Оптимізація структур в динамічних системах на основі узагальненого принципу Беллмана

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття вченого ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.05.04 - Системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Оптимізація структур в динамічних системах на основі узагальненого принципу Беллмана

Пічкур Володимир Володимирович

Київ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем Київського університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Гаращенко Федір Георгійович (Київський університет імені Тараса Шевченка, професор)

Офіційні опоненти:

1. доктор фізико-математичних наук, професор Бойчук Олександр Андрійович (Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник)

2. кандидат фізико-математичних наук, доцент Матвієнко Володимир Тихонович (Київський університет імені Тараса Шевченка, доцент)

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, відділ моделювання інформаційно-функціональних систем, м. Київ.

Захист відбудеться "22" квітня 1999р. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.09 Київського університету імені Тараса Шевченка, м. Київ, пр. Академіка Глушкова, 6, корп. 2, ф-т кібернетики, ауд. 40 о 14 годині. (Тел. 266-10-58. Факс 266-12-49. E-mail: rada@cyber.univ.kiev.ua).

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий "18" березня 1999р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.П. Шевченко

1. Загальна характеристика роботи

програмування беллман множина математичний

Актуальність теми. При математичному моделюванні явищ та процесів для їх адекватного опису необхідно враховувати значну кількість параметрів. Це ускладнює питання реалізації моделі на практиці. Тому математичну модель доцільно розглядати в такій формі, яка б враховувала сталі взаємозв'язки між підсистемами, залежності між параметрами системи, а множини, в яких відбувається процес, належали б до структурно заданих класів. Такий підхід дозволяє не тільки зменшити кількість змінних величин в моделі без втрати достатнього рівня її адекватності та спростити розрахунок оптимальних характеристик, але і конструювати систему в блочно-структурній формі з подальшою оптимізацією параметрів у структурах, які простіше реалізувати технічно. Така методика тісно пов'язана з математичними проблемами, які виникають при дослідженні динамічних систем зі змінною структурою. Якщо оптимізація параметрів системи проводиться в фіксованому структурному вигляді, то важливо встановити структуру, яка б задавала оптимальний режим функціонування об'єкту. Це означає, що підсистеми мають компонуватись так, щоб будь-яка допустима зміна взаємозв'язку між ними не покращувала критерій якості всієї конструкції.

В багатьох прикладних задачах важливо визначити область всіх початкових даних, для яких відповідні розв'язки не порушували б заданих фазових обмежень. При застосуванні структурного підходу оптимальні множини оцінюються геометричною формою з фіксованого класу. Такі оцінки покращуються за рахунок належного вибору параметрів системи, причому в деяких випадках оптимізація оцінки зводиться до розв'язування відповідної задачі оптимального керування матричними диференціальними рівняннями. Такі задачі досліджувалися в працях Ащепкова Л.Т., Гаращенка Ф.Г., Ємельянова С.В., Кириченка М.Ф., Михалевича В.С., Попадинця В.І., Уткіна В.І. з використанням принципу максимуму Понтрягіна, результатів теорії стійкості та чутливості. Однак слід відзначити, що такими підходами особливості вказаних проблем охоплюються не повною мірою. Наприклад, питання застосовності принципу максимуму до оптимізації релейних систем ускладнюється, якщо вводяться обмеження на точки переключення.

У пропонованій дисертаційній роботі досліджуються задачі вибору оптимальної структури динамічних систем на основі методу динамічного програмування. Принцип Беллмана є одним з фундаментальних у теорії оптимального керування. Але при вивченні різних прикладних проблем постає питання про застосовність принципу оптимальності для розв'язування інших класів задач оптимізації. Тому дослідження загальних властивостей методу динамічного програмування є актуальним як з математичної, так і з прикладної точки зору.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана відповідно до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка, а також пов'язана з науковими грантами №97544 та №97508 Міністерства науки і технології України з фундаментальних та прикладних досліджень.

