Решение технических задач системой Mathacad

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Курсовая работа

На тему: Решение технических задач системой Mathacad. Расчёт и построение графиков.

Выполнила:

Студентка 2 курса группы М-11

Шуликова В.В.

Научный руководитель:

Можаровский В.В.

Гомель, 2013

Введение

Исторически, в процессе развития программирования возникло отдельное направление - языки программирования для проведения математических расчетов. Первым таким языком стал Fortran (от formula translator). Но математические расчеты по прежнему оставались сложным делом: применение компьютеров внесло новые трудности - прежде чем начинать расчеты пользователь должен был освоить основы программирования, изучить один, а то и несколько языков программирования и освоить достаточно специфические численные методы расчетов. Все это не предало математическим расчетам большей привлекательности.

Положение стало меняться к лучшему после разработки специализированных программных комплексов для автоматизации математических и научно-технических расчетов - системы MathCad.

MathCad содержит текстовый редактор, мощный вычислитель и очень простой в применении графический процессор. Это позволяет готовить документы, по виду очень напоминающие статьи или разделы из книг. Язык общения с пользователем в системе MathCad предельно приближен к обычному математическому языку. Вычислитель системы содержит множество математических функций - от всех известных элементарных функций до специфических, таких как быстрое преобразование Фурье или сплайн-интерполяция.

Система MathCad универсальна - она может применятся везде, где используются математические методы анализа, расчета и моделирования. Ее с одинаковым успехом можно использовать как для проведения школьных расчетов, так и сложных расчетов, вполне достойных включения в серьезные диссертации и труды по математике. При этом центр тяжести расчетов перемещается с вопросов программирования компьютера на вопросы естественного математического описания алгоритмов решения математических и научно-технических задач.

Такое смещение акцентов позволяет упростить работу учащихся, а также оптимизировать учебное время, так как большее внимание можно обращать на методы моделирования, не затрачивая усилий на ручные расчеты и построение графиков.



1. Состав директив

При вводе после выражения символа (r) фактически (по умолчанию) над ним исполняется команда Simplify (упростить). Однако что подразумевается под этим, ясно далеко не всегда, даже несмотря на то, что многие символьные операции система выполняет вполне очевидно - например, вычисление интеграла или производной в символьном виде.

Однако выполняемую операцию можно изменить с помощью ряда директив:

simplify - упрощение выражений;

expand - разложение выражения по степеням;

factor - разложение выражения на простые дроби;

Рис. 12.1. Простейшие примеры применения символьных операций

complex - преобразования в комплексной форме;

assume - присваивание переменным неопределенного значения, даже если до этого им были присвоены значения, а также задание ограничений на значения или тип переменных;

series - разложение в ряд по заданным переменным;

float - преобразование в формат чисел с плавающей точкой;

literally - запрет символьного преобразования для последующего выражения.

Ниже представлены дополнительные директивы и ключевые слова, имеющиеся только в профессиональных версиях системы:

parfac - разложение на элементарные дроби;

coeffs - возвращение вектора с коэффициентами полинома;

fourier - прямое преобразование Фурье;

laplace - прямое преобразование Лапласа;

ztrans - прямое z-преобразование;

invfourier - обратное преобразование Фурье;

invlaplace - обратное преобразование Лапласа;

invztrans - обратное z-преобразование;

|M|? - вычисление детерминанта матрицы;

Modifier - модифицированные команды:

assume - вводное слово для приведенных ниже определений;

real - для var = real означает вещественное значение переменной var;

RealRange - для var = RealRange(a,b) означает принадлежность вещественной переменной var к интервалу [a,b];

trig - задает направление тригонометрических преобразований.

Директивы допустимо набирать только строчными буквами (кроме Modifier, которая вводится с прописной первой буквой). В новых версиях Mathcad 8/2000 директивы охватывают все возможные символьные преобразования. При этом их даже больше, чем при использовании команд меню Symbolics.



2. Выполнение простейших математических операций

2.1 Построение выражений

Многие математические выражения можно создавать, просто печатая последовательность символов. Часть символов - буквы и цифры - служит для ввода чисел и имён функций и переменных, другие символы, подобно * и + , служат для создания операторов.

При редактировании выражений в Mathcad используется выделяющая рамка. Важно запомнить, что заключённая в рамку часть выражения становится операндом следующего вводимого оператора.

