украины. Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ; № 02/98).

8. Симак Л.А., Косова А.М., Ткачук (Пилипенко) Н.Н. Аппроксимирующие методы обработки сигналов динамических систем и их реализация в программной среде системы Mathematica // 3-а українська конференція з автоматичного керування ("Автоматика-96"): Севастополь, 9-15 вересня 1996. - Севастополь: СевГТУ, 1996. - т.2. - с. 207-208.

Особистий внесок автора. У роботах, написаних у співавторстві, автору належать:

[1, 5] - алгоритмізація пошуку апроксимуючих поліноміальних спектрів та розробка відповідних програм, постановка обчислювальних експериментів та проведення порівняльного аналізу апроксимаційних методів;

[2] - поставлені обчислювальні експерименти та на їх основі проведений порівняльний аналіз апроксимаційних методів;

[4] - запропоновані та розроблені рекурентні методи дослідження динамічних систем, створені відповідні програми, проведено серію експериментів, що ілюструють розроблені методи;

[7] - розробка програм і постановка ілюстративних експериментів в системі MathematicaТ;

[8] - програмні генерації апроксимуючих поліноміальних спектрів.

АНОТАЦІЯ

Пилипенко Н.М. Математичне моделювання динамічних систем в операційній області на основі рекурентних співвідношень (з програмами в системі "Mathematica"). - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем моделювання в енергетиці НАН України, Київ, 1999.

Дисертацію присвячено питанням аналізу динамічних систем на основі операційних методів. Розвинуті апроксимаційні методи дослідження динамічних систем на основі рекурсивних співвідношень, які розширяють можливості застосування апроксимації за рахунок зняття необхідності обернення матриць високого порядку. Рекурентні алгоритми розроблені для систем, що описуються лінійними диференціальними рівняннями та їх системами, а також рівняннями в частинних похідних першого і дробового порядку. Запропоновано та розвинуто метод оцінювання втрати інформації при апроксимації функції з одного скінченновимірного підпростору L₂ ([a,b]) функціями з іншого скінченновимірного підпростору. Запропоновано та обґрунтовано метод вибору скінченної, заданої користувачем кількості функцій з нескінченного базису для оптимізації апроксимації функції однієї змінної. В системі Mathematica® створені програмні реалізації всіх методів. Основні результати роботи використовувалися в процесі виконання науково-дослідних робіт ВГМКСЕ ІПМЕ НАН України.

Ключові слова: математичне моделювання, операційні методи, апроксимація, числові методи.

ANNOTATION

Pylypenko N.M. Mathematical modeling of dynamic systems in operational field based on recurrent ratios (with programs in "Mathematica" language). - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by specialty 01.05.02 - mathematical modeling and calculation methods. - The Institute of Simulation Problems in Power Engineering of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to the questions of dynamic systems analysis based on operational methods. Approximation methods for dynamic systems analysis based on recurrent ratios row are developed. These methods extend application of approximation at the expense of removing necessity of converting high order matrixes. Recurrent algorithms are developed and realized for the systems described by linear differential equations and their systems and partial differential equations of first and fractional order. The method for estimation of information loss after approximation of function from one finite-measured subspace of L₂ ([a,b]) by functions of another finit-measured subspace is proposed. The method of finding the finite subsystem from infinite basis for the optimization of approximation of one-variable function is proposed and proved. Program realizations of all methods in Mathematica® system are prepared. The basic results of the dissertation were used in research work of Department of Hybrid Modeling and Controlling Systems in Power Engineering of ISPP of NAS of Ukraine.

Key words: mathematical modeling, operational methods, approximation, numerical methods.

АННОТАЦИЯ

Пилипенко Н.Н. Математическое моделирование динамических систем в операционной области на основе рекуррентных соотношений (с программами в системе "Mathematica"). - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт проблем моделирования в энергетике НАН Украины, Киев, 1999.

Диссертация посвящена вопросам анализа динамических систем с использованием операционных методов.

Проведен сравнительный анализ аппроксимационных методов (на основе аппроксимационных полиномиальных спектров и аппроксимационных импульсных спектров) и метода ДТ-преобразований по ряду признаков: зависимость точности аппроксимации от базисной системы функций, помехоустойчивость и т. д. Исследована аппроксимация двумерных функций. Приведены иллюстративные примеры. Разработана методика аппроксимации функций, заданных массивом. На основе разработанного алгоритма получена аппроксимация внешних вольтамперных характеристик некоторых источников питания для ручной сварки.

Развиты аппроксимационные методы исследования динамических систем на основе аппроксимационных импульсных спектров (АИС). При применении аппроксимационных методов возникают операторные уравнения высокого порядка. Прямые методы решения подобных уравнений приводят к громоздким вычислениям, что в ряде случаев не позволяет достигнуть желаемой точности при обработке сигналов. Операционные матрицы, построенные на основе АИС, имеют квазитеплицевый вид (т.е. состоят из треугольных теплицевых клеток). Это свойство позволяет разработать рекурсивные формулы обращения матриц интегрирования. Последние расширяют возможности применения аппроксимации за счет снятия необходимости обращения матриц высокого порядка. Рекуррентные алгоритмы разработаны и реализованы для систем, описывающихся линейными дифференциальными уравнениями и их системами, а также уравнениями в частных производных первого и дробного порядка. В системе символьной математики Mathematica® созданы программные реализации всех разработанных методов. На основе программ исследован ряд задач математической физики (тепломассообмена, фильтрации, теории электрических цепей).

В диссертации исследованы некоторые вопросы точности аппроксимации сигнала. Предложен и разработан метод оценивания потери информации при аппроксимации функции из одного конечномерного подпространства L₂ ([a,b]) функциями из другого конечномерного подпространства. На основе программной реализации метода в системе Mathematica® проведен ряд экспериментов, результатом которых стало построение таблицы потери информации для ряда систем функций (степенных, показательных, тригонометрических, блочно-импульсных, Чебышева и др.).

Предложен и обоснован метод выбора конечного, заданного пользователем количества наиболее значимых функций из бесконечного базиса для оптимизации аппроксимации функции одной переменной. Разработан алгоритм, который позволяет выбрать такую подсистему за конечное время. Алгоритм реализован в виде программы в системе Mathematica®. Приведены иллюстративные примеры. Подтверждено, что аппроксимация на основе выбранной системы функций является более точной по сравнению с аппроксимацией на основе произвольной другой подсистемы.

Основные результаты работы использовались в процессе выполнения научно-исследовательских работ Отделения гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ НАН Украины по теме "Моделирование энергетических объектов и оценка их технического состояния в стационарных условиях эксплуатации" (Шифр темы "Зонд". Выполнялась в 1995-1997 гг. по постановлению Отделения физико-технических проблем энергетики НАН Украины), а также в проекте № 602 Украинского Научно-Технологического Центра по теме "Исследование и разработка комплекса аппаратно-программных средств мониторинга процесса дуговой сварки для предварительной диагностики процесса, подготовки и допускного контроля сварщиков в атомной энергетике".

Ключевые слова: математическое моделирование, операционные методы, аппроксимация, численные методы.

Размещено на Allbest.ru

...