Мета роботи:

1) поширити принцип Беллмана на задачі оптимізації адитивних функцій множин на структурно заданих класах;

2) застосувати узагальнений принцип Беллмана для розв'язування задач вибору оптимальної структури динамічної системи, деяких задач оптимального керування пучком траєкторій та оптимізації систем з двохпозиційним керуванням;

3) отримати диференціальне рівняння Беллмана для задачі оптимального керування матричним диференціальним рівнянням і на його основі побудувати чисельні методи розв'язування деяких задач оптимізації оцінок в задачах практичної стійкості;

4) побудувати чисельні алгоритми оптимізації структур динамічних систем на базі отриманих теоретичних результатів;

5) апробувати розроблені алгоритми для розрахунку оптимальної структури в деяких системах прискорення та фокусування.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертації вперше:

сформульовано і доведено принцип оптимальності Беллмана для задачі оптимізації адитивної функції множин на структурно заданих класах;

на основі узагальненого принципу Беллмана сформульовано і доведено принцип оптимальності для задач вибору оптимальної структури динамічної системи, виведено рівняння Беллмана в інтегральній формі і, у випадку з нефіксованими точками переключення, в диференціальній формі;

для задачі оптимізації систем з двохпозиційним керуванням і для деяких задач оптимального керування пучком траєкторій з інтегральним критерієм якості, базуючись на узагальненому принципі Беллмана, сформульовано і доведено принцип оптимальності та отримано рівняння Беллмана в інтегральній формі;

з використанням узагальненого принципу Беллмана сформульовано і доведено принцип оптимальності для задачі оптимального керування матричним диференціальним рівнянням з інтегральним критерієм якості і, як наслідок, виведено рівняння Беллмана в диференціальній формі;

побудовано алгоритми для розв'язування задач вибору оптимальної структури та оптимізації області початкових умов практичної стійкості динамічної системи на основі принципу Беллмана;

розроблено чисельні методи для розв'язування задач вибору оптимальної структури в системах прискорення та фокусування. Проведено відповідний обчислювальний експеримент.

Методи дослідження. В роботі використано методи математичного аналізу, теорії оптимального керування, оптимізації та теорії стійкості, чисельні методи.

Теоретична та практична цінність. Результати дисертації можуть бути використаними для розв'язування задач вибору оптимальної структури в динамічних системах, при дослідженні задач практичної стійкості, а також при оптимізації систем прискорення та фокусування та інших технічних систем.

Особистий внесок автора. В роботах, що виконані зі співавторами, особистий внесок автора полягав в обговоренні постановок задач, виконанні всіх основних доведень, розрахунків і в формулюванні висновків.

Апробація роботи. Матеріали дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка, а також на конференціях:

Українській конференції "Моделювання і дослідження стійкості систем"(20-24 травня 1996р., Київ);

Міжнародній конференції "Modeling and investigation of systems stability"(19-23 травня 1997р., Київ).

Публікації. За темою дисертації виконано 7 робіт, 6 з яких опубліковано у вигляді статей, тез доповідей конференцій. Одна робота депонована в ДНТБ України. Основні результати опубліковано в статтях [1-3]. Повний список публікацій приводиться в дисертаційній роботі.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 120 сторінках машинописного тексту, складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 102 найменувань, додатку.

2. Зміст роботи

У вступі приводиться загальна характеристика дисертаційної роботи: обґрунтовується актуальність вибраної теми, анонсуються основні отримані результати та висвітлюється їх практичне значення.

Перший розділ дисертації присвячений узагальненню методу динамічного програмування на клас задач оптимізації адитивних функцій множин та застосуванню отриманих результатів при дослідженні деяких оптимізаційних задач.

Підрозділ 1.1 має оглядовий характер. В ньому переглянуто літературу на тему дисертаційної роботи та наведено постановки задач, які досліджуються в дисертації.