Необходимость использования выделяющей рамки покажем на примере.

Если набрать: 1*2?3*4/5^2, то получим следующее:

Если перед набором знака деления выделить всё выражение рамкой (нажимая на пробел, пока всё выражение не окажется подчёркнутым ), то получим следующее: анализ матрица алгебра mathacad

2.2 Операции присваивания значения и вычисления

Для присвоения переменной какого-либо численного значения достаточно после введения переменной нажать на клавишу = и ввести численное значение.

Такой способ присвоения переменной численного значения применим только в случае начального присвоения. Если переменной уже присваивалось значение, то нажатие на клавишу = приведёт к тому, что Mathcad покажет это значение. Для присвоения нового значения в этом случае необходимо нажать на клавишу со знаком двоеточия.

Для вычисления любого выражения достаточно после него ввести знак равенства. После выполнения вычислений результат будет выведен в строке выражения сразу за поставленным знаком равенства.

2.3 Использование шаблонов и функций

Для того чтобы ввести выражение с использованием шаблона из палитры, достаточно нажать на кнопку с необходимым шаблоном. После этого в документе появляется шаблон с местами ввода чисел или переменных, обозначенных маленькими чёрными прямоугольниками. Установив курсор в место ввода, необходимо ввести число или переменную. После этого ввод выражения с использованием шаблона заканчивается.

Сложные математические выражения наряду с операторами содержат математические функции. Для облегчения ввода математических функций служит кнопка f(x), которая выводит окно с полным перечнем функций, разбитым на тематические разделы. Выбранная функция вводится в документ после нажатия на кнопку OK или Insert (вставить). Функции, также как и шаблоны, имеют места ввода.



3. Задачи линейной алгебры

3.1 Вычисление определителя матрицы nЧn

Для введения матрицы в документ можно вывести панель векторов и матриц (vector and matrix toolbar), а затем выбрать шаблон матрицы (matrix or vector). Также можно воспользоваться командой Matrix меню Insert (вставка).

Матрица - математический объект в виде таблицы, который характеризуется числом строк (rows) и столбцов (columns). В Mathcad элементами матрицы могут быть числа, константы, переменные и даже математические выражения. При введении шаблона матрицы в документ появляется диалоговое окно, в котором необходимо ввести размерность матрицы, то есть число ее строк и столбцов.

Шаблон, введённый в документ, содержит места ввода элементов матрицы. Место ввода можно сделать активным, щёлкнув на нём мышью. С помощью клавиш перемещения курсора можно ввести все элементы матрицы.

Обращение к элементам матрицы производится с помощью имени матрицы и индексов элемента. Индексы вводятся с помощью клавиши "]" и разделяются запятой. Первый индекс соответствует номеру строки, а второй - номеру столбца матрицы, содержащей элемент.

Нижняя граница индексов по умолчанию начинается с нуля. Она определяется встроенной переменной ORIGIN, которую можно поменять с помощью команды Options меню Math.

Для работы с векторами и матрицами система Mathcad поддерживает ряд операторов и функций. Здесь мы рассмотрим основные из них.

Сначала напомним, что называется определителем.

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц, то есть матриц с равным числом строк и столбцов. Число строк (столбцов) определяет порядок квадратной матрицы, и этот же порядок присваивается соответствующему матрице определителю.

Определителем первого порядка называется число |a₁₁| = a₁₁.

Определителем второго порядка называется число

Где- элементы матрицы, определитель которой нужно вы-числить.

Определитель третьего порядка - это число

Вычисление определителей четвертого и последующих порядков сводится к вычислению определителей второго и третьего порядков.

Порядок определителя ? это число его строк и столбцов.

Определителем n -го порядка называется число, вычисленное по определенным правилам на основе чисел, заданных квадратной таблицей из n строк и n столбцов.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной. Ее определитель равен единице.

Матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Примерами вырожденных матриц являются матрицы, содержащие строки или столбцы из одних нулевых элементов, матрицы, имеющие два одинаковых столбца или две одинаковых строки.

Матрицы, все элементы которой выше главной диагонали или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.

В Mathcad имеется возможность вычислять определитель любой матрицы и с любой заданной точностью вычислений.

Определитель матрицы вычисляется с помощью оператора "|A|", где

А - заданная в задаче матрица.