В підрозділі 1.2 розглянуто задачі оптимізації функції множин. Нехай Х- деякий простір і - непорожній клас множин

Т={E:EX}

Побудуємо клас , виходячи з наступних умов: 1) Т; 2) якщо Е і FE, то F; 3) якщо E та F, то EF, E-F. Тут "-" - операція теоретико-множинної різниці. Визначимо на класі обмежену невід'ємну функцію множин таку, що:

=0

E, F і EF=

(EF)=(E)+(F)

Задача оптимізації функції множин на класі полягає в тому, щоб знайти множину А таку, що

(E)=(A)

=-T

Нехай - непорожній клас. Сформулюємо допоміжну задачу: знайти множину В з умови

(E)=(B).

(A)>0, (B)>0.

Теорема 1.1 (множинний принцип оптимальності). BA з точністю до множин, на яких функція рівна нулю.

Нехай А є обмеженою підмножиною деякої впорядкованої множини,

h=supA,

={E:EX}

фіксований клас множин простору Х, ВA- непорожня множина. Розглянемо клас однозначних відображень

={: :A},

i, i=1,2

1(d)=2(d), dB,

=(t) =1(t)

(t)=2(t)

tA-D, D={p: pd, pA}

Побудуємо клас A множин виду

L={(a,Фа):L(a)=Фа

аА, Фа}, L. Нехай :AR1 є обмежена функція, така, що: 1) ()=0; 2) для довільної точки dB і для довільних множин LD, MA-D виконується

(LM)=(L)+(M)

D={p:pd, pA}.

Визначимо функцію

m(L)=(L)+(L(h))

Тут :R1 - обмежена функція, LA, L. Задача оптимізації функції множин m на класі А полягає в знаходженні множини G, такої, що

m(L)=m(G)

G={(а,Ф): Ф, аА}.

Зафіксуємо точку dВ

D={p:pd, pA}

Розглянемо допоміжну задачу: знайти множину Н таку, що

m(L)=m(Н)

L(d)=G(d), LD, L, G.

Теорема 1.3.

В підрозділі 1.2 роботи розглядаються задачі вибору оптимальної структури динамічної системи. Нехай ХRn- фазовий простір і для кожного t[t0,T] визначено множину (t)X. Розглянемо систему диференціальних рівнянь з умовами

x(t0)=x0, (2)

x(i+0)=g (x(i-0),i), i=1,2,...,p. (3)

Тут x(t)(t) - вектор фазових координат, t[t0,T], f(j)(x,t),- вектор-функції розмірності n, які задовольняють умовам теореми існування та єдиності розв'язку задачі Коші, x0(t0), gj(x,t) - n-вимірні неперервні вектор-функції на X[t0,T], j=1,2,...,N, i(t0,T) - точка переключення між j(i+1) і ji-підсистемами системи (1),

i=1,2,...,p, 0<1<...<p, 0=t0, p=T,

p, n, N - деякі натуральні числа. Позначимо

xj(t)=x(t,s,y,f(j))

траєкторія j-ої підсистеми системи (1) з початковою умовою

x(s+0)=y, {i}={1,2,...,p-1}

Множина точок переключення

- множина правих частин системи (1.1), що відповідає множині {i}.

Задача 1.1. Нехай функції gj(x,t), j=1,2,...,N - відомі, точки i, i=1,2,...,p-1 - невідомі, p - невідоме обмежене натуральне число. Пара ({i},{f}) задає структуру системи (1). Задача про вибір оптимальної структури (1) полягає в тому, щоб на відрізку часу [t0,T] знайти пару множин ({i},{f}), яка б мінімізувала критерій якості

I= (x,t)dt+Ф(x(T)). (4)

Тут f0(x,t) -- інтегрована за Лебегом на розв'язках системи (1) функція при t[t0,T], Ф(x) -- неперервна функція.