Например, операция вычисления определителя в Mathcad запишется в виде двух операций, а именно, задания матрицы А и вывода ее определителя (сами действия по вычислению определителя при этом не отображаются на экране):

3.2 Вычисление обратной матрицы

Обратной матрицей для данной квадратной матрицы А называется такая матрица A^-1, произведение на которую матрицы А справа и слева является единичной матрицей:

AA^-1 = A^-1 A= E

Для невырожденной квадратной матрицы A существует единственная обратная матрица A^-1.

Для вычисления обратной матрицы для исходной матрицы A достаточно напечатать: A^-1 =.

Например:

3.3 Определение ранга матрицы

Линейной комбинацией элементов и некоторого множества однородных математических объектов называется их сумма бa+вb, где б и в? числа. Если строка (столбец) матрицы может быть получена в результате линейной комбинации других ее строк, говорят, что строка линейно зависима от этих строк.

Рангом матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы А.

Для определения ранга матрицы можно воспользоваться функцией rank(M), которая возвращает ранг матрицы M.

Например:

3.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такое значение вектора неизвестных, при подстановке которого все уравнения системы удовлетворяются тождественно.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений с использованием матричных операций необходимо представить систему уравнений в виде: AX = B, где A - матрица коэффициентов системы линейных уравнений, B - вектор свободных членов, X - вектор неизвестных. После введения матрицы коэффициентов системы линейных уравнений и вектора свободных членов вектор неизвестных определяется следующим образом: X = A^-1B.

Например:

Системы линейных алгебраических уравнений в Mathcad не обязательно решать с помощью матричных операций, о чём будет сказано в следующих главах.



4. Методы математического анализа

4.1 Решение нелинейных уравнений

В Mathcad легко с заданной погрешностью решить практически любое нелинейное уравнение. Для простейших уравнений вида F(x) = 0 (причем F(x) - функция любого вида) решение находится с помощью функции из Mathcad root(F(x, y, ...), x, [a, b]). В качестве аргумента функции root(F) записывается функция F(x, y, ...) - левая часть уравнения F(x, y, ...) = 0, числа a и b - соответственно нижняя и верхняя границы интервала, в пределах которого нужно найти корень уравнения. Функция root возвращает значение корня уравнения с точностью, заданной системной переменной TOL.

Границы интервала, в пределах которого должен находиться корень, указывать необязательно. Можно предварительно задать начальное значение переменной, относительно которой решается уравнение.

Функция root отыскивает как действительные, так и комплексные корни.

Для поиска корней обычного полинома в Mathcad существует функция polyroots(v), возвращающая вектор, содержащий все корни полинома, коэффициенты которого содержатся в v.

Например: нужно решить уравнение

Решение в Mathcad для этого уравнения состоит из двух операций - задания вектора коэффициентов уравнения и вывода результата его решения:

Как и при других операциях в Mathcad, все промежуточные вычисления, приводящие к полученному результату, скрыты от пользователя.

4.2 Итерационные вычисления

Mathcad позволяет реализовать вычисления, производимые по рекуррентным соотношениям. Это такие соотношения, при которых значение некоторой функции находится по одному или нескольким предшествующим её значениям. Классическим примером рекуррентных вычислений является расчёт чисел Фибоначчи, приведённых в 1228 году в рукописи Леонарда Пизанского (Фибоначчи). Это числа из последовательности, в которой каждое число, начиная с третьего, получается как сумма двух предыдущих чисел, а первые два числа равны единице.

Вычисление первых десяти чисел Фибоначчи в Mathcad выглядит следующим образом:

Mathcad поддерживает также некоторые распространённые операторы языков программирования, используемые для вычислений, повторяющихся циклически, например For или While. Их также можно использовать для итерационных вычислений.



4.3 Построение графика функции

Чаще всего при расчётах в качестве иллюстрации или материала для анализа требуются двумерные графики функций. В соответствии с этим построение таких графиков в Mathcad максимально упрощено.

Для построения графика функции одной переменной сначала требуется набрать функцию, например, После этого нужно в палитре графиков выбрать двумерный график: . На экране появится шаблон графика с уже введённой по оси Y функцией. В место ввода шаблона по оси X нужно ввести имя переменной, например, x. После этого нужно щёлкнуть мышью вне шаблона, и график построится:

С помощью мыши очень легко изменить размеры и переместить график.

Для построения на том же графике ещё нескольких графиков после первой функции через запятую нужно ввести необходимые функции.