Припустимо, що пара ({i},{f}) визначає оптимальну структуру системи (1),-траєкторія (1), що відповідає оптимальній структурі.

Розглянемо допоміжну задачу. Зафіксуємо точку s(t0,T). Необхідно мінімізувати критерій якості

Is= (x,t)dt+Ф(x(T))

на траєкторіях системи (1), що розглядається на проміжку t(s,T] з умовами x(s+0)=x(s+0) та (3). Має місце наступний принцип оптимальності.

Теорема 1.4. Якщо ({i},{f}) - розв'язок допоміжної задачі, то

({i},{f})=({i},{f})

на проміжку t(s,T] .

B(x,s)= { (x,t)dt+Ф(x(T))},

визначена на траєкторіях системи (1) при t(s,T] з умовами

x(s+0)=x

Остаточно отримаємо рівняння Беллмана в інтегральній формі для задачі 1.1:

B(x,s)= { (x,t)dt +B( (x(s+s-0),s+s),s+s+0)}.

Має місце також рівняння Беллмана в диференціальній формі:

{f0(x,s+0)+gradxтB(x,s+0)f (x,s+0)}=0,

x(s+0), B(x,T)=Ф(x),x= (,s), (s-0).

Задача 1.2. Розглянемо (1), (3) з нефіксованим лівим кінцем при умові, що точки i та функції gj(x,t) - невідомі, i=1,2,...,p-1, j=1,2,...,N, p - невідоме обмежене число. Тоді структура системи (1) задається трійкою множин ({i},{f},{x(i)}) та вектором x0(t0), який визначає початкову умову для системи (1). Тут

x(i)=x(i+0)-x(i-0)

Припустимо Ф(x)0. Задача полягає в тому, щоб знайти таку структуру системи (1), яка мінімізує критерій якості (4).

Розглянемо допоміжну задачу. Зафіксуємо деякі моменти часу s1 та s2, s1<s2, si(t0,T), i=1,2. Необхідно на відрізку [s1,s2] вибрати структуру системи (1), яка б мінімізувала критерій якості

I= (x,t)dt.

Теорема 1.5. Якщо ({i},{f},{x(i)}) - оптимальна структура системи (1) задачі 1.2, ({i},{f},{x(i)}) - оптимальна структура допоміжної задачі, то ({i},{f},{x(i)})=({i},{f},{x(i)}) на відрізку [s1,s2].

Задача 1.3. Розглянемо задачу (1)-(3). Нехай точки i та функції gj(x,t), i=1,2,...,p-1, j=1,2,...,N - відомі. Тоді структура системи (1) задається скінченою множиною {f}. Задача про вибір оптимальної структури системи (1) полягає в тому, щоб на відрізку часу [t0,T] знайти таку множину {f}, яка б мінімізувала критерій якості (4). Нехай x(t)=x(t,t0,x0,{f}) - траєкторія системи (1), що відповідає її оптимальній структурі.

Розглянемо допоміжну задачу. Зафіксуємо точку s(t0,T). Необхідно мінімізувати критерій якості (4) на траєкторіях системи (1) при t(s,T] з умовами

x(s+0)=x(s+0)

Теорема 1.6. Якщо s{1,2,...,p-1} і {f} -оптимальна структура допоміжної задачі, то на проміжку t(s,T] {f}={f}.

Якщо B(x,s) є функцією Беллмана задачі 1.3, х(i-1), то має місце рівняння Беллмана задачі 1.3 в інтегральній формі

B(x,i-1+0)= { (x,t)dt+B(g (x(i-0),i),i+0)}.

Далі розглянуто задачу вибору оптимальної структури динамічної системи, що описує пучок траєкторій. Отримано твердження, аналогічні теоремам 1.4 та 1.6.

В підрозділі 1.4 на основі множинного принципу оптимальності доведено принцип оптимальності Беллмана, а також рівняння Беллмана в інтегральній та диференціальній формах для задачі оптимального керування динамічною системою з двохпозиційним керуванням.

В підрозділі 1.5 розглянуто деякі задачі оптимального керування пучком траєкторій. Нехай XRn -- множина обмежень на вектор фазових координат, URm - множина обмежень на вектор керування. Розглянемо керовану систему

x(t0)M0)=f(x,u,t), t[t0,T] (5)

де x(t)X - вектор фазових координат розмірності n, u(t)U-- вектор керування розмірності m, f(x,u,t)-- n-вимірна вектор-функція, яка задовольняє умови теореми існування та єдиності розв'язку задачі Коші, М0Х- компактна множина. Позначимо M(t,u)={xX:x=x(t,u,x0), x0M0}-- перетин пучка траєкторій системи (5) в момент t[t0,T].

Задача оптимального керування пучком траєкторій полягає в тому, щоб знайти керування u=u(t) і відповідний йому пучок траєкторій

X={x(t):x(t)=x(t,u,x0), x0M0, t[t0,T]}

які мінімізують функціонал

I(u)= (x,u,t)dxdt+ (x,T)dx

Тут (x,u,t), g(x,T) -- інтегровані за Лебегом на перетинах пучка функції. Розв'язком задачі (5)-(7) назвемо пару (u,X).

Розглянемо допоміжну задачу. Нехай s(t0,T)- фіксований момент часу. Необхідно мінімізувати функціонал

Is(u)= (x,u,t)dxdt+ (x,T)dx

при умовах =f(x,u,t), t[s,T], x(s)M(s,u), xX, uU. Припустимо, що пара () -- розв'язок допоміжної задачі.

Теорема 1.10. На відрізку t[s,T] (u,X)=().

З теореми 1.10 випливає, що виконується рівняння Беллмана в інтегральній формі

B(L,s)= { (x,u,t)dxdt+B(M(s+s,u),s+s)}.

Нехай розв'язок задачі (5)-(7) шукається в класі структурно заданих функцій u(t)=i(t,ai1,ai2,...,), t[ti,ti+1), i=0,1,...,N-1. Тут t0<t1<...<tN=T, i(t,ai1,ai2,...,), i=0,1,...,N-1 -- задані m-вимірні неперервні по сукупності змінних вектор-функції, aij -- числові параметри, j=1,2,...,ki, i=0,1,...,N-1.

Теорема 1.11. Якщо s{t1,t2,...,tN}, то (u,X)=() на відрізку t[s,T].

Має місце рівняння Беллмана

В(L,ti)= { (x,i),t)dxdt+B(M(ti+1,i),ti+1)},

M(t,i)={x:x=x(t,i(t,ai1,ai2,...,),y),yL},

Далі в підрозділі 1.5 розглядаються аналогічні результати для задачі оптимального керування пучком траєкторій з двохпозиційним керуванням.

Розділ 2 дисертаційної роботи присвячений дослідженню задач оптимізації оцінок практичної стійкості динамічних систем на основі методу Беллмана. В підрозділі 2.1 розглядаються постановки задач та виявляється їх зв'язок з задачами оптимального керування матричними диференціальними рівняннями. При цьому застосування методу динамічного програмування приводить до необхідності знаходження похідної від функції матричного аргументу. Тому в підрозділі 2.2 наведено необхідні твердження по диференціюванню функцій типу сліду. В підрозділі 2.3 роботи розглядається задача оптимального керування матричним диференціальним рівнянням

X(t)Y =F(X,U,t). (8)

Тут X(t)Y - матриця розв'язків рівняння (8), U(t)V - матриця керування, F(X,U,t) - матрична функція розмірності mn, яка задовольняє умови теореми існування та єдиності розв'язку задачі Коші, , X(t0)=X0, X0Y - відома матриця, YMmn - множина обмежень на траєкторії матричного диференціального рівняння, VMpq - множина обмежень на матрицю керування, Mmn - множина матриць розмірності mn.