Непосредственно на графике можно изменить границы построения графика, добавить сетку, изменить цвет графика и т. д.

Границы построения указываются в местах ввода, появляющихся непосредственно слева и справа от имени переменной.

Добавление сетки, изменение цвета производится путём выбора пункта Format из контекстного меню графика.

4.4 Дифференцирование

Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием.

Дифференциалом dy функции y = f(x) в точке x₀ называют главную линейную часть приращения функции (относительно Дx) в этой точке.

Для вычисления дифференциала dy функции y = f(x) в точке x₀ следует воспользоваться следующей формулой:

.

Дифференциалом dx независимой переменной x называют приращение этой переменной Дx, то есть dx=Дx.

Производная n-го порядка функции f(x) - производная от производной (n - 1)-го порядка (вторая производная - производная от первой производной этой функции; третья производная - производная от второй и т. д.)

Mathcad позволяет дифференцировать не только численно, но и символьно. Символьными называют такие вычисления, результаты которых представляются в аналитическом виде, то есть в виде формул. В частном случае результат может быть и числом. Вычисления в символьном виде отличаются большей общностью и позволяют судить о математических, физических и иных закономерностях решаемых задач.

Ядро символьного процессора системы Mathcad - несколько упрощённый вариант ядра известной системы символьной математики Maple V.

Команды, относящиеся к работе символьного процессора, содержатся в меню Symbolics. Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением это должно проводиться, то есть надо выделить выражение.

При дифференцировании выделяется не выражение, а переменная, по которой дифференцируется выражение. Дифференцирование производится командой меню Variable >Differentiate. Для вычисления производных высшего порядка нужно повторить вычисление необходимое число раз.

Например.

Исходное выражение:

Производная:

Исходное выражение:

Производная:



4.5 Разложение в ряд Тейлора

При использовании сложного вида функции в ряде прикладных задач их заменяют рядами Тейлора. Ряд Тейлора - это представление функции f(x) в окрестности точки x₀ ? X с помощью её производных различного порядка в виде ряда по степеням двучлена (x ? x₀):

При x₀ = 0 ряд будет по степеням переменной x. Такой степенной ряд является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора и называется рядом Маклорена.

Разложение в ряд Тейлора осуществляется командой

Variable >Expand to Series.

По умолчанию число членов ряда равно шести. В разложении указывается остаточная погрешность.

Например:

4.6 Интегрирование

Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных отраслях науки приводит к задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого x ? X функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Операция нахождения первообразной по её производной или неопределённого интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Интегрирование осуществляется командой меню Variable >Integrate.

Эта команда используется так же, как и команда дифференцирования.

Например:

Исходное выражение:

Интеграл:

Исходное выражение:

Интеграл:

4.7 Разложение на правильные дроби

Разложение сложного алгебраического выражения на правильные дроби позволяет проанализировать поведение исследуемой величины в зависимости от каждой из составляющих. При этом возможно нагляднее представить влияние особенных точек на поведение исследуемой величины, выявить существенные и несущественные составляющие. Эта операция позволяет упростить интегрирование рациональных выражений.

Команда Variable >Convert to Partial Fraction возвращает символьное разложение выражения, представленное относительно заданной переменной в виде суммы правильных дробей.

Например:

и

4.8 Матричные операции

Наряду с рассмотренными ранее матричными операциями над численными матрицами в Mathcad имеется более общий аппарат для работы с матрицами при их задании в символьном виде.

Символьный процессор системы Mathcad обеспечивает проведение в символьном виде, то есть в виде формул, трёх наиболее распространённых матричных операций: транспонирование (замену строк матрицы ее столбцами и наоборот), создание обратных матриц, а также вычисление определителя. Эти действия осуществляются соответственно командами Trans-pose, Invert, Determinant из подменю Matrix меню Symbolics.

Например.



Транспонирование:

Обращение:

Нахождение определителя:

4.9 Определённый интеграл

Вычисление определённых интегралов может производиться, как и операции с матрицами, и численно, и в аналитическом (символьном) виде. При символьном вычислении необходимо воспользоваться той же командой меню, что и для вычисления неопределённого интеграла:

Variable >Integrate.

При численном интегрировании, как обычно, достаточно поставить знак равенства.

Например:

Символьное интегрирование

Численное интегрирование

Размещено на Allbest.ru

...