Задача оптимального керування матричним рівнянням (8) полягає в тому, щоб знайти матрицю керування таку, що мінімізує функціонал

I(U)= +Ф(X(T)), (9)

де f0(X,U,t)- інтегрована на [t0,T] функція, Ф(X(T))- неперервна функція. Для задачі (8), (9) має місце принцип оптимальності Беллмана, який в роботі доведено на основі узагальненого принципу Беллмана. Якщо функція Беллмана B(X,s) задачі (8), (9) є неперервно диференційованою по X та по s, то рівняння Беллмана для задачі (8), (9) має вигляд

B(X,T)=Ф(X)

В підрозділі 2.4 розв'язується важлива задача мінімізації функціоналу

I(U)= +tr(SтX(T)S)

на розв'язках матричного диференціального рівняння типу Ляпунова

X(t)Mnn =(D(t)+H(t)U(t))X(t)+X(t)(D(t)+H(t)U(t))т+R(t).

Тут X(t)Mnn, U(t)Mkn - матриця керування, t[t0,T], X(t0)=X0, X0Mnn - відома симетрична матриця, D(t)Mnn, H(t)Mnk, R(t)Mnn - відомі матриці з неперервними компонентами, Rт(t)=R(t), >0 - деякий параметр, SMnn- відома матриця. За допомогою рівняння Беллмана (10), (11) показано, що оптимальною матрицею є

Uопт(t)=- Hт(t)(t)H(t),

I(Uопт)=tr((t0)X0)+tr(t0)

матриця (t) задовольняє рівнянню

(t) +(s)D(s)+Dт(s)(s)- (s)H(s)Hт(s)(s)=0, s[t0,T], (T)=SSт,

а матриця (t) задовольняє рівнянню

В підрозділі 2.5 досліджується питання оптимізації оцінок практичної стійкості лінійних динамічних систем. Розв'язуючи рівняння Беллмана в диференціальній формі (10), (11), приходимо до висновку, що задача оптимізації оцінки {c,B,Гt,t0,T}-стійкості лінійної системи =A(t,u)x, при умові, що обмеження Гt={xRn: lsт(t)x1,s=1,2,...,N} задані тільки в момент часу t=T i N=1 зводиться до знаходження розв'язку системи

(P+A)+(P+Aт) =0, i=1,2,...,r.

Тут xRn -- вектор стану системи, uRr -- вектор керування, AMnn -- матриця з неперервними компонентами, матриця Р визначається з рівняння

PA+AтP+AтA=0, P(T)=l1(T)l1т(T),

де А=A(s,uопт), uопт -- розв'язок системи (12), s[t0,T], >0. Далі розглядаються інші задачі оптимізації оцінок практичної стійкості лінійної системи і отримано співвідношення аналогічні (12).

Питання побудови алгоритмів на основі теоретичних результатів розділів 1, 2 висвітлюється в розділі 3 дисертаційної роботи. Так, в підрозділі 3.1 наводяться чисельні методи розв'язування задач вибору оптимальної структури динамічної системи. Вони базуються на отриманих в підрозділі 1.3 принципах оптимальності та рівняннях Беллмана. На основі теоретичного матеріалу підрозділу 1.4 в підрозділі 3.2 будується процедура знаходження оптимальних точок переключення в задачі оптимізації системи з двохпозиційним керуванням. Підрозділ 3.3 присвячено застосуванню результатів з підрозділу 2.5 до побудови чисельних методів оптимізації оцінок в задачах практичної стійкості. Показано, що співвідношення (12) і аналогічні йому системи можна розв'язувати за допомогою ітераційних процедур типу градієнтного спуску. В підрозділі 3.4 наведено алгоритми для розв'язування деяких задач оптимального керування пучком траєкторій на основі рівнянь Беллмана, отриманих в підрозділі 1.5.

В розділі 4 розглядається питання моделювання оптимальної динаміки заряджених пучків на основі результатів попередніх розділів роботи. В підрозділі 4.1 наводяться рівняння руху частинок в електромагнітних полях та постановки задач. В підрозділі 4.2 роботи розглядаються алгоритми знаходження оптимальної структури в системах прискорення та фокусування. Один з підходів оснований на виборі базових елементів системи. Так, за базові елементи перезарядного прискорювача можна вибрати прискорюючи трубку, квадрупольну лінзу, трьохелектродну лінзу, імерсійну лінзу, поворотний магніт. Побудовані алгоритми базуються на результатах підрозділу 3.1. В підрозділі 4.3 наводяться результати обчислювального експерименту. Відповідна програма обсягом 33KB розроблена на мові системи Mathematica 3.0 в середовищі Windows 95 для ПЕОМ PC Pentium.

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи. Додаток містить опис програми.

Висновки

В дисертації одержані нові науково обґрунтовані результати в галузі структурної оптимізації, оптимального керування та практичної стійкості динамічних систем. Вони можуть бути використані при розв'язуванні задач оптимізації та оптимального керування динамічними системами, при структурній оптимізації технічних систем, зокрема, при виборі оптимальної структури в системах прискорення та фокусування.

Основними результатами пропонованої дисертації є:

1. Для задач оптимізації функції множин на структурно заданих класах сформульовано і доведено теореми, які є узагальненням принципу оптимальності Беллмана.

2. Для задач вибору оптимальної структури динамічної системи на основі узагальненого принципу Беллмана сформульовано і доведено принцип оптимальності, виведено рівняння Беллмана в інтегральній формі і, у випадку з нефіксованими точками переключення, також у диференціальній формі.

Виходячи з узагальненого принципу Беллмана, отримано відповідне рівняння в інтегральній формі для задачі оптимізації систем з двохпозиційним керуванням і для деяких задач оптимального керування пучком траєкторій з інтегральним критерієм якості.

Отримано рівняння Беллмана в диференціальній формі для задачі оптимального керування матричним диференціальним рівнянням з інтегральним критерієм якості. Це рівняння застосоване для знаходження розв'язку задачі оптимального керування матричним диференціальним рівнянням типу Ляпунова.

На основі методу Беллмана побудовано чисельні алгоритми для розв'язування задач вибору оптимальної структури динамічної системи, оптимізації систем з двохпозиційним керуванням, оптимального керування пучком траєкторій, оптимізації в структурних формах області початкових умов практичної стійкості динамічних систем.

6. Розроблено чисельні методи для розв'язування задач вибору оптимальної структури в системах прискорення і фокусування та проведено відповідний обчислювальний експеримент.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Гаращенко Ф.Г., Пичкур В.В. Структурная оптимизация динамических систем на основе обобщенного принципа Беллмана //Проблемы управления и информатики. -1997. -№6. -с. 6-13.

2. Гаращенко Ф.Г., Башняков А.Н., Пичкур В.В. О недифференцируемых задачах оптимального управления матричными дифференциальными уравнениями //Кибернетика и системный анализ. -1998. -№5. -с. 92-101.

3. Гаращенко Ф.Г., Пичкур В.В. Об оптимальных множествах практической устойчивости//Проблемы управления и информатики. -1998. -№5. -с. 5-18.

Анотація

Пічкур В.В. Оптимізація структур в динамічних системах на основі узагальненого принципу Беллмана. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 -- системний аналіз і теорія оптимальних рішень. -- Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999 р.

Дисертацію присвячено питанню структурної оптимізації динамічних систем методом динамічного програмування. На основі отриманих результатів по оптимізації функції множин досліджено задачі вибору оптимальної структури динамічної системи, оптимізації систем з двохпозиційним керуванням, оптимального керування пучком траєкторій, оптимізації оцінок в задачах практичної стійкості і побудовано алгоритми для їх розв'язування. Розроблену методику застосовано до моделювання оптимальної динаміки заряджених пучків.

Ключові слова: структурна оптимізація, оптимальне керування, принцип Беллмана, функція множин, матричне диференціальне рівняння, пучок.

Аннотация

Пичкур В.В. Оптимизация структур в динамических системах на основе обобщенного принципа Беллмана. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 -- системный анализ и теория оптимальных решений. -- Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999 г.

Диссертация посвящена вопросу структурной оптимизации динамических систем методом динамического программирования. В первом разделе работы принцип Беллмана обобщается на класс задач оптимизации аддитивных функций множеств. На основе полученных результатов доказываются теоремы типа принципа Беллмана для задач выбора оптимальной структуры динамической системы, оптимального управления пучком траекторий, оптимизации динамической системы с двухпозиционным управлением, а также выводятся уравнения Беллмана в интегральной, а в некоторых случаях и в дифференциальной, формах.

Второй раздел диссертации посвящен оптимизации оценок практической устойчивости методом динамического программирования. Рассматриваются соответствующие постановки задач и обнаруживается их связь с задачами оптимального управления матричными дифференциальными уравнениями. При этом применение метода динамического программирования приводит к необходимости нахождения производной от функций матричного аргумента. Поэтому рассматриваются необходимые утверждения по дифференцированию функций типа следа. Для задачи оптимального управления матричными дифференциальными уравнениями с помощью обобщенного принципа Беллмана доказывается соответствующая теорема и выводится уравнение Беллмана в дифференциальной форме. Полученные результаты применяются для нахождения оптимального управления матричным уравнением типа Ляпунова с квадратичным критерием качества. Показывается, что задачи оптимизации оценок практической устойчивости линейных динамических систем сводятся к решению систем матричных уравнений.

Вопрос построения алгоритмов на основе теоретических результатов разделов 1, 2 освещается в разделе 3 диссертационной работы. Приводятся численные методы решения задач выбора оптимальной структуры динамической системы, процедура нахождения оптимальных точек переключения в задаче оптимизации систем с двухпозиционным управлением, алгоритмы решения задач оптимального управления пучком траекторий. Они базируются на полученных в разделе 1 принципах оптимальности и уравнениях Беллмана. На основе результатов второго раздела строятся численные методы оптимизации оценок в задачах практической устойчивости. Показано, что их решение можно осуществлять с помощью итерационных процедур типа градиентного спуска.

В разделе 4 рассматривается вопрос моделирования оптимальной динамики заряженных пучков. Приводятся уравнения движения частиц в электромагнитных полях и постановки задач. Рассматриваются алгоритмы нахождения оптимальной структуры в системах ускорения и фокусировки. Один из подходов основывается на выборе базовых элементов системы. Например, базовыми элементами перезарядного ускорителя можно выбрать ускорительную трубку, квадрупольную линзу, трехэлектродную линзу, иммерсионную линзу, поворотный магнит. Построенные численные методы основываются на алгоритмах, полученных в разделе 3 работы. Анализируются результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: структурная оптимизация, оптимальное управление, принцип Беллмана, функция множеств, матричное дифференциальное уравнение, пучок.

Summary

Pichkur V.V. Structures optimization in dynamical system on the basis of the generalized Bellman's principle. -- Manuscript.

Thesis for degree of Candidate of Science (Ph.D) in Physics and Mathematics, the speciality 01.05.04 -- system analysis and theory of optimal solutions. -- Kyiv Shevchenko University, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to the question of the dynamical system structural optimization by Bellman's method. On the basis of obtained theoretical results some problems of optimal structure choice of dynamical systems, systems optimization with two-position control, optimal control of trajectories bunch, optimization of practical stability estimates are investigated and corresponding algorithms are built. The elaborated methods are applied for modeling of optimal dynamics of charge beams.

Key words: structural optimization, optimal control, Bellman's principle, sets function, matrix differential equation, beam.

Размещено на Allbest.ru

...